ENAM UNTUK MENEMUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR
R. Hermiati1∗, M. Imran2, E. Lily2
∗ratna hermiati@yahoo.com
1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
ABSTRACT
This paper discusses a new Iterative method for finding a root of a nonlinear equa- tion obtained by combining Newton, Cordero and Torregrosa, and Parhi and Gupta methods. It is shown analytically that the new iterative method is of six order. The numerical simulation result is in agreement with the analytic finding.
Keywords: Cordero and Torregrosa Method, Newton Method, Parhi and Gupta Method, nonlinear equation
1. PENDAHULUAN
Salah satu masalah penting yang sering muncul dalam matematika khususnya analisa nu- merik yaitu menemukan akar sederhana dari persamaan nonlinear yaitu f (x) = 0. Metode analitik dapat digunakan untuk menemukan akar sederhana dari persamaan nonlinear.
Namun tidak semua persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan metode analitik, se- bagai alternatif dapat digunakan metode numerik. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi persamaan nonlinear, dan yang sering digunakan adalah metode Newton [2, h.68] dengan bentuk umum iterasinya yaitu:
xn+1 = xn− f(xn)
f′(xn), f′(xn) 6= 0 dan n = 0, 1, 2, · · · ,
yang memiliki kekonvergenan orde dua [2, h.68]. Akhir akhir ini banyak peneliti yang menggabungkan metode Newton, seperti yang dilakukan oleh Cordero dan Torregrosa [5], yang menggabungkan metode Newton dengan metode iterasi yang diturunkan berdasarkan metode Newton Cotes terbuka untuk tiga titik [1] yang menghasilkan bentuk iterasi
xn+1 = xn− 3f′(xn)
2f′(3xn4+yn) + f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n), 1
dengan
yn= xn− f(xn) f′(xn).
Parhi dan Gupta [6] menyajikan metode iterasi tiga langkah-langkahnya terdiri dari metode Newton, metode iterasi yang diturunkan berdasarkan Aturan Trapesium, dan modifikasi metode Newton dengan bentuk iterasi
xn+1 = zn− f(zn) f′(xn)
f′(xn) + f′(yn) 3f′(yn) − f′(xn), dengan
zn = xn− 2f (xn) (f′(yn) + f′(xn)), dan
yn= xn− f(xn) f′(xn).
Selanjutnya Rostam K. Saeed [7] menggabungkan iterasi yang dikemukakan oleh Cordero dan Torregrosa dan iterasi Parhi dan Gupta, yang menghasilkan bentuk iterasi tiga langkah:
yn= xn− f(xn)
f′(xn), (1)
zn= xn− 3f′(xn)
2f′(3xn4+yn) + f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n), (2) xn+1 = zn− f(zn)
f′(zn). (3)
Pada artikel ini metode iterasi tiga langkah dikembangkan menjadi metode iterasi baru.
Kemudian ditunjukkan orde konvergensi [4, h.89] metode yang dikemukakan. Pemba- hasan ini merupakan kajian detail dari tulisan [7].
2. METODE ITERASI BARU DENGAN KONVERGENSI ORDE ENAM Bila ditaksir f′(zn) dengan menggunakan interpolasi dua titik (xn, f′(xn)) dan (yn, f′(yn)), diperoleh
f′(x) = x− xn
yn− xn
f′(yn) + x− yn
xn− yn
f′(xn), (4)
dengan mengambil x = zn pada persamaan (4) diperoleh f′(zn) = zn− xn
yn− xn
f′(yn) + zn− yn
xn− yn
f′(xn). (5)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan (5) diperoleh
f′(zn) = f′(xn) 3f′(yn) − 3f′(xn) + 2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n)
2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n) . (6)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan (3) diperoleh
xn+1 = zn− f(zn)2f′(3xn4+yn) + f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n)
f′(xn)3f′(yn) − 3f′(yn) + 2f′(3xn4+yn) + f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n) , (7) dengan
zn= xn− 3f′(xn)
2f′(3xn4+yn) + f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n), (8) dan
yn= xn− f(xn)
f′(xn). (9)
Selanjutnya ditunjukkan bahwa metode iterasi yang diberikan persamaan (7)–(9) mempunyai order konvergensi enam sebagaimana disajikan Teorema 1.
Teorema 1 Misalkan f : D ⊆ R → R untuk interval terbuka D. Asumsikan fungsi f mempunyai turunan secukupnya yang kontinu untuk semua x di sekitar α dan asumsikan f′(α) 6= 0. Jika x0 adalah nilai tebakan awal yang cukup dekat ke α, maka persamaan (7)–
(9) mempunyai orde konvergensi enam dengan persamaan tingkat kesalahan en+1 = (−3c32c3+ c52)e6n+ O(e7n).
dengan cj = (j!1)ff(j)′(α)(α), j = 1, 2, 3.
Bukti.
Misalkan α adalah akar dari persamaan f (x) = 0, maka f (α) = 0 dan asumsikan f′(x) 6=
0. Dengan menggunakan ekspansi Taylor [3, h.183-184] untuk f (xn) dan f′(xn) disekitar xn= α, dan memisalkan en= xn− α diperoleh
f(xn) = f′(α)(en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ c5e5n+ c6e6n+ O(e7n)), (10) dan
f′(xn) = f′(α)(1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ 6c6e5n+ 7c7e6n). (11) dimana cj = (j!1)ff(j)′(α)(α), j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Jika persamaan (10) dibagi dengan persamaan (11), dan dengan bantuan deret ge- ometri
1
1 + r ≈ 1 − r + r2− r3+ r4... (12) maka sesudah penyederhanaan diperoleh
f(xn)
f′(xn) = en− [en− c2e2n+ (−2c3+ 2c22)e3n+ (−4c32+ 7c2c3− 3c4)e4n + (6c23− 4c5 + 8c42+ 10c2c4− 20c22c3)e5n
+ (52c32c3− 5c6+ 17c3c4− 28c22c4+ 13c2c5
− 33c2c23− 16c52)e6n+ O(e7n)]. (13)
Dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke persamaan (9) didapat:
yn = α + c2e2n+ (2c3− 2c22)e3n+ (4c32− 7c2c3+ 3c4)e4n+ (−6c23+ 4c5− 8c42
− 10c2c4+ 20c22c3)e5n+ (−52c32c3+ 5c6− 17c3c4+ 28c22c4− 13c2c5
+ 33c2c23+ 16c52)e6n+ O(e7n). (14) Selanjutnya ditentukan Ekspansi Taylor f (yn) dan f′(yn) disekitar yn = α, sebagaimana prosedur untuk menemukan f (xn) dan f′(xn) diperoleh
f(yn) = f′(α)[c2e2n+ (2c3− 2c22)e3n+ (3c4− 7c2c3+ 5c32)e4n + (−10c2c4− 6c23− 12c42+ 24c22c3+ 4c5)e5n + (5c6+ 28c52− 17c3c4 − 13c2c5+ 34c22c4
+ 37c2c23 − 73c32c3)e6n+ O(e7n)]. (15) dan
f′(yn) = f′(α)[1 + 2c22e2n+ (4c2c3− 4c3n)e3n+ (6c2c4− 11c3c22+ 8c42)e4n + (28c3c32− 20c4c22+ 8c2c5− 16c52)e5n+ (−16c4c3c2
− 68c3c42− 26c22c5 + 10c2c6+ 32c62+ 60c32c4+ 12c33)e6n
+ O(e7n)], (16)
dimana sebelum penyederhanaan digunakan terlebih dahulu persamaan (14).
Kemudian dihitung f′(xn+y2 n), f′(3xn4+yn) dan f′(xn+3y4 n) dengan mengingat xn = α+ en dan persamaan (14) diperoleh
xn+ yn
2 = α +en 2 +1
2c2e2n+ (c3− c22)e3n+ (2c32+3 2c4−7
2c2c3)e4n + (−5c2c4+ 2c5+ 4c42 + 10c22c3− 3c23)e5n+ (e−17
2 c3c4 +33
2 c2c23+5
2c6− 26c32c3+ 8c52+ 14c22c4− 13
2 c2c5)e6n
+ O(e7n). (17)
Misalkan xn+y2 n = vn. Kemudian ditentukan ekspansi Taylor untuk f′(vn) disekitar vn= α, dilanjutkan dengan mensubstitusikan persamaan (17) ke persamaan yang diperoleh dan mengingat f (α) = 0, setelah penyederhanaan maka diperoleh
f′(xn+ yn
2 ) = f′(α)[1 + c2en+ (c22+ 3
4c3)e2n+ (−2c32+ 1 2c4+7
2c2c3)e3n + (3c23+ 9
2c2c4+ 5
16c5+ 4c42− 37
4 c22c3)e4n + ( 3
16c6 −27
2 c2c23− 21
4 c2c5− 8c52+ 23c32c3
− 23
2 c22c4+15
2c3c4)e5n+ (−6c33− 55c42c3+17 2 c3c5 + 16c62+ 9
2c24+95
16c2c6+ 7
64c7− 32c2c3c4
− 109
8 c22c5+ 93
2 c22c23 +57
2 c32c4)e6n+ O(e7n)]. (18)
Kemudian dengan mengikuti prosedur yang sama dihitung 3xn4+yn, f′ 3xn4+yn, xn+3y4 n, dan f′ xn+3y4 n, dan berturut-turut diperoleh
3xn+ yn
4 = α +3
4en+ 1
4c2e2n−1
2(c2e22) + (c32+ 3 4c4− 7
2c2c3)e4n + (−5c2c4+ c5− 2c42+ 5c22c3 − 3c23)e5n+ (−17
4 c3c4 +33
4c2c23+5
4c6− 13c32c3+ 4c52+ 7c22c4− 13
4 c2c5)e6n
+ O(e7n), (19)
f′(3xn+ yn
4 ) = f′(α)[1 + 3
2c2en+ (1
2c22+27
16c3)e2n+ (−c32+17 8 c2c3 + 27
16c4)e3n+ (51
16c2c4+9
4c23−89
16c22c3+ 405 256c5)e4n + (263
64 c2c5− 125
16 c22c4− 81
8 c2c23 +55
4 c32c3+27 4 c3c4 + 729
512c6− 4c52)e5n+ (−131
4 c42c3+81
16c24+ 2495 512 c2c6 + 279
32 c3c5− 1237
128 c22+ 5103
4096c7+ 297
16 c32c4− 6c33
− 451
16 c2c3c4+ 279
8 c22c23+ 8c62)e6n+ O(e7n)], (20) xn+ 3yn
4 = α +1
4en+ 3
4c2e2n−3
4(c3− c22)e3n+ (3c32+ 9
4c4− 21
4 c2c3)e4n + (−15c2c4+ 3c5− 6c42+ 15c22c3− 9c23)e5n+ (−51
4 c3c4+99 4 c2c23 +15
4 c6− 39c32c3+ 12c52+ 21c22c4− 39
4 c2c5)e6n+ O(e7n). (21) dan
f′(xn+ 3yn
4 ) = f′(α)[(1 + 1
2c2en+ ( 3
16c3+ 3
2c22)e2n+ (33
8 c2c3− 3c32 + 1
16c4)e3n+ (81
16c2c4 + 6c42+ 15
256c5− 177 16 c22c3 +9
4c23)e4n+ (399
64c2c5 +111
4 c32c3− 81
8 c2c23+ 3 512c6 +9
2c3c4− 231
16 c22c4− 12c52)e5n+ (27
16c24+ 7 4096c7
− 267
4 c42c3+159
32 c3c5− 2421
128 c22c5+279 8 c22c23 +627
16c32c4+3885
512 c2c6− 381
16 c2c3c4+ 24c62)e6n+ O(e7n))]. (22) Kemudian dengan menggunakan persamaan (10), (18), (20), dan (22) dihitung 3f (xn) dan 2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n) diperoleh
3f (xn) = 3(f′(α)(en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ c5e5n+ c6e6n+ O(e7n))), (23)
dan
2f′(3xn+ yn
4 ) − f′(xn+ yn
2 ) + 2f′(xn+ 3yn
4 )
=((151
8 c3c5+ 93c22c23− 6c33+ 2443
1024c7+ 48c62+ 1215 64 c2c6
−1393
32 c22c5− 72c2c3c4+ 9c24+ 87c32c4− 144c42c3)e6n+ (171 64 c6 + 15c3c4− 27c2c23+ 60c32c3− 33c22c4− 24c52+ 247
16 c2c5)e5n + (185
64 c5− 24c22c3 + 6c23 + 12c2c4+ 12c42)e4n+ (−6c32+ 3c4
+ 9c2c3)e3n+ (3c22+ 3c3)e2n+ 3c2en+ 3)f′(α). (24) Bila persamaan (23) dibagi dengan persamaan (24) dan dengan bantuan deret ge- ometri (12) setelah penyederhanaan diperoleh
3f (xn) 1
2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n)
=en− (995
192c2c5− 7
64c6+ 29c32c3+ 5c3c4− 16c22c4− 9c52 − 14c2c23)e6n+ (2c23
− 7
192c5+ 4c2c4− 12c22c3+ 6c42)e5n+ (−3c32+ 3c2c3)e4n+ c22e3n. (25) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (25) ke persamaan(8) didapat
zn=(995
192c2c5− 7
64c6+ 29c32c3+ 5c3c4− 16c22c4− 9c52− 14c2c23)e6n+ (2c23
− 7
192c5 + 4c2c4− 12c22c3+ 6c42)e5n+ (−3c32+ 3c2c3)e4n+ c22e3n+ α. (26) Dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (zn) disekitar zn = α dan menggunakan per- samaan (26) serta mengingat f (α) = 0, setelah penyederhanaan diperoleh
f(zn) = c22e3n+ (−3c32+ 3c2c3)e4n+ (− 7
192c5 + 6c42− 12c22c3+ 4c2c4+ 2c23)e5n + (− 7
64c6+995
192c2c5− 8c52+ 5c3c4− 16c22c4 − 14c2c23+ 29c32c3)e6n
+ O(e7n). (27)
Jika persamaan (27) dikali dengan persamaan (24) didapat f(zn)(2f′(3xn+ yn
4 ) − f′(xn+ yn
2 ) + 2f′(xn+ 3yn
4 )) = [(−9c2c23+ 20c32c3 + 247
48 c2c5− 7c52+ 5c3c4− 11c22c4− 7
64c6)e6n+ (4c42− 7
192c5+ 2c23
+ 4c2c4− 8c22c3)e5n+ (−2c32+ 3c2c3)e4n+ c22e3n+ O(e7n)]f′(α)2. (28)
Selanjutnya dihitung 3f′(yn) − 3f′(xn) dengan menggunakan persamaan (11) dan (16), sehingga diperoleh
3f′(yn) − 3f′(xn)
=(−78c22c5+ 180c32c4 − 204c42c3− 48c2c3c4 − 21c7
+ 36c33+ 30c2c6+ 96c62)e6n+ (24c2c5 − 60c22c4+ 84c32c3
− 18c6− 48c52)e5n+ (−15c5+ 24c42+ 18c2c2− 33c22c3)e4n + (−12c4− 12c32+ 12c2c3)e3n+ (−9c3+ 6c22)e2n− 6c2en
+ O(e7n)f′(α). (29)
Bila persamaan (29) ditambah dengan persamaan (24) kemudian hasil yang diperoleh dikalikan dengan persamaan (11) didapat
f′(xn)
3f′(yn) − 3f′(xn) + 2f′(3xn+ yn
4 ) − f′(xn+ yn
2 ) + 2f′(xn+ 3yn
4 )
= [(−9c24+ 16c42c3+ 25
32c22c5+ 16c33+ 28c2c3c4+ 7 64c2c6
− 44c22c23 + 3c32c4− 3037
192 c3c5+ 2443
3072c7)e6n+ (−12c3c4
− 8c32c3+57
64c6+ c22c4+ 16c2c23+ 7
96c2c5)e5n+ (185 192c5
− 4c23+ 4c22c3)e4n+ c4e3n+ (c3+ c22)e2n+ c2en+ 1 + O(e7n)]f′(α)2. (30) Selanjutnya persamaan (28) dibagi dengan persamaan (30), dengan menggunakan formula (12), maka setelah penyederhanaan diperoleh
f(zn) (2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n))
f′(xn) (3f′(yn) − 3f′(xn)) + 2f′(3xn4+yn) − f′(xn+y2 n) + 2f′(xn+3y4 n)
=(3c2c3− 3c32)e4n+ (−12c22c3− 7
192c5+ 4c2c4+ 6c42+ 2c23)e5n+ (−16c22c4 + 32c32c3 + 995
192c2c5− 7
64c6+ 5c3c4− 14c2c23− 10c52)e6n+ c22e3n+ O(e7n). (31) Dengan mensubstitusikan persamaan (25), (31) ke persamaan (3.5) didapat
xn+1 =((995
192c2c5 − 7
64c6+ 29c32c3+ 5c3c4 − 16c22c4− 9c52− 14c2c23)e6n+ (2c23
− 7
192c5+ 4c2c4− 12c22c3+ 6c42)e5n+ (−3c32+ 3c2c3)e4n+ c22e3n+ α)
− ((3c2c3− 3c32)e4n+ (−12c22c3− 7
192c5+ 4c2c4+ 6c42+ 2c23)e5n + (−16c22c4+ 32c32c3 + 995
192c2c5− 7
64c6+ 5c3c4− 14c2c23− 10c52)e6n + c22e3n) + O(e7n),
atau
xn+1 = α + (−3c32c3+ c52)e6n+ O(e7n). (32)
Karena en+1 = xn+1− α maka persamaan (32) menjadi en+1 = (−3c32c3+ c52)e6n+ O(e7n).
Maka metode Iterasi Baru terbukti memiliki orde konvergensi enam. 2 4. SIMULASI NUMERIK
Simulasi numerik dilakukan untuk melakukan perbandingan komputasi metode Iterasi Baru dengan metode iterasi Newton, Corderro dan Torregrosa dan metode Iterasi Parhi dan Gupta. Persamaan nonlinear yang digunakan dalam perbandingan adalah:
1. Fungsi Polinomial: f1(x) = x3− 4x2− 10 2. Fungsi Trigonometri: f2(x) = (sin(x))2− x2+ 1 3. Fungsi Eksponensial: f3(x) = x2 − exp(x) − 3x + 2 4. Fungsi Polinomial: f4(x) = x3− 10
Kriteria penghentian iterasi (stopping criteria) adalah error = |xn− xn−1| < toleransi dengan toleransi = 1.5 × 10−14 dan jumlah iterasi maksimum yang diizinkan adalah 100 iterasi. Semua komputasi dilakukan dengan menggunakan program Matlab 7.0.1.
Tabel 1 menunjukkan Hasil simulasi numerik dengan pemilihan tebakan awal yang berbeda untuk ke empat fungsi yang diberikan. Dari Tabel 1, berdasarkan iterasi yang dihasilkan keempat metode dalam mendekati akar persamaan nonlinear dapat dilihat bahwa Metode Iterasi Baru memiliki jumlah iterasi yang lebih kecil dibandingkan dengan Metode Newton, Metode Iterasi Cordero dan Torregrosa, Metode Iterasi Parhi dan Gupta.
Pada Tabel 1 juga terlihat bahwa pada semua tebakan awal yang diambil, Metode Iterasi Baru selalu konvergen sedangkan metode pembanding ada yang tidak konvergen.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abramowitz, M & Stegun, I. A. 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formula, Graphs, and Mathematical Table. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series. 887.
[2] Atkinson, K. 1993. Elementary Numerical Analysis, 2rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York.
[3] Bartle, R. G. & D. R. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, 3rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York.
[4] Conte, S. D. 1980. Dasar-Dasar Analisis Numerik Suatu Pendekatan Algoritma, 3rd Ed. Erlangga, Jakarta.
[5] Cordero, A & Torregrosa, J. R. 2007. Variants of Newton’s Method Using Fifth- Order Quadrature Formulas. Applied Mathematics and Computation, 190: 686-698.
[6] Parhi, S. K. & Gupta, D. K. 2008. Six Order Method for Nonlinear Equation. Applied Mathematics and Computation. 1393-1397.
[7] Saeed, R. K. 2010. Six Order Iterative for Solving Nonlinear Equation. World Applied Sciences Journal. 11(11): 1393-1397.
Tabel 1: Hasil Komputasi Perbandingan Metode Iterasi Newton, Metode Iterasi Cordero dan Torregrosa, Metode Iterasi Parhi dan Gupta, dan Metode Iterasi Baru
Fungsi x0 Metode n Akar |xn+1− xn|
MN 41 1.36523001341410 3.33067e-015 -5.3 MICTO3 n >100 -2.66674082591624 6.94836e-007 MIPGO6 49 1.36523001341410 0.00000e+000
1 MIBO6 14 1.36523001341410 0.00000e+000
MN 46 1.36523001341410 0.00000e+000 -1.1 MICTO3 23 1.36523001341410 1.33227e-015
MIPGO6 11 1.36523001341410 0.00000e+000 MIBO6 6 1.36523001341410 0.00000e+000 MN 16 1.40449164821534 2.22045e-016 0.1 MICTO3 46 1.40449164821534 2.22045e-016 MIPGO6 7 1.40449164821534 0.00000e+000
2 MIBO6 7 1.40449164821534 0.00000e+000
MN 7 1.40449164821534 2.22045e-016 1.0 MICTO3 5 1.40449164821534 2.22045e-016 MIPGO6 3 1.40449164821534 2.22045e-016 MIBO6 3 1.40449164821534 0.00000e+000
MN 7 0.25753028543986 0.00000e+000 -4.1 MICTO3 5 0.25753028543986 0.00000e+000 MIPGO6 4 0.25753028543986 0.00000e+000
3 MIBO6 3 0.25753028543986 9.99201e-015
MN 6 0.25753028543986 1.99840e-015 2.7 MICTO3 5 0.25753028543986 0.00000e+000
MIPGO6 3 0.25753028543986 2.22045e-016 MIBO6 3 0.25753028543986 2.22045e-016 MN 12 2.15443469003188 0.00000e+000 -2.0 MICTO3 6 2.15443469003188 0.00000e+000 MIPGO6 7 2.15443469003188 0.00000e+000
4 MIBO6 5 2.15443469003188 0.00000e+000
MN 19 2.15443469003188 0.00000e+000 0.1 MICTO3 n >100 0.11101908478973 1.35904e-004
MIPGO6 7 2.15443469003188 4.44089e-016 MIBO6 7 2.15443469003188 0.00000e+000
