1
II. KONSEP DASAR PELUANG
Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang lebih dahulu akan dibahas tentang ruangcontoh dan kejadian.
2.1. Ruang contoh dan kejadian
Misalkan suatu percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, akan tetapi himpunan semua kemungkinan yang akan muncul diketahui. Himpunan semua kemungkinan yang muncul dari suatu percobaan dikenal dengan ruang contoh dan dinotasikan .
Teladan
1. Misalkan suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang.
Himpunan semua kemungkinan yang muncul dari percobaan ini adalah:
.
2. Suatu percobaan sekeping mata uang dilempar dua kali. Ruang contoh percobaan ini adalah:
.
3. Misalkan 7 ekor kuda mengikuti lomba pacuan yang diberi nomor 1,2,...7.
Percobaannya adalah mengamati nomor kuda mencapai garis akhir lomba, maka ruang contohnya adalah:
4. Suatu percobaan pelemparan dua dadu, warna merah dan biru, maka ruang contoh terdiri dari 36 titik :
menunjukkan pada dadu merah muncul sisi- dan dadu biru muncul sisi- .
5. Misalkan suatu percobaan mengamati umur aki mobil (dalam jam), maka ruang contoh percobaan ini adalah:
Setiap bagian dari ruang contoh disebut dengan kejadian. Suatu kejadian merupakan sebuah himpunan yang kemungkinan muncul dari suatu percobaan.
Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. DISKRIT (Countable) / Dapat dihitung
a. Terhingga (finite)
Contoh : Banyaknya pohon di hutan b. Tak terhingga (Infinite)
Contoh : Banyaknya bilangan bulat positif.
Contoh penulisan himpunan diskrit :
A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 } 2. KONTINU (Uncountable) / Tak hingga
Contoh : Banyaknya bilangan antara 0 dan 1
2 Contoh penulisan himpunan kontinu: B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }
Teladan
6. Perhatikan pada teladan 1, maka merupakan kejadian munculnya sisi genap dari percobaan tersebut. Demikian juga bila , maka merupakan kejadian munculnya sisi kelipatan 3 dari percobaan tersebut.
7. Pada teladan 2, misalkan , maka merupakan kejadian munculnya koin pertama selalu sisi .
8. Pada teladan 5, misalkan , yaitu merupakan kejadian dengan jumlah sisi bernilai 6.
Untuk dua kejadian dan dari suatu ruang contoh , didefinisikan kejadian baru , yang terdiri dari semua anggota di atau atau keduanya dalam dan . Kejadian disebut dengan gabungan kejadian dan .
Teladan
9. Perhatikan pada teladan 1, dan , maka .
10. Pada teladan 2, misalkan dan maka
Dari dua kejadian dan dari suatu ruang contoh dapat juga dibentuk kejadian baru yang merupakan irisan dari dan . Anggota pada ada di dalam dan .
Teladan
11. Perhatikan pada teladan 1, dan , maka . 12. Pada teladan 2, misalkan dan maka . Pada dua kejadian dan dengan , kedua kejadian ini disebut sebagai kejadian terpisah.
Pada gabungan dan irisan dua kejadian dan , dapat juga digeneralisasi untuk banyak kejadian. Misalkan merupakan kejadian pada ruang contoh , maka gabungan kejadian-kejadian tersebut dinotasikan dengan yang beranggotakan semua titik dalam
untuk sedikitnya satu nilai Demikian juga irisan kejadian-kejadian tersebut , yang beranggotan semua titik yang ada dalam semua untuk Untuk kejadian dapat juga didefinisikan kejadian baru yang merupakan komplemen kejadian , yang beranggotakan semua titik dalam ruang contoh yang tidak terdapat dalam .
Teladan
13. Perhatikan pada teladan 1, , maka , yaitu sisi dadu yang muncul bernilai ganjil
14. Pada teladan 2, misalkan , maka , yaitu sisi pertama yang muncul adalah .
3 Pada dua kejadian dan , bila semua titik berada di , maka dikatakan bagian dari dan dinotasikan dengan atau ekivalen dengan . Jika dan maka kejadian dan adalah sama dan ditulis dengan .
Penyajian secara grafis dari hubungan antara kejadian dapat menggunakan diagram Venn seperti pada aljabar himpunan. Ruang contoh digambarkan sebagai semua titik dalam persegi-panjang, dan kejadian , digambarkan sebagai semua titik dalam lingkaran di dalam persegi-panjang. Kejadian-kejadian yang menjadi perhatian dapat ditandai dengan arsiran pada daerah tertentu. Diagram Venn pada Gambar, daerah yang diwarnai berturut- turut menunjukkan , , , , dan
(a) (b) (c)
(d) (e)
Gambar Diagram Venn
Hubungan yang sangat berguna antara gabungan, irisan, dan komplemen dikenal dengan hukum DeMorgan, yaitu:
Operasi gabungan, irisan, dan komplemen pada kejadian sama dengan aturan pada aljabar himpunan. Beberapa aturannya adalah:
a. Komutatif : ;
b. Asosiatif : ;
c. Distribusi : ;
4
HIMPUNAN PELUANG
(Aljabar Kejadian) Tindakan (Trial)/
Eksperimen
Unsur (Element) Unit Pengamatan
x Peristiwa (Outcome)
Himpunan (Set) / Gabungan dari Unsur
A Kejadian (Event)
Himpunan Semesta (Universum) Himpunan meliputi semua unsur yang diperhatikan
“Ada Pembatasan”
S Ruang Contoh
(Sample Space) Himpunan hasil yang mungkin dari percobaan
Himpunan Kosong (Empty Set)
Himpunan yang tidak ada anggotanya
Kejadian Mustahil
(Impossible Event)
2.2. Cara Menghitung Ruang Contoh dan Ruang Kejadian
Beberapa cara yang dapat digunakan untuk mencacah dan menghitung banyaknya anggota ruang contoh dan kejadian adalah :
2.2.1. Kaidah Penggandaan
Bila suatu percobaan menghasilkan kemungkinan hasil dan bila percobaan kedua dapat menghasilkan kemungkinan hasil, maka kedua percobaan tersebut menghasilkan kemungkinan hasil.
Prinsip dasar mencacah
Misalkan dilakukan dua percobaan. Bila percobaan ke-1 menghasilkan kemungkinan hasil dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke-1 terdapat kemungkinan hasil dari percobaan ke-2, maka secara bersama-sama terdapat kemungkinan hasil dari kedua percobaan tersebut.
Prinsip dasar mencacah secara umum
Misalkan dilakukan percobaan. Bila percobaan ke- menghasilkan kemungkinan hasil dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke- erdapat kemungkinan hasil dari percobaan ke- , dan seterusnya bila untuk setiap hasil dari percobaan ke- terdapat
kemungkinan hasil dari percobaan ke- , maka secara bersama-sama terdapat kemungkinan hasil dari percobaan tersebut.
Prinsip perhitungan banyaknya cara pada percobaan ini didasarkan atas penggandaan dari banyaknya cara dari masing-masing tahap maka prinsip ini disebut Hukum Penggandaan.
5 Teladan
15. Suatu panitia beranggotakan 4 orang akan dibentuk untuk kegiatan peringatan hari kemerdekaan Republik Indonesia di kampus. Calon yang dipilih terdiri dari: 3 orang mahasiswa tingkat-1, 4 orang tingkat-2 , 3 orang tingkat-3, dan 5 orang tingkat akhir.
Setiap tingkat diwakili satu orang. Berapa kemungkinan hasil yang berbeda dalam membentuk panitia tersebut ?
Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih mahasiswa tingkat-1 sebanyak 3, tingkat-2 sebanyak 4, tingkat-3 sebanyak 3, dan tingkat-4 sebanyak 5. Maka banyaknya kemungkinan panitia adalah :
16. Berapa banyaknya kemungkinan yang berbeda dari nomor plat kendaraan terdiri atas 7 digit, dengan 3 digit pertama merupakan huruf dan sisanya angka?
Solusi: Banyaknya kemungkinan nomor plat kendaraan dihitung dengan prinsip penggandaan yatu
2.2.2. Permutasi
Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huruf A, B, dan C ? Semua kemungkinan susunannya adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Jumlah susunan yang berbeda sebanyak 6. Susunan ini disebut dengan permutasi. Hasil ini dapat juga diperoleh dengan menggunakan prinsip penggandaan, yaitu obyek pertama dari permutasi ada 3 kemungkinan, obyek kedua dapat dipilih dari sisanya yaitu 2, dan obyek ketiga dari permutasi diperoleh dari sisanya yaitu 1. Sehingga terdapat permutasi.
Misalkan ada obyek yang berbeda, maka banyaknya permutasi adalah:
Bila dari huruf A, B, dan C dipilih dua secara acak dan diperhatikan susunannya.
Kemungkinan susunannya adalah: AB, AC, BC, BA, CB, CA. Jumlah susunan yang berbeda permutasi.
Secara umum bila terdapat obyek yang berbeda dan diambil secara acak obyek, maka banyaknya permutasi adalah:
Teladan
17. Seseorang mempunyai 10 buku berbeda yang terdiri atas matematika, kimia, biologi, dan kamus. Buku-buku tersebut akan disusun sesuai kelompoknya. Berapa banyaknya kemungkinan susunan berbeda ?
Solusi : banyaknya susunan buku matematika , kimia , biologi , dan kamus . Sehingga banyaknya permutasi dengan kelompok matematika, diikuti kimia, biologi, dan kamus ada sebanyak . Sedangkan banyaknya permutasi kelompok buku sebanyak . Sehingga banyaknya susunan keseluruhan adalah
18. Suatu panitia yang terdiri dari 3 orang dengan rincian seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan seorang sebagai bendahara akan dipilih dari 6 orang kandidat dengan ketentuan jabatan tidak boleh dirangkap. Berapa banyaknya kemungkinan susunan panitia berbeda yang dapat dibentuk ?
6 Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih ketua sebanyak 6, memilih sekretaris sebanyak 5, dan memilih bendahara sebanyak 4 kemungkinan. Maka banyaknya kemungkinan memilih panitia adalah: kemungkinan
19. Berapa banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari kata ?
Solusi: Banyaknya permutasi ada sebanyak , bila 3 dan 2 berbeda. perhatikan untuk susunan , antar huruf dan dipermutasikan, akan dihasilkan susunan:
semuanya merupakan susunan , yaitu sebanyak permutasi. maka banyaknya susunan susunan yang berbeda dari .
Secara umum permutasi dari obyek yang terdiri dari jenis yang berbeda, dengan obyek jenis- , obyek jenis ke- , dan obyek jenis- adalah:
Teladan
20. Misalkan terdapat 3 orang, katakanlah namanya A, B, dan C. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyaknya kemungkinan susunan ?
Solusi : Permutasi melingkar hanya mempertimbangkan perbedaan posisi relatif suatu obyek yang berada di samping kiri dan kanannya. Perhatikan ketiga gambar di bawah ini:
Ketiga gambar memiliki posisi relatif yang sama, walaupun secara sekilas tampak seperti susunan yang berbeda.
Banyaknya kemungkinan susunan duduk dari A, B, dan C adalah 2, yaitu :
Secara umum bila ada obyek yang berbeda disusun dalam melingkar, maka banyaknya susunannya adalah
7
2.2.3. Kombinasi
Pada permutasi susunan/urutan benda diperhatikan. Kita sering tertarik hanya dalam penentuan banyaknya grup yang beranggotakan obyek yang dapat dibentuk dari obyek.
Sebagai contoh, berapa banyaknya grup beranggota 3 yang dipilih dari 5 obyek A, B, C, D, dan E? Untuk menjawabnya perhatikan uraian ini, karena ada 5 cara memilih obyek yang pertama, berikutnya ada 4 cara, dan 3 cara untuk memilih obyek ketiga. Sehingga ada kemungkinan susunan. Akan tetapi, perhatikan pada setiap grup tersebut, misalkan obyek yang terpilih A, B, C, dihitung 6 kali (yaitu semua permutasi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Sehingga banyaknya grup yang terbantuk adalah
Pemilihan obyek tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi.
Secara umum bila ada obyek yang berbeda, kemudian dipilih secara acak grup obyek, maka banyaknya susunan . Setiap grup akan dihitung . Sehingga banyaknya grup obyek yang dapat dibentuk dari obyek yang berbeda adalah:
Notasi untuk kombinasi adalah untuk . Sehingga menyatakan banyaknya kemungkinan memilih grup beranggota dari obyek yang berbeda.
Teladan
21. Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang tanpa diperhatikan jabatannya, dipilih dari 20 orang. Berapa kemungkinan cara memilih panitia tersebut ?
Solusi: Banyaknya cara memilih 3 orang dari 20 orang tanpa memperhatikan susunanya adalah: kemungkinan.
22. Suatu tim dipilih dari 5 wanita dan 7 laki-laki. Berapa banyaknya cara memilih tim yang terdiri dari 2 wanita dan 3 laki-laki, bila ada 2 orang laki-laki yang menolak berada dalam satu grup ?
Solusi : Banyaknya memilih 2 wanita dar 5 wanita adalah , dan memilih 3 laki- laki dari 7 laki-laki sebanyak , sehingga banyaknya cara memilih tim adalah kemungkinan.
Perhatikan batasan bahwa 2 orang laki-laki menolak dalam satu tim. Cara memilihnya ada 2 kemungkinan yaitu:
a. Dua orang laki-laki yang menolak, keduanya tidak dipilih dalam tim, banyaknya kemungkinan:
b. Dari 2 orang laki-laki yang menolak dipilih satu orang dalam tim, banyaknya kemungkinan:
8 Sehingga banyaknya cara memilih laki-laki dengan persyaratan tersebut sebanyak , dan banyaknya cara memilih tim sebanyak kemungkinan.
23. Misalkan dalam satu kotak antena televisi, terdapat rusak dan siasanya yang berfungsi dengan baik dan diasumsikan semua yang rusak dan yang berfungsi tidak dapat dibedakan. Berapa banyaknya susunan linier yang dapat dibentuk dengan ketentuan tidak ada 2 antena rusak berturutan letaknya.
Solusi : Bayangkan ada yang berfungsi dengan baik diletakkan dalam satu baris. Bila tidak boleh ada 2 antena rusak yang terletak bersebelahan, maka pada setiap ruang antara antena yang berfungsi baik hanya dapat diletakkan satu antena rusak. Ruang yang mungkin meletakkan antena rusak sebanyak posisi, dan dipilih untuk menempatkan antena yang rusak (perhatikan Gambar...). Maka banyaknya kemungkinan susunan linier dengan ketentuan tidak ada 2 antena rusak berturutan letaknya sebanyak:
Identitas kombinasi yang sangat berguna adalah:
dengan .
Pembuktian analitik sebagai berikut: perhatikan anggota grup dengan r obyek. Pada grup yang terbentuk ada yang beranggotakan obyek ke-1, dan ada yang tidak beranggota obyek ke- 1. Cara memilih grup dengan anggota yang mengandung obyek ke-1 sebanyak
dan grup dengan anggota yang tidak mengandung obyek ke-1 sebanyak .
Nilai disebut dengan koefisien binomial yang sangat terkenal dalam teorema binomial.
Teorema binomial :
2.2.4. Koefisien Multinomial
Misalkan dari obyek yang berbeda dibagi dalam grup dengan anggota masing-masing grup adalah , , ..., dengan . Berapa banyaknya kemungkinan membaginya? Untuk menjawabnya, perhatikan banyaknya kemungkinan membagi dalam grup-1 sebanyak , untuk setiap pilihan grup-1 banyaknya kemungkinan membagi grup-2
9 sebanyak
, dan seterusnya sampai grup-r sebanyak . Sehingga banyaknya kemungkinan semuanya adalah:
Notasi
Jika , didefinisikan sebagai:
Sehingga menunjukkan banyaknya membagi obyek yang berbeda dalam grup yang berbeda dengan anggota masing-masing grup bertutut-turut
Teladan
24. Bila 10 orang anak akan dibagi dalam 2 tim, yaitu A dan B, dengan masing-masing beranggotakan 5 orang. Berapa kemungkinan cara membagi tim tersebut ?
Solusi: Banyaknya kemungkinan membagi :
2.2.5. Sebaran bola dalam wadah
Misalkan terdapat bola yang berbeda dan akan disebarkan dalam wadah yang berbeda.
Banyaknya kemungkinan sebanyak . Teladan
25. Misalkan ada 3 buah benda yang akan ditempatkan pada dua tempat, yaitu A dan B.
Cara penempatan benda tersebut adalah: A berisi 0 dan B berisi 3, A berisi 1 dan B berisi 2, A berisi 2 dan B berisi 1, atau A berisi 3 dan B berisi 0. Banyaknya kemungkinan :
26. Misalkan ada 2 buah benda akan ditempatkan pada tiga buah tempat misalkan A, B, dan C. Cara penempatan benda tersebut adalah:
,
,
,
,
,
Banyaknya kemungkinan :
10 Bila bola tersebut tidak dapat dibedakan satu sama lain. Pada kasus ini ada berapa kemungkinan ? Penempatan benda ke dalam wadah dapat dinyatakan dalam vektor dengan menyatakan banyaknya bola dalam wadah- . Sehingga permasalahan ini dapat disederhanakan menjadi: .
Untuk menghitungnya perhatikan terdapat satu baris benda yang tidak dapat dibedakan, dan akan dibagi dalam yang tidak kosong (perhatikan Gambar)
Kita dapat memilih tempat dari tempat yang tersedia. Sebagai contoh misalkan dan dan salah satu pemilihan pembagi tempat sebagai berikut:
maka nilai , , dan .
Sehingga banyaknya kemungkinan membagi yang tidak dapat dibedakan ke dalam wadah adalah
Preposisi 1
Terdapat nilai bulat positif yang berbeda dari vektor yang memenuhi: dengan ,
Untuk mendapatkan solusi taknegatif (sebagai lawan positif), banyaknya solusi taknegatif sama dengan banyaknya solusi positif dari (yaitu dengan menyatakan , , ), sehingga dari preposisi di atas diperoleh preposisi 2 berikut ini:
Preposisi 2
Terdapat
nilai bulat taknegatif yang berbeda dari vektor yang memenuhi:
Teladan
27. Berapa banyaknya solusi bilangan bulat taknegatif dari ? Solusi : , yaitu , , , dan .
28. Seorang investor mempunyai 20 ribu $ yang akan diinvestasikan dalam 4 macam proyek. Setiap investasi dalam satuan ribu $. Jika 20 ribu $ diinvestasikan semuanya, ada berapa kemungkinan cara menginvestasikan? Berapa cara bila tidak semua uang diinvestasikan?
11 Solusi: Misalkan menyatakan jumlah uang (ribu $) yang diinvestasikan pada proyek- dengan , maka banyaknya kemungkinan nilai yang memenuhi dengan adalah:
kemungkinan investasi.
Bila tidak semua uang diinvestasikan, maka tambahkan sebagai cadangan, maka banyaknya kemungkinan nilai yang memenuhi
dengan adalah:
kemungkinan investasi.
3. Aksioma Peluang
Definisi klasik peluang suatu kejadian adalah frekuensi relatif antara banyaknya kejadian yang muncul terhadap semua kemungkinan yang muncul dari suatu percobaan. Misalkan suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang. Ruang contoh dari percobaan ini adalah . Banyaknya anggotanya sebesar . Suatu kejadian didefinisikan sebagai sisi genap yang muncul dari percobaan tersebut, maka himpunan kejadian adalah . Peluang kejadian muncul sebesar
Pada definisi klasik ini setiap anggota ruang contoh mempunyai peluang yang sama untuk muncul atau mempunyai peluang yang seragam, yaitu .
Pada percobaan di atas, bila yang diperhatikan adalah munculnya sisi genap dan ganjil dari dadu tersebut maka ruang contoh dapat dinyatakan sebagai . Sehingga penulisan anggota ruang contoh tidak unik, akan tetapi banyaknya anggota unik.
Pada definisi peluang klasik memiliki beberapa kelemahan. Pada percobaan di atas diasumsikan dadu tersebut setimbang sehingga setiap sisi mempunyai peluang yang sama untuk timbul. Pada kenyataannya persyaratan ini tidak mudah dipenuhi. R. Von Mises (1883-1953) dan R.A Fisher (1890-1962) mengemukakan definisi Empirik/Frekuensi Nisbi suatu kejadian. Peluang suatu kejadian berkaitan dengan sekuens hasil percobaan yang diulang takhingga kali.
dengan adalah frekuensi kejadian muncul dalam percobaan bebas yang dilakukan.
Untuk yang sangat besar, nilai akan konvergen ke suatu nilai tertentu maka nilai ini disebut peluang kejadian .
Misalkan pada percobaan di atas, dadu dilempar sebanyak 1000 kali. Hasil percobaan sebagai berikut :
sisi 1 2 3 4 5 6
Frekuensi 166 169 165 167 169 164
12 maka peluang untuk masing-masing sisi sebuah dadu adalah :
sisi 1 2 3 4 5 6
Peluang
sehingga peluang kejadian adalah
Batasan peluang dikemukakan oleh Kolmogorov dikenal dengan defini peluang secara aksiomatik. Peluang adalah suatu fungsi yang memetakan anggota ruang contoh ke suatu gugus bilangan nyata dan memenuhi ketiga aksioma peluang, yaitu :
1. Bernilai tak negatif, ;
2. Bernorma satu, ;
3. Bersifat aditif, yaitu , jika untuk
4. Beberapa preposisi sederhana
Pada subbab ini akan dibahas tentang beberapa preposisi sederhana yang terkait dengan peluang.
Kejadian dan bersifat saling terpisah dan . dengan menggunakan Pada aksioma 2 dan 3, yaitu .
Preposisi 3
Teladan
29. Perhatikan pada Teladan 1, peluang mendapatkan sisi ganjil adalah
Proposisi keempat menyatakan bahwa jika kejadian berada di dalam kejadian , maka peluang kejadian tidak lebih besar dari peluang kejadian .
Preposisi 4
Jika , maka
Preposisi dapat dibuktikan sebagai berikut: Nyatakan kejadian sebagai . sehingga kejadian dan bersifat saling terpisah, maka
sedangkan , sehingga
Preposisi 5 menyatakan hubungan peluang dari gabungan dua kejadian sebagai peluang masing-masing kejadian dan irisannya.
Preposisi 5
13 Untuk mendapatkan formula terlebih dulu nyatakan sebagai gabungan dari dua kejadian yang terpisah, yaitu dan diperoleh
sedangkan , dari aksioma 3 diperoleh
atau ekivalen dengan maka
Teladan
30. Misalkan dua uang logam dilempar dan setiap anggota ruang contoh mempunyai peluang yang sama yaitu masing-
masing . Misalkan kejadian menyatakan sisi pada uang logam pertama dan menyatakan sisi pada uang logam kedua . Dengan proposisi 3 diperoleh:
Peluang dapat juga dihitung langsung, yaitu:
Proposisi 5 dapat dikembangkan untuk 3 kejadian misalkan , , dan .
dengan preposisi 3 diperoleh
dengan menggunakan aturan distribusi kejadian sama dengan , sehingga
Preposisi 6
Penjumlahan diberlakukan untuk semua kemungkinan dengan ukuran dari dari bilangan .
14
5. Ruang contoh dengan peluang sama
Percobaan secara alamiah mengasumsikan semua hasi yang muncul dalam ruang contoh mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Misalkan suatu percobaan dengan ruang contoh merupakan himpunan berhingga, dinyatakan . Peluang setiap titik contohnya adalah . Menurut aksioma 3, untuk kejadian , maka , dengan menyatakan banyaknya anggota ruang contoh dan
menyatakan banyaknya anggota kejadian.
Teladan
31. Pada teladan 5, tentukan peluang kejadian dengan jumlah kedua sisi dadu bernilai 6.
Solusi :
, maka
32. Sebuah wadah berisi 6 bola putih dan 5 bola hitam, 3 bola diambil secara acak.
Berapa peluang bola yang terambil satu berwarna putih dan sisanya warna hitam?
Solusi :
Bila bola diambil satu persatu, maka , dan . Sehingga peluang terpilihnya 1 bola putih dan 2 bola hiatm sebesar:
.
Peluang tersebut dapat juga diperoleh dengan cara pengambilan 3 bola sekaligus tanpa memperhatikan susunannya, maka , dan , sehingga peluang kejadian tersebut sebesar:
33. Sebuah komite terdiri atas 5 orang dipilih secara acak dari suatu grup yang terdiri dari 6 laki-laki dan 9 wanita. Bila pemilihan dilakukan secara acak, berapa peluang komite tersebut terdiri dari 3 laki-laki dan 2 wanita?
Solusi :
dan , sehingga peluang terpilihnya 3 laki-laki dan 2 wanita dalam komite tersebut sebesar:
34. Diketahui pada kotak I (K1) terdapat 4 bola merah dan 3 bola hitam dan pada kotak kedua (K2) terdapat 3 bola Merah dan 4 bola hitam. Suatu percobaan dilakukan sebagai berikut:
ambil satu bola secara acak dari K1 dan bola tersebut dimasukkan ke dalam K2. Kemudian satu bola diambil secara acak dari K2. Berapa peluang bola dari K2 tersebut berwarna hitam?
Solusi:
15 Bola yang terplih dari K1 ada dua kemungkinan : hitam atau merah. Bila dari K1 terambil bola merah maka pada K2 bola merah menjadi 4 dan bila yang terambil dari K1bola hitam maka pada K2 bola hitam menjadi 5.
35. Rombongan tur yang terdiri dari 5 orang memilih tempat untuk menginap pada 3 hotel yang berbeda. Berapa peluang kelimanya menginap di hotel yang sama ? Berapa peluang ada 1 hotel yang tidak dipilih?
Solusi :
a. Ruang contoh = 35= 243. Peluang kelimanya menginap di hotel yang sama sebesar:
b. Peluang bahwa ada 1 hotel yang tidak dipilih adalah:
6. Peluang Bersyarat
Subbab ini merupakan bagian penting dari teori peluang yaitu peluang bersyarat. Konsep ini sangat bermanfaat untuk menghitung peluang bila sebagian tentang sebagian hasil percobaan diketahui dan dapat digunakan untuk menghitung peluang yang diinginkan menjadi lebih mudah.
Peluang bersyarat digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian bila kejadian lain telah terjadi. Misalkan dua dadu digulirkan dan misalkan hasil percobaan mempunyai peluang yang sama, sehingga peluangnya masing-masing ialah . Misalkan pada dadu pertama sisi yang muncul mata 3. Dengan diketahuinya informasi ini, berapa peluang bahwa jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 8? Bila diketahui bahwa pada dadu pertama muncul mata 3, maka kemungkinan sisi yang muncul pada kedua dadu ada 6 kemungkinan, yaitu (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6). Dengan kata lain, bila dadu pertama muncul mata 3, maka peluang (bersyarat) masing-masing hasil-percobaan (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6) ialah , Sedangkan peluang (bersyarat) 30 titik lainnya di dalam ruang contoh ialah 0. Jadi peluang yang diinginkan ialah .
Jika menyatakan kejadian jumlah dua sisi dadu 8, sedangkan adalah kejadian bahwa dadu pertama muncul mata 3, maka peluang yang baru diperoleh di atas disebut sebagai peluang bersyarat terjadinya bila diketahui telah terjadi, dan dilambangkan sebagai
Bila kejadian telah terjadi, maka agar kejadian terjadi, maka kejadian yang sesungguhnya merupakan sebuah titik yang sekaligus berada di dan , atau harus berada
16 di dalam . Karena kejadian telah terjadi, haruslah menjadi ruang contoh yang baru. Sehingga peluang terjadinya kejadian sama dengan peluang relatif terhadap peluang kejadian , dan dirumuskan sebagai:
untuk .
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat terjadinya kejadian bila diketahui telah terjadi, dan dilambangkan sebagai didefinisikan sebagai:
untuk
Teladan
36. Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Jika diasumsikan bahwa keempat titik di dalam ruang contoh berpeluang muncul sama, berapakah peluang bersyarat kedua lemparan itu menghasilkan sisi gambar, bila diketahui lemparan pertama menghasilkan sisi gambar?
Solusi: Jika menyatakan kejadian bahwa kedua lemparan menghasilkan sisi gambar, dan kejadian bahwa lemparan pertama menghasilkan sisi gambar, maka peluang kedua lemparan itu menghasilkan sisi gambar adalah:
Formula peluang bersyarat juga dapat ditulis sebagai:
Peluang kejadian sama dengan peluang kejadian dikalikan dengan peluang kejadian setelah kejadian terjadi. Formula ini disebut sebagai kaidah penggandaan.
Teladan
37. Misalkan sebuah kantung berisi 8 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Dari kantung tersebut diambil secara acak 2 kelereng tanpa pengembalian. Jika diasumsikan bahwa peluang setiap kelereng terambil mempunyai peluang yang sama, berapa peluang bahwa kedua kelerang yang terambil berwarna merah?
Solusi:
Misalkan dan masing-masing menyatakan kejadian terambilnya kelereng berwarna merah pada ambilan pertama dan ambilan kedua. Bila telah diketahui kelereng merah pada ambilan pertama, maka dalam kantung tersebut tersisa ialah 7
17 kelereng merah dan 4 kelereng putih, sehingga . Sedangkan peluang kelereng merah pada ambilan pertam adalah , maka peluang terpilihnya dua kelerang warna merah adalah
Peluang ini juga dapat dihitung dengan rumus: =
38. Jika ada pesawat datang, maka radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.99. Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan peluang 0.1. Diasumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita sebesar 0.05. Tentukan besarnya peluang salah sinyal (tidak ada pesawat tetapi radar mendeteksinya) dan salah deteksi (ada pesawat tapi radar menyatakan tidak ada).
Solusi:
Misalkan adalah kejadian pesawat asing memasuki wilayah dan adalah kejadian radar mendeteksi adanya pesawat. Diketahui , dan = 0.1. Peluang salah sinyal yaitu:
; dan peluang salah deteksi yaitu:
Misalkan kita mengambil secara acak 3 kartu dari seperangkat kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu. Berapa peluang tidak satupun dari ketiganya merupakan kartu hati? Misalkan adalah kejadian kartu pertama bukan hati, adalah kejadian kartu kedua bukan hati, dan
adalah kejadian kartu ketiga bukan hati. Maka
Misalkan adalah kejadian-kejadian sedemikian sehingga , maka
Teladan
39. Murid kelas X terdiri dari 12 siswi dan 4 siswa. Kelas tersebut dibagi menjadi 4 kelompok yang masing-masing beranggotakan 4 orang. Berapa peluang setiap kelompok memiliki seorang siswa?
Solusi:
Misalkan didefinisikan kejadian-kejadian berikut:
= {siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda}
= {siswa pertama, kedua, dan ketiga berada pada grup yang berbeda}
= {siswa pertama, kedua, ketiga, dan keempat berada pada grup yang berbeda}
18 Peluang masing-masing kejadian adalah:
adalah kejadian siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda.
Andaikan kita tetapkan posisi salah satunya. Maka siswa kedua memiliki 15 tempat yang mungkin, dan 12 diantaranya berbeda grup dengan siswa pertama. Jadi
.
Sekarang asumsikan bahwa siswa pertama dan kedua sudah berada pada kelompok yang berbeda. Untuk siswa yang ketiga ada 14 tempat, dan 8 tempat untuk kelompok yang berbeda. Jadi .
Selanjutnya orang keempat punya 13 tempat kosong, dan 4 diantaranya berbeda grup dengan tiga lainnya. Jadi
Dengan demikian peluang setiap kelompok memiliki seorang siswa adalah:
40. Kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Kotak B berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru, sedangkan Kotak C berisi 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru.
Percobaan dilakukan sebagai berikut: pertama ambil satu kelereng dari kotak A dan dimasukkan ke kotak B, kedua ambil satu kelereng dari kotak B dan dimasukkan ke kotak C, ketiga ambil satu kelereng dari Kotak C. Berapa peluang mendapatkan kelereng merah dari ketiga ambilan tersebut?
Solusi:
Pada saat awal kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 biru sehingga . Kotak B mendapatkan tambahan 1 kelereng merah dari kotak A, sehingga ada 5 kelerang merah dan 3 kelereng biru, sehingga . Akhirnya Kotak C mendapatkan tambahan 1 kelereng merah sehingga ada 3 kelerang merah dan 3 kelereng biru, sehingga . Sehingga
7. Formula Bayes
Misalkan kejadian dan . Kejadian dapat dinyatakan sebagai , Kejadian dan bersifat terpisah, sehingga dengan menggunakan aksioma ke 3 dari peluang diperoleh
(1)
Formula ini menyatakan bahwa peluang kejadian merupakan rataan terboboti peluang bersyarat dari kejadian setelah terjadi.
19 Teladan
41. Sebuah perusahaan asuransi mengetahui bahwa masyarakat terbagi dalam kelompok, yaitu kelompok cenderung mengalami kecelakaan dan kelompok yang tidak mengalami kecelakaan. Statistik perusahaan menunjukkan bahwa orang yang cenderung mengalami kecelakaan akan mengalami kecelakaan pada suatu waktu dalam kurun waktu 1 tahun dengan peluang 0.4, sedangkan peluang ini turun menjadi 0.2 untuk yang tidak cenderung mengalami kecelakaan. Bila diasumsikan bahwa 30 persen populasi cenderung mengalami kecelakaan, berapa peluang bahwa seorang pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dalam waktu setahun sejak ia membeli polis tersebut.
Solusi: Misalkan kejadian menyatakan kejadian bahwa pemegang polis akan mengalami kecelakaan dalam periode satu tahun sejak membeli polis, dan misalkan adalah kejadian bahwa pemegang polis itu cenderung mengalami kecelakaan. Maka peluang sebesar:
42. Kantung I berisi 2 kelereng putih dan 4 kelereng merah, sedangkan kantung II berisi 1 kelereng putih dan 1 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantung I dan dimasukkan ke dalam kantung II, dan kemudian sebuah kelereng di ambil secara acak dari kantung II. Berapa peluang terambilnya kelereng putih dari kantung II?
Solusi:
Misalkan adalah kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung I, dan adalah kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung II. Maka
Persamaan (1) dapat digeneralisasi untuk kejadian yang saling terpisah sehingga
.
Suatu kejadian dalam ruang contoh dapat dinyatakan sebagai gabungan kejadian yang terpisah, yaitu:
Maka peluang kejadian adalah:
Misalkan kejadian telah terjadi, peluang salah satu kejadian yang juga muncul adalah
Persamaan ini dikenal sebagai rumus Bayes, yang diberi nama mengikuti penemunya Thomas Bayes, seorang filsuf berkebangsaan Inggris.
20 Teladan
43. Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang tuan Adam terpilih adalah 0.3, peluang tuan Brown terpilih adalah 0.5, dan peluang Nyonya Cooper terpilih adalah 0.2. Seandainya Tuan Adams terpilih, peluang terjadinya kenaikan iuran anggota naik adalah 0.8. Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper terpilih peluang kenaikan iuran anggota masing-masing adalah 0.1 dan 0.4. Ternyata iuran anggota naik, berapa peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi organisasi tersebut ?.
Solusi:
Peluang Adam terpilih =P(A)=0.3 Peluang Brown terpilih = P(B) = 0.5 Peluang Cooper terpilih = P(C) = 0.2
Peluang iuran naik bila Adam terpilih = P(N|A)= 0.8 Peluang iuran naik bila Brown terpilih= P(N|B)= 0.1 Peluang iuran naik bila Cooper terpilih = P(N|C) = 0.4
Peluang Cooper terpilih bila ternyata iuran telah naik= P(C|N) ?
44. Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.9.
Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita sebesar 0.05. Diketahui bahwa P(A) = 0.05 P(R|A) = 0.9 dan P(R|Ac) = 0.1. Jika diketahui bahwa radar mendeteksi adanya pesawat, berapa peluang pesawat tersebut benar-benar telah memasuki wilayah yang bersangkutan?
Solusi:
8. Kejadian Bebas
adalah peluang bersyarat dari kejadian bila kejadian telah terjadi, secara umum tidak sama dengan , peluang kejadian (tidak bersyarat) kejadian . Dengan kata lain, informasi tentang kejadian telah terjadi, akan mengubah peluang terjadinya kejadian . Dalam kasus bila sama dengan , dikatakan bahwa kejadian bebas dengan kejadian . Artinya, kejadian bebas terhadap kejadian bila informasi tentang telah terjadi tidak mengubah peluang terjadinya kejadian .
Kejadian bebas dengan kejadian bila
21 Dua kejadian dan dikatakan bebas, jika
Jika kejadian dan bebas, maka kejadian dan juga bebas.
Misalkan dan bebas. Kejadian dapat dinyatakan sebagai : dengan dan merupakan kejadian yang saling terpisah, sehingga
atau dapat dinyatakan bahwa
Teladan
45. Perhatikan pelemparan dadu bersisi-6 setimbang sebanyak 2 kali. Jika adalah kejadian mendapatkan mata dadu 2 pada pelemparan pertama dan adalah kejadian mendapatkan mata dadu 3 pada pelemparan kedua. Apakah kejadian dan bersifat bebas?
Solusi:
dan Dengan demikian dan maka
Ternyata
maka kejadian dan bersifat saling bebas
46. Percobaan sama dengan teladan 31. Misalkan adalah kejadian nilai maksimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Kejadian adalah kejadian nilai minimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Apakah kejadian dan bersifat bebas?
Solusi:
dan .
maka Ternyata
maka kejadian dan bersifat saling bebas Tiga kejadian , dan dikatakan bebas jika dipenuhi
a.
b.
c.
d.
22 Secara umum kejadian dikatakan saling bebas jika untuk sembarang
anak gugus berlaku
Teladan
47. Misalkan sebuah dadu bersisi enam dilemparkan dua kali. Kejadian adalah angka yang muncul pada dadu pertama adalah 1, 2, 3, kejadian adalah angka yang muncul pada dadu pertama adalah 3, 4, 5 dan adalah kejadian jumlah angka kedua dadu bernilai 9. Apakah kejadian , dan bebas ?
Solusi:
Maka kejadian , dan tidak bebas.
48. Misalkan sebuah percobaan melemparkan sebuah mata uang yang setimbang dua kali.
Kejadian adalah munculnya sisi muka lemparan pertama, adalah munculnya sisi muka lemparan kedua, dan adalah kejadian sisi yang muncul berbeda. Apakah kejadian , dan bebas ?
Solusi:
, ,
, , ,
