ISSN : 2527 – 5836 (print) | 2528 – 0074 (online)
Metode Iterasi Tiga Langkah untuk Menyelesaikan Persamaan
NonLinear dengan Menggunakan Matlab
Deasy Wahyuni1 , Elisawati2 1 Teknik Informatika, 2Sistem Informasi,
Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer (STMIK) Dumai e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract
Newton method is one of the most frequently used methods to find solutions to the roots of nonlinear equations. Along with the development of science, Newton's method has undergone various modifications. One of them is the hasanov method and the newton method variant (vmn), with a higher order of convergence. In this journal focuses on the three-step iteration method in which the order of convergence is higher than the three methods. To find the convergence order of the three-step iteration method requires a program that can support the analytical results of both methods. One of them using the help of the matlab program. Which will then be compared with numerical simulations also using the matlab program.
Keywords : newton method, newton method variant, Hasanov Method and order of convergence
Abstrak
Metode Newton adalah salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menemukan solusi untuk akar persamaan nonlinear. Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, metode Newton telah mengalami berbagai modifikasi. Salah satunya adalah metode hasanov dan varian metode newton (vmn), dengan tatanan konvergensi yang lebih tinggi. Dalam jurnal ini berfokus pada metode iterasi tiga langkah di mana urutan konvergensi lebih tinggi dari tiga metode. Untuk menemukan urutan konvergensi dari metode iterasi tiga langkah memerlukan program yang dapat mendukung hasil analitik dari kedua metode. Salah satunya menggunakan bantuan program matlab. Yang kemudian akan dibandingkan dengan simulasi numerik juga menggunakan program matlab.
Kata kunci : metode newton, varian metode newton, Metode Hasanov dan urutan konvergensi
1. PENDAHULUAN
STMIK Dumai merupakan salah satu perguran tinggi berbasis komputer di kota Dumai yang menghasilkan lulusan yang ahli didalam bidang ilmu komputer. Ini merupakan salah satu bentuk dukungan terhadap visi misi pemerintah untuk mencerdaskan kehidupan bangsa sesuai dengan pembukaan UUD 1945. Para lulusan ini diharapkan mampu mengembangkan ilmu pengetahuan yang mereka miliki.
Terutama di program studi Teknik Informatika, para mahasiswa dituntut untuk dapat mengaplikasikan ilmu yang didapat dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya adalah menyelesaikan persamaan-persamaan matematika menggunakan aplikasi komputer.
Salah satu mata kuliah yang mengaplikasikan persamaan-persamaan dalam bentuk algoritma adalah analisa numerik. Untuk menemukan solusi akar-akar pada persamaan numerik dibutuhkan beberapa metode untuk menemukan orde konvergensi yang lebih tinggi.
Mencari akar-akar dari persamaan nonlinear
( ) 0
f x
=
...(1.1)Merupakan hal yang umum dan sangat penting di dalam sains dan teknologi. Dalam menyelesaikan persamaan nonlinear dapat dilakukan dengan analitik dan numerik. Metode analitik dalam menentukan akar persamaan nonlinear terkadang mengalami kesulitan dalam menggunakannya. Oleh karena itu satu hal yang mungkin adalah dengan mendapatkan solusi aproksimasi yang mana solusi ini bergantung pada teknik numerik yang berdasarkan metode iterasi.
Salah satu metode numerik yang sering digunakan dalam pencarian akar adalah metode Newton. Metode ini paling sering digunakan karena sangat efisien dan kekonvergenannya kuadratik atau konvergen berorde dua. Secara umum bentuk iterasi metode Newton adalah :
,
)
(
'
)
(
1 n n n nx
f
x
f
x
x
+=
−
f
'
(
x
n)
0
,
n
=
0
,
1
,
2
,...
. ...(1.2)Dengan semakin berkembangnya ilmu pengetahuan metode Newton pun telah mengalami berbagai modifikasi. Salah satunya adalah metode hasanov dan Varian Metode Newton (VMN). Kedua metode ini memiliki kekonvergenan yang lebih tinggi dari pada metode newton.
Selanjutnya untuk mengembangkan metode newton, metode hasanov dan Varian Metode Newton (VMN) dalam artikel yang berjudul ”An Efficient Three-Step Iterative Method with Sixth-Order Convergence for Solving Non Linear Equations”. Artikel ini merupakan pengembangan kajian detail dari artikel tersebut.
2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah : a. Metode Newton (Atkinson, 1989)
,...,
2
,
1
,
0
,
0
)
(
'
,
)
(
'
)
(
1=
−
=
+f
x
n
x
f
x
f
x
x
n n n n n ...(2.1)b. Metode VMN (Weerakon, S. and Fernando, 1998)
Untuk mengaproksimasi metode newton agar mendekati akar
pada persamaan non linear0
)
(
x
=
f
, dimulai dengan aproximasi awal yaitux
*0 yang dekat ke
dan menggunakan skema titik iterasi yang sesuai dengan persamaan (2.1) yaitu:
,...,
2
,
1
,
0
,
0
)
(
'
,
)
(
'
)
(
* * * * 1=
−
=
+f
x
n
x
f
x
f
x
x
n n n n n ...(2.2) dimanax
*nadalah iterasi ke-n.c. Metode hasanov (Cheney, W. and Kincaid, 1994)
( )
'
(
)
'
4
)
(
'
)
(
6
* * 1 * 1 1 n n n n n nx
f
x
f
x
f
x
f
x
x
+
+
−
=
+ + + …(2.3) d. Kerangka KerjaMetode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode newton, metode VNM dan metode hasanov. Penggabungan dari ketiga metode tersebut inilah yang dinamakan metode iterasi tiga langkah. Yang mana bentuk Persamaan Metode Iterasi Tiga Langkah tersebut adalah :
,
)
(
'
)
(
n n n nx
f
x
f
x
z
=
−
f
'
(
x
n)
0
...(2.1))
(
'
)
(
'
)
(
2
n n n n nz
f
x
f
x
f
x
y
+
−
=
...(2.2))
(
'
2
'
4
)
(
'
)
(
6
1 n n n n n n nz
f
y
z
f
y
f
y
f
y
x
+
+
+
−
=
+ ...(2.3)Untuk menemukan solusi yang dekat ke hampiran akar dari suatu persamaan nonlinear dengan menggunakan Metode Iterasi Tiga Langkah maka diperlukan beberapa tahapan, yang mana tahapan atau langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
Langkah 1: menentukan Solusi zn dari persamaan (2.1)
Langkah 2: Hasil dari persamaan (2.1) disubstitusikan pada persamaan (2.2) Langkah 3 : Hasil dari Persamaan (2.2) di substitusikan ke persamaan (2.3)
Demikian selanjutnya sampai solusi mendekati akar dengan error yang sangat kecil
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas mengenai proses terbentuknya metode iterasi baru tiga langkah, kekonvergenan dari metode iterasi tiga langkah serta simulasi numerik dengan menggunakan program Matlab.
3.1 Metode Iterasi Tiga Langkah dengan Kekonvergenan Berorde Enam
Dalam metode ini untuk menemukan akar dari persamaan (3.1), (3.2) dan (3.3) digunakan beberapa langkah. Yang selanjutnya disebut dengan persamaan Metode Iterasi Tiga Langkah
3.2 Kekonvergenan Metode Iterasi Tiga Langkah
Teorema 3.1 Misalkan
I
adalah akar sederhana dari fungsif
:
I
R
→
R
yang terdiferensialkan secukupnya pada interval terbuka diI
. Jikax
0 adalah cukup dekat ke maka persamaan (3.1), (3.2) dan (3.3) memiliki orde konvergensi enam.Bukti:
Misalkan adalah akar sederhana dari , maka
f
(
)
=
0
.
Misalkan dan terdifferensialkan secukupnya, dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk disekitar,
=
nx
)
(
'
''
!
3
)
(
)
(
"
!
2
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
3 2
x
f
x
f
x
f
f
x
f
n n n n−
+
−
+
−
+
=
( ))
(
!
5
)
(
)
(
!
4
)
(
5 5 ) 4 ( 4
f
x
f
x
n−
+
n−
+
(
)
( )( )
( )
.
!
6
7 6 6 n ne
O
f
x
+
−
+
…(4.1) Karenaf
(
)
=
0
, dan misalkane
n=
x
n−
maka persamaan (4.1) menjadi :( )
( )
( )( )
5 5 4 4 3 2!
5
!
4
)
(
'
'
'
!
3
)
(
"
!
2
)
(
'
)
(
x
e
f
e
f
e
f
e
f
e
f
f
n=
n+
n+
n+
n+
n
f
f
'
(
)
0
,
f
)
(
x
nf
( )
( )
( )
,
!
6
7 6 6 n ne
O
f
e
+
+
...(4.2) Bila dinyatakan)
(
'
)
(
!
1
( )
f
f
k
c
kk
=
untukk
=
2
,
3
,...
sehingga persamaan (4.2) menjadi:( )
'
( )
'
( )
'
( )
'
)
(
4 4 3 3 2 2e
f
c
e
f
c
e
f
c
f
e
x
f
n=
n+
n+
n+
n( )
'
( )
(
).
'
6 6 7 5 5e
nf
c
e
nf
O
e
nc
+
+
+
…(4.3) Jika disederhanakan persamaan (4.3) menjadi:)].
(
)[
(
'
)
(
x
nf
e
nc
2e
n2c
3e
n3c
4e
n4c
5e
n5c
6e
n6O
e
n7f
=
+
+
+
+
+
+
...(4.4) Selanjutnya dengan cara yang sama didapat:2 ) 3 ( ) 2 (
)
(
!
2
1
)
(
)
(
'
)
(
'
x
nf
f
e
nf
e
nf
=
+
+
)
(
)
(
!
5
1
)
(
!
4
1
)
(
!
3
1
(4) 3 (5) 4 (6) 5 6 n n n nf
e
f
e
O
e
e
f
+
+
+
+
( ) 3 ) 4 ( 2 3 ) 2 ()
(
'
)
(
!
4
1
)
(
'
)
(
!
3
1
)
(
'
)
(
!
2
1
)
(
'
n n ne
nf
f
e
f
f
e
f
f
e
f
+
+
+
=
)].
(
6
5
4
3
2
1
)[
(
'
)
(
'
x
nf
c
2e
nc
3e
n2c
4e
n3c
5e
n4c
6e
n5O
e
6nf
=
+
+
+
+
+
+
…(4.5) Kemudian persamaan (4.4) dibagi dengan persamaan (4.5) sehingga didapat:4 4 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 n
(
2
2
)
n(
4
7
3
)
n nc
e
c
c
e
c
c
c
c
e
z
=
+
+
−
+
−
+
5 3 2 2 4 2 4 2 5 2 34
8
10
20
)
6
(
−
c
+
c
−
c
−
c
c
+
c
c
e
n+
5 2 4 2 2 4 3 6 3 3 25
17
28
13
52
(
−
c
c
+
c
−
c
c
+
c
c
−
c
c
+
)].
(
)
16
33
52 6 7 2 3 2c
c
e
nO
e
nc
+
+
+
…(4.6)Sekarang perhatikan bahwa persamaan (3.2) dapat ditulis menjadi:
)
(
'
)
(
'
)
(
2
n n n n nz
f
x
f
x
f
x
y
+
−
=
...(4.7)Selanjutnya ekspansi Taylor dari
f
(
z
n)
disekitarz
n=
,
didapat:)
(
''
'
!
3
)
(
)
(
"
!
2
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
3 2
z
f
z
f
z
f
f
z
f
n n n n−
+
−
+
−
+
=
( )(
)
!
5
)
(
)
(
!
4
)
(
5 5 ) 4 ( 4
f
z
f
z
n n−
+
−
+
(
)
( )6( )
( )
7 6!
6
n ne
O
f
z
+
−
+
. …(4.8)Selanjutnya substitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.7), diperoleh: 4 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 2
(
2
2
)
(
3
7
5
)
)[
(
'
)
(
z
nf
c
e
nc
c
e
nc
c
c
c
e
nf
=
+
−
+
−
+
5 5 3 2 2 4 2 2 3 4 26
12
24
4
)
10
(
−
c
c
−
c
−
c
+
c
c
+
c
e
n+
4 2 2 5 2 4 3 5 2 628
17
13
34
5
(
c
+
c
−
c
c
−
c
c
+
c
c
+
).
(
)
73
37
c
2c
32−
c
23c
3e
n6+
O
e
n7+
…(4.9) Dengan cara yang sama didapat:4 4 2 2 2 3 4 2 3 3 2 3 2 2 2 2
(
4
4
)
(
6
11
8
)
2
1
)[
(
'
)
(
'
z
nf
c
e
nc
c
c
e
nc
c
c
c
c
e
nf
=
+
+
−
+
−
+
4 2 3 2 3 4 5 5 2 5 2 2 2 4 3 2 320
8
16
)
(
16
68
28
(
c
c
−
c
c
+
c
c
−
c
e
n+
−
c
c
c
−
c
c
+
26
10
32
60
12
)
(
).
7 6 3 3 4 3 2 6 2 6 2 5 2 2c
c
c
c
c
c
c
e
nO
e
nc
+
+
+
+
+
−
…(4.10) Kemudian persamaan (4.4) dikalikan 2 sehingga diperoleh :3 3 2 2
2
2
2
)[
(
'
)
(
2
f
x
n=
f
a
e
n+
c
e
n+
c
e
n+
2
c
4e
n4+
2
c
5e
n5+
2
c
6e
n6+
O
(
e
n7)]
…(4.11) Selanjutnya persamaan (4.5) ditambahkan dengan persamaan (4.10) sehingga diperoleh :2 3 2 2 2
(
2
3
)
2
2
)[
(
'
)
(
'
)
(
'
x
nf
z
nf
a
c
e
nc
c
e
nf
+
=
+
+
+
+
(
−
4
c
23+
4
c
2c
3+
4
c
4)
e
n3+
(
8
c
24+
11
c
22c
3+
6
c
2c
4+
5
c
5)
e
n4+
(
−
16
c
25+
28
c
23c
3−
20
c
22c
4+
8
c
2c
5+
6
c
6)
e
n5+
(
32
c
26−
68
c
24c
3+
60
c
23c
4−
26
c
22c
5−
16
c
2c
3c
4+
12
c
33+
10
c
2c
6+
7
c
7)
e
n6+
O
(
e
n7)]
…(4.12) Kemudian bagi persamaan (4.11) dengan persamaan (4.12) setelah penyederhanaan di dapat :4 4 3 2 3 2 3 3 2 2
2
(
14
3
3
)
)[
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
2
n n n n n n nf
a
e
c
e
c
e
c
c
c
c
e
z
f
x
f
x
f
=
−
−
+
+
−
+
2 3 4 2 3 2 2 4 249
4
6
8
(
−
c
+
c
c
+
c
c
+
c
+
−
4
c
5)
e
n5+
(
12
c
25−
29
c
23c
3+
72
c
22c
4+
41
c
2c
32+
5
c
2c
5+
17
c
3c
4−
5
c
6)
e
n6+
O
(
e
n7)]
…(4.13) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.13) ke persamaan (3.2) sehingga diperoleh:4 2 3 2 2 4 2 4 4 3 2 3 2 3 3 2
4
49
8
(
)
3
3
14
(
2
2
(
e
c
e
c
c
c
c
e
c
c
c
c
c
a
y
n=
+
n+
n+
−
−
+
n+
−
−
5 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 5 2 5 5 2 34
)
(
12
29
72
41
5
6
c
−
c
e
n+
−
c
+
c
c
−
c
c
−
c
c
+
c
c
−
)]
(
)
5
17
c
3c
4+
c
6e
n6+
O
e
n7−
…(4.14)Selanjutnya ditentukan ekspansi Taylor untuk
f
(
y
n)
disekitary
n=
diperoleh: 4.)
(
'
'
'
!
3
)
(
)
(
"
!
2
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
3 2
y
f
y
f
y
f
f
y
f
n n n n−
+
−
+
−
+
=
5. ( )(
)
!
5
)
(
)
(
!
4
)
(
5 5 ) 4 ( 4
f
y
f
y
n n−
+
−
+
(
)
( )( ) (
)
.
!
6
7 6 6
−
+
−
+
n ny
O
f
y
…(4.15)Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.14) ke (4.15) dan mengingat
f
(
)
=
0
,
setelah penederhanaan diperoleh:
f
(
y
n)
=
f
'
(
)[
c
2e
n2+
2
c
3e
3n+
(
−
13
c
23−
3
c
2c
3+
3
c
4)
e
n4+
(
8
c
24−
45
c
22c
3−
4
c
2c
4 5 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 5 2 5 5 2 34
)
(
40
24
66
37
3
6
c
+
c
e
n+
−
c
+
c
c
−
c
c
−
c
c
+
c
c
−
)]
(
)
5
17
c
3c
4+
c
6e
n6+
O
e
n7−
...(4.16) Dengan cara yang sama sehingga diperoleh:3 3 2 5 2 4 4 2 3 2 2 4 2 3 3 2 2 2 2
4
(
28
3
6
)
(
16
98
2
1
)[
(
'
)
(
'
y
f
c
e
c
c
e
c
c
c
c
c
e
c
c
c
f
n=
+
n+
n+
−
−
+
n+
−
4 3 2 3 4 2 6 2 5 5 2 4 2 28
)
(
24
26
140
8
c
c
+
c
c
e
n+
−
c
−
c
c
−
c
c
−
6 6 2 3 3 4 3 2 5 2 2 2 3 2 26
16
12
10
)
100
c
c
+
c
c
−
c
c
c
+
c
+
c
c
e
n−
+
O
(
e
n7)]
...(4.17) Kemudian dihitung2
n ny
z
+
dengan menggunakan persamaan (4.14) dan persamaan (4.6) dan kemudian dikalikan 4, setelah penyederhanaan diperoleh :
6.
(
) (
)
4 4 2 3 2 2 4 2 3 3 2 3 2 2 2 28
16
40
28
24
8
4
)
(
'
2
'
4
n n n n ne
c
c
c
c
c
e
c
c
c
e
c
f
y
z
f
=
+
+
−
+
+
−
−
+
+
5 5 2 4 2 2 3 3 256
32
)
140
(
−
c
c
−
c
c
+
c
c
e
n+
1. 2 3 2 2 4 3 2 3 4 2 6 2200
160
200
16
(
c
−
c
c
−
c
c
−
c
c
+
6 6 2 3 3 4 3 2 5 2 264
48
40
)
40
c
c
−
c
c
c
+
c
+
c
c
e
n−
+
O
( )
e
n7
.
…(4.18)Persamaan (4.6) dikali dengan 6 didapat:
4 4 3 2 3 2 3 3 2 2
12
(
78
18
18
)
6
)[
(
'
)
(
6
f
y
n=
f
c
e
n+
c
e
n+
−
c
−
c
c
+
c
e
n 5 5 2 3 4 2 3 2 2 4 2270
24
36
24
)
48
(
c
−
c
c
−
c
c
−
c
+
c
e
n+
2 3 2 4 2 2 3 3 2 5 2144
396
222
240
(
−
c
+
c
c
−
c
c
−
c
c
+
18
102
30
)
(
)].
7 6 6 4 3 5 2c
c
c
c
e
nO
e
nc
−
+
+
+
…(4.19)Persamaan (4.10) ditambah persamaan (4.18) dan dijumlahkan dengan persamaan (4.17), diperoleh:
=
+
+
+
'
(
)
2
'
4
)
(
'
n n n nf
y
y
z
f
z
f
3 3 2 3 2 2 2(
24
12
)
12
6
)
(
'
c
e
nc
c
c
e
nf
+
+
−
=
4 4 2 3 2 2 4 242
60
)
36
(
c
c
−
c
c
−
c
e
n+
5 5 2 4 2 2 3 3 284
48
)
210
(
−
c
c
−
c
c
+
c
c
e
n+
2 3 2 2 4 3 2 3 4 2 6 2294
240
300
24
(
c
−
c
c
−
c
c
−
c
c
+
)
6 6 2 3 3 4 3 2 5 2 296
72
60
60
c
c
−
c
c
c
+
c
+
c
c
e
n−
( )
.
7 ne
O
+
…(4.20) Selanjutnya bagi persamaan (4.19) dengan persamaan (4.20), setelah penyederhanaan didapat:=
+
+
+
'
(
)
2
'
4
)
(
'
)
(
6
n n n n nz
f
y
z
f
y
f
y
f
4 4 3 2 3 2 3 3 2 2e
n2
c
e
n(
13
c
3
c
c
3
c
)
e
nc
+
+
−
−
+
5 5 2 3 4 2 3 2 2 4 246
4
6
4
)
8
(
c
−
c
c
−
c
c
−
c
+
c
e
n+
2 3 2 4 2 2 3 3 2 5 226
68
39
42
(
−
c
+
c
c
−
c
c
−
c
c
+
)
(
)
5
17
3
c
2c
5−
c
3c
4+
c
6e
n6+
O
e
n7+
…(4.21)Kemudian substitusikan persamaan (4.14) dan persamaan (4.21), setelah penyederhanaan diperoleh:
),
(
)
2
4
3
30
(
3
22 3 5 25 23 3 22 4 2 32 6 7 4 3 2 1 n n n n nc
e
c
c
e
c
c
c
c
c
c
c
e
O
e
x
+=
+
−
+
+
−
−
+
Sehingga)
(
)
2
4
3
30
(
3
22 3 5 25 23 3 22 4 2 32 6 7 4 3 2 1 n n n n nc
e
c
c
e
c
c
c
c
c
c
c
e
O
e
e
+=
−
+
+
−
−
+
Maka iterasi tiga langkah ini mempunyai konvergensi orde enam.
3.3 Simulasi Numerik
Pada subbab ini akan dilakukan simulasi numerik untuk melihat perbandingan Metode Iterasi Tiga langkah dengan Metode Newton, VMN dan Hasanov dengan menggunakan program Matlab. Persamaan nonlinear yang dibandingkan adalah:
1. Fungsi Polinomial:
f
1(
x
)
=
x
3−
2
x
2−
5
2. Fungsi Trigonometri:f
2(
x
)
=
e
x−
1
−
cos(
x
)
3. Fungsi Polinomial:f
3(
x
)
=
x
10−
1
4. Fungsi Trigonometri:
f
4(
x
)
=
sin(
x
)
5. Fungsi Eksponensial:
f
5(
x
)
=
e
x−
3
x
2Untuk kriteria pemberhentian komputasi digunakan
x
n+1−
x
n
Tol
ataumax
|
f
(
x
n)
|
eps
dengan batas error yang diberikan yaitu
1
.
0
10
−18, sedangkan jumlah iterasi maksimum adalah sebanyak 100 kali.Contoh
x
0 Metode Newton (N) Akarn
1 2 2.6906474480286138 7 2 0.3 0.6013467677258198 6 3 1.2 1.0000000000000000 8 4 0.5 0.0000000000000000 4 5 0.1 -0.4589622675369485 8Tabel 3.2. Tabel Hasil Komputasi Metode VMN
Contoh
x
0 Metode VNM Akarn
1 2 2.6906474480286138 5 2 0.3 0.6013467677258198 4 3 1.2 1.0000000000000000 6 4 0.5 0.0000000000000000 4 5 0.1 -0.4589622675369485 6Tabel 3.3. Tabel Hasil Komputasi Metode Hasanov (HN)
Contoh
x
0 Metode Hasanov (HN)Akar
n
1 2 2.6906474480286138 5 2 0.3 0.6013467677258198 4 3 1.2 1.0000000000000000 5 4 0.5 0.0000000000000000 3 5 0.1 -0.4589622675369485 6Tabel 3.4. Tabel Hasil Komputasi Metode Iterasi Tiga Langkah (ITL)
Contoh
x
0Metode Iterasi Tiga Langkah (ITL) Akar
n
1 2 2.6906474480286138 5 2 0.3 0.6013467677258198 4 3 1.2 1.0000000000000000 5 4 0.5 0.0000000000000000 2 5 0.1 -0.4589622675369485 5Tabel 3.5. Tabel Hasil Komputasi Perbandingan Metode Newton, VNM, Hasanov dan Metode Iterasi Tiga Langkah
Jika dilihat kekonvergenan pada nomor 1 sampai 5 kekonvergenan dari Iterasi Tiga Langkah dengan kekonvergenan berorde enam lebih lebih cepat dalam menemukan akar persamaan nonlinear dibandingkan dengan metode Newton, VMN dan Hasanov.
4. KESIMPULAN
Dari pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa metode iterasi Baru Tiga Langkah dapat diperoleh dengan menggunakan metode Newton untuk langkah pertama, kemudian diikuti dengan metode VMN sebagai langkah kedua dan menggunakan langkah ketiga dari metode Hasanov yang formulasinya diberikan oleh:
,
)
(
'
)
(
n n n nx
f
x
f
x
z
=
−
0
)
(
'
x
n
f
)
(
'
)
(
'
)
(
2
n n n n nz
f
x
f
x
f
x
y
+
−
=
)
(
'
2
'
4
)
(
'
)
(
6
1 n n n n n n nz
f
y
z
f
y
f
y
f
y
x
+
+
+
−
=
+Secara analitik ditunjukkan bahwa metode Iterasi Tiga Langkah ini Berorde Enam. Hal ini didukung oleh hasil simulasi numerik. Secara komputasi tidaklah dapat disimpulkan bahwa metode ini lebih efisien karena orde kekonvergenan enam memerlukan perhitungan fungsi enam, sedangkan metode Newton mempunyai orde konvergen dua memerlukan perhitungan fungsi dua.
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, K. . (1989). Atkinson, K.E. 1989. Elementary of Numerical Analysis, seconded. John Wiley and Son, New York. Elementary of Numerical Analysis, Seconded, (John Wiley and Son, New York).
Cheney, W. and Kincaid, D. (1994). Numerical Mathematics and Computer Third ed. Numerical Mathematics and Computer Third Ed, (Brooks / Cole Publishing Company).
Int.J.Comput, M. (2007). An efficient three-step iterative method with sixth-order convergence for solving nonlinear equations,” Int. J. Comput. Math., vol. 84, no. 3, pp. 369–375, 2007.
An Efficient Three-Step Iterative Method with Sixth-Order Convergence for Solving Nonlinear Equations, 84, n.
Weerakon, S. and Fernando, T. G. . (1998). A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third-Order Convergence. A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third-Order
Convergence, (Department of Mathematics, University of Sri Jayewardenepura).
Contoh
