Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian kejadian

3/28/2012

EKO EFENDI 1

Diagram Venn.

 Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya

 Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian – kejadian

S = Himpunan bilangan asli A = Himpunan bilangan ganjil A’= Himpunan bilangan genap

Diagram Venn

mempermudah memahami himpunan

• Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan himpunan-himpunan dan bag aimana hubungan antar himpunan-himpunan tersebut.

• Gabungan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung semua angg ota yang dimiliki oleh himpunan pertama atau himpunan kedua. Misalkan A = {1, 2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A  B

= {1,2,3,4,5,7}

• Irisan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung anggota yang ad a pada himpunan pertama dan juga sebagai anggota pada himpunan kedua. Mi salkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka irisan dari A dan B dinotasikan denga n A  B = {1,3,5}.

• Komplemen atau pelengkap dari suatu himpunan adalah himpunan yang memili ki anggota, dimana gabungan dari himpunan dan komplemennya adalah himpu nan semesta dan irisan himpunan dengan komplemennya adalah himpunan kos ong. Misalkan A adalah munculnya mata dadu ganjil dari sebuah dadu standar, maka A = {1,3,5}. Karena S = {1,2,3,4,5,6}, maka komplemen dari A, dituliskan den gan notasi A^c = munculnya mata dadu genap dari dadu standar, atau A^c = {2,4,6}.

3/28/2012

EKO EFENDI 3

Pengolahan kejadian

 Pengolahan kejadian itu dapat berbentuk irisan kejadian, kejadian saling bebas, gabungan kejadian, dan komplemen kejadian

Irisan

 Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A Π B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.

A Π B = daerah arsir hitam

3/28/2012

EKO EFENDI 5

Saling bebas (terpisah)

 Dua kejadian C dan D dikatakan saling bebas (terpisah) bila CΠD = φ , artinya kejadian C dan kejadian D tidak memiliki unsur persekutuan.

 A U B = daerah arsiran hitam

Paduan (union) dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A U B adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A dan b atau keduanya.

3/28/2012

EKO EFENDI 7

Komplemen suatu kejadian

 Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. Kita lambangkan komplemen A dengan A’

A’ = daerah yang diarsir hitam

Beberapa persamaan dalam diagram venn akibat definisi-definisi di atas adalah.

A Πφ = φ S’ = φ A U A’ = S A U φ = A φ’ = S

A Π A’ = φ (A’) = A

Mencacah titik contoh

 Prinsip dasar mencacah = kaidah penggandaan Kaidah penggandaan :

 Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n₁cara dan setiap cara tersebut dapat dilakukan dengan n₂maka kedua operasi tersebut dapat dilakukan dalam n₁n₂cara.

3/28/2012

EKO EFENDI 9

Peluang suatu Peristiwa

 Peluang adalah suatu nilai diantara 0 dan 1 (inklusif) yang menggambarkan besarnya kesempatan akan munculnya suatu kejadian tertentu pada kondisi tertentu. Istilah lain dari peluang adalah probabilitas.

 Metode Klasik / a priori

 Metode Frekuensi / a posteriori

 Subyektif (hanya boleh digunakan apabila kedua cara diatas tak dapat dihitung)

Aksioma Peluang

Aksioma merupakan bukti diri yang secara umum telah diterima kebenarannya. Terdapat tiga aksioma dasar dalam semua

penghitungan peluang yang akan disarikan disini yang berhubungan dengan ruang contoh S dan kejadian A dan B. Notasi untuk

menyatakan peluang digunakan P( ).

1. Ketidaknegatifan. Setiap kejadian memiliki peluang yang tidak negatif.

P(A)  0.

2. Kepastian. Peluang ruang contoh adalah 1. P(S) = 1.

3. Gabungan. Peluang gabungan dari dua kejadian yang saling lepas adalah jumlah peluang dari tiap kejadian. P(AB) = P(A)+P(B) jika AB=.

3/28/2012

EKO EFENDI 11

Penentuan Peluang:

Metode Klasik / a priori

 Metode Klasik atau A Priori. Jika diketahui bahwa kejadian A dapat muncul dalam m cara dan total seluruh kemungkinan kejadian adalah n, maka peluang sebenarnya kejadian A dinotasikan dengan

n m cara semua total

A cara banyaknya A

P( ) 

Bisa ditentukan tanpa harus melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu

Penentuan Peluang:

Metode Frekuensi / a posteriori

• Metode Frekuensi atau A Posteriori. Jika kejadian serupa A mun cul m kali dalam total percobaan n, maka peluang pengamata n A dapat dinyatakan dengan

n m percobaan

total

muncul A

banyaknya A

P( ) 

Ditentukan dengan melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu

3/28/2012

EKO EFENDI 13

Beberapa Peluang Peubah Diskrit

Nama Peubah

Diskrit Notasi dan Parameter P(X=x) dan x dimana P(X=x)

terdefinisi

_X ²_X

Seragam X ~ SD(N) 1/N

x=1,2,3,…,N (N+1)/2 (N²-1)/ 12

Bernouli X ~ Bin(1,p)

0<p<1 q=1-p p^xq^1-x

x=0,1 P Pq

Binomial X ~ Bin(n,p)

0<p<1 q=1-p x=0,1,2,…,n Np Npq

Geometrik X ~ Geo(p)

0<p<1 q=1-p pq^x-1

x=1,2,… 1/p q/p²

Negatif

Binomial X ~ NB(r,p)

0<p<1 q=1-p r=1,2,3,…

x=r,r+1,r+2,… r/p rq/p²

Hipergeometrik X ~ Hyp(n,M,N) n=1,2,…,N M=0,1,2,…,N

x=0,1,2,…,n NM/N n(M/N)(1-M/N)

*((N-n)/(N-1))

Poisson X ~ Poi()

 > 0 x=0,1,2,…  

Beberapa Peluang Peubah Kontinu

Nama Peubah

Kontinu Notasi dan

Parameter fX(x) dan x dimana fungsi

terdefinisi* _X ²_X

Seragam X ~ SK(a,b)

a < b 1/(b-a)

a < x < b (a+b)/2 (b-a)²/12

Normal X ~ N(,²)

² > 0  

Gamma X ~ Gam(,)

0 <  0 <  0 < x  ²

Eksponensial X ~ Exp()

0 <  0 < x  ²

Eksponensial

2-Parameter X ~ Exp(,) < x + ²

Eksponensial

Ganda X ~ EG(,)  2²

Weibul X ~ Wei(,) 0 < x (1+1/

) ²[(1+2/)-

²(1+1/)]

Pareto X ~ Par(,) 0 < x /(-1)

 > 1 (²) / ((-2)(-1)²)

 > 2

Beta X ~ Beta(a,b)

0 < a 0 < b 0 < x < 1

3/28/2012

EKO EFENDI 15

Beberapa aturan peluang

 Nilai peluang adalah antara 0 dan 1

 0 ≤ P ≤ 1

 P(E) = 0 → peristiwa E pasti tidak terjadi

 P(E) = 1 → peristiwa E pasti terjadi

 Jika E’ menyatakan bukan peristiwa E

 P(E’) = 1 – P(E)

 P(E) + P(E’) = 1

Beberapa hubungan dalam peluang.

1.Jika K buah peristiwa saling eksklusif (E₁, E₂, … E_k) Peluang terjadinya E₁atau E₂atau …. E_k adalah jumlah peluang masing-masing peristiwa.

P(E_tot) = P(E₁) + P(E₂) …… + P(E_k) 2. Peluang terjadinya E₁dan E₂dan … E_kadalah P(E_tot) = P(E₁) - P(E₂) …… P(E_k)

3/28/2012

EKO EFENDI 17

3. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat peristiwa yang lain.

4. Hubungan inklusif dua peristiwa (A,B) berlaku hubungan atau A atau B atau keduanya terjadi.

P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P (A dan B)

Kaidah Penjumlahan dalam peluang

 Dalil 1 :

 Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang maka :

 P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A Π B).

 Bila A dan B saling eksklusif

 P (A U B) = P(A) + P(B) Umumnya

 Bila A

₁

, A

₂

, A

₃

, …. Saling eksklusif maka

 P(A

₁

U A

₂

U A

₃

U … U A

_k

) = P(A

₁

) + P(A

₂

) +

… + P(A

_k

).

3/28/2012

EKO EFENDI 19

 Dalil 2 :

 Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya maka

P(A) + P(A’) = 1

Contoh :

1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika adalah 2/3 dan peluang ia lulus statistik dasar adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut ?

Jawab :

 M = lulus matematika

 D = lulus statistik dasar

 M U D = lulus matematika atau statistik dasar (minimal satu)

 M Π D = lulus kedua mata kuliah

 Jadi berdasarkan dalil 1 :

 P(MΠ D ) = P(M) + P(D) – P(M U D)

3/28/2012

EKO EFENDI 21

PELUANG BERSYARAT

Contoh :

Perhatikan eksperimen pelemparan dadu

B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni A = bilangan yang muncul lebih dari 3

 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 Jika dadu dibuat sedemikian hingga peluang muncul bilangan genap dua kali lebih besar dari bilangan ganjil

 P(1) = 1/9 P(2) = 2/9

 P(3) = 1/9 P(4) = 2/9

 P(5) = 1/9 P(6) = 2/9

 P(A) = 5/9

 P(A Π B) = 2/9

3/28/2012

EKO EFENDI 23

Kejadian Bebas

 Jika A adalah suatu kejadian, maka adanya keterangan tentang suatu kejadian lain, misal kejadian B, dapat memperkecil atau memperbesar atau tidak mengubah besarnya peluang kejadian A.

 Jika besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya keterangan bahwa kejadian B telah terjadi, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas

Definisi Kejadian Saling Bebas :

Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Example:

A ball is drawn at random from a box containing 6 red balls, 4 white balls, and 5 blue balls.

Determine the probability that the ball drawn is (a) red, (b) white, (c) blue, (d) not red, and

(e) red or white.

3/28/2012

EKO EFENDI 25

3/28/2012

EKO EFENDI 27

 Three balls are drawn successively from the box of above. Find the probability that they are drawn in the order red, white, and blue if each ball is (a) replaced and (b)not replaced.

Jika kejadian A dan B bebas, maka kejadian bersyaratnya tidak merubah nilai peluang

3/28/2012

EKO EFENDI 29

KAIDAH PENGGANDAAN

a). Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus maka

P(A I B) = P(A) . P(BΠA)

b). Bila dua kejadian saling bebas maka P(A I B) = P(A) . P(B) secara umum;

Contoh :

 Sebuah uang logam tak seimbang sehingga peluang muncul sisi gambar dua kali lebih besar dari sisi angka. Bila uang itu dilemparkan 3 kali, berapa peluang

mendapatkan dua sisi angka dan satu sisi gambar ? B = kejadian mendapat dua sisi angka & satu sisi gambar.

= {AAG, AGA, GAA}

3/28/2012

EKO EFENDI 31

Latihan :

1. Populasi sarjana dalam suatu kota dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan.

Berapa peluang seorang laki-laki yang telah bekerja untuk menjadi duta dalam pertemuan nasional ?

2. Peluang seorang dokter mendiagnosis penyakit secara benar adalah 0,7.

Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter salah mendiagnosis dan pasien menuntut ke pengadilan ?

Jawaban

1. M = yang terpilih laki-laki E = yang terpilih telah bekerja

3/28/2012

EKO EFENDI 33

2. A = Diagnosis benar B = Diagnosis salah

C = Pasien menuntut kepengadilan

Maka

KAIDAH BAYES

 Lihat kembali soal latihan no 1.

 Jika ada tambahan informasi bahwa 36 orang yang bekerja menjadi anggota Rotary Club dan 12 orang yang menganggur menjadi anggota Rotary Club.

Berapa peluang kejadian A = yang terpilih menjadi duta adalah anggota Rotary Club.

3/28/2012

EKO EFENDI 35

Jadi

Dalam diagram pohon dapat digambarkan sebagai berikut :

Generalisasi dari kasus diatas dinyatakan dalam kaidah eliminasi atau dalil peluang total berikut :

“ Bila kejadian-kejadian B¹, B², … ≠ 0 untuk I = 1, 2, … k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku :

3/28/2012

EKO EFENDI 37

Contoh :

Tiga mahasiswa telah dicalonkan menjadi ketua HMJ. Peluang Adam, Brown dan Cony terpilih masing-masing 0,3; 0,5 ; 0,2. Seandainya Adam terpilih peluang kas himpunan bertambah adalah 0,8. Jika Brown atau Cony terpilih, peluang tambahnya kas adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang kas HMJ bertambah ? Jawab :

A = kas HMJ bertambah B₁= Adam terpilih B₂= Brown terpilih B3= Cony terpilih

Dengan menerapkan kaidah eliminasi

Kaidah Bayes

“ Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, … Bkmerupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(B_i) ≠ 0 untuk i = 1, 2, 3,… ,k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0

3/28/2012

EKO EFENDI 39

Contoh :

Dari contoh kaidah eliminasi, jika ternyata sebelum pemilikan kas HMJ sudah bertambah, berapa peluang Cony terpilih menjadi ketua HMJ ?

Jawab :

Dengan menggunakan kaidah Bayes