PERCEPATAN METODE THUKRAL ORDE TIGA UNTUK MENENTUKAN AKAR GANDA
PERSAMAAN NONLINEAR
KARYA ILMIAH
OLEH
NARO
NIM. 1403110154
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2019
PERCEPATAN METODE THUKRAL ORDE TIGA UNTUK MENENTUKAN AKAR GANDA
PERSAMAAN NONLINEAR
Naro
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the acceleration of the Thukral’s third order method by intro- ducing parameters for finding multiple roots of nonlinear equations. This method requires four function evaluations for each iteration. Analytically it is showed that using the Taylor’s expansion and geometric series the iterative method has order of convergence four. Computational tests show that the method converges to the root of the nonlinear equation faster than the other mentioned methods.
Keywords: Schroder’s method, Thukral’s method, multiple roots, order of conver- gence, nonlinear equations
ABSTRAK
Artikel ini membahas percepatan metode Thukral berorde konvergensi tiga dengan memperkenalkan parameter untuk menentukan akar ganda persamaan nonlinear.
Metode ini memerlukan empat evaluasi fungsi untuk setiap iterasinya. Secara anal- itik dengan menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri ditunjukkan bahwa metode iterasi ini memiliki orde konvergensi empat. Melalui uji komputasi menun- jukkan bahwa percepatan metode Thukral lebih cepat konvergen ke akar diband- ingkan dengan metode pembanding dikelasnya.
Kata kunci: Metode Schroder, metode Thukral, akar ganda, orde konvergensi, per- samaan nonlinear
1. PENDAHULUAN
Salah satu persoalan matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana mene- mukan solusi dari persamaan nonlinear
f (x) = 0, (1)
dimana f :I ⊂ R → R, untuk interval terbuka dimana I, merupakan fungsi skalar.
Metode analitik dan metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan per- samaan nonlinear (1).
Solusi dari persamaan (1) tidak selalu berbentuk akar sederhana (simple root), ada juga yang merupakan akar ganda (multiple root) dengan multiplisitas m dengan m > 1. Salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk menemukan solusi dari persamaan (1) adalah metode bertipe Newton [1, h. 58-59] yang membutuhkan tebakan awal yang cukup dekat ke akar.
Petkovic et al. [4] telah mengusulkan modifikasi metode Newton untuk mene- mukan akar ganda ketika multiplisitas diketahui. Pengembangan lain yang sudah dilakukan adalah untuk metode bertipe Schroder untuk akar ganda dengan mul- tiplisitas tak diketahui [6]– [8]. Disamping itu juga dikembangkan metode iterasi untuk akar ganda yang dikenal dengan metode Wu–Li [11] dan metode Li–Cheng–
Neta [2].
Pada artikel ini di bagian kedua dibahas tentang percepatan metode Thukral orde tiga untuk menentukan akar ganda persamaan nonlinear serta analisis konver- gensinya, yang merupakan tinjauan sebagian artikel Thukral [9]. Selanjutnya pada bagian terakhir dilakukan sebuah uji komputasi untuk membandingkan percepatan metode Thukral orde tiga [9] dengan metode Schroder klasik [9], metode Thukral orde tiga [7], metode Wu–Li [11] dan metode Li–Cheng–Neta [2].
2. PERCEPATAN METODE THUKRAL ORDE TIGA UNTUK AKAR GANDA
Metode iterasi untuk menentukan akar ganda diperoleh dari formula metode Thukral orde tiga sebagai berikut:
xn+1 = xn− 2(f′(xn))3− f(xn)f′(xn)f′′(xn)
2(f′(xn))3− 3f(xn)f′(xn)f′′(xn) + f′′′(xn)f (xn)2
(f (xn) f′(xn)
)
, (2)
dengan taksiran multiplisitas m menggunakan formula [9]
b
m2 ≈ 2 (f′(xn)3− f(xn)f′(xn)f′′(xn))
2f′(xn)3− 3f(xn)f′(fn)f′′(xn) + f′′′(xn)f (xn)2. (3) Selanjutnya dengan menambahkan bobot µ1 = 3m(m + 1), µ2 = 3m2, pada pembi- lang dan bobot µ3 = (2m + 1)(m + 1), µ4 = 3m(m + 1) dan µ5 = m2 pada penyebut persamaan (2) diperoleh skema iterasi sebagai berikut:
xn+1 = xn− E F
(f (xn) f′(xn)
)
, (4)
dengan
E = µ1f′(xn)3− µ2f (xn)f′(xn)f′′(xn), (5)
dan
F = µ3f′(xn)3− µ4f (xn)f′(xn)f′′(xn) + µ5f′′′(xn)f (xn)2. (6) Kemudian persamaan (4) dibagi dengan (f′(xn))2(f (xn))2 sehingga diperoleh
xn+1 = xn− µ1(f(f′(x′(xn))3f (xn)
n))2(f (xn))2 − µ2(f (xn))2f′(xn)f′′(xn) (f′(xn))2(f (xn))2
µ3 (f′(xn))4
(f′(xn))2(f (xn))2 − µ4f (xn)(f′(xn))2f′′(xn)
(f′(xn))2(f (xn))2 + µ5f′(xn)f′′′(xn)(f (xn))2 (f′(xn))2(f (xn))2
,
atau
xn+1 = xn−
µ1 (
f′(xn) f (xn)
)
− µ2
(
f′′(xn) f′(xn)
)
µ3 (
(f′(xn))2 (f (xn))2
)
− µ4
(
f′′(xn) f (xn)
) + µ5
(
f′′′(xn) f′(xn)
). (7)
Persamaan (7) dapat ditulis sebagai
xn+1= xn− µ1t1− µ2t2
µ3(t21)− µ4(t1t2) + µ5(t2t3), dengan
t1 = f′(xn)
f (xn), t2 = f′′(xn)
f′(xn), t3 = f′′′(xn) f′′(xn), dimana n∈ N, x0 adalah nilai awal dan penyebut
µ3(t21)− µ4(t1t2) + µ5(t2t3)̸= 0.
Persamaan (4) merupakan percepatan metode Thukral orde tiga untuk menentu- kan akar ganda persamaan nonlinear [9], dengan m menyatakan multiplisitas akar.
Untuk menaksir nilai m digunakan formula (3).
Selanjutnya diberikan analisis kekonvergenan dari percepatan metode Thukral orde tiga (4).
Teorema 1 (Orde Konvergensi) [9] Misalkan f : I ⊂ R → R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I dan α∈ I adalah akar ganda dengan multiplisi- tas m > 1. Jika x0 cukup dekat ke α, maka metode iterasi yang didefinisikan oleh persamaan (4) memiliki orde konvergensi empat dan memenuhi persamaan error
en+1=
(κ1T13− κ2T1T2+ κ3T3 κ4
)
e4n+O(e5n),
dengan
κ1 = (11m2+ 2m2+ 17m + 6), κ2 = (6m3+ 18m + 24m2), κ3 = (6m3+ 6m2), κ4 = 6m3(m + 1)2(m + 2)(m + 3),
}
(8)
Tk = ff(m+k)(m)(α)(α), k = 1, 2, 3, 4, }
(9) dan en= xn− α.
Bukti. Misalkan α adalah akar ganda dari f (x) = 0 dengan multiplisitas m dan nyatakan en = xn− α. Selanjutnya dengan melakukan ekspansi Taylor [1, h. 189]
dari f (x), f′(x), f′′(x), f′′′(x), di sekitar x = α dan mengabaikan suku yang memuat (x− α)k untuk k ≥ m + 5, dilanjutkan dengan mengevaluasi di x = xn, setelah penyederhanaan diperoleh
f (xn) = f(m)(α) m! emn
(
1 + A1en+ A2e2n+ A3e3n+ A4e4n+O(e5n) )
, (10)
f′(xn) = f(m)(α) (m− 1)!emn−1
(
1 + B1en+ B2e2n+ B3e3n+ B4e4n+O(e5n) )
, (11) f′′(xn) = f(m)(α)
(m− 2)!emn−2 (
1 + C1en+ C2e2n+ C3e3n+ C4e4n+O(e5n) )
, (12) f′′′(xn) = f(m)(α)
(m− 3)!emn−3 (
1 + D1en+ D2e2n+ D3e3n+ D4e4n+O(e5n) )
, (13) dengan
Ak = Tkm!
(m + k)!, k = 1, 2, 3, 4, (14)
Bk = Tk(m− 1)!
(m + k− 1)!, k = 1, 2, 3, 4, (15) Ck = Tk(m− 2)!
(m + k− 2)!, k = 1, 2, 3, 4, (16) Dk = Tk(m− 3)!
(m + k− 3)!, k = 1, 2, 3, 4, (17) dan Tk didefinisikan oleh persamaan (9). Pada penyederhanaan ini telah digunakan identitas orde dari akar [3, h. 76].
Kemudian persamaan (10) dibagi dengan persamaan (11) sehingga didapat f (xn)
f′(xn) = en(1 + A1en+ A2e2n+ A3e3n+ A4e4n) +O(e5n)
m(1 + B1en+ B2e2n+ B3e3n+ B4e4n) +O(e5n). (18) Persamaan (18) dapat disederhanakan dengan menggunakan formula deret geometri
[5, h. 730], sehingga diperoleh f (xn)
f′(xn) = en m
(
1 + en+ (A1− B1)e2n+ (A2− B2− A1B1+ B12)e3n + (A3− A1B2− A2B1+ A1B12− B3+ 2B1B2− B13)e4n +O(e5n)
)
. (19)
Kemudian persamaan (10), (11) dan (12) disubstitusikan ke persamaan (5), sehingga diperoleh
E = (f(m)(α))3e(3mn −3)(1 + G1en+ G2e2n+ G3e3n+ G4e4n) +O(e5n), (20) dengan
G1 = −1
2mC2+1
2A1+ mB1+ 2B1 −1
2mA1+ 1 2C1, G2 = −1
2mA2+1
2A1C1 +3
2B12+1
2A2+· · · +1
2B1C1−1
2mB1C1, G3 = −1
2mA3+ 2B3− 1
2mC3+1
2B13+ 1
2C3− · · · −1
2mB1C2, G4 = −1
2mA1B1C2−1
2mA1B2C1−1
2mA2B1C1−1
2mA4− · · · −1 2mC4 +1
2A4+ 2B4+1
2C4+ 3 2B22.
Selanjutnya persamaan (10), (11), (12) dan (13) disubstitusikan ke persamaan (6), sehingga dihasilkan
F = (f(m)(α))3e(3mn −3)(1 + H1en+ H2e2n+ H3e3n+ H4e4n) +O(e5n), (21) dengan
H1 = −1
2m2C1+1 3D11
2C1+· · · + B1− 1
6m2A1− 1 2mD1, H2 = −1
2m2C2+ m2B121
2m2B2+· · · + 1
3m2D1A1 − mD1A1+1 3A21, H3 = −1
2m2C3+1
2m2B31
3m2B13+· · · +1
3m2D1A2− 1
2mD1A21, H4 = −1
2m2C4+1
2m2B4+ m2B22+· · · +1
2B1C3+1
2B2C2+1
2B3C1− mA4
− mD1A3+1 3A22.
Lalu persamaan (20) dibagi dengan persamaan (21) dan dengan menggunakan deret
geometri serta nilai H1, H2, H3 dan H4 pada persamaan (21) sehingga didapat E
F = (1 + W1en+ W2e2n+ W3e3n+ W4e4n) +O(e5n), (22) dengan
W1 = −1
2mC1+ B1+1
2mD1− 1
2mB1− 1
2m2B1+· · · +1
2m2C1+1 2mA1, W2 = −1
3D2 +1
4m3A211
9D12+· · · + 2
3B1mD1+ B2+1 4m4C12, W3 = −1
2m4B2C1+ 19
12mA1B2− 8
27A31− · · · −1
6mA2C1− 1
6mA1C2, W4 = −1
2m4B2C2+ 1
8m6B1C1D21− 127
72 m5B1C1D12+· · · + 29
36m5A1C1A2. Kemudian persamaan (19) dan persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (4) dan xn= en+ α sehingga diperoleh
xn+1= α + Y1e2n+ Y2e3n+ Y3e4n+O(e5n), (23) dengan
Y1 = − 1
2m2B1+1
2D1+1
2mA1+· · · +1
6m2A1 +1 3A1, Y2 = − 1
6m2D2− 1
18m4A1D1+ 7
12m3C1D1+· · · +3
4mB1C1− 1 3D2, Y3 = − 1
4mB12D1+ 1
9A1B1D1− · · · − 1
18m4A2D1+ 1
6mB1D2+1
2m4B1B2
− 1
6m3B2D1−1
4m5C1B1D1+ 107
72 m2A21B1. Karena en+1 = xn+1− α, sehingga persamaan (23) menjadi
en+1 = Y1e2n+ Y2e3n+ Y3e4n+O(e5n), (24) dengan nilai Y1, Y2 dan Y3 diketahui pada persamaan (23).
Selanjutnya untuk mendapatkan orde yang paling tinggi haruslah Y1 = Y2 = 0, dengan mensubstitusikan persamaan (14), (15), (16) dan (17) ke persamaan (24), sehingga diperoleh
en+1=
(κ1T13− κ2T1T2+ κ3T3 κ4
)
e4n+O(e5n). (25) Berdasarkan persamaan eror [6] [10, h. 143–144], persamaan (25) dapat ditulis
en+1= ζe4n+O(e5n),
dengan
ζ = κ1T13− κ2T1T2+ κ3T3
κ4 ,
dengan κ1, κ2, κ3 dan κ4 diberikan pada persamaan (8) dan T1, T2 dan T3 dike- tahui pada persamaan (9). Jadi metode iterasi pada persamaan (4) memiliki orde
konvergensi empat. 2
3. UJI KOMPUTASI
Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar ganda persamaan nonlinear antara metode Schroder klasik(MSK), metode Thukral orde tiga(MTH), metode Wu–Li(MWU), metode Li–Cheng–Neta (ML1 dan ML2) dan metode iterasi baru PMTH. Persamaan nonlinear yang digu- nakan dalam melakukan uji komputasi adalah sebagai berikut.
(i) f1(x) = (sin x2+ x)10,
(ii) f2(x) = (e−x2 − ex2 − x8+ 8)12, (iii) f3(x) = (ln(x) +√
x− 1)8, (iv) f4(x) = (ex2+7x−30− 1)6.
Keempat contoh fungsi di atas dibandingkan dengan menggunakan program Maple 13 dengan toleransi sebesar 1.0× 10−250. Hasil dari uji komputasi untuk keempat contoh fungsi di atas ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi fn(x) x0 Metode n |f(xn+1)| |xn+1− α| COC[7]
f1 0.1
MSK 3 1.64e− 278 1.67e − 28 3.00 MTH 3 2.30e− 271 8.63e − 28 3.00 MWU 3 1.88e− 668 1.69e − 67 4.00 ML1 3 3.76e− 583 5.72e − 59 4.00 ML2 3 1.54e− 551 8.29e − 56 4.00 PMTH 3 2.27e− 692 6.85e − 70 4.00
f2 1.6
MSK 4 1.42e− 253 2.24e − 23 3.00 MTH 4 1.17e− 473 1.02e − 41 3.00 MWU 4 5.25e− 528 3.03e − 46 4.00 ML1 4 9.53e− 472 1.48e − 41 4.00 ML2 4 1.11e− 408 2.66e − 36 4.00 PMTH 3 5.81e− 330 9.65e − 30 4.01
f3 2.2
MSK 4 7.83e− 391 1.15e− 49 3.00 MTH 4 1.44e− 292 2.21e− 37 3.00 MWU 4 4.98e− 736 8.15e− 93 4.00 ML1 3 3.13e− 373 1.82e− 47 4.00 ML2 3 1.25e− 358 1.22e− 45 4.00 PMTH 3 6.43e− 295 1.12e− 37 4.00
f4 3.1
MSK 5 1.15e− 646 1.70e− 109 3.00 MTH 5 1.08e− 613 5.31e− 104 3.00 MWU 4 6.96e− 442 2.29e− 75 4.00 ML1 4 3.79e− 458 4.46e− 78 4.00 ML2 4 8.35e− 371 1.61e− 63 4.00 PMTH 3 2.24e− 273 2.78e− 47 3.99
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa semua metode yang digunakan dapat menemukan akar hampiran yang diharapkan untuk semua fungsi yang diberikan.
Selanjutnya berdasarkan Tabel 1 diketahui bahwa MSK, MTH, MWU, ML1, ML2 membutuhkan 3 sampai 5 iterasi sedangkan PMTH membutuhkan 3 iterasi untuk mendapatkan akar hampiran yang diharapkan. Hal ini berarti PMTH memerlukan jumlah iterasi yang lebih sedikit diantara kelima metode yang digunakan untuk komputasi. Jadi PMTH merupakan metode yang layak untuk dijadikan metode alternatif untuk mencari akar ganda persamaan nonlinear.
PMTH memiliki indeks efisiensi [10, h. 11-12] yaitu√4
4 = 1.4142 dan merupakan hasil dari modifikasi dari metode Thukral orde tiga yang memiliki indeks efisiensi
√4
3 = 1.3161.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada Dr. Syamsudhuha, M.Sc. yang telah meluangkah waktu, pikiran, motivasi dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan dan nasehat kepada penulis dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd Ed, Jhon Wiley and Sons, New York, 1978.
[2] S. G. Li, L. Z. Cheng dan B. Neta, Some fourth-order nonlinear solvers with closed formulae for multiple roots, Applied Mathematics and Computation, 59 (2010), 126-135.
[3] J. H. Mathews, Numerical Method for Mathematics Sciense and Engineering, 2nd Ed, New York, 1987.
[4] M. S. Petkovic, B. Neta, L. D. Petkovic dan J. Dzunic, Multipoint methods for solving nonlinear equation: A survey, Applied Mathematics and Computation, 226 (2014), 635-660.
[5] J. Stewart, Single Variable Calculus, 7nd Ed, Brooks/Cole, Belmont, 2012.
[6] R. Thukral, New variants of the Schroder method for finding zeros of nonlinear equations having unknown multiplicity, Journal of Advances in Mathematics, 8 (2014), 1675-1683.
[7] R. Thukral, New third-order Schroder-type method for finding zeros of solving nonlinear equations having unknown multiplicity, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 5 (2015), 147-153.
[8] R. Thukral, New fourth-order Schroder-type methods for finding zeros of nonlinear equation having unknown multiplicity, British Journal of Mathematics and Computer Science, 13 (2016), 1-10.
[9] R. Thukral, Further acceleration of Thukral third-order method for determining multiple zeros of nonlinear equations, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 7 (2017), 123-128.
[10] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equation, Prentice–Hall, New York, 1964.
[11] Z. Wu dan X. Li, A fourth-order modification of Newton’s method for multiple roots, International Journal of Recent Research and Applied Studies, 10 (2012), 166-170.
![Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi f n (x) x 0 Metode n |f(x n+1 ) | |x n+1 − α| COC[7]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/3912903.3994073/8.892.102.751.33.1262/tabel-perbandingan-hasil-komputasi-metode-iterasi-metode-coc.webp)
