KELUARGA METODE CHEBYSHEV-HALLEY OPTIMAL BEBAS TURUNAN KEDUA
BERDASARKAN RATA-RATA
KARYA ILMIAH
OLEH
SYAIFUL AZIS NIM. 1403113892
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2019
KELUARGA METODE CHEBYSHEV-HALLEY OPTIMAL BEBAS TURUNAN KEDUA
BERDASARKAN RATA-RATA Syaiful Azis
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the new fourth-order optimal method which is a family of Chebyshev-Halley type method to solve nonlinear equations. This free from second- order derivative method is derived by modifying the Chebyshev-Halley method using arithmetic, contraharmonic and centroidal mean. Computational process requires two functions and one first-derivative function evaluations with efficiency indexes are 1.587. Furthermore, the computational tests show that the proposed method converges is faster than the Newton’s, Chebyshev’s, Halley’s and King’s methods.
Keywords: Chebyshev-Halley’s method, Newton’s method, King’s method, optimal iterative method, efficiency index
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode baru orde empat optimal keluarga dari metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.
Metode ini merupakan hasil modifikasi metode Chebyshev-Halley dengan menggunakan rata-rata: aritmatika, kontraharmonik dan sentroidal. Dalam proses komputasi, metode ini membutuhkan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, yaitu dua evaluasi fungsi dan satu evaluasi fungsi turunan pertama dengan indeks efisiensi 1.587. Selanjutnya uji komputasi menunjukkan bahwa hasil modifikasi dari metode Chebyshev-Halley lebih cepat konvergen dibandingkan metode Newton, Chebyshev, Halley dan King.
Kata kunci: Metode Chebyshev-Halley, Metode Newton, metode King, metode iterasi optimal, indeks efisiensi
1. PENDAHULUAN
Permasalahan di bidang matematika yang sering terjadi adalah bagaimana menyelesaikan persamaan nonlinear berbentuk f (x) = 0. Dalam penyelesaian persamaan nonlinear ini metode numerik sering digunakan. Metode numerik yang paling banyak digunakan yaitu metode Newton yang bentuk iterasinya sebagai berikut:
xn+1 = xn− f (xn)
f0(xn), n = 0, 1, 2, . . . ,
dimana f0(xn) 6= 0 dengan nilai awal x0. Metode Newton memiliki orde konvergensi dua [9, h. 77] dengan indeks efisiensi 212 ≈ 1.4142. Dalam perkembangannya metode Newton telah banyak mengalami modifikasi dengan tujuan meminimalkan jumlah iterasi dan memperkecil nilai kesalahan. Salah satu hasil modifikasi metode Newton adalah metode King [6] yang diperoleh dengan kombinasi dua metode Newton
yn = xn− f (xn) f0(xn), xn+1 = yn− f (yn)
f0(yn).
(1)
Selanjutnya dengan menyatakan
f0(yn) = f0(xn)f (xn) + γf (yn)
f (xn) + βf (yn), (2) dan memilih γ = β − 2 pada persamaan (2) diperoleh
f0(yn) = f0(xn)f (xn) + (β − 2)f (yn)
f (xn) + βf (yn) . (3) Apabila persamaan (3) disubstitusikan ke dalam persamaan (1) dan kemudian disederhanakan maka diperoleh rumus metode King sebagai berikut:
yn = xn− f (xn) f0(xn) xn+1 = yn− f (yn)
f0(xn)
f (xn) + βf (yn)
f (xn) + (β − 2)f (yn), n = 0, 1, 2, . . . ,
dengan f0(xn) 6= 0. Metode King memiliki orde konvergensi empat [6] dengan indeks efisiensi 413 ≈ 1.5874.
Selain metode King, salah satu hasil modifikasi dari metode Newton yaitu metode Chebyshev-Halley [5]. Bentuk umum dari metode Chebyshev-Halley adalah
xn+1= xn−
1 + Lf(xn) 2(1 − αLf(xn))
f (xn)
f0(xn), α ∈ R, (4)
dimana
Lf(xn) = f00(xn)f (xn) f0(xn)2 .
Metode Chebyshev-Halley memiliki orde konvergensi tiga dengan indeks efisiensi 313 ≈ 1.4422. Akan tetapi, metode ini dianggap tidak praktis dari segi komputasi karena memuat turunan bentuk kedua [5]. Untuk itu penulis bermaksud melakukan pengembangan dari metode Chebyshev-Halley sehingga bebas dari turunan orde kedua yang merujuk pada artikel M. Kansal, V. Kanwar dan S. Bhathia [5]. Akan tetapi, sebelum masuk pembahasan lebih lanjut, berikut akan diberikan beberapa definisi dasar.
Definisi 1 (Orde Konvergensi) [3, h. 79]. Asumsikan bahwa barisan iterasi {xn}∞n=1 yang konvergen ke r, dengan r 6= xn untuk semua nilai n. Jika terdapat suatu konstanta positif K dan p dengan
n→∞lim
|xn+1− r|
|xn− r|p = K,
maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke r dengan orde konvergensi p dan konstanta kesalahan asimtotik (asymptotic error constant ) K.
Definisi 2 (Persamaan Tingkat Kesalahan) [10] Apabila notasi en = xn − r merupakan notasi untuk nilai tingkat kesalahan pada iterasi ke-n, maka
en+1= cepn+ O(ep+1n )
disebut sebagai persamaan tingkat kesalahan, dengan nilai p adalah orde konvergensi dan O(ep+1n ) menyatakan kuantitas yang ukurannya proporsional terhadap ep+1n atau lebih kecil.
Definisi 3 (Indeks Efisiensi) [12, h. 12]. Misalkan p adalah orde konvergensi suatu metode iterasi dan m adalah banyaknya fungsi yang dievaluasi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi dari metode iterasi itu adalah pm1.
2. KELUARGA METODE CHEBYSHEV-HALLEY OPTIMAL BEBAS TURUNAN KEDUA BERDASARKAN RATA-RATA Definisi 4 [5] Diberikan k buah bilangan real a1, a2, . . . , ak. Rata-rata aritmatika (A), kontraharmonik (K) dan sentroidal (S) dinyatakan dengan persamaan berikut:
¯
aA= a1+ a2 + · · · + ak
k , (5)
¯
aK = a21+ a22 + · · · + a2k
a1+ a2 + · · · + ak, (6)
¯
aS = 2(a1+ a2+ · · · + ak)2
3(a1+ a2+ · · · + ak). (7) Metode Chebyshev-Halley Optimal Bebas Turunan Kedua Berdasarkan Rata-rata Aritmatika
Asumsikan yn sebagai sebuah iterasi Newton berikut:
yn= xn− f (xn)
f0(xn). (8)
Selanjutnya dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (y) di sekitar y = xn sampai orde kedua dan dievaluasi untuk y = yn diperoleh
f (yn) ≈ f (xn) + f0(xn)(yn− xn) + 1
2f00(xn)(yn− xn)2. (9) Kemudian persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan (9) menghasilkan
f00(xn) ≈ 2f0(xn)2f (yn)
f (xn)2 . (10)
Selanjutnya dengan cara yang sama melakukan ekspansi Taylor dari f0(y) di sekitar y = xn sampai orde pertama dan dievaluasi untuk y = yn diperoleh
f0(yn) ≈ f0(xn) + f00(xn)(yn− xn). (11) Kemudian menggunakan f0(yn) pada persamaan (3) dan yn pada persamaan (8) yang disubstitusikan ke dalam persamaan (11) menghasilkan
f0(xn)f (xn) + (β − 2)f (yn)
f (xn) + βf (yn) ≈ f0(xn) + f00(xn)
−f (xn) f0(xn)
. (12)
Selanjutnya persamaan (12) disederhanakan menghasilkan f00(xn) ≈ 2f0(xn)2f (yn)
f (xn)2+ βf (xn)f (yn). (13) Kemudian dengan menggunakan persamaan (10) dan (13) diperoleh rata-rata arit- matika (5) f00(xn) sebagai berikut:
f00(xn) ≈ 1 2
2f0(xn)2f (yn)
f (xn)2 + 2f0(xn)2f (yn) f (xn)2 + βf (xn)f (yn)
. (14)
Selanjutnya persamaan (14) disubstitusikan ke dalam rumus metode Chebyshev-
Halley persamaan (4) dengan β = 4α − 4, sehingga diperoleh metode Chebyshev- Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata aritmatika sebagai berikut:
yn = xn− f (xn) f0(xn), xn+1 = xn− f (xn)
f0(xn)
f (xn)2 + (2α − 3)f (xn)f (yn) − 2(1 − 3α + 2α2)f (yn)2 f (xn)2+ 2(α − 2)f (xn)f (yn) − 4α(α − 1)f (yn)2
,
(15) dengan n = 0, 1, 2, . . ..
Berdasarkan nilai parameter α metode pada persamaan (15) menghasilkan beberapa metode lain yaitu sebagai berikut:
(i) untuk α = 1, maka akan diperoleh metode Ostrowski’s orde-empat xn+1 = xn− f (xn)
f0(xn)
f (xn) − f (yn) f (xn) − 2f (yn)
, (16)
(ii) untuk α = 3/5, maka akan diperoleh metode baru multipoint orde-empat xn+1 = xn− f (xn)
f0(xn)
25f (xn)2− 45f (xn)f (yn) + 4f (yn)2 25f (xn)2− 70f (xn)f (yn) + 24f (yn)2
, (17)
(iii) untuk α = 13/10, maka akan diperoleh metode baru multipoint optimal orde- empat
xn+1 = xn− f (xn) f0(xn)
25f (xn)2 − 10f (xn)f (yn) − 24f (yn)2 25f (xn)2 − 35f (xn)f (yn) − 39f (yn)2
. (18)
Teorema 5 Misalkan f adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan kontinu secukupnya untuk semua x di sekitar akar r dan x0 adalah nilai awal yang cukup dekat dengan r. Maka metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata aritmatika yang terdapat pada persamaan (15) memiliki orde konvergensi empat dengan persamaan tingkat kesalahan yaitu
en+1= −c2((3 − 8α + 4α2)c22+ c3)e4n+ O(e5n) dengan cj = 1
j!
f(j)(r)
f0(r) , j = 2, 3, . . . dimana f(j)(r) adalah turunan ke-j dari f (x) yang dievaluasi pada x = r.
Bukti : Misalkan r adalah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0, maka f (r) = 0 dan f0(r) 6= 0. Menggunakan ekspansi Taylor untuk melakukan pendekatan f (x) di
sekitar x = r dan kemudian dilakukan evaluasi x = xn sehingga diperoleh f (xn) = f (r) + f0(r)(xn− r) + 1
2!f00(r)(xn− r)2+ 1
3!f000(r)(xn− r)3 + 1
4!f(4)(r)(xn− r)4+ O(xn− r)5. (19) Karena f (r) = 0, f0(r) 6= 0 dan en = xn− r maka persamaan (19) dapat ditulis dalam bentuk
f (xn) = f0(r)
en+ 1 2!
f00(r)e2n f0(r) + 1
3!
f000(r)e3n f0(r) + 1
4!
f(4)(r)e4n
f0(r) + O(e5n)
. (20) Misalkan
cj = 1 j!
f(j)(r) f0(r) , dengan j = 2, 3, . . ., maka persamaan (20) menjadi
f (xn) = f0(r)(en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ O(e5n)). (21) Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh
f0(xn) = f0(r)(1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ O(e5n)). (22) Menggunakan persamaan (21) dan (22) maka diperoleh
f (xn)
f0(xn) = en− c2e2n+ (−2c3+ 2c22)e3n+ (−4c32+ 7c2c3 − 3c4)e4n+ O(e5n). (23) Kemudian menggunakan persamaan (23) dan kombinasi ekspansi Taylor didapat
f (yn) = f0(r)(c2e2n+ (−2c22+ 2c3)e3n+ (5c32− 7c2c3+ 3c4)e4n+ O(e5n)). (24) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (21), (22) dan (24) diperoleh persamaan berikut:
f (xn)2+ (2α − 3)f (xn)f (yn) − 2(1 − 3α + 2α2)f (yn)2 f (xn)2+ 2(α − 2)f (xn)f (yn) − 4α(α − 1)f (yn)2
= 1 + c2en+ (2c3− c22)e2n+ (4α2c32− 8αc32+ 4c32− 2c2c3+ 3c4)e3n+ (−48αc22c3 +16αc42+ 4α2c42+ 24α2c22c3− 8α3c42+ 2c42− 3c22c3+ 8c2c4+ 6c23)e4n+ O(e5n)
(25) Kemudian persamaan (25) dan (23) disubstitusikan ke dalam rumus metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata aritmatika (15) menghasilkan
xn+1 = r + (−3c32 − 4α2c32− c2c3 + 8αc32)e4n+ O(e5n). (26)
Karena en+1 = xn+1− r maka persamaan (26) menjadi
en+1 = −c2((3 − 8α + 4α2)c22+ c3)e4n+ O(e5n). (27) Persamaan (27) merupakan persamaan tingkat kesalahan untuk metode persamaan (15). Berdasarkan Definisi 2 maka metode persamaan (15) memiliki
orde konvergensi empat. 2
Oleh karena banyak evaluasi fungsi pada setiap iterasi adalah tiga maka dari Definisi 3 memiliki indeks efisiensi 413 ≈ 1.5874. Kung-Traub [8]
mendefinisikan bahwa suatu metode iterasi dikatakan optimal jika orde konvergensinya memenuhi 2m−1 dengan m banyaknya evaluasi fungsi. Kemudian dapat disimpulkan bahwa metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata aritmatika merupakan metode iterasi optimal.
Metode Chebyshev-Halley Optimal Bebas Turunan Kedua Berdasarkan Rata-rata Kontraharmonik
Menggunakan persamaan (10) dan (13) diperoleh pendekatan f00(xn) menggunakan rata-rata kontraharmonik (6) f00(xn) sebagai berikut:
f00(xn) ≈ 2f0(xn)2f (yn)(2f (xn)2+ 2βf (xn)f (yn) + β2f (yn)2)
f (xn)2(2f (xn)2+ 3βf (xn)f (yn) + β2f (yn)2) . (28) Kemudian persamaan (28) disubstitusikan ke dalam rumus metode Chebyshev-Halley persamaan (4) dengan β = 4α − 4 sehingga diperoleh metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata kontraharmonik sebagai berikut:
yn = xn− fx fx0 xn+1 = xn− fx fx0
fx3− 4(−1 + θfxfy2− 8θ2(−1 + 2α)fy3+ (−5 + 4α)fx2fy
fx3− 8θfxfy2− 16θ2αfy3+ 2(−3 + 2α)fx2fy
,
(29) dengan θ = −1 + α, n = 0, 1, 2, . . . dan untuk penyederhanan notasi f (xn) = fx, f0(xn) = fx0, dan f (yn) = fy.
Berdasarkan nilai parameter α metode pada persamaan (29) menghasilkan beberapa metode lain yaitu sebagai berikut:
(i) untuk α = 1, maka akan diperoleh kembali metode Ostrowski’s orde-empat (16)
(ii) untuk α = 3/5, maka akan diperoleh metode baru multipoint optimal orde-
empat
xn+1= xn− fx fx0
125fx3− 325fx2fy + 200fxfy2− 32fy3 125fx3− 450fx2fy+ 400fxfy2− 192fy3
, (30)
(iii) untuk α = 13/10, maka akan diperoleh kembali metode baru multipoint opti- mal orde-empat
xn+1 = xn− fx fx0
125fx3 − 25fx2fy − 150fxfy2− 144fy3 125fx3− 100fx2fy− 300fxfy2− 234fy3
, (31)
Kemudian dengan cara yang sama seperti metode sebelumnya dapat ditunjukkan juga bahwa metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata kontraharmonik memiliki orde konvergensi empat. Karena banyak evaluasi fungsi tiga pada setiap iterasinya maka menggunakan Definisi 3 metode ini memiliki indeks efisiensi 413 ≈ 1.5874. Demikian juga karena memenuhi Conjecture Kung-Traub [8] seperti metode sebelumnya maka metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata kontraharmonik juga merupakan metode iterasi optimal.
Metode Chebyshev-Halley Optimal Bebas Turunan Kedua Berdasarkan Rata-rata Sentroidal
Menggunakan persamaan (10) dan (13) diperoleh rata-rata sentroidal (7) untuk pendekatan f00(xn) sebagai berikut:
f00(xn) ≈ 4f0(xn)2f (yn)(3f (xn)2+ 3βf (xn)f (yn) + β2f (yn)2)
3f (xn)2(2f (xn)2+ 3βf (xn)f (yn) + β2f (yn)2) . (32) Kemudian persamaan (32) disubstitusikan ke dalam rumus metode Chebyshev-Halley (4) dengan β = 4α − 4 diperoleh metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata sentroidal sebagai berikut:
yn = xn− fx fx0, xn+1 = xn− fx
fx0
3fx3− 12θfxfy2− 16θ2(−1 + 2α)fy3+ 3(−5 + 4α)fx2fy 3fx3− 24θfxfy2− 32θ2αfy3+ 6(−3 + 2α)fx2fy
,
(33) dengan θ = −1 + α dan n = 0, 1, 2, . . ..
Berdasarkan nilai parameter α metode pada persamaan (33) menghasilkan beberapa metode lain yaitu sebagai berikut:
(i) untuk α = 1, maka akan diperoleh kembali metode Ostrowski’s orde-empat (16)
(ii) untuk α = 3/5, maka akan diperoleh metode baru multipoint optimal orde- empat
xn+1 = xn− fx fx0
375fx3− 975fx2fy + 600fxfy2− 64fy3 3(125fx3− 450fx2fy + 400fxfy2− 128fy3)
, (34)
(iii) untuk α = 13/10, maka akan diperoleh kembali metode baru multipoint opti- mal orde-empat
xn+1 = xn− fx fx0
125fx3+ 25fx2fy− 150fxfy2− 96fy3 125fx3− 100fx2fy− 300fxfy2− 156fy3
. (35)
Kemudian metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata sentroidal memiliki orde konvergensi empat diperoleh dengan cara yang sama seperti dua metode sebelumnya. Karena banyak evaluasi fungsi pada metode ini adalah tiga pada setiap iterasinya maka menggunakan Definisi 3 metode ini memiliki indeks efisiensi yang sama yaitu 1.5874. Demikian juga metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua berdasarkan rata-rata sentroidal juga merupakan metode iterasi optimal karena memenuhi Conjecture Kung-Traub [8].
3. UJI KOMPUTASI
Pada bagian ini akan diterapkan metode baru seperti yang diberikan persamaan (17), (18), (30), (31) (34) dan (35) yang masing-masing dinotasikan sebagai MCHA14, MCHA24, MCHK14, MCHK24, MCHS14 dan MCHS24 untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang diberikan pada Tabel 1. Hasilnya akan dibandingkan dengan metode Newton (MN2), metode Chebyshev (MC3), metode Halley (MH3), metode King (MK4) untuk β = 1/2. Semua uji komputasi yang dilakukan menggunakan software Maple 13 dengan toleransi 1.0 × 10−34.
Tabel 1: Contoh persamaan nonlinear
fi(x) = 0 r
f1(x) = x3+ 4x2− 10 1.3652300134140968457608068289816661 f2(x) = (x − 1)3− 1 2.0000000000000000000000000000000000 f3(x) = ex2+7x−30− 1 3.0000000000000000000000000000000000 f4(x) = sin(x) 0.0000000000000000000000000000000000 f5(x) = x3− sin2(x) + 3 cos(x) + 5 −1.5826870457520699011297569854554993
Pada Tabel 2 menyatakan perbandingan hasil komputasi untuk menemukan akar pendekatan dengan sepuluh metode yang berbeda. Uji komputasi ini dilakukan pada lima persamaan nonlinear yang berbeda, dengan masing-masing tiga buah
Tabel 2: Perbandingan hasil komputasi dari metode MN2, MC3, MH3, MK4, MCHA14, MCHA24, MCHK14, MCHK24, MCHS14 dan MCHS24.
f1(x) = 0 f2(x) = 0 f3(x) = 0 f4(x) = 0 f5(x) = 0 x0 1.3 2 5 2.1 3 5 3.1 3.5 4.5 0.1 0.5 0.9 −1.6 1.2 4.2
MN2 5 6 8 6 8 9 7 13 28 4 4 5 4 10 15
MC3 3 4 6 4 5 6 5 9 19 3 4 5 3 14 30
MH3 3 4 6 4 5 6 4 7 15 3 4 5 3 8 6
MK4 3 3 5 3 4 5 4 7 15 3 3 4 3 10 11
MCHA14 3 3 4 3 4 4 4 5 6 3 3 3 2 4 5
MCHA24 3 3 4 3 4 5 3 6 11 3 3 3 2 5 7
MCHK14 3 3 4 3 3 4 4 5 8 3 3 3 2 5 13
MCHK24 3 3 4 3 3 4 3 5 10 3 3 3 2 5 13
MCHS14 3 3 4 3 4 4 4 5 8 3 3 3 2 5 6
MCHS24 3 3 4 3 4 5 3 6 11 3 3 3 2 5 7
Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa seluruh metode berhasil menyelesaikan persamaan nonlinear yang diberikan sehingga memperoleh akar pendekatan yang diharapkan dengan jumlah iterasi yang bervariasi. Saat nilai awal yang diambil dekat dengan akar sebenarnya maka jumlah iterasi akan semakin sedikit.
Sedangkan ketika nilai awal yang digunakan semakin jauh maka jumlah iterasi akan semakin banyak. Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin dekat nilai awal dengan akar sebenarnya maka metode yang digunakan akan lebih cepat konvergen.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah meluangkan waktu, pikiran dan tenaga dalam memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan kepada penulis dalam menyelesaikan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. E. Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley, New York, 1993.
[2] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edi- tion, John Wiley & Sons, New York, 2011.
[3] J. D. Faires dan R. L. Burden, Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks Cole, New York, 2011.
[4] J. M. Guti´errez dan M. A. Hern´andez, A family of Chebyshev–Halley type method in banach spaces, Bulletin of the Australian Mathematical Society., 55 (1997), 113–130.
[5] M. Kansal, V. Kanwar, dan S. Bhatia, Optimized mean based second derivative-free families of Chebyshev–Halley type methods, Numerical Anal- ysis and Applications, 9 (2016), 129–140.
[6] R. F. King, A family of fourth-order methods for nonlinear equations, SIAM Journal on Numerical Analysis, 10 (1973), 876-879.
[7] J. Kou, Second–derivative–free variants of Cauchys method, Applied Mathe- matics and Computation, 190 (2007), 339-344.
[8] H. T. Kung dan J. F. Traub, Optimal order of one-point and multipoint itera- tion, Journal of the Association for Computing Machinery, 21 (1974), 643–651.
[9] J. H. Mathews dan K. D. Fink, Numerical Methods Using MATLAB, Third Edition, Prentice Hall, New Jersey, 1990.
[10] J. R. Sharma, R. K. Guha dan R. Sharma, Some modified Newton’s methods with fourth order convergence, Advances in Applied Science Research, 2(2011), 240–247.
[11] J. Stewart, Single Variable Calculus, Seventh Edition, Brooks Cole, Belmont, 2012.
[12] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1964.
[13] R. Wait, The Numerical Solution of Algebraic Equations, Jhon Wiley and Sons, Chicester, 1979.
