METODE BERTIPE NEWTON ORDE ENAM UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN NONLINEAR
REPOSITORY
OLEH
MAHIROH NIM. 1403114995
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2020
METODE BERTIPE NEWTON ORDE ENAM UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN NONLINEAR
Mahiroh
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
mahir.mahiroh04@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses Newton type method for solving nonlinear equation systems introduced by Wang and Li [Algorithms, 10 (2017), 1-9]. Through convergence analysis it is shown that this Newton type method has a six-order convergence. By computational cost this method requires one LU decomposition in each iteration, so this method can be said to be efficient in computing. Therefore, The Newton sixth order type method can be used as an alternative to solve nonlinear systems of equations.
Keywords: iterative method, Newton method, nonlinear system ABSTRAK
Artikel ini membahas metode bertipe Newton untuk menyelesaikan sistem per- samaan nonlinear yang diperkenalkan oleh Wang dan Li [Algorithms, 10 (2017), 1-9].
Melalui analisis konvergensi ditunjukkan bahwa metode bertipe Newton ini memi- liki orde konvergensi enam. Secara cost komputasi metode ini membutuhkan satu dekomposisi LU disetiap iterasi, sehingga metode ini dapat dikatakan efisien dalam komputasi. Oleh sebab itu metode bertipe Newton orde enam ini dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.
Kata kunci: Metode iterasi, Metode Newton, sistem persamaan nonlinear
1. PENDAHULUAN
Dalam persoalaan matematika seringkali dijumpai permasalahan untuk menyele- saikan persamaan nonlinear. Pada beberapa kasus adakalanya terdapat lebih dari satu persamaan nonlinear yang harus diselesaikan. Kumpulan dari beberapa per- samaan nonlinear yang harus diselesaikan secara simultan disebut sistem persamaan nonlinear [8, h. 1].
Telah banyak metode yang ditemukan untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear, salah satu metode yang sangat terkenal adalah metode Newton. Kelley [9, h. 183] mendefinisikan metode Newton untuk sistem secara umum dalam bentuk:
x(k+1) = x(k)− [F′(x(k))]−1F (x(k)), k = 0, 1, . . . , (1) dengan F′(x(k))−1 merupakan invers matriks Jacobi F′(x(k)) dari fungsi nonlinear F (x) di iterasi ke-k yang dievaluasi pada titik x(k). Untuk menghindari perkalian dengan matriks invers [1, h. 41], digunakan dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan (1). Atkinson dan Han [2, h. 357] menyatakan bahwa persamaan (1) dapat ditulis dengan:
F′(x(k))δ(k) = −F (x(k)), x(k+1) = x(k)+ δ(k),
}
(2)
untuk k = 0, 1, . . . .
Dalam beberapa waktu terakhir, metode Newton telah banyak mengalami per- kembangan. Cordero et al. [7] mengembangkan metode bertipe Newton orde empat, yang formulanya diberikan oleh:
y(k) = x(k)− [F′(x(k))]−1F (x(k)),
x(k+1) = y(k)− [2I − [F′(x(k))]−1F′(y(k))][F′(x(k))]−1F (y(k)), }
(3)
dengan I adalah matrik identitas. Metode pada persamaan (3) hanya membutuhkan satu kali dekomposisi LU dari matriks Jacobian per iterasi penuh. Metode pada persamaan (3) dilambangkan dengan MNC4.
Berdasarkan metode pada persamaan (3), Cordero et al. [6] mempresentasikan metode orde enam dengan formulasinya sebagai berikut:
y(k) = x(k)− [F′(x(k))]−1F (x(k)),
z(k) = y(k)− [2I − [F′(x(k))]−1F′(y(k))][F′(x(k))]−1F (y(k)), x(k+1) = z(k)− [F′(y(k))]−1F′(z(k)).
(4)
Metode pada persamaan (4) dilambangkan oleh MNC6 dan membutuhkan dua dekomposisi LU, satu untuk F′(x(k)) dan satu untuk F′(y(k)).
Menurut Wang dan Li [10] biaya komputasi dari suatu metode iteratif sangat mempengaruhi efisiensi dari metode iteratif tersebut. Oleh karena itu jumlah dekom- posisi LU yang digunakan dalam metode iteratif memainkan peran penting untuk mengukur biaya komputasi. Jadi biaya komputasi dari metode iteratif bisa berku- rang dengan cara mengurangi jumlah dekomposisi LU di setiap iterasi.
Pada artikel ini dibahas gagasan baru metode iterasi tiga langkah dengan keefisie- nan komputasi yang merupakan review dari artikel Wang dan Li [10]. Pembahasan dimulai di bagian 2 dengan menunjukkan bentuk umum dari gagasan baru dari metode iterasi tiga langkah orde enam untuk menyelesaikan sistem persamaan non- linear dan analisis kekonvergenannya. Pada bagian 3 dijelaskan tentang contoh komputasi menggunakan aplikasi MATLAB R2013a dan di bagian 4 diberikan ke-
simpulan.
2. METODE BERTIPE NEWTON ORDE ENAM
Metode iterasi yang merupakan metode iterasi tiga langkah ini dikembangkan oleh Wang dan Li [10] dengan formula yang diberikan adalah:
y(k) = x(k)− [F′(x(k))]−1F (x(k)),
z(k) = y(k)− [2I − [F′(x(k))]−1F′(y(k))][F′(x(k))]−1F (y(k)), x(k+1) = z(k)− [2I − [F′(x(k))]−1F′(y(k))][F′(x(k))]−1F (z(k)),
(5)
dimana I adalah matriks identitas. Metode ini hanya membutuhkan satu kali dekomposisi LU [3, h. 298] per iterasi penuh. Metode baru ini dinamakan metode bertipe Newton orde enam (MTN6 ).
Orde konvergensi untuk metode bertipe Newton orde enam (MTN6 ) dijelaskan dalam Teorema 1.
Teorema 1 [10] Misalkan α ∈ Rn adalah suatu solusi dari sistem F (x) = 0 dan F : D ⊂ Rn→ Rn yang terdiferensial secukupnya pada daerah sekitar terbuka D dari α. Misalkan F′(x) adalah nonsingular pada D. Kemudian untuk nilai awal yang cukup dekat ke α, formula iterasi (5) konvergen dengan orde konvergensi enam.
Bukti. Dengan menggunakan notasi Cordero et al. [5], ekspansi Taylor dari F (x) di sekitar x = α adalah:
F (x) = F (α) + F′(α)(x− α) +F′′(α)(x− α)2 2!
+F′′′(α)(x− α)3
3! +F′′′′(ξ)(x− α)4
4! . (6)
Jika persamaan (6) dievaluasi dititik x = x(k), akan menghasilkan persamaan berikut:
F (x(k)) = F (α) + F′(α)(x(k)− α) + F′′(α)(x(k)− α)2 2!
+ F′′′(α)(x(k)− α)3
3! +F′′′′(ξ)(x(k)− α)4
4! . (7)
Karena F (α) = 0, maka persamaan (7) dapat ditulis dengan:
F (x(k)) = F′(α)[e + A2e2+ A3e3+ O(e4)], (8)
dimana
Ai = 1
i!F′(α)−1F(i)(α) ∈ Li(Rn,Rn), e = x(k)− α, Aiei ∈ Rn,
ei = (e, . . . , e
| {z }
i
),
F(i)(α)∈ L(Rn× · · · × Rn,Rn), F−1(α)∈ L(Rn).
Dari persamaan (6), turunan F (x) di titik x = x(k) dapat ditulis sebagai:
F′(x(k)) = F′(α)[I + 2A2e + 3A3e2+ O(e3)]. (9) Invers dari persamaan (9) dinyatakan dalam bentuk:
[F′(x(k))]−1
= [I− 2A2e + (4A22− 3A3)e2] [F′(α)]−1+ O(e3). (10) Selanjutnya, dari persamaan (5), (8), dan (10) dapat ditunjukkan bahwa:
y(k)= α + A2e2+ O(e3). (11) Misalkan E = y(k)− α, dari (11) didapat:
E = A2e2+ O(e3). (12)
Dari argumen yang mirip dengan persamaan (8), dan menggunakan persamaan (12), diperoleh:
F (y(k)) = F′(α)[A2e2+ A32e4 + O(e5)]. (13) Dengan cara yang sama untuk mendapatkan persamaan (13), diperoleh:
F′(y(k)) = F′(α)[I + 2A22e2+ O(e3)]. (14) Sekarang, dengan mensubstitusikan persamaan (10), (11), (13), dan (14) ke per- samaan (5) bagian ke dua, sehingga didapat:
z(k)= α + 5A32e4+ O(e5). (15) Selanjutnya, dengan memisalkan ε = z(k)− α, dari (15) dapat dilihat bahwa:
ε = 5A32e4+ O(e5). (16) Dengan cara yang sama sebagaimana menghitung F (x(k)) pada persamaan (8),
dengan menggunakan persamaan (16) diperoleh:
F (z(k)) = F′(α)[5A32e4+ O(e5)]. (17) Selanjutnya, disubstitusikan persamaan (10), (14), (15) dan (17) ke persamaan (5) bagian ke tiga, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
x(k+1)− α = 30A52e6+ O(e7). (18)
Misalkan en+1 = x(k+1)− α, persamaan (18) menunjukkan suatu persamaan error [4] yang dinyatakan dengan:
en+1 = 30A52e6+ O(e7). (19) Dari persamaan (19) terbukti bahwa metode pada persamaan (5) memiliki konver-
gensi orde enam. 2
3. CONTOH KOMPUTASI
Pada bagian ini, dilakukan simulasi numerik untuk membandingkan MTN6 dengan NM, MNC4, dan MNC6. Kemudian akan diberikan dua contoh dari sistem per- samaan nonlinear yang akan diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode tersebut.
i. F1(x1, x2, x3) =
x2+ x3− exp(−x1) = 0 x1+ x3− exp(−x3) = 0 x1+ x2− exp(−x3) = 0
ii. F2 (x1, x2) = {
2− exp(x1) + arctan(x2) = 0 arctan(x21+ x22− 5) = 0
Uji komputasi dari kedua contoh sistem persamaan nonlinear dilakukan dengan menggunakan software MATLAB R2013a. Diberikan toleransi dan batas iterasi maximum yang sama untuk algoritma perhitungan setiap metode. Toleransi yang diberikan adalah tol = 1.0 × 10−16 dan batas iterasi maksimum yaitu N = 20, sehingga terdapat kriteria untuk pemberhentian jalannya program yang sama, yaitu:
(i) Norm fungsi lebih kecil daripada toleransi yang telah ditentukan.
(ii) Norm dari selisih antara dua solusi pendekatan lebih kecil daripada toleransi yang diberikan.
(iii) Mencapai maksimum iterasi yang ditetapkan.
Hasil dari perbandingan komputasi untuk kedua contoh sistem persamaan non- linear disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk NM, MNC4, MNC6 dan MTN6.
Fi(x) Metode x(0) k F (x(k))
∞ x(k+1)− x(k)
∞
F1
MN
(0.2, 1.5, 1.5)t
7 0.00e + 00 1.14e− 14
MNC4 3 0.00e + 00 3.76e− 06
MNC6 3 0.00e + 00 2.96e− 09
MTN6 3 0.00e + 00 2.83e− 11
F2
MN
(1.35, 2)t
5 0.00e + 00 3.85e− 12
MNC4 3 0.00e + 00 1.71e− 09
MNC6 2 0.00e + 00 1.09e− 03
MTN6 2 0.00e + 00 1.08e− 03
Hasil komputasi pada Tabel 1 menggunakan tebakan awal x(0), kemudian ba- nyaknya iterasi pada hasil komputasi dalam Tabel 1 dinotasikan dengan k.
Uji komputasi menunjukkan bahwa solusi pendekatan untuk F1(x) = 0 adalah x = [0.351733711249196, 0.351733711249196, 0.351733711249196]t,
sedangkan solusi pendekatan untuk F2(x) = 0 adalah
x = [1.129065039160191, 1.930080862903468]t.
Pada Tabel 1, dapat dilihat bahwa secara jumlah iterasi metode bertipe New- ton orde enam MTN6 dapat digunakan sebagai pembanding dengan metode iterasi lainnya yang sama-sama memiliki orde konvergensi enam, karena jumlah iterasi yang dihasilkan sama. Namun jika diperhatikan dari sisi keefisienan, MTN6 yang hanya memerlukan satu dekomposisi LU dapat dikatakan lebih efisien dibandingkan dengan metode MNC6 yang memerlukan dua kali dekomposisi LU, yang mana ke- duanya sama-sama memiliki orde konvergensi enam.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil perbandingan komputasi yang dilakukan terhadap empat metode, metode bertipe Newton orde enam (MTN6 ) memiliki efisiensi yang lebih baik. Jika dibandingkan dengan metode MNC6 yang memiliki orde konvergensi sama, MTN6 memiliki cost komputasi yang lebih kecil yaitu hanya memerlukan satu kali dekompo- sisi LU pada setiap iterasi. Sedangkan dibandingkan dengan metode MNC4, metode MTN6 memiliki orde konvergensi yang lebih tinggi meskipun masing-masing mem- punyai satu kali dekomposisi LU di setiap iterasi, sehingga dapat diterima bahwa metode bertipe Newton orde enam dapat diterapkan dan dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. Bantuan dari beliau telah mengantarkan penulis hingga penyelesaian artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] H. Anton, dan C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Eighth Edition, John Wiley & Sons, New York, 2000.
[2] K. Atkinson dan W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley & Sons, New York, 2003.
[3] W. Cheney dan D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition, Brooks/Cole, Belmont, 2008.
[4] A. Cordero, J. L. Hueso, E. Martinez, dan J. R. Torregrosa, A modified Newton- Jarratts composition, Numerical Algorithms, 55 (2010), 87-99.
[5] A. Cordero, J. L. Huesoa, E. Martinez, dan J. R. Torregrosa, Efficient high- order methods based on golden ratio for nonlinear systems, Applied Mathemat- ics and Computation, 25 (2012), 2369-2374.
[6] A. Cordero, J. L. Huesoa, E. Martinez, dan J. R. Torregrosa, Increasing the convergence order of an iterative method for nonlinear systems, Applied Math- ematics Letters, 25 (2012), 2369-2374.
[7] A. Cordero, E. Martinez, dan J. R. Torregrosa, Iterative methods of order four and five for systems of nonlinear equations, Computational and Applied Math- ematics, 231 (2009), 541-551.
[8] P. G. Drazin, Nonlinear Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
[9] C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, SIAM, Philadelphia, 2003.
[10] X. Wang dan Y. Li, An efficient sixth-order Newton-type method for solving nonlinear systems, Algorithms, 10 (2017), 1-9.
