METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NONLINEAR E. Yuliani1∗, M. Imran2, S. Putra2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗evi [email protected]
ABSTRACT
This paper discusses free derivative iterative methods based on a Taylor expansion to solve a nonlinear equation. It is analytically shown that the methods are the third order. Numerical comparisons among the proposed iterative methods, Chebyshev method, Halley method, and Chebyshev-Halley method show that the proposed methods are better in performance, in terms of succeeding in obtaining the root. Keywords: Chebyshev method, Halley method, Chebyshev-Halley method, free deriva-tive iteraderiva-tive method, nonlinear equation.
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi tanpa turunan berdasarkan ekspansi Taylor un-tuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode ini mempunyai kekonvergenan orde tiga. Perbandingan numerik dari tiga metode yang diperoleh, yaitu modifikasi dari metode Chebyshev, metode Halley, dan metode Chebyshev-Halley yang tidak memuat turunan dengan metode Chebyshev, metode Halley, metode Chebyshev-Halley menunjukkan keunggulan metode yang dibahas dalam aplikasinya.
Kata kunci: metode Chebyshev, metode Halley, metode Chebyshev-Halley, metode iterasi tanpa turunan, persamaan nonlinear.
1. PENDAHULUAN
Berbagai masalah dibidang ekonomi, kimia, dan kelistrikan sering berakhir dengan suatu model yang berbentuk persamaan nonlinear [5, h. 4–10]
Penelitian dalam menemukan berbagai metode analitik untuk menyelesaikan per-samaan (1), sudah banyak dihasilkan. Akan tetapi keterbatasan metode analitik, seperti tidak tersedianya metode analitik untuk menemukan akar-akar polinomial berderajat lebih besar atau sama dengan lima, menyebabkan peneliti matematika mencari alternatif ke metode iterasi yang memberikan solusi aproksimasi sampai ketelitian tertentu.
Semua metode iterasi yang sudah dikembangkan bertujuan menghasilkan metode iterasi yang konvergen dengan cepat ke akar. Namun, kebanyakan metode tersebut masih memuat bentuk turunan dalam formulanya, sehingga jika terdapat nilai tu-runan cukup dekat ke nol atau sama dengan nol, metode yang ada menghasilkan rounding error yang besar atau bahkan tidak dapat diterapkan.
Beberapa metode iterasi yang masih memuat turunan dengan orde kekonverge-nan tiga yang cukup dikenal adalah Metode Chebyshev [2] dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) 1 + Lf(xn) 2 n = 0, 1, 2, . . . , (2) metode Halley [2] dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) 1 + Lf(xn) 2 − Lf(xn) n = 0, 1, 2, . . . , (3) dan metode Chebyshev-Halley [3] dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) 1 + Lf(xn) 2 −Lf(xn) α ! , α ∈ R∗ = R − {0}, (4) dengan Lf(xn) = f′′(x n)f (xn) f′(xn)2 . (5)
Bila diperhatikan formula metode Chebyshev (2), metode Halley (3), dan metode Chebyshev-Halley (4), maka ketiga metode ini dapat diperoleh dari formula iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) 1 + Lf(xn) 2(1 − θLf(xn)) + cLf(xn)2 , (6)
dengan θ dan c adalah suatu parameter dan Lf(xn) diberikan persamaan (5).
Salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menghindari munculnya turunan di formula iterasi adalah dengan menaksir turunan melalui bantuan ekspansi Taylor, sebagaimana yang dikemukakan Haijun Wang dan Subei Li dalam ”A family of derivative-free methods for nonlinear equations”[6]. Inilah yang merupakan topik yang dibahas dalam artikel ini.
Stuktur penyajian artikel ini adalah dibagian kedua dibahas bagaimana cara mendapatkan metode iterasi tanpa turunan yang dilanjutkan dengan melakukan analisis kekonvergenannya. Pada bagian ketiga dilakukan perbandingan secara nu-merik untuk membandingkan metode iterasi tanpa turunan dengan metode iterasi
yang masih memuat turunan seperti metode Chebyshev, metode Halley, dan metode Chebyshev-Halley dengan menggunakan tujuh persamaan nonlinear.
2. METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR
Taksiran Turunan
Proses taksiran turunan dimulai dengan melakukan ekspansi Taylor dari fungsi f (xn+ v) disekitar xn + v = xn, dengan f (xn) 6= 0, dan mengabaikan suku yang
memuat vi,
i ≥ 2 sehingga didapat
f (xn+ v) = f (xn) + vf′(xn), (7)
dengan cara yang sama diperoleh ekspansi Taylor dari fungsi f (xn − u) disekitar
xn− u = xn, dengan f (xn) 6= 0, yaitu f (xn− u) = f(xn) − uf′(xn) + u2 2 f ′′(x n). (8)
Misalkan v = v(xn) = f (xn), maka dari persamaan (7), f′(xn) dapat diaproksimasi
dengan f′(x n) ≈ f (xn+ f (xn)) − f(xn) f (xn) . (9)
Misalkan u = u(xn) = f(xf′(x)n), maka dengan menggunakan persamaan (9) didapat
u(xn) =
f2(x n)
f (xn+ f (xn)) − f(xn)
. (10)
Kemudian dari persamaan (8) dan persamaan (9) diperoleh f (xn− un) = f (xn) − unf′(xn) + u2 n 2 f ′′(x n), u2 n 2 f ′′(x n) = f (xn− un),
sehingga diperoleh taksiran turunan f′′(x
n) dengan f′′(x n) = 2 f (xn− u(xn)) u2(x n) . (11)
Penurunan Metode Iterasi Tanpa Turunan (MITT)
Untuk mendapatkan metode iterasi tanpa turunan diawali dengan pensubstitusian taksiran turunan (9) dan (11) ke persamaan (5), sehingga setelah penyederhanaan diperoleh
Lf(xn) ≈ 2
f (xn− u(xn))
f (xn)
Mengingat f(xn)
f′(xn) = u(xn) maka persamaan (6) dapat ditulis menjadi
xn+1 = xn− u(xn) 1 + Lf(xn) 2(1 − θLf(xn)) + cLf(xn)2 . (13)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke persamaan (13), setelah penyederhanaan diperoleh xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn)) f (xn) − 2θf(xn− u(xn)) + 4cf 2(x n− u(xn)) f2(x n) . (14) Selanjutnya, misalkan λ = 2θ dan τ = 4c, sehingga persamaan (14) dapat ditulis
xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn)) f (xn) − λf(xn− u(xn)) + τf 2(x n− u(xn)) f2(x n) , (15) dengan u(xn) diberikan persamaan (10) yaitu
u(xn) =
f2(x n)
f (xn+ f (xn)) − f(xn)
.
Persamaan (15) disebut dengan bentuk umum dari metode iterasi tanpa turunan berdasarkan ekspansi Taylor untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Jika diberikan nilai berbeda untuk λ dan τ pada persamaan (15), maka ditemukan sebuah keluarga dari metode iterasi tanpa turunan, yang tiga bentuk khususnya diberikan oleh:
1. Untuk λ = 0 dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Metode Chebyshev Tanpa Turunan (MMCTT). xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn)) f (xn) . (16)
2. Untuk λ = 1 dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Metode Halley Tanpa Turunan (MMHTT). xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn)) f (xn) − f(xn− u(xn)) . (17)
3. Untuk λ = 12 dan τ = 0, dinamakan Modifikasi Metode Chebyshev-Halley Tanpa Turunan (MMCHTT). xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn)) f (xn) −12f (xn− u(xn)) . (18) Analisis Kekonvergenan
Pada bagian ini akan dibahas mengenai analisis kekonvergenan dari metode iterasi tanpa turunan berdasarkan ekspansi Taylor.
Teorema 1 [6] Asumsikan bahwa fungsi f : D ⊆ R → R untuk suatu interval terbuka D yang mempunyai akar sederhana x∗ ∈ D dan fungsi f(x) mempunyai
turunan pertama, kedua, dan ketiga yang kontinu di dalam interval D. Jika x0
cukup dekat ke x∗ maka orde konvergensi dari metode iterasi pada persamaan (15)
adalah tiga dengan persamaan tingkat error en+1 = − c22+c 2 2 c2 1 +2c 2 2 c1 λ − c22+ c 2 2 c2 1 + 2c 2 2 c1 τ + 2c 2 2 c2 1 + 3c 2 2 c1 + c22 e3n.
Bukti. Perhatikan persamaan (15) setelah disamakan penyebutnya menjadi xn+1 = xn− u(xn) 1 + f (xn− u(xn))f 2(x n) + τ f2(xn− u(xn))(f (xn) − λf(xn− u(xn))) f (xn) − λf(xn− u(xn))f2(xn) . (19) Misalkan en= xn− x∗, dengan x∗ adalah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0
maka f (x∗) = 0. Selanjutnya ekspansi Taylor [1, h. 184-185] dari f (x
n) disekitar
xn = x∗, dengan mengabaikan suku yang memuat (xn− x∗)i, dengan i ≥ 4 adalah
f (xn) = f′(x∗)en+ 1 2!f ′′(x∗)e2 n+ 1 3!f ′′′(x∗)e3 n. (20) Dengan menyatakan Fj = f(j)(x∗) j ≥ 1, (21) dan ci = Fi i! i = 1, 2, 3, ..., (22)
maka persamaan (20) menjadi
f (xn) = c1en+ c2e2n+ c3e3n. (23)
Selanjutnya, hitung xn+ f (xn) dan dengan mengingat xn= en+ x∗, maka diperoleh
xn+ f (xn) = en+ x∗+ c1en+ c2e2n+ c3e3n. (24)
Selanjutnya dihitung ekspansi Taylor dari f (xn+ f (xn)) disekitar xn+ f (xn) = x∗,
dan mengingat persamaan (20) dan (21) diperoleh
f (xn+ f (xn)) = (c1+ c21)en+ (3c2c1+ c2+ c2c21)e2n+ (4c1c3+ c3+ 3c3c21
+ c3c31 + 2c22 + 2c22c1)e3n. (25)
Selanjutnya dengan menggunakan persamaaan (23) dan persamaan (25) dihitung selisih antara f (xn+ f (xn)) − f(xn) dan f2(xn), sehingga diperoleh berturut-turut
f (xn+ f (xn)) − f(xn) = c21en+ (c2c21+ 3c2c1)e2n+ (2c22+ c3c13+ 2c22c1+ 4c1c3
dan
f2(xn) = c21e2n+ 2c1c2e3n+ (2c1c3+ c22)e4n. (27)
Untuk menghindari pembagian dua polinomial maka digunakan deret geometri 1
1 + r = 1 − r + r
2
− r3. (28)
Dengan membagi persamaan (27) dan persamaan (26) setelah penyederhanaan diper-oleh u(xn), yaitu
u(xn) = c2 1e2n+ 2c1c2en3 + (2c1c3+ c22)e4n 1 +c2+3cc12 en+ 2c2 2 c2 1 + c1c3+ 2c2 2 c1 + 4c3 c1 + 3c3 e2 n . (29) Misalkan r = c2+3cc12 en + 2c2 2 c2 1 + c1c3+ 2c2 2 c1 e2
n, maka dengan mengingat
per-samaan (28), perper-samaan (29) setelah penyederhanaan dapat ditulis menjadi u(xn) = en+ − c2− c2 c1 e2 n+ − 3c3+ 2c2 2 c2 1 − 2c3 c1 + 2c 2 2 c1 + c22 − c1c3e3n. (30)
Selanjutnya dihitung selisih antara xn− u(xn) dengan xn = en+ x∗ diperoleh
xn− u(xn) = x∗+ c2+ c2 c1 e2 n+ 3c3− 2c22 c2 1 − c 2 2+ c1c3 +2c3 c1 − 2c2 2 c1 e3 n. (31)
Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (xn − u(xn)) disekitar xn −
u(xn) = x∗, dan mengabaikan suku yang memuat (xn− u(xn) − x∗)i, dengan i ≥ 4,
dan dengan mensubstitusikan persamaan (31) ke persamaan yang dihasilkan didapat f (xn− u(xn)) = c2+ c2c1e2n+ − 2c22+ 2c3− c22c1+ 3c1c3 − 2c 2 2 c1 + c3c21e3n. (32) Selanjutnya dihitung B = f (xn) − λf(xn− u(xn))f2(xn) , dan
A = f (xn− u(xn))f2(xn) + τ f2(xn− u(xn))(f (xn) − λf(xn− u(xn)))
dengan menggunakan persamaan (23), (27) dan (32), sehingga diperoleh berturut-turut
B = (3c2− λc2− λc2c1)e3n+ c1e 2
dan A = 2λc 2 2 c1 − λc3 c21+ c22c1+ 2c22− 2λc3 + 2λc22+ λc22c1− 3λc1c3+ c2 2 c1 e3 n + − λc2c1− λc2e2n. (34)
Untuk menghindari pembagi dua polinomial dalam menghitung A/B maka di-gunakan deret geometri seperti pada persamaan (28). Untuk itu terlebih dahulu menghitung B c3 1e 3 n dan A c3 1e 3 n didapat berturut-turut B c3 1e3n = 1 + − λc2 c1 − λc 2+ 3c2 c1 en+ λc22 − 3λc3+ 3c2 2 c2 1 − 2λc3 c1 − c 1λc3 + 3c3 c1 e2 n+ 3λc3 2 c2 1 +2λc 3 2 c1 +3λc 3 2 c3 1 − 2λc3c2− 8λc3c2 c1 +c 3 2 c3 1 −6λc3c2 c2 1 + 6c2c3 c2 1 +3c4 c1 e3 n. (35) dan A c3 1e3n = c2+ c2 c1 en+ τ c2 2 c2 1 + τ c22+ 2τ c 2 2 c1 + 3c3 − c22+ c1c3+ 2c3 c1 e2 n + −3τ λc 3 2 c1 − 3τ λc3 2 c2 1 − 2c3 2 c1 + 2c1τ c3c2+ 4τ c2c3 c2 1 − 3τ c3 2 c3 1 −6τ c 3 2 c2 1 − τc 3 2λ − 3c3 2 c2 1 + 2c3c2+ 8c3c2 c1 − 3c3 2 c3 1 − 5τ c3 2 c1 + 8τ c3c2+ 10τ c3c2 c1 +6c2c3 c2 1 − 2τc 3 2− τ λc3 2 c3 1 e3 n. (36) Selanjutnya dihitung C = u(xn) 1 − A c3 1e 3 n B c3 1e 3 n ! , (37)
dengan menggunakan persamaan (30), (36) dan (35) dan bantuan deret geometri (28) didapat setelah penyederhanaan
C = en+ 2λc2 2 c1 + λc22 −3c 2 2 c1 − c 2 2+ τ c22+ 2τ c2 2 c1 + λc 2 2 c2 1 − 2c 2 2 c2 1 +τ c 2 2 c2 1 e3 n. (38)
Bila persamaan (38) disubstitusikan ke persamaan (19), dan mengingat xn= en+x∗
dan en+1 = xn+1− x∗, maka diperoleh setelah penyusunan ulang
en+1 = − c22+ c2 2 c2 1 + 2c 2 2 c1 λ − c 2 2+ c2 2 c2 1 +2c 2 2 c1 τ + 2c22 c2 1 + 3c 2 2 c1 + c22e3 n. (39)
Dari Definisi orde kekonvergenan [4, h.77] terlihat bahwa orde kenvergensi dari metode iterasi pada persamaan (15) adalah tiga, maka Teorema tersebut terbukti. ✷
3. SIMULASI NUMERIK
Pada bagian ini dibahas simulasi numerik untuk membandingkan metode-metode yang dibahas pada artikel ini. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam melakukan perbandingan keenam metode yang didiskusikan yaitu
1 f (x) = x3+ cos(x) − 2, x∗ = 1.17257796475397, 2 f (x) = x3− 3x2 + x − 2, x∗ = 2.8932891963045, 3 f (x) = 2 sin(x) + 1 − x, x∗ = 2.38006127313934, 4 f (x) = exp(−x) + cos(x), x∗ = 1.74613953040801, 5 f (x) = x − 3 log(x), x∗ = 1.85718386020784, 6 f (x) = (sin(x))2− x2+ 1, x∗ = 1.40449164821534, 7 f (x) = cos(x) − x, x∗ = 0.73908513321516.
Dalam menentukan solusi numerik dari ke tujuh fungsi di atas, digunakan tebakan awal x0 yang berbeda, karena tebakan awal berpengaruh terhadap keberhasilan
dalam menghampiri akar dan juga terhadap jumlah iterasi yang dihasilkan. Hasil solusi numerik dari contoh dengan menggunakan metode Chebyshev(MC), metode Halley(MH), metode Chebyshev-Halley(MCH), dan modifikasi metode iterasi tanpa turunan seperti modifikasi metode Chebyshev tanpa turunan (MMCTT), modifikasi metode Halley tanpa turunan (MMHTT), dan modifikasi metode Chebyshev-Halley tanpa turunan (MMCHTT). Perbandingan keenam metode untuk ke tujuh fungsi di atas menggunakan program komputer Matlab 7.6, dengan M-file seperti Lampiran 4, 5, 6, dan 7. Hasil dari simulasi numerik untuk ke tujuh fungsi di atas ditunjukkan pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2 merupakan tabel perbandingan dari metode iterasi yang masih memuat bentuk turunan yaitu MC, MH, dan MCH dengan modifikasi metode tanpa turunan yaitu MMCTT, MMHTT, dan MMCHTT. Pada kolom pertama merupakan fungsi, kolom kedua merupakan tebakan awal yang dinotasikan dengan x0, kolom ketiga
sampai kedelapan merupakan metode yang dibandingkan, dan kolom terakhir meru-pakan nilai dari akar hampiran yang dinotasikan dengan x∗. Tanda ∗ pada jumlah
iterasi menyatakan bahwa metode konvergen ke akar lain (tidak sama dengan ni-lai akar hampiran pada setiap fungsi yang ditetapkan). Fail menyatakan bahwa metode tidak dapat diterapkan, kemudian jumlah iterasi 100+ merupakan jum-lah iterasi dari metode yang melebihi maksimum iterasi sedangkan Div (Divergen) menyatakan bahwa iterasi yang dihasilkan tidak konvergen.
Secara keseluruhan untuk semua fungsi setelah melakukan perbandingan terlihat bahwa metode modifikasi tanpa turunan yang lebih unggul adalah metode modifikasi tanpa turunan seperti MMCTT, MMHTT, dan MMCHTT lebih unggul daripada metode iterasi yang masih memuat turunan seperti MC, MH, dan MCH. Hal ini terlihat dari jumlah iterasi yang diperlukan dan kesuksesan metode tanpa turunan dalam mendapatkan akar dari persamaan nonlinear yang diberikan.
Tabel 1: Perbandingan Metode Iterasi Yang Memuat Turunan Dengan Modifikasi Metode Iterasi Tanpa Turunan
f(x) x0 MC MMCTT Jumlah iterasi metodeMH MMHTT MCH MMCHTT
f1
0.0 Fail 5 Fail 9 Fail 7
0.1 17 6 6 6 7 6 1.2 3 3 3 3 3 3 f2 1.8 24 5 12 7 9 7 1+ √ (6)
3 Fail 4 Fail 6 Fail 7
2.0 19 6 5 4 10 5 f3 1.5 7 3 4 4 5 3 3.0 3 3 3 3 3 3 π 3 Div 4 1∗ 4 100+ 4 f4 0.0 4 3 4 3 4 3 1.0 3 3 3 3 3 3 3.0 5∗ 3 5 3 3∗ 3 f5 1.0 4 3 4 3 4 3 2.0 3 3 3 3 3 3 2.5 8∗ 5 4 4 4 4 f6 0.5 9∗ 4 5 4 5∗ 4 1.0 5 3 4 4 4 3 1.5 3 3 3 3 3 3 f7 -1.0 Div 4 5 4 100+ 4 1.0 3 3 3 3 3 3 3.0 Div 3 4 4 5 3 DAFTAR PUSTAKA
[1] Bartle, R.G. & D.R. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, 3rd Ed. John
Wiley & Sons, Inc, New Work.
[2] Gander, W. 1985. On Halley’s Iteration Method, American Mathematical Monthly. 92:131-134.
[3] Hernandez, M.A & M.A Salanova. 1993. A Family of Chebyshev-Halley Type Method, International Journal of Computer Mathematics. 47:59-63.
[4] Mathews, J.H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engi-neering, 2rd Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.
[5] Wait, R. 1979. The Numerical Solution of Algebraic Equation. John Wiley & Sons,Inc.,Chicester.
[6] Wang, H & S. Li. 2011. A Family of Derivative-Free Methods for Nonlinear Equation. 24:375-389.
