METODE ITERASI OPTIMAL UNTUK MENCARI AKAR GANDA DARI PERSAMAAN NONLINEAR KARYA ILMIAH OLEH NADIAH RIFSYA PRATIWI NIM

METODE ITERASI OPTIMAL UNTUK MENCARI AKAR GANDA DARI PERSAMAAN NONLINEAR

KARYA ILMIAH

OLEH

NADIAH RIFSYA PRATIWI NIM. 1403114417

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2019

METODE ITERASI OPTIMAL UNTUK MENCARI AKAR GANDA DARI PERSAMAAN NONLINEAR

Nadiah Rifsya Pratiwi

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

nadiahrifsya@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses a three step iterative method with three weight functions and two free parameters for obtaining a multiple root of a nonlinear equation with known multiplicity. Analytically using Taylor expansion, geometric series and binomial series it is shown that the iterative method has eight order of convergence. Some numerical examples are done to see the performance of the proposed method by comparing it with some known iterative methods.

Keywords: Nonlinear equation, multiple root, iterative method, order of convergence, eight order

ABSTRAK

Pada artikel ini dibahas metode iterasi tiga langkah dengan tiga fungsi bobot dan dua parameter bebas untuk menenentukan akar ganda dari persamaan nonlinear dengan multipisitas diketahui. Secara analitik dengan menggunakan ekspansi Tay- lor, deret geometri dan deret binomial ditunjukkan bahwa metode yang dibahas memiliki orde konvergensi delapan. Beberapa contoh numerik digunakan untuk melihat peforma dari metode yang dibahas, selanjutnya hasilnya dibandingkan den- gan beberapa metode yang sudah dikenal.

Kata kunci: Persamaan Nonlinear, akar ganda, metode iterasi, orde konvergensi, orde delapan

1. PENDAHULUAN

Dalam bidang sains dan terapan sering dijumpai permasalahan yang berkaitan den-

gan menentukan solusi suatu persamaan nonlinear f (x) = 0 yang dapat diten-

tukan dengan metode analitik dan metode numerik. Dalam penyelesaian masalah

ini metode analitik memiliki kemampuan terbatas sehingga digunakan cara alternatif

yaitu dengan bantuan metode numerik.

Persamaan f (x) = 0 dikatakan mempunyai akar α dengan multipisitas m jika dan hanya jika f (α) = 0, f ^′ (α) = 0, . . . , f ^{(m −1)} (α) = 0, dan f ^(m) (α) ̸= 0. Jika m = 1 disebut akar sederhana dan m > 1 disebut dengan akar ganda [9, h. 75].

Salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari akar ganda persamaan nonlinear adalah metode Newton modifikasi dengan orde konvergensi kuadratik yang dijelaskan oleh Ralston dan Rabinowitz [9, h. 354]. Disamping itu beberapa penelitian juga telah dilakukan guna mendapatkan metode iterasi untuk mencari akar ganda persamaan nonlinear seperti metode Geum yang di kembangkan oleh Geum et al. [5] dengan orde konvergensi enam dan metode Behl yang dikem- bangkan oleh Behl et al.[3] dengan orde konvergensi delapan. Disamping itu Zafar et al.[12] mengembangkan pula metode iterasi untuk mencari akar ganda yang memiliki orde konvergensi delapan.

Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi untuk mencari akar ganda yang merupakan tinjauan ulang dari sebagian artikel Zafar et al.[12]. Kemudian di- lanjutkan di bagian tiga dengan melakukan perbandingan komputasi numerik den- gan menggunakan tiga persamaan nonlinear.

2. METODE ITERASI OPTIMAL ORDE DELAPAN

Diberikan metode iterasi tiga langkah untuk akar ganda sebagai berikut:

y _n = x _n − m f (x _n )

f ^′ (x _n ) , (1)

z _n = y _n − mu n H(u _n ) f (x n )

f ^′ (x _n ) , (2)

x _n+1 = z _n − u n v _n (A ₂ + A ₃ u _n )P (v _n )G(w _n ) f (x _n )

f ^′ (x _n ) , (3) dengan A ₂ , A ₃ ∈ R adalah parameter bebas dan fungsi bobot H : C → C, P : C → C dan G : C → C adalah fungsi analitik [4, h. 73] di lingkungan 0 dengan u _n = (f (y _n )/f (x _n ))

^m1

, v _n = (f (z _n )/f (y _n ))

^m1

dan w _n = (f (z _n )/f (x _n ))

^m1

merupakan fungsi bobot.

Teorema 1 Misalkan α adalah akar ganda dengan multiplisitas m ≥ 1 dari f (x) = 0. Asumsikan f : C → C adalah fungsi analitik secukupnya pada daerah yang memuat akar ganda α. Metode iterasi yang didefinisikan pada persamaan (1)- (3) mempunyai kekonvergenan orde delapan yang optimal, dengan memenuhi syarat A ₂ = 1, A ₃ = 2A ₂ , H ₀ = 1, H ₁ = 2, H ₂ = −2, H 3 = 36, P ₀ = P ₁ , G ₀ = m/P ₀ A ₂ dan G ₁ = 2m/P ₀ A ₂ .

Bukti. Misalkan α adalah akar ganda dari persamaan f (x) = 0. Asumsikan e _n =

x _n − α, kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor [2, h. 189] dari f(x) di sekitar

x = α dan dievaluasi di titik x = x _n dengan mengabaikan suku yang memuat

(x n − α) ^j untuk j ≥ m + 9 sehingga diperoleh

f (x _n ) = f ^(m) (α)

m! e ^m _n (1 + c ₁ e _n + c ₂ e ² _n + c ₃ e ³ _n + · · · + c 7 e ⁷ _n + c ₈ e ⁸ _n ) + O(e ⁹ _n ) (4) dimana c _k = m!f ^(m+k) (α)/(m + k)!f ^(m) (α), k = 1, 2, . . . , 8.

Kemudian f ^′ (x) didapatkan dari turunan pertama f (x) dan dievaluasi di titik x = x n dengan mengabaikan suku yang memuat (x n −α) ^k untuk k ≥ m+9 sehingga didapat

f ^′ (x _n ) = f ^(m) (α)e ^m _n ⁻¹

(m − 1)! (1 + d ₁ e _n + d ₂ e ² _n + · · · + d 7 e ⁷ _n + d ₈ e ⁸ _n ) + O(e ⁹ _n ) (5) dimana d _k = (m − 1)!f ^(m+k) (α)/(m + k − 1)!f ^(m) (α), k = 1, 2, . . . , 8.

Setelah itu persamaan (4) dibagi dengan persamaan (5) dan diselesaikan dengan deret geometri [10, h. 730] sehingga dihasilkan

f (x _n ) f ^′ (x _n ) = e _n

m − c ₁ e ² _n m ² + ( c ² ₁

m ³ − 2c ₂ m ² + c ² ₁

m ² )e ³ _n + ( −3c 3

m ² − · · · − c ³ ₁ m ² )e ⁴ _n + ( −4c ² ₁ c ₂

m ² − · · · + c ⁴ ₁

m ² )e ⁵ _n + ( −14c ² ₁ c ₃

m ³ − · · · + 12c ₂ c ₃ m ³ )e ⁶ _n + ( 6c 5 c 1

m ² + · · · + 5c ⁶ ₁

m ⁶ )e ⁷ _n + ( − 6c ⁷ ₁

m ⁷ − · · · − 128c ³ ₁ c ² ₂

m ⁵ )e ⁸ _n + O(e ⁹ _n ). (6) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan (1) diperoleh

y _n = α + c ₁ e ² _n

m + (2c ₂ m − c ² ₁ (m + 1))e ³ _n

m ² + (3 c ₃ m ² + · · · − 4 c 1 c ₂ m)e ⁴ _n m ³

+ (2 c ₂ ² m ³ + · · · + 6 c 1 c ₃ m ² )e ⁵ _n

m ⁴ + (4 c ₁ ⁵ m + · · · − 5 c 1 3 c ₂ m ⁴ )e ⁶ _n m ⁵

+ ( −12 c 1 c ₃ c ₂ m ⁵ · · · + 24 c 1 3 c ₃ m ⁴ )e ⁷ _n

m ⁶ + (c ₁ ⁷ + · · · − 72 c 1 2 c ₂ c ₃ m ³ )e ⁸ _n m ⁷

+ O(e ⁹ _n ). (7)

Misalkan e n,y = y n − α dan ekspansi Taylor dari f(x) dilakukan di sekitar x = α dan dievaluasi di titik x = y _n dengan mengabaikan suku yang memuat (y _n − α) ^k untuk k ≥ m + 9 sehingga diperoleh

f (y _n ) = f ^(m) (α)e ^2m _n m!

( c ₁ m

) m (

1 + (c ₁ ² + mc ₁ ² − 2 mc 2 ) c 1

+ γ ₀ e ² _n

2mc ² ₁ + γ ₁ e ³ _n 6c 1 3 m ² + γ 2 e ⁴ _n

24m ³ c ₁ ⁴ + γ 3 e ⁵ _n

120m ⁴ c ₁ ⁵ + γ 4 e ⁶ _n

720m ⁵ c ₁ ⁶ + γ 5 e ⁷ _n

5040m ⁶ c ₁ ⁷ + γ 6 e ⁸ _n 40320m ⁷ c ₁ ⁸ + O(e ⁹ _n )

)

(8)

dengan

γ ₀ =( −6 m ² c ₁ ² c ₂ + · · · + 3 m ² c ₁ ⁴ ), γ ₁ =(24 m ⁴ c ₁ ⁴ c ₂ + · · · + 6 m ⁵ c ₁ ⁴ c ₂ ), γ ₂ =( −96 m ⁴ c ₂ ⁴ − · · · + 102 m ⁴ c ₁ ⁸ ), γ 3 =( −720 m ⁵ c 5 c 1 5

+ · · · + 32 m ⁹ c 2 5

), γ ₄ =( −23988 m ⁷ c ₁ ¹⁰ c ₂ − · · · + 5374 c 1 12

m), γ ₅ =( −194160 c 1 14 m ⁶ + · · · − 1493436 m ⁷ c ₁ ¹⁰ c ₂ ² ), γ ₆ =(969472 c ₂ ⁵ c ₁ ⁶ m ⁷ + · · · + 13440 m ¹⁴ c ₂ ⁴ c ₁ ⁸ ).

Selanjutnya untuk mendapatkan u _n = (f (y _n )/f (x _n ))

^m1

dihitung menggunakan per- samaan (8) dan persamaan (4), sehingga dengan deret binomial [10, h. 785] diper- oleh

u _n = c ₁ e _n

m − (mc ₁ ² + 2 c ₁ ² − 2 mc 2 )e ² _n

m ² + (7 mc ₁ ³ + · · · − 14 mc 1 c ₂ ) e ³ _n 2m ³

− (12m ³ c ² ₂ + · · · − 24c 4 m ³ ) e ⁴ _n

6m ⁴ + ( −120 c 1 c ₄ m ⁴ + · · · + 120 c 5 m ⁴ ) e ⁵ _n 24m ⁵

+ O(e ⁶ _n ). (9)

Untuk mendapatkan H(u _n ) dilakukan ekspansi Taylor dari H(x) di sekitar x = 0 dan dievaluasi di titik x = u _n dengan u _n diketahui pada persamaan (9) sehingga diperoleh

H(u _n ) = H ₀ + H 1 c 1 e n

m − (4 H 1 c 1 2 − · · · + 2 H 1 c 1 2 m) e ² _n

2m ² + h 0 e ³ _n

6m ³ + h 1 e ⁴ _n 6m ⁴ + h ₂ e ⁵ _n

24m ⁵ + h ₃ e ⁶ _n

12m ⁶ + h ₄ e ⁷ _n

48m ⁷ + h ₅ e ⁸ _n

144m ⁸ + O(e ⁹ _n ), (10) dengan

h ₀ =( −42 H 1 c ₁ c ₂ m − · · · + H 3 c ₁ ³ ), h ₁ =( −24 H 1 c ₄ m ³ − · · · + 60 H 1 c ₁ c ₃ m ² ), h ₂ =( −304 H 2 c ₁ ⁵ + · · · − 120 H 1 c ₁ c ₄ m ⁴ ), h 3 =( −134 H 3 c 1 6 − · · · + 16 H 3 c 2 3

m ³ ),

h ₄ =( −1872 H 2 c ₁ ² c ₂ c ₃ m ⁵ + · · · − 528 H 3 c ₁ ⁴ c ₃ m ⁴ ), h ₅ =( −98442 H 2 c ₁ ⁶ c ₂ m ² − · · · + 44208 H 3 c ₁ ³ c ₂ c ₃ m ³ ).

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (6) - (10) ke persamaan (2) dimana H ₀ = 1 dan H ₁ = 2 didapat

z _n = α + (mc ₁ ³ + 9 c ₁ ³ − 2 mc 2 c ₁ − H 2 c ₁ ³ ) e ⁴ _n

2m ³ − η ₅ e ⁵ _n

6m ⁴ + η ₆ e ⁶ _n

24m ⁵ + η ₇ e ⁷ _n

24m ⁶ + O(e ⁸ _n ),

(11)

dengan

η ₅ = (

12 m ² c ₂ ² − · · · + 18 H 2 c ₁ ² c ₂ m ) , η ₆ = (

16 H ₃ c ₁ ⁵ m + · · · + 46 m ³ c ₁ ⁵ ) , η 7 = (

936 H 2 c 3 c 1 3

m ² + · · · − 5209 c 1 6

m ² ) .

Selanjutnya misalkan e _n,z = z _n − α dilakukan ekspansi Taylor dari f(z) di sekitar z = α dan dievaluasi di titik z = z _n dengan mengabaikan suku yang memuat (z n − α) ^k untuk k ≥ m + 9 sehingga diperoleh

f (z _n ) =f ^(m) (α)e ^4m _n (

− K ₁ 2m ³ − 1

3

ρ ₀ K ₁ ^m

c ₁ K ₀ e _n + 1 36

ρ ₁ K ₁ ^m

mc ² ₁ K ₀ ² e ² _n − 1 324

ρ ₂ K ₁ ^m m ² c ³ ₁ K ₀ ³ e ³ _n

− 1 7776

ρ ₃ K ₁ ^m

m ³ c ⁴ ₁ K ₀ ⁴ e ⁴ _n + 1 116640

ρ ₄ K ₁ ^m

m ⁴ c ⁵ ₁ K ₀ ⁵ e ⁵ _n − 1 72

ρ ₅ K ₁ ^m

m ⁵ K ₀ e ⁶ _n + 1 648

ρ ₆ K ₁ ^m m ⁶ c ₁ K ₀ ² e ⁷ _n

+ 1

15552

ρ ₇ K ₁ ^m m ⁶ c ² ₁ K ₀ ³ e ⁸ _n

)

+ O(e ⁹ _n ), (12)

dimana

K ₁ =c ₁ (

−mc 1 2 − 9 c 1 2 + 2 mc ₂ + H ₂ c ₁ ² ) , K ₀ = (

−mc 1 2 − 9 c 1 2 + 2 mc ₂ + H ₂ c ₁ ² ) ,

ρ ₀ =( −12 m ² c ₁ c ₃ − 125 c 1 4 + · · · + 168 mc 1 2 c ₂ − 12 m ² c ₂ ² ), ρ ₁ =(24 c ₁ ⁶ H ₂ c ₂ H ₃ m − 13008 m ⁴ c ₁ ⁶ c ₂ − · · · + 72 m ² c ₁ ⁶ H ₂ c ₂ H ₃ ), ρ ₂ =(684288 m ⁵ c ₁ ⁴ c ₄ c ₂ ² − 685584 m ⁴ c ⁸ ₁ c ₄ H ₂ + · · · − 3888 m ³ c ₁ ⁸ c ₄ H ₂ ³ ), ρ ₃ =(18327931344 m ⁶ c ₁ ¹² H ₂ c ₂ ² + · · · − 33955200 m ⁶ c ₁ ¹¹ H ₂ ² c ₅ ), ρ 4 =(446312071980 c 1 20

H 2 2

+ · · · + 174960 c 1 20

H 2 6

m ² ), ρ ₅ =(972 c ₁ ⁸ H ₃ + 1062 c ₁ ⁸ H ₂ ² + · · · + 72 H 2 m ³ c ₁ ⁶ H ₃ c ₂ ), ρ ₆ =(4485780 H ₂ c ₁ ¹² + · · · + 16038 H 2 3 c ₁ ¹² m ⁵ ),

ρ ₇ =( −1259712 c ⁹ ₁ H ₂ ⁴ c ² ₂ c ₃ m ⁴ − · · · − 57055104m ⁶ c ¹¹ ₁ H ₂ ² c ₅ ).

Kemudian untuk mendapatkan w _n = (f (z _n )/f (x _n ))

^m1

dan v _n = (f (z _n )/f (y _n ))

^m1

dihitung menggunakan persamaan (5), (8) dan (4). Selanjutnya diselesaikan dengan deret binomial sehingga diperoleh

w _n = ( −H 2 c ₁ ² + mc ₁ ² + 9 c ₁ ² − 2 mc 2 ) e ³ _n

2m ³ + (24 H ₂ c ₁ ⁴ + · · · − 12 m ² c ₂ ² ) e ⁴ _n 6m ⁴

− (72 H ₂ c ₁ ⁵ m ² + · · · + 168 m ³ c ₂ c ₃ ) e ⁵ _n

24m ⁵ − (72 c ₂ c ₄ m ⁵ + · · · + 863 c 1 6 m ³ ) e ⁶ _n 12m ⁶

+ (85536c ¹² ₁ H ₂ ² H ₃ ² c ² ₂ m ⁴ + · · · + 37127808m ⁶ c ¹¹ ₁ H ₂ ² c ₅ ) e ⁷ _n

15552c ³ ₁ m ⁷ (H 2 c ² ₁ − mc ² 1 − 9c ² 1 + 2mc 2 ) ³ + O(e ⁸ _n ), (13)

dan

v _n = − H ₂ c ² ₁ − mc ² 1 − 9c ² 1 + 2mc ₂

2m ² e ² _n + (18 H ₂ c ₁ ³ + · · · − 12 m ² c ₃ )e ³ _n 6m ³

− (198 H ₂ c ₁ ⁴ m + · · · − 36 m ³ c ₂ ² )e ⁴ _n

24m ⁴ − (148 c ₁ ⁶ H ₃ − · · · + 939c ⁶ 1 m ³ c ₁ )e ⁵ _n 24c ₁ m ⁵

+ O(e ⁶ _n ). (14)

Setelah itu dilakukan ekpansi Taylor dari P (v n ) dan G(w n ) berturut-turut di sekitar v _n = 0 dan w _n = 0 dengan cara yang sama seperti mendapatkan persamaan (10) diperoleh

P (v _n ) = P ₀ − P ₁ (H ₂ c ² ₁ − mc ² 1 − 9c ² 1 + 2mc ₂ ) e ² _n

2m ² + φ ₁ e ³ _n

6m ³ − φ ₂ e ⁴ _n

24m ⁴ + φ ₃ e ⁵ _n 24m ⁵ c 1

− φ ₄ e ⁶ _n

144m ⁶ + φ ₅ e ⁷ _n

144m ⁷ c ₁ + O(e ⁸ _n ), (15)

dengan

φ ₁ =P ₁ (18H ₂ c ³ ₁ + · · · − 12m ² c ₃ ), φ ₂ =(12P ₂ c ² ₁ c ₂ m ² + · · · − 243 P 2 c ₁ ⁴ ), φ ₃ =(24 P ₁ c ₁ ⁶ m ⁵ · · · + 216 P 1 c ₁ ⁴ H ₂ c ₂ m ³ ),

φ ₄ =(10116 P ₂ c ₁ ² H ₂ c ₂ ² m ² − · · · − 120 P 2 c ₁ ⁴ H ₃ H ₂ c ₂ m), φ 5 =(966 P 2 c 1 8

H 2 H 3 m − · · · − 1302 P 2 c 1 8

m ⁵ ),

dan juga

G(w n ) = G 0 + G 1 c 1 ( −H 2 c 1 2 + mc 1 2 + 9 c 1 2 − 2 mc 2 ) e ³ _n 2m ³

+ G ₁ (24H ₂ c ⁴ ₁ + · · · − 12m ² c ² ₂ )

6m ⁴ e ⁴ _n + O(e ⁵ _n ). (16) Untuk x _n+1 disubstitusikan persamaan (4)-(16) ke persamaan (3) sehingga diper- oleh

x _n+1 = α + C ₁ e ⁴ _n

2m ⁴ + C ₂ e ⁵ _n

6m ⁵ + C ₃ e ⁶ _n

24m ⁶ + C ₄ e ⁷ _n

24m ⁷ + C ₅ e ⁸ _n

144c ₁ m ⁸ + O(e ⁹ _n ), (17)

dimana

C ₁ =c ₁ (m ² c ₁ ² + · · · − 9 A 2 c ₁ ² P ₀ G ₀ ),

C ₂ =( −3A 3 c ⁴ ₁ P ₀ G ₀ m + · · · + 90A 2 c ⁴ ₁ P ₀ G ₀ m), C ₃ =(108A ₂ H ₂ c ² ₁ c ₃ P ₀ G ₀ m ² − · · · − 72H 2 m ³ c ⁵ ₁ ), C 4 =( −2736H 2 m ³ c ⁴ ₁ c 2 + · · · + 90A 2 H ₂ ² c ⁶ ₁ P 1 G 0 ),

C ₅ =(3456A ₂ c ₂ c ₃ P ₀ G ₀ c ³ ₁ m ⁶ + · · · + 2592A 2 H ₂ c ² ₂ c ₃ P ₀ G ₀ m ⁴ c ₁ c ₁ ).

Oleh karena e _n+1 = x _n+1 − α dan dengan mensubstitusikan syarat pada Teorema 1 ke persamaan (17) diperoleh

e _n+1 = 1 48m ⁷ c ₁ P ₀

[

(3993 c ₁ ⁸ P ₂ + 22558 c ₁ ⁸ P ₀ − 2160 c 2 c ₅ m ⁵ c ₁ P ₀ + 3 c ₁ ⁸ P ₂ m ³ + 6984 c ₂ ² c ₃ m ⁵ c ₁ P ₀ + 1152 c ₂ ² c ₃ m ⁶ c ₁ P ₀ + 1248 c ₂ ⁴ m ⁴ P ₀ + 17304 c ₂ ² c ₃ m ⁴ c ₁ P ₀ − 816 c 3 c ₄ m ⁵ c ₁ P ₀ − 576 c 2 c ₅ m ⁶ c ₁ P ₀

− 71880 c 2 c ₃ c ₁ ³ m ³ P ₀ − 1152 c 2 c ₃ c ₁ ³ m ⁶ P ₀ + 144 c ₁ ² c ₃ ² m ⁶ P ₀

− 44448 c 2 c 3 c 1 3

m ⁴ P 0 − 9480 c 2 c 3 c 1 3

m ⁵ P 0 + 99 c 1 8

P 2 m ² + 5376 c ₂ c ₄ c ₁ ² m ⁵ P ₀ + 864 c ₂ c ₄ c ₁ ² m ⁶ P ₀ + 5760 c ₁ ² c ₃ ² m ⁴ P ₀ + 2280 c ₁ ³ c ₅ m ⁴ P ₀ + 13344 c ₂ c ₄ c ₁ ² m ⁴ P ₀ + 1089 c ₁ ⁸ P ₂ m + 99 c ₁ ⁸ P ₂ m ² + 1056 c ₂ ⁴ m ⁵ P ₀ + 192 c ₂ ⁴ m ⁶ P ₀ + 48 c ₁ ⁸ m ⁶ P ₀ + 288 c ₁ ³ c ₅ m ⁶ P ₀ − 8952 c 1 4 c ₄ m ⁴ P ₀ + 20228 c ₁ ⁸ m ³ P ₀

− 6984 c 2 3 c ₁ ² m ⁵ P ₀ − 26472 c 2 3 c ₁ ² m ⁴ P ₀ + 4284 c ₁ ⁸ m ⁴ P ₀ + 62812 c ₁ ⁸ mP ₀ + 51206 c ₁ ⁸ m ² P ₀ − 288 c 2 c ₃ ² m ⁶ P ₀ + 1368 c 1 3

c 5 m ⁵ P 0 + 1536 c 1 2

c 3 2

m ⁵ P 0 + 288 c 1 5

c 3 m ⁶ P 0

− 288 c 1 4 c ₄ m ⁶ P ₀ − 43200 c 2 3 c ₁ ² m ³ P ₀ − 960 c 2 3 c ₁ ² m ⁶ P ₀

− 2168 c 1 4 c ₄ m ⁵ P ₀ − 11392 c 1 4 c ₄ m ³ P ₀ + 47332 c ₁ ⁵ c ₃ m ³ P ₀ + 1008 c ₁ ⁴ c ₂ ² m ⁶ P ₀ + 2756 c ₁ ⁵ c ₃ m ⁵ P ₀ − 103692 c 1 6 c ₂ m ³ P ₀

− 384 c 1 6 c ₂ m ⁶ P ₀ − 26846 c 1 6 c ₂ m ⁴ P ₀ − 3844 c 1 6 c ₂ m ⁵ P ₀ + 146656 c ₁ ⁴ c ₂ ² m ² P ₀ + 142376 c ₁ ⁴ c ₂ ² m ³ P ₀ − 24 c 1 2 c ₂ ³ P ₂ m ³ + 8872 c 1 4

c 2 2

m ⁵ P 0 + 17118 c 1 5

c 3 m ⁴ P 0 + 43626 c 1 5

c 3 m ² P 0

− 288 c 1 2

c ₆ m ⁵ P ₀ − 288 c 1 2

c ₆ m ⁶ P ₀ − 125624 c 1 6

c ₂ mP ₀

− 190282 c 1 6 c ₂ m ² P ₀ − 1152 c 2 c ₃ ² m ⁵ P ₀ − 576 c 2 2 c ₄ m ⁶ P ₀ + 576 c ₂ c ₆ m ⁶ P ₀ − 2112 c 2 2 c ₄ m ⁵ P ₀ + 49664 c ₁ ⁴ c ₂ ² m ⁴ P ₀ + 396 c ₁ ⁴ c ₂ ² P ₂ m ² − 2178 c 1 6 P ₂ c ₂ m − 396 c 1 6 P ₂ c ₂ m ² + 36 c 1 4

c 2 2

P 2 m ³ − 18 c 1 6

P 2 c 2 m ³ + 528 c 1 8

m ⁵ P 0 )e ⁸ _n ]

+ O(e ⁹ _n ).

(18)

Berdasarkan definisi orde konvergensi [1, h. 101] bahwa metode iterasi yang diberikan

oleh persamaan (1)-(3) memiliki orde konvergensi delapan. Perhatikan juga bahwa metode yang diusulkan memerlukan empat perhitungan fungsi periterasi, maka menurut ketentuan Conjecture Kung-Traub[7] metode yang diusulkan ini adalah metode optimal.

Selanjutnya, diamati dua kasus khusus yang bergantung pada pemilihan fungsi bobot.

Kasus Pertama

Pada kasus ini digunakan Fungsi bobot pada Teorema 1 berbentuk polinomial, se- hingga metode iterasi sebagai berikut:

y _n = x _n − m f (x _n ) f ^′ (x _n ) ,

z _n = y _n − mu n (6u ³ _n − u ² n + 2u _n + 1) f (x _n ) f ^′ (x _n ) , x _n+1 = z _n − u n v _n (A ₂ + A ₃ u _n )(1 + v _n )

( 2mw _n + m A ₂ P ₀

) f (x _n ) f ^′ (x _n ) , Kasus Kedua

Pada kasus ini digunakan Fungsi bobot pada Teorema 1 berbentuk fungsi rasional, sehingga metode iterasi sebagai berikut:

y _n = x _n − m f (x _n ) f ^′ (x _n ) , z _n = y _n − mu n

( 1 − 5u ² n + 8u ³ _n

−2u n + 1

)( f (x _n ) f ^′ (x _n )

) ,

x _n+1 = z _n − u n v _n (A ₂ + A ₃ u _n )(1 + v _n )

( 2mw _n + m A ₂ P ₀

) f (x _n ) f ^′ (x _n ) .

3. PERBANDINGAN KOMPUTASI NUMERIK

Pada bagian ini dilakukan perbandingan komputasi untuk membandingkan metode- metode yang sudah dibahas pada artikel ini. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam melakukan perbandingan adalah

(i) f ₁ (x) = (cos(x) − x) ³ , m = 3, α ∈ [0, 1],

(ii) f ₂ (x) = x ³ − 5.22x ³ + 9.0825x − 5.2675, m = 2, α ∈ [1, 2], (iii) f ₃ (x) = x ⁴ + 11.50x ³ + 47.49x ² + 83.06325x + 51.23266875,

m = 2, α ∈ [−3, −2].

Untuk mendapatkan solusi dari ketiga fungsi di atas, digunakan toleransi 1.0 × 10 ⁻²⁹⁰ dan tebakan awal yang diberikan berbeda-beda untuk melihat sensitivitas apakah nilai ini mengganggu kepada kekonvergenan. Singkatan nama metode yang digunakan adalah

(i) GM : Metode Geum, (ii) OM : Metode Behl,

(iii) MIO81 : Metode Iterasi Orde Delapan Kasus Pertama, (iv) MIO82 : Metode Iterasi Orde Delapan Kasus Kedua.

Adapun kriteria pemberhentian program komputasi adalah |x n+1 − α| ≤ tol atau

|f(x n+1 ) | ≤ tol atau jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi yaitu 100.

Hasil dari perbandingan komputasi untuk keempat fungsi di atas ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi.

f _i (x) Metode x ₀ n + 1 |f(x n+1 ) | |x n+1 − α| COC

f ₁

GM

0.8

3 1.818e − 1007 1.571e − 336 6.00 OM 3 1.382e − 2283 6.656e − 762 8.00 MIO81 3 8.056e − 2321 2.581e − 774 8.00 MIO82 3 2.431e − 2305 3.729e − 769 8.00

GM

1.0

3 7.490e − 638 2.519e − 213 6.00 OM 3 9.869e − 1406 2.761e − 469 8.00 MIO81 3 3.406e − 1455 8.990e − 486 8.00 MIO82 3 1.870e − 1443 7.362e − 482 8.00

GM

1.2

3 4.928e − 516 1.017e − 172 6.00 OM 3 1.119e − 1117 2.879e − 373 8.00 MIO81 3 6.574e − 1172 2.412e − 391 8.00 MIO82 3 3.527e − 1164 9.095e − 389 8.00

f ₂

GM

1.8

4 1.522e − 638 7.122e − 319 6.00 OM 4 2.476e − 1704 9.084e − 852 8.00 MIO81 4 9.744e − 1888 1.802e − 943 8.00 MIO82 4 7.853e − 1858 1.618e − 928 8.00

GM

2.0

5 4.049e − 1210 1.162e − 604 6.00 OM 4 7.936e − 500 1.626e − 249 8.00 MIO81 4 3.606e − 588 1.096e − 293 8.00 MIO82 4 3.444e − 576 1.071e − 287 8.00

GM

2.2

5 3.489e − 781 3.410e − 390 6.00

OM 4 7.177e − 314 1.547e − 156 8.00

MIO81 4 9.728e − 378 1.801e − 188 8.00

MIO82 4 2.566e − 370 9.248e − 185 8.00

f _i (x) Metode x ₀ n + 1 |f(x n+1 ) | |x n+1 − α| COC

f ₃

GM

−2.8

4 7.428e − 1679 5.948e − 840 6.00 OM 3 8.293e − 466 1.987e − 233 8.00 MIO81 3 3.290e − 448 1.252e − 224 8.00 MIO82 3 3.294e − 448 1.252e − 224 8.00

GM

−3.0

4 4.221e − 450 1.418e − 225 6.00 OM 4 2.046e − 735 3.121e − 368 8.00 MIO81 4 4.392e − 667 4.573e − 334 8.00 MIO82 4 4.397e − 667 4.576e − 334 8.00

GM

−3.1

4 4.486e − 326 1.462e − 163 6.00 OM 4 1.873e − 507 2.986e − 254 8.00 MIO81 4 3.190e − 420 1.233e − 210 8.00 MIO82 4 3.198e − 420 1.234e − 210 8.00

Pada Tabel 1 kolom pertama merupakan fungsi nonlinear yang berbeda dino- tasikan dengan f _i (x), kolom kedua metode-metode yang dibandingkan, kolom ketiga tebakan awal dinotasikan dengan x ₀ , kolom keempat jumlah iterasi dinotasikan den- gan n + 1, kolom kelima nilai fungsi dinotasikan sebagai |f(x n+1 ) |, kolom keenam mutlak error dinotasikan sebagai |x n+1 − α| dan kolom ketujuh merupakan nilai orde konvergensi dinotasikan sebagai COC.

Secara keseluruhan berdasarkan Tabel 1 semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua fungsi dan tebakan awal yang diberikan dengan toleransi 1.0 × 10 ⁻²⁹⁰ . Dalam segi jumlah iterasi setiap metode memerlukan jumlah iterasi yang relatif sama.

Berdasarkan Tabel 1 pada fungsi pertama MIO81 dan MIO82 lebih unggul dibandingkan dengan GM dan OM untuk setiap tebakan awal yang diberikan, dan juga setiap metode memiliki jumlah iterasi yang sama. Pada fungsi yang kedua ketika x ₀ = 1.8 GM dan OM lebih unggul dibandingkan MIO81 dan MIO82. Sedan- gkan ketika x ₀ = 2.0 dan x ₀ = 2.2 MIO81 dan MIO82 lebih unggul dibandingkan OM namun GM merupakan metode paling unggul dari semua metode. Pada fungsi ketiga ketika x ₀ = −2.8 GM lebih unggul dari semua metode yang dibandingkan.

Ketika x ₀ = −3.0 dan x 0 = −3.1 OM yang lebih unggul dari semua metode yang dibandingkan.

Jadi dari hasil perbandingan komputasi dihasilkan bahwa MIO81 dan MIO82 se- banding dengan OM. Hal ini menunjukkan bahwa MIO81 dan MIO82 bisa dijadikan metode alternatif untuk mencari akar ganda dari persamaan nonlinear berdasarkan contoh fungsi nonlinear yang didiskusikan.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M.,

M.Sc. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] K. E. Atkinson, An Intrduction to Numerical Analysis, Third Ed., Jhon Wiley

& Sons, New York, 2004.

[2] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Ed., Jhon Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2011.

[3] R. Behl, A. Cordero, S. S. Motsa, dan J. R. Torregrosa, An eight-order fam- ily of optimal multiple root finders and its dynamics, Numer. Algor. (2017).

https://doi.org/10.1007/s11075-017-0361-6.

[4] J. W. Brown dan R. V. Churchill, Complex Variables and Applications, Eight Ed., McGraw-Hill, New York, 2009.

[5] Y. H Geum, Y. I. Kim dan B. Neta, A sixth-order Family of three-point modified Newton-like multiple-root finders and the dynamics behind their extraneous fixed points, Applied Mathematics and Computation, 283(2016), 120-140.

[6] L. O. Jay, A note on Q-order of convergence, BIT Numerical Mathematics, 41(2001), 422-429.

[7] H. T. Kung dan J. F. Traub, Optimal order of one-point and multipoint itera- tion, Journal of the Association for Computing Machinery, 21(1974), 643-651.

[8] J. H. Mathews dan K. D. Fink, Numerical Methods Using MATLAB, Third Ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1999.

[9] A. Ralston dan P. Rabinowits, A First Course in Numerical Analysis, Second Ed., McGraw-Hill, New York, 1978.

[10] J. Stewart, Single Variable Calculus, Seventh Ed., Brooks/Cole, Belmont, 2012.

[11] R. Thukral, Introduction to higher-order iterative methods for finding multi- ple roots of nonlinear equations, Journal of Mathematics, 2013, 1-3.

[12] F. Zafar, A. Cordero, R. Quratulain dan J. R. Torregrrosa, Optimal iterative

methods for finding multiple roots of nonlinear equations using free parameters,

J Math Chem, (2017). https://doi.org/10.1007/s10910-017-0813-1.