METODE ITERASI BERORDE EMPAT UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR KARYA ILMIAH OLEH RISDA WARDANI HASIBUAN NIM.

METODE ITERASI BERORDE EMPAT UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA

PERSAMAAN NONLINEAR

KARYA ILMIAH

OLEH

RISDA WARDANI HASIBUAN NIM. 1403112886

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2019

METODE ITERASI BERORDE EMPAT UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA

PERSAMAAN NONLINEAR Risda Wardani Hasibuan

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

risdha.wardanihasibuan@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses a new iterative method for finding multiple roots of nonlinear equations with known multiplicity. This method is obtained by combining the modified Newton’s method and the weighted Newton’s method for multiple roots.

Analytically it is showed using the Taylor’s expansion, the geometric series, and the binomial series that the iterative method has a fourth order of convergence.

A special case of the proposed method is also considered. Numerical comparisons shows that the proposed method can be used as an alternative method in obtaining multiple roots of nonlinear equations.

Keywords: Nonlinear equation, iterative method, multiple roots, modified Newton’s method

ABSTRAK

Artikel ini membahas metode iterasi baru untuk mencari akar ganda persamaan nonlinear dengan multiplisitas diketahui. Metode ini didapat dengan meng- gabungkan modifikasi metode Newton dan metode Newton untuk akar ganda berbobot. Secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor, deret geometri dan deret binomial ditunjukkan bahwa metode iterasi yang diusulkan mempunyai orde konvergensi empat. Sebuah kasus dari metode ini juga dibahas. Per- bandingan numerik menunjukkan bahwa metode yang diusulkan dapat digunakan sebagai metode alternatif dalam menemukan akar ganda persamaan nonlinear.

Kata kunci: Persamaan nonlinear, metode iterasi, akar ganda, modifikasi metode Newton

1. PENDAHULUAN

Secara umum permasalahan matematika yang banyak muncul di berbagai bidang ilmu sains dan teknik adalah bagaimana menemukan solusi dari suatu persamaan

nonlinear f (x) = 0. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah menggunakan metode numerik. Solusi yang dihasilkan metode numerik merupakan solusi hampiran dari solusi eksak. Akar yang dicari dari persamaan nonlinear tidak selalu berbentuk akar sederhana (simple root) tetapi ada juga yang merupakan akar ganda (multiple roots).

Penggunaan metode numerik untuk akar sederhana tidak efektif dan lambat jika diterapkan untuk menemukan akar ganda dengan multiplisitas m lebih besar satu, sehingga diperlukan berbagai modifikasi dari metode numerik tersebut. Salah satu modifikasi metode numerik adalah metode Newton dengan orde konvergensi kuadratik yang dijelaskan oleh Ralston dan Robinowitz [7, h. 354] dengan bentuk iterasinya,

xn+1 = xn− mf (xn)

f^′(xn), n = 0, 1, 2, . . . ,

dengan f^′(xn) 6= 0 dan m adalah bilangan multiplisitas akar. Oleh karena hasil modifikasi memberikan metode dengan orde yang lebih baik maka beberapa peneliti seperti Dong [3] dan Li et al. [4] telah mengembangkan metode baru dengan orde konvergensi yang lebih tinggi .

Pada artikel ini dibahas metode iterasi baru yang merupakan review dari artikel Liu dan Zhou [5]. Untuk penyajian di bagian kedua dibahas penurunan metode iterasi baru dengan metode iterasi dua langkah, lalu dilanjutkan dengan kajian error analisis, kemudian diberikan sebuah kasus khusus. Pada bagian tiga dilakukan perbandingan numerik menggunakan tiga contoh fungsi.

2. METODE ITERASI BARU BERORDE EMPAT

Perhatikan metode iterasi dua langkah sebagai berikut:

yn = xn− mf (xn) f^′(xn), xn+1 = yn− mG(wn)f (x_n)

f^′(xn),











(1)

dengan fungsi G(·) ∈ C³(R) dan m adalah bilangan multiplisitas akar yang diketahui dan

wn= ^m−1

sf^′(y_n) f^′(xn).

Selanjutnya diselidiki syarat dan kekonvergenan metode pada persamaan (1), sebagaimana disajikan Teorema 1.

Teorema 1 Misalkan f : I ⊂ R → R adalah fungsi terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Misalkan juga x^∗ ∈ R adalah pembuat nol ganda dari f dengan multiplisitas m. Jika x0 tebakan awal cukup dekat dengan x^∗, maka metode iterasi

pada persamaan (1) memiliki orde konvergensi empat dengan memenuhi persamaan error

en+1= − 1 6(m − 1)²c1m³



24m⁵c²₂− 24m⁵c²₁c2+ 6m⁵c⁴₁+ 48m⁴c²₁c2− 96m⁴c²₂ + 30m³c²₁c2− 21m³c⁴₁ + 120m³c²₂+ G3m²c⁴₁− 48m²c²₂− 36m²c⁴₁

− 54m²c²₁c2− 2mG3c⁴₁− 3mc⁴₁+ G3c⁴₁− 6c⁴₁



e⁴_n+ O(e⁵_n), dengan

G0 = 0, G1 = 1, G2 = 4m m − 1.

Bukti. Misalkan x^∗ adalah akar ganda dari persamaan f (x) = 0 dengan multiplisitas m dan en = xn − x^∗ adalah error [8] pada iterasi ke-n. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor [2, h. 189] dari f (x) di sekitar titik x = x^∗ dengan mengabaikan suku yang memuat (x − x^∗)ⁱ dan sisa polinomial Taylor [1, h.

291] O(x − x^∗)ⁱ untuk i ≥ m + 5 diperoleh

f (x) = f (x^∗) + f^′(x^∗)(x − x^∗) + · · · + f^(m−1)(x^∗)

(m − 1)! (x − x^∗)^m−1 +f^(m)(x^∗)

m! (x − x^∗)^m+f^(m+1)(x^∗)

(m + 1)! (x − x^∗)^m+1 +f^(m+2)(x^∗)

(m + 2)! (x − x^∗)^m+2+f^(m+3)(x^∗)

(m + 3)! (x − x^∗)^m+3 +f^(m+4)(x^∗)

(m + 4)! (x − x^∗)^m+4+ O(x − x^∗)^m+5. (2) Lalu persamaan (2) dievaluasi di titik x = xn sehingga diperoleh

f (xn) = f^(m)(x^∗) m! e^m_n



1 + c1en+ c2e²_n+ c3e³_n+ c4e⁴_n+ O(e⁵_n)



, (3)

dengan ci = m!f^(m+i)(x^∗)/(m + i)!f^(m)(x^∗) untuk i = 1, 2, 3, 4.

Kemudian untuk mendapatkan f^′(x_n) persamaan (2) diturunkan terhadap x dan dievaluasi di titik x = xn sehingga diperoleh

f^′(xn) = f^(m)(x^∗) (m − 1)!e^m−1_n



1 + d1en+ d2e²_n+ d3e³_n+ d4e⁴_n+ O(e⁵_n)



, (4)

dengan d_i = (m − 1)!f^(m+i)(x^∗)/(m + i − 1)!/f^(m)(x^∗) untuk i = 1, 2, 3, 4.

Setelah itu persamaan (3) dibagi dengan persamaan (4) dengan bantuan deret

geometri [10, h. 730] sehingga didapat f (xn)

f^′(xn) = en

m −c1e²_n

m² + (−2c2m + c²₁(1 + m))e³_n m³

−(3c3m²+ c³₁(1 + m²) − c1c2m(4 + 3m))e⁴_n

m⁴ + O(e⁵_n). (5)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke persamaan (1) dan me- nyatakan xn= en+ x^∗ dihasilkan

yn = x^∗+ c1

me²_n− (m + 1) − 2mc2

m² e³_n (6)

+ (m + 1)²c³₁− (3m + 4)mc³₁− (3m + 4)mc1c2+ 3m²c3

m³ e⁴_n+ O(e⁵_n).

Kemudian untuk menghitung f (yn), persamaan (6) disubstitusikan ke persamaan (2) sehingga diperoleh

f (yn) = f^(m)(x^∗) m! E_n^m



1 + c1En+ c2E_n²+ c3E_n³ + c4E_n⁴+ O(E_n⁵)



, (7)

dengan ci = m!f^(m+i)(x^∗)/(m + i)!f^(m)(x^∗) untuk i = 1, 2, 3, 4.

Berikut untuk mendapatkan f^′(yn) persamaan (7) diturunkan terhadap x dan dievaluasi di titik x = y_n sehingga diperoleh

f^′(yn) = f^(m)(x^∗) (m − 1)!E_n^m−1



1 + d1En+ d2E_n² + d3E_n³+ d4E_n⁴+ O(E_n⁵)



, (8) dengan di = (m − 1)!f^(m+i)(x^∗)/(m + i − 1)!f^(m)(x^∗) untuk i = 1, 2, 3, 4.

Karena En= yn− x^∗ dan nilai yndiketahui pada persamaan (6), maka diperoleh E_n=c1

me²_n



1 + (m + 1) − 2mc2

mc1

e_n

+(m + 1)²c³₁− (3m + 4)mc³₁− (3m + 4)mc1c2+ 3m²c3

m²c1

e²_n



, (9)

dan untuk E_n^m−1 dapat ditulis E_n^m−1 = c1

m

 e²_n



1 + (m + 1) − 2mc2

mc1

e_n

+(m + 1)²c³₁− (3m + 4)mc³₁ − (3m + 4)mc1c2+ 3m²c3

m²c1

e²_n

m−1

. (10) Kemudian persamaan (10) dapat diselesaikan menggunakan deret binomial [10, h.

785] sehingga diperoleh E_n^m−1 = e^m−1_n



S₁+ S₂e_n+ S₃e²_n+ S₄e³_n+ S₅e⁴_n+ O(e⁵_n)



, (11)

dengan

S1 = c1

m

m−1

,

S2 = −

 c₁ m

m

c²₁m²(−1 + m²) + 2c2m(1 − m)

c²₁ ,

S3 = 1 2c³₁

 c₁ m

m

( 2c²₁c2m + · · · − 4c²₁c2m³− c⁴₁m)

 , S4 = − 1

6c⁴₁m²

 c1

m

m

(−72m³c3c2c1− · · · + 12m⁶c²₂c²₁− 36m⁴c3c³₁)

 , S5 = − 1

24m³c⁵₁

 c₁ m

m

( 36c3m³c⁵₁− · · · − 32m⁸c²₃c²₁− 360m⁵c3c2c³₁)

 . Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan (11) ke persamaan (8) di- peroleh

f^′(yn) = f^(m)(x^∗) (m − 1)!e^m−1_n



S1+ T1en+ T2e²_n+ T3e³_n+ T4e⁴_n+ O(e⁵_n)



, (12) dengan nilai S1 seperti pada persamaan (11) dan

T1 = −

 c₁ m

m

c²₁m²(−1 + m²) + 2c2m(1 − m)

c²₁ ,

T2 = 1 2c³₁

 c1

m

m

(−4m⁴c2c²₁− · · ·+ 2m³c2c²₁+ 2m²c2c²₁)

 , T₃ = − 1

6c⁴₁m²

 c₁ m

m

( −18m³c₃c³₁+ · · · − 36m⁵c₃c₂c₁+ 108m⁴c₃c₂c₁)

 , T4 = 1

24c⁵₁m³

 c₁ m

m

( 128m⁶c³₂c²₁+ · · · + 384m⁴c⁴₂− 800m⁵c⁴₂)

 .

Selanjutnya f^′(yn)/f^′(xn) dihitung menggunakan persamaan (12) dan (4) dengan bantuan deret geometri [10, h. 730], dilanjutkan dengan deret binomial [10, h. 785]

untuk menghitung wn =



f^′(yn)/f^′(xn)

1/(m−1)

, sehingga diperoleh

wn =c₁ m



en+ ψ₁

m − 1e²_n− (m − 2)ψ²₁− (m − 1)ψ₂ 2(m − 1)² e³_n + (m − 2)ψ1((2m − 3)ψ²₁− 6(m − 1)ψ2)

6(m − 1)³ e⁴_n+ O(e⁵_n)



. (13)

Berikut dengan melakukan ekspansi Taylor dari G(x) di sekitar x0 = 0 hingga orde tiga dan dievaluasi di titik x = w_n, dimana w_n diketahui pada persamaan (13), dihasilkan

G(wn) = G0+ G1wn+ G2

2!w²_n+ G3

3!w³_n+ O(w_n⁴), (14) dengan

G0 = G(0), G1 = G^′(0), G2 = G^′′(0), G3 = G^′′′(0).

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke persamaan (14) diperoleh G(wn) = G0+ G1c1

m en+



− 2G1c2

m(m − 1) + · · · − G1c²₁

(m − 1)m+ 2G1c² m − 1

 e²_n +

 G1c³₁m²

2(m − 1)² + · · · − 2G2c1c2

m²(m − 1) + 2G2c1c2

m(m − 1)

 e³_n +

 3G2c⁴₁

2m²(m − 1) + · · · − G3c²₁c2

m³(m − 1)+ G3c²₁c2

m²(m − 1)



e⁴_n. (15) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (6), (5) dan (15) ke persamaan (1) diperoleh

xn+1= x^∗− G0en+ 1 + G0− G1

m c1e²_n+ 2

m(1 + G0− G1)c2− m + 1 m² +m + 1

m² G0− m²+ 2m − 1

(m − 1)m² G1+ 1 2m²G2

 c²₁



e³_n+ K

6(m − 1)²m³e⁴_n

+ O(e⁵_n), (16)

dengan

K =18(m + 1)²m²(1 + G0 − G1)c3+ 6(m + 1)m(4 − m − 3m² + (4 − m − 3m²)G0+ (−4 + 8m + 3m²)G1+ (2 − 2m)G2)c1c2

+ (6 − 12m²+ 6m⁴+ (6 − 12m²+ 6m⁴)G₀+ (15m − 21m³− 6m⁴)G₁ + (3 − 12m + 9m²)G2 − (1 + m)²G3))c³₁.

Oleh karena en+1= xn+1− x^∗, maka persamaan (16) dapat ditulis en+1 = −G0en+1 + G0− G1

m c1e²_n+ 2

m(1 + G0− G1)c2− m + 1 m² +m + 1

m² G₀−m²+ 2m − 1

(m − 1)m² G₁+ 1 2m²G₂

 c²₁

 e³_n

+ K

6(m − 1)²m³e⁴_n+ O(e⁵_n). (17) Agar metode ini berorde empat maka koefisien en, e²_n dan e³_n haruslah bernilai nol.

Jadi dari persamaan (17) didapat

G₀ =0. (18)

Lalu persamaan (18) disubstitusikan ke nilai koefisien e²_n. Agar koefisien e²_n bernilai nol haruslah

1 − G₁ =0, atau

G1 =1. (19)

Selanjutnya persamaan (18) dan (19) disubstitusikan ke nilai koefisien e³_n. Jadi agar koefisien e³_n bernilai nol haruslah



− 4m + (m − 1)G2



= 0, atau

G2 = 4m

m − 1. (20)

Kemudian persamaan (18), (19) dan (20) disubstitusikan ke persamaan (17) se-

hingga diperoleh e_n+1= − 1

6(m − 1)²c1m³



24m⁵c²₂− 24m⁵c²₁c₂+ 6m⁵c⁴₁+ 48m⁴c²₁c₂− 96m⁴c²₂ + 30m³c²₁c2− 21m³c⁴₁ + 120m³c²₂+ G3m²c⁴₁− 48m²c²₂− 36m²c⁴₁

− 54m²c²₁c2− 2mG3c⁴₁− 3mc⁴₁+ G3c⁴₁− 6c⁴₁



e⁴_n+ O(e⁵_n). (21) Selanjutnya dari persamaan (21) dan berdasarkan definisi orde konvergensi [6, h.

77], metode iterasi pada persamaan (1) memiliki orde konvergensi empat dengan menggunakan tiga fungsi evaluasi yaitu f (xn), f^′(xn) dan f^′(yn).

Bila dipilih fungsi bobot yang berbentuk rasional didapat sebuah kasus khusus dengan bentuk iterasi

y_n = x_n− mf (xn) f^′(xn), xn+1 = yn− m



wn+ 2m

m − 1w_n² f (xn) f^′(xn),











dengan wn =



f^′(yn)/f^′(xn)

1/(m−1)

dan m adalah multiplisitas akar yang dike- tahui.

3. PERBANDINGAN NUMERIK

Pada bagian ini dilakukan uji komputasi dengan membandingkan metode iterasi orde empat (MIO4) dengan metode pembandingnya yaitu metode dari metode Newton untuk akar ganda [7, h. 354] (MN), metode Li-Liao-Cheng [4] (MLLC) dan metode Sharma [9] (MS) menggunakan Maple-13. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan untuk melakukan pengujian ini adalah sebagai berikut:

(i) f1(x) = (e^x2+7x−30− 1)⁴, m = 4, x^∗ ∈ [2.5, 5], (ii) f2(x) = (cos(x) − x)³, m = 3, x^∗ ∈ [0, 2], (iii) f₃(x) = (sin(x) − x²+ 1)², m = 2, x^∗ ∈ [1, 2].

Untuk mendapatkan solusi dari ketiga persamaan di atas digunakan toleransi 1.0 × 10⁻¹⁰⁰ dengan kriteria pemberhentian |f (x_n+1)| ≤ tol, |x_n+1− x^∗| ≤ tol atau jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi yaitu 100. Hasil uji komputasi dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi

fⁱ(x) Metode x0 n+ 1 |f (xn+1)| |xn+1− x^∗| COC

f1

MN

3.1

7 3.46e − 147 1.87e − 38 2.00

MLLC 4 1.79e − 282 2.81e − 72 4.00

MS 4 7.21e − 271 2.24e − 69 4.00

MIO4 4 2.48e − 146 3.05e − 38 4.00

MN

4.1

21 1.16e − 107 1.42e − 28 2.00

MLLC 11 2.41e − 199 1.70e − 51 4.00

MS 11 9.30e − 139 2.39e − 36 4.00

MIO4 14 3.78e − 153 6.03e − 40 4.00 MN

5.0

36 1.12e − 147 1.41e − 38 2.00

MLLC 18 2.21e − 131 1.67e − 34 4.00

MS 19 6.95e − 265 7.02e − 68 4.00

MIO4 24 7.10e − 144 1.26e − 37 4.00

f2

MN

0.5

5 8.91e − 116 2.67e − 39 2.00

MLLC 3 1.93e − 188 1.60e − 63 4.00

MS 3 1.59e − 187 3.24e − 63 4.00

MIO4 4 2.04e − 323 1.63e − 108 4.00 MN

1.5

6 5.32e − 191 2.25e − 64 2.00

MLLC 3 6.60e − 136 5.20e − 46 4.00

MS 3 1.39e − 135 6.67e − 46 4.00

MIO4 3 8.15e − 125 2.59e − 42 4.00

MN

2.0

5 6.04e − 142 5.05e − 48 2.00

MLLC 3 1.67e − 118 3.29e − 40 4.00

MS 3 2.66e − 118 3.84e − 40 4.00

MIO4 4 4.63e − 229 4.62e − 77 4.00

f3

MN

1.0

7 7.25e − 136 1.01e − 68 2.00

MLLC 4 1.19e − 186 4.10e − 94 4.00

MS 4 6.18e − 183 2.96e − 92 4.00

MIO4 6 1.40e − 156 4.45e − 79 4.00

MN

1.7

6 1.72e − 108 4.94e − 55 2.00

MLLC 4 5.24e − 396 8.61e − 199 4.00

MS 4 2.45e − 387 1.86e − 194 4.00

MIO4 4 6.47e − 253 3.03e − 127 4.00 MN

2.0

7 3.46e − 154 6.99e − 78 2.00

MLLC 4 1.58e − 273 1.50e − 137 4.00

MS 4 8.00e − 266 1.06e − 133 4.00

MIO4 4 3.23e − 153 2.14e − 77 4.00

Secara keseluruhan berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa semua metode yang diberikan berhasil menemukan akar pendekatan yang diharapkan dari semua fungsi dengan tebakan awal dan toleransi yang diberikan. Selanjutnya berdasarkan Tabel 1 diketahui bahwa metode MIO4, MLLC dan MS relatif membutuhkan jumlah iterasi yang sama untuk mendapatkan akar hampiran yang diharapkan. Namun, pada f1 metode MIO4 dan MN membutuhkan sedikit lebih banyak jumlah iterasi dibandingkan dengan metode MLLC dan MS. Jadi, dari hasil perbandingan komputasi pada Tabel 1 bahwa metode MIO4 dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2^ndEd, John Wiley dan Sons, New York, 1989.

[2] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4^thEd, John Wiley dan Sons, New York, 1999.

[3] C. Dong, A family of multipoint iterative functions for finding multiple roots of equations, International Journal of Computer Mathematics, 21 (1987), 363–367.

[4] S. Li, X. Liao dan L. Cheng, A new fourth-order iterative method for finding multiple roots of nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 215 (2009), 1288–1292.

[5] B. Liu dan X. Zhou, A new family of fourth-order methods for multiple roots of nonlinear equations, Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 18 (2013), 143–152.

[6] J. H. Mathews, Numerical Method for Mathematical Science and Engineer, 2^nd Ed, Prentice-Hall International, New York, 1987.

[7] A. Ralston dan P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2^nd Ed, McGraw-Hill, New York, 1978.

[8] J. R. Sharma, R. K. Guha dan R. Sharma, Some modified Newton’s methods with fourth order convergence, Applied Science Research, 1 (2011), 240–247.

[9] J. R. Sharma dan R. Sharma, Modified Jarrat method for computing multiple roots, Applied Mathematics and Computation, 217 (2010), 878–881.

[10] J. Stewart, Single Variable Calculus, 7^nd Ed, Brooks Cole, Belmont, 2012.