BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
4.1 PERSAMAAN LINIER
Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar.
Misalnya
x2 Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat di- nyatakan sebagai persamaan a1x1+a2x2+b=0
x1
Persamaan diatas disebut persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2 paling besar adalah 1, sedangkan persamaan x12
+x2-3=0 bukan persamaan linier.
Dalam ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3 berbentuk a1x1+a2x2+a3x3+b=0. Oleh karena itu persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuk a1x1+ a2x2………….+anxn+b=bn.
Pandang contoh sederhana : 1. Persamaan x1+x2=1
Titik x1=1 dan x2=0 adalah penyelesaian persamaan garis di atas karena nilai x1 dan x2 jika kita subtitusikan ke dalam persamaan x1+x2=1 akan diperoleh 1+0=1. Demikian juga jika nilai x1 dan x2 kita ubah menjadi x1=0 dan x2=1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan diatas.
2. Diketahui garis
Maka penyelesaian persamaan dari persamaan garis diatas menjadi x1+x2=1 Subtitusi x2=1 ke salah satu persamaan, misal x1+x2=1 -x1+x2=1 + Menjadi x1+1=1, maka x1=0
0+2x2=2 x2=1
Perhatikan bahwa x1=0 dan x2=1 adalah satu-satunya penyelesaian.
x2
(1,0) x2
(0,1) x1+x2=1
(1,0) (-1,0)
-x1+x2=1
x1+x2=1 (0,1)
3. Misalnya diketahui persamaan 2x+3y+z=5 maka solusi persamaannya bisa x=0, y=1, dan z=2 karena nilai-nilai tersebut jika disubtitusikan ke persamaan 2x+3y+z=5 menjadi 2.0+3.1+2=5. Tetapi nilai-nilai tersebut bukan satu-satunya solusi. Misalnya saja kita ambil x=0, y=0, dan z=5 sehingga 2.0+3.0+5=5 juga merupakan solusi dari persamaan 2x+3y+z=5 dan masih ada solusi yang lain. Ini berarti sistem persamaan tersebut mempunyai tidak terhingga banyak penyelesaian.
4. Jika terdapat 2 persamaan yaitu x1+x2=1 dan x1+x2=2, maka untuk mencari nilai x1 dan x2
x1+x2=1 x1+x2=2 –
0+0 = -1 tidak mungkin
berarti tidak ada x1 dan x2 yang memenuhi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut.
Dari contoh-contoh diatas dapat kita lihat bahwa sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu:
1. Mempunyai penyelesaian tunggal.
2. Mempunyai banyak penyelesaian.
3. Tidak mempunyai penyelesaian.
4.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Bentuk umum persamaan linier a11x1+ a12x2………….+a1nxn=b1
a21x1+ a22x2………….+a2nxn=b2
a21x1+ a32x2………….+a3nxn=b3
………
am1x1+ am2x2………….+amnxn=bm
aij dan bi masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut. Persamaan-persamaan linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks AUGMENTED yaitu matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien x.
=
[A] [x] [b]
[A] adalah matriks berorde (m,n), [x] adalah matriks berorde (n,1), dan [b] adalah matriks berorde (m,1). Bentuk matriks lengkapnya :
a11 a12 ……….a1n
a21 a22 ……….a2n ………..
am1 am2 ….…..amn
x1
x2
… xn
b1
b2
… bm
a11 a12 ……….a1n b1
a21 a22 ……….a2n b2
……….. …..
am1 am2 ….…..amn bm
Ada 2 yang dapat dijumpai pada persamaan di atas
1. m≠n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan tidak sama).
2. m=n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan sama).
Pada pembahasan kali ini akan dibicarakan hal yang kedua saja yaitu jika m=n yaitu persamaan yang berbentuk matriks bujursangkar.
Penyelesaian persamaan linier tidak lain adalah mencari harga variabel- variabelnya. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL antara lain :
1. Aturan Cramer
2. Metode Invers Matriks 3. Eliminasi Gauss
4. Metode Eliminasi Gauss Jordan 5. Metode Faktorisasi LU
4.2.1 ATURAN CRAMER
Apabila [A][X]=[B] maka nilai x dapat dicari dengan
Dimana
|Ak| adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujursangkar [A]
dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh unsur-unsur [B] .
|A| adalah harga determinan matriks-matriks bujursangkar [A].
Misal diketahui persamaan a11x1+ a12x2+a13x3=b1
a21x1+ a22x2+a23x3=b2
a21x1+ a32x2+a33x3=b3
Untuk mencari nilai x1, x2, x3 maka terlebih dahulu dicari |A| dan |Ak|.
|A|= = a11a22 a33 +a12a23 a31+a13a21a32-a13a22a31
-a11a23 a32 -a12a21 a33
|Ak|yaitu mencari determinan kolom ke k=(1,2,3)
|A1|= |A2|= |A3|=
Sehingga
Contoh :
1. Diketahui persamaan 3x+2y=5 dan x+y=2. Carilah nilai x dan y.
|Ak| xk = |A|
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33
a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
|A1| x1=
|A|
|A2| x2=
|A|
|A3| x3=
|A|
Penyelesaian
Persamaan diatas jika diubah dalam bentuk matriks menjadi
=
Mencari determinan matriks A
|A|= = 3.1-2.1=1
Mencari determinan matriks Ak
|A1|= = 5.1-2.2=1
|A2|= = 3.2-5.1=1
Mencari nilai x dan y
2. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan sebagai berikut.
2x+y+z=4 x-2y-z=-4 x+y+2z=4
Sebelum dilanjutkan pembahasan penyelesaian persamaan linier terlebih dahulu akan dibicarakan sekilas tentang OPERASI BARIS ELEMENTER.
Meskipun dalam pembahasan lalu telah disinggung sedikit penggunaannya untuk menghitung invers matriks dengan transformasi elementer.
OPERASI BARIS ELEMENTER
Terdapat tiga buah operasi yang dapat dilakukan terhadap suatu sistem persamaan linier tanpa mengubah penyelesaian yang sebenarnya yaitu :
1. Menukar urutan persamaan.
2. Perkalian suatu persamaan dengan bilangan tidak nol
3. Mengganti suatu persamaan dengan menjumlahkan persamaan tersebut dengan kelipatan persamaan lainnya.
Ketiga operasi tersebut dapat dikenakan pada matriks-matriks lengkap dan disebut dengan OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE).
Operasi Baris Elementer pada suatu matriks
OPERASI NOTASI
1. Menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j.
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta c (≠0) 3. Penggantian baris ke-I tersebut dengan
kelipatan baris yang lain.
Ri ⇔ Rj
cRj
Ri + cRj
3 2
1 1
x y 5 2 3 2
1 1
5 2
2 1
3 5
1 2
|A1| 1
x1= = = 1
|A| 1
|A2| 1
x2= = = 1
|A| 1
Dengan menggunakan OBE, matriks lengkap diubah menjadi suatu matriks dari suatu sistem persamaan linier yang mudah dicari penyelesaiannya. Matriks yang memenuhi sifat demikian dinamakan MATRIKS ESELON.
Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi 2 sifat berikut : 1. Jika terdapat baris yang seluruh elemennya nol, maka baris
tersebut harus diletakkan di bawah baris yang memuat elemen tidak nol.
2. Pada baris yang memuat elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak pada sebelah kanan elemen tak nol pertama baris sebelumnya (Elemen tak nol pertama ini disebut dengan ELEMEN UTAMA).
4.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS
Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai transformasi elementer berdasarkan baris secara berkali- kali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1.
Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss.
1. Membentuk matriks lengkap SPL.
2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon denagn sejumlah OBE.
3. Mendapat jawaban SPL.
Misalnya diketahui sebuah persamaan a11x1+ a12x2+a13x3=b1
a21x1+ a22x2+a23x3=b2
a21x1+ a32x2+a33x3=b3
Matriks awal
=
Matriks lengkap SPL
Matriks lengkap tsb dikenai OBE sehingga membentuk matriks eselon.
Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nya sehingga diperoleh x3= b3’
x2+a23x3 =b2’ x2=b2’- a23x3
x1+a12x2+a13x3=b1’x1= b1’-a12x2-a13x3
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
x1 x2
x3
b1 b2
b3
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
1 a12 a13 b1’ 0 1 a23 b2’ 0 0 1 b3’
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x1+x2+x3=6
x1+2x2-x3=2 2x1+x2+2x3=10
Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3
Penyelesaian
1. Matriks lengkap SPL nya
2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE
Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.
basis
b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 Menjadi
Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a32=-1 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 3 dikenai transformasi elementer.
basis b( )+b3 1(1)+(-1)=0 -2(1)+0=-2 -4(1)+(-2)=-6 Menjadi
Mengubah a33=2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga dikalikan -½
Menjadi
1 1 1 6
1 2 -1 2
2 0 2 10
1 1 1 6
1 2 -1 2
2 1 2 10
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 0 1 3
Mendapat jawaban SPL Maka x3=3
x2=b2’- a23x3 x2 = -4 – 2.(3)=2
x1= b1’-a12x2-a13x3 x1= 6 - 1.2 -1.(3) = 1
4.2.3 METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Metode ini merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks baru dikenai OBE berkali-kali sehingga matriks A menjadi matriks satuan I. Bentuk umumnya :
x3= b3”
Menjadi x2= b2” x1= b1”
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x1+x2+x3=6
x1+2x2-x3=2 2x1+x2+2x3=10
Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3
Penyelesaian
1. Matriks lengkap SPL nya
2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE
Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.
basis
b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 Menjadi
Mengubah a12=1 dan a32=-1 menjadi 0, baris 2 menjadi basis.
b( )+b1 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(1)+(-1)=0 basis -2(-1)+1=3 -2(1)+0=-2 -4(-1)+6=10 -4(1)+(-2)=-6
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
1 0 0 b1” 0 1 0 b2” 0 0 1 b3”
1 1 1 6
1 2 -1 2
2 0 2 10
1 1 1 6
1 2 -1 2
2 1 2 10
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2
1 1 1 6
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2
Menjadi
Mengubah a33=-2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga dikalikan -½
Menjadi
Mengubah a13=3 dan a23=-2 menjadi 0, baris 3 menjadi basis.
b( )+b1 b( )+b2 1(-3)+3=0 1(2)+(-2)=0 3(-3)+10=1 3(2)+(-4)=2 basis
Menjadi
Mendapat jawaban SPL Maka x3=3
x2= 2 x1= 1
4.2.4 METODE FAKTORISASI LU
Dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, suatu SPL dapat dipecahkan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara sistematis. Pendekatan yang dipakai pada metode LU didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Metode ini sangat bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis untuk banyak pemrograman komputer praktis.
SPL dapat dipecahkan sebagai berikut :
1. Tulis kembali sistem [A][x]=[b] sebagai Lux=b dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.
2. Definisikan matriks baru y yang berukuran nx1 dengan Ux=y.
3. Gunakan Ux=y untuk menulis kembali Lux=b dan pecahkan ini untuk mencari y.
4. Subtitusikan y dan pecahkan untuk mencari nilai x.
[A][x]=[b] Ly=b, Ux=y
1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 1 3
1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6
1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 1 3
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Langkah-langkah pemfaktoran A=LU
1. Reduksi A dengan transformasi elemnter ke dalam bentuk U matriks segitiga atas dan mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama dan 0 di bawah diagonal utama 1.
2. Kedudukan sepanjang diagonal utm matriks L, tempatkan bilangan pengali yang saling berkebalikan dari hasil pembentukan matriks U.
3. Kedudukan di bawah diagonal utama matriks L, tempatkan bilangn negatif pengali yang digunakan untuk menge-nol-kan matriks U.
4. Bentuk dekomposisi A=LU
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x1+6x2+2x3=2
-3x1-8x2 =2 4x1+9x2+2x3=3
Carilah solusi untuk x1, x2, dan x3 dengan menggunakan faktorisasi LU
Penyelesaian
1. Matriks SPL nya
2. Menyusun matriks U yaitu matriks segitiga atas
Mengubah a11=2 menjadi 1 (dikali ½). Semua baris 1 dikali ½
(dikali ½) menjadi
Mengubah a21=-3 dan a41=4 menjadi 0. Baris 1 menjadi basis. Baris 2 dan 3 dikenai OBE.
Basis
b( )+b2 b( )+b2 1(3)+(-3)=0 1(-4)+4=0 3(3)+(-8)=1 3(-4)+9=-3 1(3)+0=3 1(-4)+2=-2
Menjadi
Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a32=-3 menjadi 0. Baris 2 jadi basis dan baris 3 dikenai OBE
Basis b( )+b3 Menjadi 1(3)+(-3)=0
3(3)+(-2)=7
2 6 2 -3 -8 0 4 9 2
2 6 2 -3 -8 0 4 9 2
1 3 1 -3 -8 0 4 9 2
1 3 1 -3 -8 0 4 9 2
1 3 1 0 1 3 0 -3 -2
1 3 1 0 1 3 0 -3 -2
1 3 1 0 1 3 0 0 7
Mengubah a33=7 menjadi 1 (dikali 1/7). Menjadi
3. Menyusun matriks L yaitu matriks segitiga bawah
Mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu Pengali untuk a11 adalah ½
Pengali untuk a22 adalah 1 Pengali untuk a33 adalah 1/7
Mencari jejak pengali untuk nilai 0 di bawah diagonal utama 1.
Pengali untuk a21 adalah 3 Pengali untuk a31 adalah -4 Pengali untuk a32 adalah 3
Tempatkan jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu
½, 1, dan 1/7 sepanjang diagonal utama matriks segitiga bawah L tetapi nilainya berkebalikan.
Tempatkan jejak pengali untuk nilai 0 yaitu 3, -4, dan 3 dibawah diagonal utama matriks segitiga bawah L dan kalikan dengan (-1).
4. Mencari nilai x dan y, terlebih dahulu mencari nilai y karena [U][x]=[y]
sedangkan [L][y]=[b]
Mencari nilai y [L][y]=[b]
2y1=2 y1=1
= -3y1+1y2=2 -3.1+y2=2 y2=5 4y1+(-3)y2+7y3=3
4.1+(-3).5+7.y3=3 7y3=14 y3=2
Mencari nilai x [U][x]=[y]
x3=2
= x2+3x3=5 x2+3.2=5
x2=-1
1x1+3x2+1x3=1
x1+3.(-1)+2=1 x1=2
4.3 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier [A][x]=[b] dengan koefisien matriks A yang sama tetapi matriks kolom b berbeda.
Misalnya suatu SPL mempunyai persamaan sebagai berikut :
1 3 1 0 1 3 0 0 1
2 0 0 0 1 0 0 0 7
2 0 0 -3 1 0 4 -3 7
2 0 0 -3 1 0 4 -3 7
y1 y2 y3
2 2 3
1 3 1 0 1 3 0 0 1
x1 x2 x3
1 5 2
[A][x]=[p], [A][x]=[q] dan [A][x]=[r] maka untuk lebih efisien penyelesaiannya dengan satu matriks A augmented dan 3 vektor kolom b atau diselesaikan secara simultan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan.
[A p q r] menjadi [I p’ q’ r’] maka [x]=[p’], [y]=[q’], dan [z]=[r’]
Contoh :Diketahui persamaan
2x1-4x2 =10 2y1-4y2 =10 x1-3x2 + x4=-4 Dan y1-3y2 + y4=-4 x1 -x3+2x4= 4 y1 -y3+2y4= 4 3x1-4x2+3x3- x4=-11 3y1-4y2+3y3- y4=-11
4.4 PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
Suatu persamaan linier dikatakan homogen jika koefisien matriks b adalah 0 yaitu jika mempunyai bentuk umum :
a11x1+ a12x2………….+a1nxn=0 a21x1+ a22x2………….+a2nxn=0 a21x1+ a32x2………….+a3nxn=0
………
am1x1+ am2x2………….+amnxn=0
mempelajari sistem yang homogen mempunyai banyak keuntungan dalam mempelajari sistem yang aslinya. Istem non homogen dimungkinkan tidak konsisten, namun sistem yang homogen selalu konsisten karena selalu mempunyai penyelesaian minimal satu yaitu vektor nol, yang bisa disebut dengan penyelesaian TRIVIAL (TRIVIAL SOLUTION), yaitu penyelesaian berbentuk x1=0, x2=0,…….., xn=0.
sedangkan jika ada penyelesaian lain dinamakan dengan penyelesaian NON TRIVIAL. Jadi sistem persamaan linier homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu :
1. Mempunyai penyelesaian TRIVIAL 2. Mempunyai penyelesaian BANYAK
