1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293) Indonesia
This article discusses a new method for finding roots of nonlinear equations. The process of forming the new method is derived from combining Newton’s method and King’s method with 0.5. Error analysis performed on the newmethod showsthat it has a convergence of order sixteen. Numerical examples are compared to Newton’s method, King’s method, and thenewmethod.
Keywords
.
Artikel ini membahas metode Baru untuk menemukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear. Proses terbentuknya metode Baru ini diperoleh dari mengkombinasikan metode Newton dan metode King dengan 0.5. Analisa yang dilakukan pada metode Baru menunjukkan bahwa metode Baru ini memiliki orde konvergensi enam belas. Melalui contoh numerik dibandingkan komputasi metode Newton, metode King, dan metode Baru.
Kata kunci
.
Persoalan matematika yang sering dijumpai dalam menyelesaikan akar persamaan nonlinear, dapatditulis dalam
. 0 )
( (1) Metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) adalah metode Newton.Adapun bentuk metode iterasi Newton
, ) ( ' ) ( 1 0,1,2...,dengan '( ) 0, (2)
METODE ITERASI TIGA LANGKAH DENGAN KEKONVERGENAN BERORDE ENAM BELAS
Ricko Saputra1 * ABSTRACT : ABSTRAK : 1. PENDAHULUAN − = − = = − = + = ≠ b b
Orde of convergence, Newton method, King method, iterative method,
nonlinear equation
error
Ordekonvergensi, metode Newton, metode King, metode iterasi, persamaan nonlinear x f n n n n x f x f x x n f x
yang memerlukan suatu tebakan awal 0 untuk memulai iterasinya. Apabila tebakan awalnya diambilcukup dekat ke akar maka metode Newton akan konvergen secara kuadratik.
Para ahli berlomba mencari metode yang paling efektif dan paling efisien. Sehingga metode Newton banyak mengalami modifikasi, seperti yang telah dikembangkan olehKing [2]dengan bentukiterasi
) ( ' ) ( . ) ( ' ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 1 (3)
Dari metode iterasi King persamaan (3) dengan 0.5, maka persamaannya menjadi
) ( ' ) ( . ) ( ' ) ( ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( 2 1
Pada artikel ini di bagian dua dibahas proses terbentuknya metode iterasi baru darimodifikasi metode Newton dan metode King dengan orde konvergensi enam belas, kemudian dilanjutkan di bagian tiga melakukan analisa kekonvergenan dan di bagian empat melakukan ujikomputasi.
Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dasar untuk pembahasan selanjutnya, kemudian dilanjutkan dengan proses terbentuknyametode baru.
(Persamaan Galat)[3]. Asumsikan bahwasuatubarisan { } konvergen ke . Apabila notasi merupakan galat pada iterasi ke , yang memenuhi
). ( 1
1 (5) maka persamaan (5) disebut sebagaipersamaan galat, sedangkan nilai menunjukkan orde konvergensinya.
(Indeks Efisiensi)[4:h.12]. Misalkan adalah orde konvergensi darisuatu metode iterasi dan adalah banyaknya fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasinya, maka indeksefisensi darimetodeiterasitersebut adalah
1 . (4) x n n n n x f x f x y n n n n n n n n x f y f y f x f y f x f y x n n n n f x x f x y n n n n n n n n x f y f y f x f y f x f y x n x n n x e n p n p n n ce O e e p p w w p a b b b a a − = − + + − = + − = − = − − − = + − = − + + =− +
2. BEBERAPA METODE ITERASI DASAR
Definisi 1
[5]
Metode Iterasi Baru Tiga Langkah terbentuk dari dua kali penerapan metode King. Penerapan pertama metode King seperti pada persamaan (4), hasil iterasinya dimisalkan dengan , maka bentuk iterasinya
, ) ( ' ) ( . ) ( ' ) ( ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( 2
Selanjutnya untuk penerapan kedua, misalkan , ) ( ' ) ( . ) ( ' ) ( ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( 2 1
Dari persamaan (6) dan persamaan (7) dapat ditulis iterasi dalam bentuk , ) ( ' ) ( , ) ( ' ) ( ) ( 5 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( 5 ) ( 2 ) ( ' ) ( ) ( 2 ) ( ' ) ( 1
Persamaan (8) disebut Metode Iterasi Baru Tiga Langkah yang memiliki orde konvergensi enam belas. Selanjutnya metode iterasi baru tiga langkah ini dinamakan metode Baru.
(Orde Konvergensi Metode Baru). Misalkan akar sederhana dari fungsi : yang tediferensial secukupnya pada interval buka . Jika 0 cukup dekat ke , persamaan (6) bagian tiga memiliki orde konvergensi enam belas dengan persamaan galatyaitu
). ( 17 16 5 3 5 2 1
Dari orde konvergensi metode King pada persamaan (4), diperoleh
(6)
(7)
(8)
2.1 MetodeIterasiBaru
3. ANALISA KEKONVERGENAN Teorema 4 Bukti: n z n n n n f x x f x y n n n n n n n n x f y f y f x f y f x f y z n n n n z f z f z w n n n n n n n n z f w f w f z f w f z f w x n n n n x f x f x y n n n n n n n n f x y f y f x f y f x f y z n n n n n n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z f z x I R I f I x n n n c c e O e e − = − − − = − = − − − = + − = − − − = − − − − − − − = + ∈ → + − = + a a
14 ( ). 2 72 66 22 2 5 6 3 4 2 3 2 2 4 2 4 3 2 (9)
Dengan mengekspansikan ( ) dan '( ) disekitar , diperoleh
8 2 3 3 2 5 2 3 4 2 3 2 2 4 2 4 3 2 (44 132 73 28 ) 2 1 ) ( ' ) ( 9 2 3 4 2 3 2 2 4 2 3 2 2 (44 132 73 28 ) 10 2 2 3 4 2 3 2 2 4 2 2(44 132 73 28 ) 4 1 13 2 3 4 2 3 2 2 4 2 3 3 2 2 12 4 3 3 2 (44 132 73 28 ) 2 3 14 2 2 3 4 2 3 2 2 4 2 2 3 2 (44 132 73 28 ) 4 3 ) ) 28 73 132 44 ( 8 1 2 3 15 3 4 2 3 2 2 4 2 3 , ) ( 17 16 4 4 3 4 2 (10) dan 5 2 3 4 2 3 2 2 4 2 2 4 3 2 2 (44 132 73 28 ) 2 1 ) ( ' ) ( ' ) ) 28 73 132 44 ( 3 3 2 9 3 4 2 3 2 2 4 2 2 3 2 8 3 3 2 2 10 2 2 3 4 2 3 2 2 4 2 3(44 132 73 28 ) 4 3 ) ) 28 73 132 44 ( 6 4 32 13 4 2 3 2 2 4 2 4 2 3 2 2 12 4 3 3 3 2 14 2 2 3 4 2 3 2 2 4 2 4 3 2 (44 132 73 28 ) 3 . ) ( ) 28 73 132 44 ( 2 1 2 3 15 16 3 4 2 3 2 2 4 2 4 (11)
Dari persamaan (9), (10) dan (11) diperoleh
) ) 28 73 132 44 ( ) ( ' ) ( ' ) ( 2 9 3 4 2 3 2 2 4 2 3 2 2 8 2 3 3 2 n n n n c c e c c c c c c e O e z n z f f zn zn n n n n f c ce cc c c c c e c c e z f n e c c c c c c c c n e c c c c c c c n n c c c c c c c c e e c c n e c c c c c c c c n e c c c c c c c n n O e e c c c n n n f c ce c cc c c c c e z f n n c c c c c c c c e e c c n e c c c c c c c n n c c c cc c c c c e e c c c n e c c c c c c c c c n n O e e c c c c c c c n n n n n f c c e c c cc c c c c e z f z f z f + − + − − + − = = − − − + + + = + + − + + + − + + + − − − + + − − + + − −
)
+ +(
− − − + + = + + − + + + + − + + + − − − + + − −)
+ + + − −(
+ + − + = − a a a a a) ) 28 73 132 44 ( 4 1 2 2 10 3 4 2 3 2 2 4 2 2 12 3 2 2 3 3 3 2 ( ) 2 3 4 2 2 3 2 2 3 3 4 3 2 2 3 2 2 ( 44 28 160 205 3 13 6 2 4 3 2 73 ) 44 3 4 5 2 4 2 3 3 2 3 2 (14080 18040 2 3 2 4 4 2 4 3 3 2 2 4 2 2 3 2464 1936 1936 3 3 4 2 4 3 2 2 4 7 2 8176 28904 6424 10 2 3 8 2 2 3 6 2 24601 5329 40784 4 2 3 2 2 4 2 14 5 3 (44 132 73 4 1 ) 784 3 4 5 2 4 2 3 3 2 2 3) (14080 18040 28 2 4 4 2 4 3 3 2 2 4 2 2 3 2464 1936 1936 3 3 4 2 4 3 2 2 4 7 2 8176 28904 6424 10 2 3 8 2 2 3 6 2 24601 5329 40784 16 3 2 3 2 4 4 3 4 2 15 5 3) (3 5 7 ) 784 ( ). 17 (12)
Dari persamaan (9), (10), (11) dan (12) diperoleh ). ( 17 16 5 3 5 2 1 (13) Karena 1 1 ,maka 1 52 35 16 ( 17). (14) Persamaan (14) merupakan persamaan galat untukmetodeBaru. MenggunakanDefinisi 1, maka metode Baru memilikiorde konvergensi enam belas. Berdasarkan Definisi 2,
n e c c c c c c c n e c c c c c c c c c c c c c c n e c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c e c n c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c n n c c c c c c e e c n e O n n n c c e O e x n n x e n n n c c e O e e + + − + − + − + − − + + + − + + − − − + + + − + + − + − − × + + − − − + + + − + − + + −
)
+ + − = + − = + + + − = + a amaka indeks efisiensi metode ini adalah 6 1
16 =1.587. Selanjutnya dilakukan uji komputasi untuk melihat perbandingan Metode Newton (MN),Metode King (MK), dan Metode Baru (MB). HasilkomputasiselengkapnyadapatdilihatpadaTabel 1.
Tabel 1.Perbandingankomputasi MN, MK, MB Metode 1 ( ) 1 : 18 , 10 ) ( 0 3 MN 10 2.1544346900318837 3.36e-20 7.21e-11 MK 5 2.1544346900318837 0.00+00 9.48e-04 MB 3 2.1544346900318837 1.00e-99 9.48e-17 12 , 1 ) 1 ( ) ( 3 0 MN 11 2.0000000000000000 2.01e-26 8.19e-14 MK 5 2.0000000000000000 0.00e+00 1.56e-15 MB 3 2.0000000000000000 0.00e+00 1.56e-15 8 . 1 , 3 ) cos( 2 ) ( 0 MN 7 -3.0346643069740450 1.00e-29 1.75e-20 MK 4 -3.0346643069740450 0.00e+00 1.12e-20 MB 2 -3.0346643069740450 2.95e-80 9.92e-06 2 . 2 , 2 ) ( 2 3 0 MN 5 2.4905398276083051 9.70e-24 1.69e-12 MK 4 2.4905398276083051 1.00e-29 6.01e-18 MB 2 2.4905398276083051 4.81e-69 4.68e-05
Berdasarkan uji komputasi pada Tabel 1 dapat diambil kesimpulan bahwa metode Baru lebih unggul dari metode Newton dan metode King, karena jumlah iterasi metode Baru lebih sedikit.
UJI KOMPUTASI n xn f xn xn xn x x x f x x x f x x x x x f x x e x f x x + − − = − = = − − = − = − + = − = + − = − + +
Metode Iterasi Baru Tiga Langkah atau Metode Baru ini diperoleh dari kombinasi metode Newton dan metode King. Metode Baru ini memiliki orde konvergensi enam belas. Berdasarkan uji komputasi, metode Baru lebih cepat dalam menghampiri akar hampirannya, karena jumlah iterasi metode Baru lebih sedikit dibandingkan metode Newton dan metode King.
Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Supriadi Putra, M.Si selaku pembimbing I dan bapak Drs. Agusni selaku pembimbing II yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran dalam memberi bimbingan, arahan, dorongan, dan kesabaran dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini.
[1]. Atkinson, K. E. 1993. 2 Jhon Wiley &
Sons, Inc., New York.
[2]. King, R.F. 1973. A family of fourth order methods for nonlinear equation. 10:876-879.
[3]. Sharma, J.R., guhaR.K. & Sharma. R. 2011. Some Modified Newton’s method
with Fourth-Order Convergence. 2:240-247
[4]. Traub, J.F. 1964. Prentice Hall
Inc.Englewood Cliffs., New Jersey.
[5] Li, X. Mu, C. Ma, J. & Wang, C. 2010. Sixteenth-Order Method for Nonlinear
Equation. 215:3754-3758.
KESIMPULAN
UCAPAN TERIMA KASIH
DAFTAR PUSTAKA
Elementary Numerical Analysis, ndEd.
SIAM Journal on Numerical Analysis.
Applied Science Research,
Iterative Methods for the Solution of Equation.
