Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

(1)

Kalkulus 2

Teknik Pengintegralan ke - 2

Tim Pengajar Kalkulus ITK

Institut Teknologi Kalimantan

Januari 2018

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24

(2)

Daftar Isi

1 Teknik Pengintegralan Ke-2 Substitusi yang Merasionalkan

Integrasi dengan substitusi trigonometri Latihan Soal

(3)

Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswa memiliki kejelian melihat bentuk soal.

sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang diinginkan.

Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akan InsyaAllah menuai kesuksesan.

(4)

Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yang tepat akan mersionalkan integran tersebut.

(5)

Substitusi yang Merasionalkan

Jika √ⁿ

ax+b muncul dalam suatu integral, substitusi u=√ⁿ ax+b akan menghilangkan akar.

Contoh Carilah

Z dx x−√

x. Misalkan u=√

x, sehingga u² =x dan 2u du=dx. Maka

Z dx x−√

x =

Z 2u du u²−u =2

Z du u−₁

=2 ln |u−1| +C

=2 ln

√x−1 +C

(6)

Substitusi yang Merasionalkan

Contoh Carilah

Z x√

x+2 dx.

Misalkan u=√

x+2, sehingga u² =x+2 dan 2u du=dx. Maka Z

x√

x+2 dx=

Z

u²−2 u· (2u du) =2 Z

u⁴−2u² du

=2 u⁵ 5 − ²

3u³

+C

= ²

5(x+2)^5/2−⁴

3(x+2)^3/2+C

(7)

Substitusi yang Merasionalkan

Contoh Carilah

Z x√³

x−4 dx.

Misalkan u=√³

x−4, sehingga u³ =x−4 dan 3u²du=dx. Maka Z

x√³

x−4 dx=

Z

u³+4 u· 3u²du

=3 Z

u⁶+4u³ du

=3 u⁷ 7 +u⁴

+C

= ³

7(x−4)^7/3+3(x−4)^4/3+C

(8)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Integrasi yang melibatkan merasionalkan√

a²−x²,√

a²+x², dan

√

x²−a²untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a positif dan membuat substitusi trigonometri berikut.

Akar Substitusi Pembatasan pada t

√

a²−x² x=_{a sin t} −π/2≤t≤π/2

√a²+x² x=a tan t −π/2<t<π/2

√x²−a² x=a sec t 0≤t≤ π, t6=π/2

(9)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusi ini.

1

√

a²−x²= ^pa²−a²sin²t=√

a²cos²t=|a cos t| =a cos t.

2

√a²+x²= √

a²+a²tan²t= √

a²sec²t= |a sec t| =a sec t.

3

√x²−a²= √

a²sec²t−a²= √

a²tan²t= |a tan t| = ±a tan t.

(10)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

1

√

2

√a²+x²= √

a²+a²tan²t= √

3

√x²−a²= √

(11)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

1

√

2

√a²+x²= √

a²+a²tan²t= √

3

√x²−a²= √

(12)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh Carilah

Z √

4−x²dx Kita gunakan substitusi

x=2 sin t dengan −π/2≤t≤ π/2 maka dx=2 cos t dt dan√

4−x² =^p4−4 sin²t =2 cos t. Jadi, Z p

4−x²dx=

Z

2 cos t·2 cos t dt=4 Z

cos²t dt

=2 Z

(1+cos 2t) dt

=2

t+ ¹

2sin 2t

+C

=_2t+2 sin t cos t+C

(13)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Sekarang x=2 sin t ekuivalen dengan x/2=sin t, maka diperoleh t=sin⁻¹x

2

dengan menggunakan segitiga siku - siku

(14)

dengan a=2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka

2 sin t cos t =2x 2

√4−x² 2

!

= ^x 2

p4−x²

jadi

Z p

4−x²dx=2 sin⁻¹x 2

+ ^x

2

p4−x²+C

(15)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh Carilah

Z dx

√9+x²

Misalkan x√ =3 tan t,−π/2≤t ≤π/2. Maka dx=3 sec²t dt dan 9+x² =√

9+9 tan²t=3 sec t.

Z dx

√9+x² =

Z 3 sec²t dt 3 sec t =

Z

sec t dt

=ln|sec t+tan t| +C

(16)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

karena tan t= ^x₃

(17)

maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t=

√ 9+x²

3 . Jadi, Z dx

√9+x² =ln

√9+x²+x 3

+C

=_ln^p₉+x²+x

−_{ln 3}+C

=ln

p9+x²+x +K

(18)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Contoh Carilah

Z

√x²−4 x dx.

Misalkan x=2 sec t, di mana 0≤t<π/2.Selanjutnya dx=2 sec t tan t dt. Perhatikan

px²−4=^p4 sec²t−4= ^p4 tan²t=2|tan t| =2 tan t sehingga

Z

√x²−4 x dx=

Z 2 tan t

2 sec t2 sec t tan t dt=

Z

2 tan²t dt

=2 Z

sec²t−1 dt=2[tan t−t] +C

(19)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa tan t=

√ x²−4

2 dan t=tan⁻¹

√ x²−4

2

!

. Maka

Z

√x²−₄

x dx=₂[tan t−t] +C

=^px²−4−2 tan⁻¹

√x²−4 2

! +C

(20)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x²+Bx+C muncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapi kuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri.

Contoh Carilah

Z dx

√x²+2x+26.

Penyelesaian : x²+2x+26=x²+2x+1+25= (x+1)²+25.

Misalkan u=x+_{1 dan du} =dx. Maka

Z dx

√

x²+2x+26 =

Z du

√

u²+25

Selanjutnya misalkan u=5 tan t,−π/2≤t≤π/2. Maka du=5 sec²t dt dan

pu²+25= q

25(tan²t+1) =5 sec t

(21)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

sehingga,

Z du

√u²+₂₅ =

Z 5 sec²t dt 5 sec t =

Z

sec t dt

=ln|sec t+tan t| +C

(22)

Perhatikan gambar segitiga ini,

(23)

Integrasi dengan substitusi trigonometri

Jadi diperoleh,

Z du

√u²+25 =_ln|sec t+_{tan t}| +C

=ln

√u²+25

5 +^u

5

+C

=ln

pu²+25+u

−ln 5+C

=ln

px²+2x+26+x+1 +K

(24)

Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z x√

x+1 dx

2

Z x√³

x+π dx

3

Z t dt

√3t+4

4

Z x²+_3x

√x+4 dx

5

Z2

1

√dt t+e

(25)

Latihan Soal

1

Z x√

x+1 dx

2

Z x√³

x+π dx

3

Z t dt

√3t+4

4

Z x²+_3x

√x+4 dx

5

Z2

1

√dt t+e

(26)

Latihan Soal

1

Z x√

x+1 dx

2

Z x√³

x+π dx

3

Z t dt

√3t+4

4

Z x²+_3x

√x+4 dx

5

Z2

1

√dt t+e

(27)

Latihan Soal

1

Z x√

x+1 dx

2

Z x√³

x+π dx

3

Z t dt

√3t+4

4

Z x²+3x

√x+4 dx

5

Z2

1

√dt t+e

(28)

Latihan Soal

1

Z x√

x+1 dx

2

Z x√³

x+π dx

3

Z t dt

√3t+4

4

Z x²+3x

√x+4 dx

5

Z2

1

√dt t+e

(29)

Latihan Soal

1

Z

√4−x²

x dx

2

Z x²dx

√16−x²

3

Z dx

(x²+4)^3/2

4

Z dx

√x²+2x+5

5

Z 2x−1

√x²+4x+5 dx

(30)

Latihan Soal

1

Z

√4−x²

x dx

2

Z x²dx

√16−x²

3

Z dx

(x²+4)^3/2

4

Z dx

√x²+2x+5

5

Z 2x−1

√x²+4x+5 dx

(31)

Latihan Soal

1

Z

√4−x²

x dx

2

Z x²dx

√16−x²

3

Z dx

(x²+4)^3/2

4

Z dx

√x²+2x+5

5

Z 2x−1

√x²+4x+5 dx

(32)

Latihan Soal

1

Z

√4−x²

x dx

2

Z x²dx

√16−x²

3

Z dx

(x²+4)^3/2

4

Z dx

√x²+2x+5

5

Z 2x−1

√x²+4x+5 dx

(33)

Latihan Soal

1

Z

√4−x²

x dx

2

Z x²dx

√16−x²

3

Z dx

(x²+4)^3/2

4

Z dx

√x²+2x+5

5

Z 2x−₁

√x²+4x+5 dx

(34)

Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, ”Kalkulus Ninth Edition, 2”, 2007, Pearson Education, Inc.