METODE ITERASI ORDE EMPAT TANPA MENGHITUNG TURUNAN TINGGI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
KARYA ILMIAH
OLEH
RUTITAH PRICILIA PANJAITAN NIM. 1703113542
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2022
METODE ITERASI ORDE EMPAT TANPA MENGHITUNG TURUNAN TINGGI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
NONLINEAR
Rutitah Pricilia Panjaitan
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses a two-step iterative method to solve nonlinear equations. This iterative method is derived by using the third truncated Thiele’s continued fraction.
Analytically the proposed method have a fourth order of convergence. Numerical computations show that the new method is comparable with other discussed meth- ods.
Keywords: Nonlinear equation, Thiele’s continued fraction, Viscovatov algorithm, iterative method, order of convergence
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi dua langkah untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini diturunkan menggunakan aproksimasi pecahan kontinu Thiele terpotong ketiga. Secara analitik, metode yang ditunjukkan memiliki orde konvergensi empat. Uji Komputasi akan menunjukkan keunggulan dari metode it- erasi yang dibahas.
Kata kunci: Persamaan nonlinear, pecahan kontinu Thiele, algoritma Viscovatov, metode iterasi, orde konvergensi
1. PENDAHULUAN
Dalam bidang matematika terdapat banyak jenis persoalan, salah satunya adalah persoalan bagaimana menemukan solusi (akar) dari persamaan nonlinear f (x) = 0.
Untuk mencari solusi (akar) dari persamaan nonlinear dapat digunakan metode analitik dan metode numerik. Namun tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan metode analitik dikarenakan bentuk persamaan yang rumit sehingga akan diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Salah satu metode numerik
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan adalah metode Newton yang memiliki orde konvergensi dua [1] dengan bentuk umum sebagai berikut
xk+1= xk− f (xk)
f′(xk), dengan f′(xk)̸= 0 dan k = 0, 1, 2, ....
Metode numerik lain yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear adalah metode Halley (HM) [6] yang memiliki orde konvergensi tiga. Mo- difikasi metode Householder (MHM) [7] oleh Noor menerapkan metode Householder yang memiliki orde konvergensi empat tanpa turunan kedua.
Pada artikel ini, penulis membahas tentang metode iterasi dua langkah tanpa tu- runan tinggi berorde konvergensi empat berdasarkan pecahan kontinu Thiele untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang merupakan review sebagian dari artikel yang dikembangkan oleh Li [5].
Artikel ini menjelaskan mengenai penurunan metode iterasi orde empat tanpa turunan tinggi. Kemudian dilanjutkan dengan analisis kekonvergenan. Dan pada bagian selanjutnya akan dilakukan perbandingan numerik dengan beberapa fungsi berbeda.
2. METODE ITERASI ORDE EMPAT TANPA TURUNAN TINGGI Metode ini diturunkan dengan mendefinisikan pecahan kontinu Thiele terpotong pertama [5] dengan mengekspansikan f (x) = 0 disekitar x = η dimana η adalah tebakan awal yang cukup dekat dengan p (akar sebenarnya) sehingga diperoleh
f (x) = c0+ x− η c1 , atau dapat dituliskan menjadi
0 = c0+(x− η)
c1 . (1)
Kemudian dari persamaan (1) diperoleh
x− η = −c0c1. (2)
Dengan mendefinisikan pecahan kontinu terpotong ketiga [5] dan melakukan ekspansi f (x) di sekitar x = η diperoleh
f (x) = c0+ x− η c1+ x− η
c2+ x− η c3
. (3)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (3) pada
pecahan kontinu terpotong ketiga dengan nilai f (x) = 0, diperoleh 0 = c0 + x− η
c1+ x− η c2+−c0c1
c3
, (4)
selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan (4) terhadap x , dapat ditulis
x = η−(c0c1)2− c0c1c2c3
c0c1− (c0+ c2)c3. (5) Dengan mensubstitusikan nilai c0, c1, c2 dan c3 berdasarkan algoritma Viscovatov [10] ke dalam persamaan (5) dihasilkan
x = η− f (xk)(
6f′2(xk)f′′(xk)− 3f(xk)f′′2(xk) + 2f (xk)f′(xk)f′′′(xk))
2f′(xk) (3f′2(xk)f′′(xk)− 3f(xk)f′′2(xk) + f (xk)f′(xk)f′′′(xk)). (6) Kemudian persamaan (6) dapat ditulis ke dalam bentuk iterasi dengan memisalkan η = xk dan x = xk+1 didapat
xk+1 = xk− f (xk)(6f′2(xk)f′′(xk)− 3f(xk)f′′2(xk) + 2f (xk)f′(xk)f′′′(xk)) 2f′(xk)(3f′2(xk)f′′(xk)− 3f(xk)f′′2(xk) + f (xk)f′(xk)f′′′(xk)), (7) untuk setiap nilai k ≥ 1.
Untuk mengurangi perhitungan turunan fungsi metode iterasi pada persamaan (7) akan digunakan deret Taylor [2] untuk mengaproksimasi nilai f′′(xk) dan f′′′(xk).
Asumsikan yk = xk− f(xk)/f′(xk), kemudian f (yk) diperluas disekitar titik xk ke dalam deret Taylor orde tiga
f (yk)≈ f(xk) + f′(xk)(yk− xk) + 1
2!f′′(xk)(yk− xk)2+ 1
3!f′′′(xk)(yk− xk)3, sehingga diperoleh aproksimasi turunan ketiga deret Taylor dengan bentuk
f′′′(xk)≈ 3f2(xk)f′(xk)f′′(xk)− 6f(yk)f′3(xk)
f3(xk) . (8)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (8) ke dalam persamaan (7) menjadi
xk+1 = xk− 4f (xk)f (yk)f′4(xk)− 4f3(xk)f′2(xk)f′′(xk) + f4(xk)f′′2(xk)
4f (yk)f′5(xk) + 2f2(xk)f′′(xk)(f (xk)f′′(xk)− 2f′2(xk)) , (9) dimana yk = xk− f(xk)/f′(xk) untuk setiap nilai k ≥ 1.
Kemudian akan diaproksimasi kembali turunan kedua fungsi pada persamaan (9), dengan mengaproksimasi deret Taylor orde dua
f (yk)≈ f(xk) + f′(xk)(yk− xk) + 1
2!f′′(xk)(yk− xk)2.
Kemudian diperoleh aproksimasi turunan kedua fungsi
f′′(xk)≈ 2f (yk)f′2(xk)
f2(xk) . (10)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (9) diperoleh
yk= xk− f (xk) f′(xk),
xk+1= xk− (f (xk)− f(yk))f (xk) (f (xk)− 2f(yk))f′(xk),
(11)
untuk setiap nilai k ≥ 1.
Persamaan (11) merupakan bentuk metode iterasi tanpa turunan tinggi untuk menemukan solusi dari persamaan nonlinear, yang memerlukan tiga kali perhitungan pada setiap iterasinya yaitu f (xk), f′(xk), dan f (yk). Oleh karena itu, metode iterasi tanpa turunan tinggi memiliki indeks efisiensi [3] 413 ≈ 1, 5874. Selanjutnya, untuk melihat orde kekonvergenan dari metode iterasi tanpa turunan tinggi, diberikan teorema yang merupakan analisis konvergensi dari metode iterasi dua langkah untuk menunjukkan kekonvergenan.
3. ANALISIS KONVERGENSI
Untuk menunjukkan orde kekonvergenan metode iterasi orde empat tanpa turunan tinggi diberikan teorema berikut
Teorema 1 [5] Misalkan p∈ [a, b] adalah solusi dari persamaan f(x) = 0. Sebagai tambahan, bahwa f (x) adalah fungsi terdiferensiasi secukupnya disekitar titik p.
Jika tebakan awal x0 cukup dekat dengan p, maka orde konvergensi metode iterasi dua langkah yang didefinisikan pada persamaan (11) adalah empat.
Bukti. Dengan mengasumsikan p adalah akar dari persamaan f (x) = 0, maka f (p) = 0. Dengan menggunakan ekspansi Taylor dari fungsi f (x) di sekitar titik x = p sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh
f (x) =f′(p)(x− p) +f′′(p)
2! (x− p)2+f′′′(p)
3! (x− p)3 +f(4)(p)
4! (x− p)4+O(x − p)5. (12)
Dengan mengevaluasi persamaan (12) di sekitar titik x = xk, kemudian dengan mensubstitusikan f (p) = 0, ek = xk − p dan Ci = f(i)(p)/(i!f′(p)) dengan i = 1, 2, 3, 4, diperoleh
f (xk) = f′(p)(ek+ C2e2k+ C3e3k+ C4e4k+O(e5k)). (13)
Berdasarkan persamaan (13), dengan menghitung turunan pertama terhadap xk
diperoleh
f′(xk) = f′(p)(1 + 2C2ek+ 3C3e2k+ 4C4e3k+O(e4k)). (14) Kemudian dengan membagi persamaan (13) dengan persamaan (14), yang dise- lesaikan menggunakan deret geometri [9, h.750] diperoleh
f (xk)
f′(xk) = ek− C2e2k+ 2(C22− C3)e3k+ (7C2C3− 4C23− 3C4)e4k+O(e5k). (15) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan (11) di- peroleh
yk= p + C2e2k− 2(C22− C3)e3k− (7C2C3 − 4C23− 3C4)e4k+O(e5k). (16) Dengan cara yang sama, untuk memperoleh nilai f (yk) digunakan ekspansi Taylor, dimana persamaan (12) dievaluasi disekitar titik x = yk, kemudian dengan men- substitusikan persamaan (16) diperoleh
f (yk) = f′(p)(C2e2k− 2(C22− C3)e3k− (7C2C3− 5C23− 3C4)e4k+O(e5k)). (17) Kemudian untuk memperoleh (f (xk)− f(yk))f (xk) dengan menggunakan per- samaan (13) dan (17) diperoleh
(f (xk)− f(yk))f (xk) = f′2(p)[e2k+ C2e3k+ 2C22e4k− (3C23− 6C2C3+ C4)e5k
+O(e6k)]. (18)
Dengan cara yang sama akan dicari bentuk (f (xk)−2f(yk))f′(xk) dengan meng- gunakan persamaan (13),(17) dan (14) diperoleh
(f (xk)− 2f(yk))f′(xk) = f′2(p)[ek+ C2e2k+ 2C22e3k− (2C23− 5C2C3 + C4)e4k
− (20C24− 40C22C3+ 9C32+ 14C2C4)e5k+O(e6k)].
(19) Kemudian dengan membagi persamaan (18) dan persamaan (19) menggunakan deret geometri diperoleh
(f (xk)− f(yk))f (xk)
(f (xk)− 2f(yk))f′(xk) = ek+ (C2C3− C23)e4k+O(e5k). (20) Lalu dengan mensubstitusikan persamaan (20) ke dalam persamaan (11) dipe- roleh
xk+1 = p + (C23− C2C3)e4k+O(e5k). (21) Karena ek = xk− p, maka diperoleh persamaan error dari metode iterasi tanpa
turunan tinggi pada persamaan (11) sebagai berikut
ek+1 = (C23− C2C3)e4k+O(e5k). (22) Berdasarkan definisi persamaan error [8] terlihat bahwa metode pada persamaan (11) memiliki orde konvergensi empat.
2 4. PERBANDINGAN NUMERIK
Pada bagian ini, akan dilakukan perbandingan komputasi oleh beberapa metode pembanding, yaitu metode Newton (MN) [5], metode Halley (MH) [5], modifikasi metode Householder (MMH) [7], dan metode iterasi tanpa turunan tinggi (MTT) pada persamaan (11) untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Fungsi yang digu- nakan dalam melakukan komputasi numerik adalah
f1(x) = cos(x)− x, f2(x) = x3− 10,
f3(x) = x2+ xex+ cos(x), f4(x) = ex2+7x−30− 1, f5(x) = x2+ sin
(x 5
)−1 4.
Perbandingan komputasi untuk kelima fungsi di atas menggunakan program Maple 13 dengan kriteria pemberhentian jalannya komputasi sebagai berikut:
(1) Jika nilai fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan.
(2) Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi akar berdekatan lebih kecil dari toleransi yang diberikan.
(3) Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi yang diberikan
Dalam hal ini maksimum iterasi adalah 100 dan toleransi yang diberikan adalah 1.0e−100. Hasil perbandingan komputasi dari beberapa metode iterasi ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi fi(x) x0 Metode k + 1 |f(xk+1)| |xk+1− xk| ACOC
f1(x) 1.0
MN 7 1.19e−166 1.80e−83 2.00 MH 5 1.67e−260 4.42e−87 3.00 MMH 4 2.93e−379 6.35e−95 4.00 MTT 4 7.05e−296 3.58e−74 4.00
fi(x) x0 Metode k + 1 |f(xk+1)| |xk+1− xk| ACOC
f1(x) 2.5
MN 8 1.08e−141 5.40e−71 2.00 MH 6 9.34e−218 7.84e−73 3.00 MMH 5 3.08e−308 3.61e−77 4.00 MTT 4 2.40e−105 1.54e−26 4.01
0.0
MN 8 1.19e−166 1.80e−83 2.00 MH 3 6.98e−104 2.79e−26 3.00 MMH 4 1.01e−391 2.72e−98 4.00 MTT 3 2.16e−115 5.29e−29 4.00
f2(x) -0.1
MN 9 4.50e−176 8.35e−89 2.00 MH 8 5.97e−167 3.1e−56 3.00 MMH 5 6.11e−277 8.14e−70 4.00 MTT 5 9.94e−133 1.01e−33 4.00
2.7
MN 8 3.90e−170 7.77e−86 2.00 MH 5 5.83e−179 3.08e−60 3.00 MMH 5 7.85e−228 1.54e−57 4.00 MTT 4 8.08e−183 3.05e−46 4.00
3.5
MN 9 3.04e−188 6.86e−95 2.00 MH 5 1.12e−102 8.24e−35 3.00 MMH 5 1.03e−325 5.22e−82 4.00 MTT 4 8.52e−104 7.54e−26 4.00
f3(x) -0.5
MN 9 6.96e−104 1.91e−52 2.00 MH 7 1.38e−247 6.79e−83 3.00 MMH 5 6.55e−167 2.74e−42 4.00 MTT 5 6.16e−366 6.49e−92 4.00
0.5
MN 7 8.94e−122 2.17e−61 2.00 MH 4 1.56e−101 3.28e−34 3.00 MMH 4 7.24e−239 2.80e−60 4.00 MTT 4 1.00e−292 1.30e−73 4.00
1.0
MN 8 1.30e−151 2.62e−76 2.00 MH 5 2.85e−192 1.86e−64 3.00 MMH 4 3.83e−166 4.25e−42 4.00 MTT 4 9.54e−187 4.07e−47 4.00
f4(x) 2.7
MN 62 6.29e−140 2.71e−7 2.00 MH 7 1.00e−223 8.17e−76 3.00 MMH 31 4.60e−149 1.06e−38 4.00 MTT 14 2.21e−203 3.68e−52 4.00
3.5
MN 15 6.86e−189 8.95e−96 2.00 MH 8 1.39e−132 1.97e−45 3.00 MMH 8 1.13e−385 7.44e−98 4.00 MTT 7 2.52e−248 2.13e−63 4.01
4.0
MN 22 4.17e−155 6.99e−79 2.00 MH 12 6.15e−200 6.95e−68 3.00 MMH 11 4.94e−162 6.05e−42 4.00
−237 −60
fi(x) x0 Metode k + 1 |f(xk+1)| |xk+1− xk| ACOC
f5(x) 1.0
MN 8 1.29e−112 1.39e−56 2.00 MH 5 1.07e−106 4.78e−36 3.00 MMH 4 2.86e−137 7.39e−35 4.00 MTT 4 2.16e−112 1.22e−28 3.99
0.2
MN 8 6.79e−151 8.24e−76 2.00 MH 5 3.39e−143 3.26e−48 3.00 MMH 4 1.97e−145 6.74e−37 4.00 MTT 4 7.62e−151 2.98e−38 4.00
0.0
MN 10 1.01e−177 3.19e−89 2.00 MH 6 1.64e−126 1.18e−42 3.00 MMH 5 3.42e−145 7.73e−37 4.00 MTT 5 1.60e−177 6.39e−45 4.00
Tabel 1 merupakan tabel perbandingan hasil komputasi untuk menemukan akar pendekatan dengan empat metode iterasi berbeda yang diuji dengan lima fungsi fi(x), i = 1, 2, ...5, dimana setiap fungsi mempunyai tiga tebakan awal x0 yang berbeda. Dimana k menyatakan jumlah iterasi, |f(xk)| merupakan nilai mutlak fungsi dari akar pendekatan ke−k, |xk+1 − xk| merupakan selisih nilai mutlak an- tara akar pendekatan dan akar sebenarnya, dan ACOC[4] merupakan nilai orde konvergensi.
Perbandingan komputasi oleh beberapa metode iterasi yaitu metode Newton (MN), metode Halley (MH), modifikasi metode Householder (MMH) dan metode iterasi tanpa turunan tinggi (MTT) dilakukan menggunakan program Maple 13.
Dari tabel 1 hasil perbandingan komputasi dapat dilihat bahwa pemilihan tebakan awal x0 juga cukup mempengaruhi jumlah iterasi dan akar yang diperoleh. Dapat dilihat bahwa tebakan awal yang dekat dengan akar yang diharapkan akan mem- berikan jumlah iterasi yang lebih sedikit. Metode iterasi tanpa turunan tinggi (MTT) memiliki jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan metode Newton (MN) yang berorde konvergensi dua dan metode Halley (MH) yang berorde konver- gensi tiga. Sedangkan metode iterasi tanpa turunan tinggi (MTT) memiliki jumlah iterasi yang sama dengan modifikasi metode Householder (MMH) yang memiliki orde konvergensi empat. Meski memiliki jumlah iterasi yang sama, MTT lebih efisien di- bandingkan MMH dikarenakan MTT memiliki jumlah evaluasi fungsi yang lebih sedikit dibandingkan MMH. Dan juga pada fungsi eksponensial MTT lebih unggul dibandingkan MMH dikarenakan MTT memiliki jumlah iterasi dan eror yang lebih kecil dibandingkan MMH.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr.
Syamsudhuha, M. Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan karya ilmiah ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] S. Abbasbandy, Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method, Applied Mathematics and Computa- tion, 145 (2003), 887–893.
[2] R. G. Bartle dan D. R. Sharbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, New York, 2010.
[3] W. Gautschi, Numerical Analysis, Second Edition, Birkhauser, New York, 2012.
[4] M. Grau-Sanchez, M. Noguera dan J.M Gutierrez, On some computational or- ders of convergence, Applied Mathematics Letters, 23 (2010),472-478.
[5] S. Li, Fourth-order iterative method without calculating the higher derivatives for nonlinear equation, Journal of Algorithms and Computational Technology, 13 (2019), 1-8.
[6] W. Nazeer, M. Tanveer, M. Munir, A. Jan, dan S. M. Kang, Modified Halley’s method for solving nonlinear function with convergence of order six and effi- ciency index 1.8171, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 111 (2016), 55–65.
[7] M. A. Noor dan V. Gupta, Modified Householder iterative method free from second derivatives for nonlinear equations, Applied Mathematics and Compu- tation, 190 (2007), 1701–1706.
[8] J. R. Sharman dan R. K. Guha, Some modified Newton’s method with fourth- order convergence, Advances in Science Research, 2 (2011) 240–247.
[9] J. Stewart, Calculus, Eight Edition, Brooks/Cole Publishing, Belmont, 2012.
[10] J. Tan, The limiting case of Thiele’s interpolating continued fraction expansion, Journal of Computational Mathematics, 19 (2001), 433–444.
