METODE ITERASI ORDE EMPAT BERDASARKAN PECAHAN KONTINU THIELE UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
KARYA ILMIAH
OLEH
NUR AHMAD ADRIANSYAH NIM. 1703110977
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2021
METODE ITERASI ORDE EMPAT BERDASARKAN PECAHAN KONTINU THIELE UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NONLINEAR
Nur Ahmad Adriansyah
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article proposes a new single step iterative method for solving nonlinear equa- tions. This iterative method is derived using the approximation formula of truncated Thiele’s continued fraction. Analysis of convergence shows that the order of conver- gence of the proposed iterative method for a simple root is four. To illustrate the advantages and performance of the proposed method, some numerical examples are given.
Keywords: Nonlinear equation, Thiele’s continued fraction, Viscovatov algorithm, iterative method, order of convergence
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi baru satu langkah untuk menyelesaikan per- samaan nonlinear. Metode iterasi ini diturunkan menggunakan formula aproksi- masi pecahan kontinu Thiele yang terpotong. Analisis konvergensi menunjukkan bahwa orde konvergensi dari metode iterasi yang diperkenalkan adalah empat. Un- tuk mengilustrasikan keunggulan dan kinerja dari metode yang diusulkan, diberikan beberapa contoh numerik. Kata kunci: Persamaan nonlinear, pecahan kontinu Thiele, algoritma Viscovatov, metode iterasi, orde konvergensi
1. PENDAHULUAN
Permasalahan yang penting dalam matematika yaitu menyelesaikan persamaan non- linear f (x) = 0 dimana f : X → R, X ⊆ R. Namun terkadang persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan dengan cara analitik karena bentuk dari persamaan yang rumit sehingga dapat diselesaikan dengan cara numerik. Salah satu metode yang sangat dikenal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton
(NM) yang memiliki orde konvergensi dua [2, h. 82] dengan bentuk formula sebagai berikut
xk+1= xk− f (xk)
f′(xk), dengan f′(xk)̸= 0 dan k = 0, 1, 2, . . . .
Beberapa tahun terakhir, permasalahan tentang menemukan aproksimasi akar dari suatu persamaan nonlinear dipelajari secara luas. Metode Halley (HM) su- dah ditemukan oleh Halley untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang mempu- nyai orde konvergensi tiga sebagaimana yang disajikan dalam artikel Chen et al.
[5]. Abbasbandy [1] mempresentasikan sebuah metode iterasi baru (AM) dengan menggunakan ekspansi Taylor [3, h. 189] yang memiliki orde konvergensi hampir mendekati tiga. Matinfar dan Aminzadeh [8] mengajukan beberapa metode orde tinggi, tapi sebagian besar adalah metode iterasi multi-step. Kou [6] mempresen- tasikan sebuah metode iterasi konvergensi orde empat yang merupakan variasi dari metode Cauchy, untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.
Selain metode iterasi yang telah disebutkan di atas, Li [7] mengusulkan metode iterasi orde empat yang diperoleh menggunakan formula aproksimasi pecahan Thiele terpotong ketiga yang disubstitusi dengan menggunakan pecahan kontinu Thiele ter- potong kesatu pada pecahan kontinu Thiele terpotong ketiga. Kemudian digunakan algoritma Viscovatov sehingga diperoleh formula iterasi baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Hal ini membuat penulis tertarik untuk membahas artikel Li [7].
Pembahasan dimulai dengan penurunan metode iterasi baru. Kemudian dilan- jutkan dengan analisis kekonvergenan untuk menunjukkan bahwa metode iterasi Thiele memiliki orde konvergensi empat. Pada bagian selanjutnya dilakukan per- bandingan numerik dengan menggunakan beberapa fungsi nonlinear.
2. METODE ITERASI KONVERGENSI ORDE EMPAT BERDASARKAN PECAHAN KONTINU THIELE
Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dasar untuk pembahasan selanjutnya, kemudian dilanjutkan dengan proses terbentuknya metode iterasi Thiele.
Definisi 1 (Pecahan Kontinu Thiele) [9] Misalkan {xi, ai ∈ R, i = 0, 1, 2, . . .} ada- lah dua himpunan bilangan real. Pecahan kontinu Thiele didefinisikan dengan ben- tuk
a0+ x− x0
a1 + x− x1
a2 +· · · + x− xk−1
ak +· · · , (1) disebut Pecahan Kontinu Thiele.
Definisi 2 (Pecahan Kontinu Thiele terpotong ke-k) [9] Berdasarkan Definisi 1 pada persamaan (1), pecahan kontinu Thiele terpotong ke-k dituliskan dalam bentuk
a0+ x− x0
a1
+ x− x1
a2
+· · · + x− xk−1
ak
.
Lema 3 (Algoritma Viscovatov) [9] Misalkan bahwa fungsi f (x) mempunyai tu- runan ke-k pada interval X. Jika f (x) dapat diekspansikan ke dalam pecahan kon- tinu Thiele dengan bentuk
f (x) = a0+ x− x0
a1 + x− x1
a2 +· · · + x− xk−1
ak +· · · ,
maka koefisien ak, dimana k = 0, 1, 2, . . . , dapat dihitung dengan algoritma Visco- vatov berikut
a0 = C0(0), a1 = 1/C1(0),
Ci(1) = −Ci+1(0)/C1(0), i≥ 1, ak = C1(l−2)/C1(l−1), k≥ 1,
Ci(k) = Ci+1(k−2)− akCi+1(k−1), i≥ 1, k ≥ 2,
dimana Ci(0) = f(i)(xk)
i! , i = 0, 1, 2, . . ., dengan menggunakan algoritma Viscovatov diperoleh nilai a0, a1, a2 dan a3 dengan bentuk
a0 = f (xk), a1 = f′(x1
k), a2 =−2(ff′′′(x(xkk))2),
a3 = 2(f′(x 3(f′′(xk))2
k))2f′′′(xk)−3f′(xk)(f′′(xk))2.
(2)
Metode Iterasi Thiele
Metode ini diturunkan dengan mendefinisikan pecahan kontinu Thiele terpotong pertama dengan mengekspansikan f (x) = 0 di sekitar x = xk, kemudian hasilnya dievaluasi di titik x = x∗ dan nilai f (x∗) = 0 diperoleh
0≈ a0+ x∗− xk
a1 , dengan melakukan manipulasi aljabar diperoleh
0≈ a0a1+ (x∗− xk). (3)
Kemudian dengan menyelesaikan persamaan (3) terhadap x∗− xk diperoleh
x∗− xk≈ −a0a1. (4)
Selanjutnya dengan mendefinisikan pecahan kontinu Thiele terpotong ketiga dengan mengekspansikan f (x) = 0 di sekitar x = xk, kemudian hasilnya dievaluasi
di titik x = x∗ dan nilai f (x∗) = 0 diperoleh 0≈ a0+ x− xk
a1 + x− xk
a2 + x− xk
a3 . (5)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (5) pada pecahan kontinu terpotong ketiga diperoleh
0≈ a0+ x∗− xk
a1 + x∗− xk
a2 + −a0a1
a3 . (6)
Kemudian dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan (6) diperoleh 0≈ a0a1a2a3− a20a21+ a0a3(x∗− xk) + a2a3(x∗− xx)− a0a1(x∗− xk), atau dapat ditulis menjadi
(a0a1− (a0+ a2)a3)(x∗ − xk) = −a0a1(a0a1− a2a3). (7) Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan (7) terhadap x∗ diperoleh
x∗ = xk− a0a1− a2a3 1− (a0+ a2)a3
a0a1
. (8)
Kemudian persamaan (8) dapat ditulis ke dalam bentuk iterasi sebagai berikut xk+1= xk− a0a1− a2a3
1− (a0+ a2)a3 a0a1
. (9)
Berdasarkan algoritma Viscovatov dengan mensubstitusikan nilai a0, a1, a2 dan a3 pada persamaan (2) ke dalam persamaan (9) diperoleh
xk+1 = xk− f (xk)(6f′(xk)2f′′(xk) + 2f (xk)f′(xk)f′′′(xk)− 3f(xk)f′′(xk)2)
f′(xk)(6f′(xk)2f′′(xk) + 2f (xk)f′(xk)f′′′(xk)− 6f(xk)f′′(xk)2), (10) atau dapat ditulis menjadi
xk+1 = xk− f (xk) f′(xk)
¯ xk
¯
xk− 3f(xk)f′′2(xk), (11) dengan ¯x = 6f′2(xk)f′′(xk) + 2f (xk)f′(xk)f′′′(xk)− 3f(xk)f′′2(xk). Persamaan (11) merupakan bentuk dari metode iterasi Thiele.
Selanjutnya akan dilakukan kajian untuk mengetahui orde konvergensi dari me- tode iterasi Thiele pada persamaan (11).
3. ANALISIS KONVERGENSI
Pada pembahasan ini pertama ditunjukkan metode iterasi Thiele untuk kasus akar sederhana dan akar ganda sebagaimana diberikan teorema berikut:
Teorema 4 Misalkan f fungsi f :R → R adalah fungsi yang kontinu dan mempu- nyai turunan yang kontinu secukupnya. Selanjutnya dengan menyatakan g(x) = f′(x)(3f′(x)2f′′(x)− 3f(x)f′′(x)2+ f (x)f′(x)f′′′(x)). Misalkan x∗ adalah akar dari suatu persamaan f (x) = 0 maka diperoleh
(i) x∗ akar sederhana dari persamaan f (x) = 0 jika g(x∗)̸= 0.
(ii) x∗ akar ganda dari persamaan f (x) = 0 jika g(x∗) = 0.
Bukti. Misalkan m adalah multiplisitas akar dari f (x) = 0. Untuk x ̸= x∗, f (x) dapat ditulis dengan bentuk
f (x) = (x− x∗)mh(x), dengan h(x)̸= 0. (12) Selanjutnya dengan menurunkan persamaan (12) terhadap x diperoleh
f′(x) = (x− x∗)mh′(x) + m(x− x∗)m−1h(x), (13) f′′(x) = (x− x∗)mh′′(x) + 2m(x− x∗)m−1h′(x)
+ m(m− 1)(x − x∗)(m−2)h(x). (14) Kemudian dengan mensubstitusikan nilai (12), (13), (14) ke dalam g(x), karena f (x∗) = 0 diperoleh
g(x) = 3((x− x∗)m)4m5h(x)4
(x− x∗)5 − 3((x− x∗)m)4m4h(x)4 (x− x∗)5 +15((x− x∗)m)4m4h(x)3h′(x)
(x− x∗)4 + 3((x− x∗)m)4m3h(x)3h′′(x) (x− x∗)3
− 9((x− x∗)m)4m3h(x)3h′(x)
(x− x∗)4 +27((x− x∗)m)4m3h(x)2h′(x)2 (x− x∗)3
+9((x− x∗)m)4m2h(x)2h′(x)h′′(x)
(x− x∗)2 − 9((x− x∗)m)4m2h(x)2h′(x)2 (x− x∗)3
+21((x− x∗)m)4m2h(x)2h′(x)3
(x− x∗)2 +9((x− x∗)m)4mh(x)h′(x)2h′′(x) (x− x∗)
− 3((x− x∗)m)4mh(x)h′(x)3
(x− x∗)2 +6((x− x∗)m)4mh′(x)4 (x− x∗)
+ 3((x− x∗)m)4h′(x)3h′′(x). (15) Berdasarkan persamaan (15) diperoleh kesimpulan sebagai berikut
Kasus 1 Saat m = 1, pada persamaan (15) diperoleh g(x∗) = 6h(x∗)3h′(x∗) ̸= 0, maka x∗ adalah akar sederhana pada persamaan f (x) = 0.
Kasus 2 Saat m ≥ 2, pada persamaan (15) diperoleh g(x∗) = 0, maka x∗ adalah
akar ganda pada persamaan f (x) = 0. 2
Teorema 5 Asumsikan f fungsi f : R → R adalah fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan yang kontinu secukupnya. Selanjutnya dengan menyatakan g(x) = f′(x)(3f′(x)2f′′(x)− 3f(x)f′′(x)2 + f (x)f′(x)f′′′(x)) ̸= 0 untuk x ∈ [a, b].
Maka persamaan f (x) = 0 memiliki paling banyak satu akar pada interval [a, b].
Bukti. Berdasarkan Teorema 4 dan dengan kondisi g(x) ̸= 0 sehingga f(x) = 0 memiliki akar sederhana. Misalkan
φ(x) = f (x)e
∫x a
f ′(t)f ′′′(t)−3f′′2(t) 3f ′(t)f ′′(t) dt
, (16)
untuk menemukan akar f (x) = 0 dapat diganti dengan menentukan akar φ(x) = 0.
Misalkan
h(x) = f′(t)f′′′(t)− 3f′′(t)2
3f′(t)f′′(t) , (17)
dengan mensubstitusi persamaan (17) ke persamaan (16) dan menurunkan terhadap x diperoleh
φ′(x) = K(x)e
∫x a
f ′(t)f ′′′(t)−3f′′(t)2 3f ′(t)f ′′(t) dt
, dimana K(x) = 3f′(x)2f′′(x)− 3f(x)f′′(x)2 + f (x)f′(x)f′′′(x)
3f′(x)f′′(x) . Karena g(x) ̸= 0 maka K(x) ̸= 0 sehingga
φ′(x)̸= 0. (18)
Misalkan f (x) memiliki dua akar berbeda x1 dan x2 pada interval [a, b] maka berdasarkan Teorema nilai rata-rata terdapat sedikitnya satu titik x∗ ∈ (x1, x2) ⊆ [a, b] sehingga f′(x∗) = 0 dan φ′(x∗) = 0, yang kontradiksi dengan pernyataan pada persamaan (18) bahwa φ′(x)̸= 0 pada interval [a, b]. Oleh karena itu terbukti bahwa persamaan f (x) = 0 memiliki akar sederhana pada interval [a, b]. 2 Teorema 6 Diberikan x∗ adalah akar dari persamaan f (x) = 0 dan misalkan f′(x∗) ̸= 0. Jika nilai awal x0 cukup dekat disekitar x∗, maka orde konvergensi untuk metode iterasi Thiele yang diberikan oleh persamaan (11) sedikitnya adalah empat.
Bukti. Dengan menggunakan formula iterasi yang didefinisikan sebagai berikut φ(x) = x− f (x)
f′(x)
¯ x
¯
x− 3f(x)f′′(x)2, (19) dengan ¯x = 6f′(x)2f′′(x)− 3f(x)f′′(x)2+ 2f (x)f′(x)f′′′(x).
Berdasarkan formula iterasi pada persamaan (19), dengan menghitung turunan pertama dan turunan orde tinggi terhadap x pada titik x∗ diperoleh
φ′(x∗) = 1−6f′(x∗)2f′′(x∗) 6f′(x∗)2f′′(x) = 0, φ′′(x∗) = − 8f′′′(x∗)
3f′′(x∗) + 8f′′′(x∗)
3f′′(x∗) − 2f′′(x∗)
f′(x∗) + 2f′′(x∗) f′(x∗) = 0, φ′′′(x∗) = 9f′′(x∗)2
f′(x∗)2 − 6f′′(x∗)2
f′(x∗)2 −3f′′(x∗)2
f′(x∗)2 − 5f(4)(x∗)
f′′(x∗) + 5f(4)(x∗) f′′(x∗) +25f′′′(x∗)
f′(x∗) − 9f′′′(x∗)
f′(x∗) −16f′′′(x∗)
f′(x∗) − 32f′′′(x∗)2
3f′′(x∗)2 +32f′′′(x∗)2 3f′′(x∗)2 = 0, φ(4)(x∗) = 9f′′(x∗)4− 6f′′(x∗)2f′′′(x∗)− 4f′(x∗)2f′′′(x∗)2+ 3f′(x∗)f′′(x∗)f(4)(x∗)
3f′(x∗)f′′(x∗) .
Karena φ(4)(x∗) ̸= 0 maka berdasarkan iterasi fixed point [4, h. 56] diperoleh orde konvergensi dari metode Thiele pada persamaan (11) adalah empat. 2
4. PERBANDINGAN NUMERIK
Pada subbab ini dilakukan uji komputasi terhadap beberapa fungsi nonlinear untuk mengetahui perbandingan kecepatan dalam menemukan akar pendekatan dari suatu persamaan nonlinear antara metode iterasi Thiele (TM) Newton (NM) [2, h. 82], metode Halley (HM) [5], metode Kou (KM) [6] dan metode Abbasbandy (AM) [1].
Di bawah ini merupakan beberapa contoh fungsi yang digunakan untuk mem- bandingkan metode pada artikel ini.
(i) f1(x) = x3+ 4x2− 25 (ii) f2(x) = x3− 10
(iii) f3(x) = x2+ sin(x/5)− 1/4 (iv) f4(x) = x2− ex− 3x − 2
(v) f5(x) = cos(x)− x
Untuk melakukan uji komputasi dari beberapa fungsi nonlinear di atas digu- nakan program Maple 13 dengan toleransi yang diberikan 1.0× 10−14. Hasil dari uji komputasi untuk kelima fungsi di atas dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan Hasil Uji Komputasi dari Beberapa Metode Iterasi Metode k xk |f(xk)| |xk− xk−1| f1, x0 = 3.5
NM 6 2.0352684811819592 1.83e− 26 4.25e − 14 HM 4 2.0352684811819592 1.00e− 28 2.81e − 13 KM 3 2.0352684811819592 1.00e− 28 2.44e − 08 AM 4 2.0352684811819592 2.10e− 26 1.43e − 09 TM 3 2.0352684811819592 1.00e− 28 6.52e − 08 f1, x0 = 2.1
NM 4 2.0352684811819592 3.32e− 25 1.81e − 13 HM 3 2.0352684811819592 1.00e− 28 1.11e − 15 KM 2 2.0352684811819592 7.00e− 28 2.08e − 07 AM 3 2.0352684811819592 2.00e− 28 5.94e − 14 TM 2 2.0352684811819592 3.66e− 26 4.62e − 07 f2, x0 =−0.5
NM 10 2.1544346900318837 1.54e− 17 1.54e − 09 HM 8 2.1544346900318837 0.00e + 00 3.88e− 11 KM 5 2.1544346900318837 8.50e− 21 1.16e − 05 AM 19 2.1544346900318837 0.00e + 00 7.61e− 12 TM 4 2.1544346900318839 3.03e− 15 2.50e − 04 f2, x0 = 2.0
NM 4 2.1544346900318837 3.14e− 17 2.21e − 09 HM 3 2.1544346900318837 0.00e + 00 2.93e− 11 KM 2 2.1544346900318837 8.99e− 20 2.10e − 05 AM 3 2.1544346900318837 3.00e− 25 3.68e − 09 TM 2 2.1544346900318837 1.43e− 18 3.69e − 05 f3, x0 = 1.0
NM 6 0.4099920179891371 1.21e− 28 1.10e − 14 HM 4 0.4099920179891371 0.00e + 00 1.71e− 12 KM 2 0.4099920179891371 3.37e− 20 7.13e − 05 AM 4 0.4099920179891371 7.41e− 29 3.36e − 10 TM 3 0.4099920179891371 1.26e− 28 1.07e − 07 f3, x0 = 0.4
NM 3 0.4099920179891372 9.48e− 17 9.74e − 09 HM 2 0.4099920179891371 9.42e− 19 9.87e − 07 KM 2 0.4099920179891371 0.00e + 00 1.30e− 11 AM 2 0.4099920179891371 1.57e− 17 2.00e − 06 TM 2 0.4099920179891371 0.00e + 00 9.76e− 09
f4, x0 = 1.5
NM 5 −0.6808663989410860 2.40e − 22 1.79e − 11 HM 4 −0.6808663989410861 2.40e − 17 9.26e − 06 KM 3 −0.6808663989410860 1.00e − 29 6.22e − 08 AM 4 −0.6808663989410860 4.89e − 27 2.77e − 09 TM 3 −0.6808663989410860 1.19e − 17 1.46e − 04 f4, x0 =−0.6
NM 4 −0.6808663989410860 1.00e − 29 3.75e − 15 HM 2 −0.6808663989410860 4.48e − 19 2.46e − 06 KM 2 −0.6808663989410860 2.00e − 29 1.86e − 07 AM 2 −0.6808663989410860 3.88e − 15 2.57e − 05 TM 2 −0.6808663989410860 1.45e − 28 2.73e − 07 f5, x0 = 1.0
NM 4 0.7390851332151606 1.07e− 20 1.70e − 10 HM 3 0.7390851332151606 5.64e− 29 6.62e − 10 KM 2 0.7390851332151606 2.59e− 20 3.66e − 05 AM 3 0.7390851332151606 0.00e + 00 8.38e− 11 TM 2 0.7390851332151606 2.87e− 17 1.90e − 04 f5, x0 = 2.7
NM 6 0.7390851332151606 3.11e− 25 9.17e − 13 HM 4 0.7390851332151606 1.36e− 20 4.13e − 07 KM 3 0.7390851332151606 5.44e− 25 2.47e − 06 AM 4 0.7390851332151606 4.22e− 25 1.37e − 08 TM 3 0.7390851332151606 2.42e− 24 3.24e − 06
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa metode iterasi Thiele (TM) memiliki ba- nyak iterasi yang lebih sedikit untuk memperoleh akar hampiran menggunakan me- tode Newton (NM), metode Halley (HM) dan metode Abbasbandy (AM). Secara keseluruhan dapat dilihat bahwa TM memberikan hasil lebih akurat karena nilai selisih antara dua akar hampiran yang berdekatan lebih kecil.
Kemudian untuk metode pembanding yang memiliki orde konvergensi empat, yaitu metode Kou (KM) dalam sebagian besar kasus, hasil iterasi yang dihasilkan oleh TM dan KM memberikan akurasi yang hampir sama. Namun dalam melakukan iterasi KM perlu menghitung tanda akar sehingga tidak semua nilai awal bisa di- gunakan pada KM. Jadi TM lebih unggul dalam proses iterasi karena formulanya bebas perhitungan tanda akar. Hal ini menunjukkan bahwa TM lebih cepat juga lebih mudah dibandingkan dengan metode yang telah disebutkan .
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] S. Abbasbandy, Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method, Applied Mathematics and Computa- tion, 145 (2003), 887–893.
[2] K. E. Atkinson dan W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley & Sons, New York, 2003.
[3] R. G. Bartle dan D. R. Sharbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, New York, 2010.
[4] R. L. Burden dan J. D. Faires, Numerical Analysis, Ninth Edition, Cengage Learning, Canada, 2010.
[5] D. Chen, I. K. Argyros dan Q. S. Qian, A note on the Halley method in Banach spaces, Applied Mathematics and Computation, 58 (1993), 215–224.
[6] J. Kou, Some variants of Cauchy’s method with accelerated fourth-order conver- gence, Journal of Computational and Applied Mathematics, 213 (2008), 71–78.
[7] S. Li, A fourth-order convergent iterative method by means of Thiele’s conti- nued fraction for root-finding problem, Journal of Mathematical Research with Applications, 39 (2019), 10–22.
[8] M. Matinfar dan M. Aminzadeh, An iterative method with six-order conver- gence for solving nonlinear equations, International Journal of Mathematical Modelling and Computations, 2 (2012), 45–51.
[9] J. Tan, The limiting case of Thiele’s interpolating continued fraction expansion, Journal of Computational Mathematics, 19 (2001), 433–444.
[10] J. Widz, From the history of continued fractions, Proccedings of Contributed Papers, 1 (2009), 176–181.
