PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n),UNTUK n ≥ 3.

PELABELAN

GRACEFUL

PADA

GRAF

HALIN

G(2,

n),

UNTUK

n

≥

3

SKRIPSISARJANAMATEMATIKA

OLEH:

YUNIZAR

BP.0910433062

JURUSAN

MATEMATIKA

FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM

UNIVERSITASANDALAS

DAFTAR

ISI

DAFTARISI ii

DAFTARGAMBAR iv

DAFTARTABEL vi

PENDAHULUAN 1

1.1 LatarBelakangMasalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 PerumusanMasalah . . . .3

1.3 PembatasanMasalah . . . .3

1.4 Tujuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.5 SistematikaPenulisan. . . .3

LANDASAN

TEORI

4

2.1 Definisi_{danTerminologidalamTeoriGraf . . . . . . . . . . . . .4}

2.2 Jenis-JenisGraf . . . .7

2.3 Pemetaan[5] . . . .11

2.4 PelabelanGraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

PENUTUP

34

4.1 Kesimpulan . . . .34

4.2 Saran. . . .34

DAFTAR

GAMBAR

2.1 GrafG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2.2 (a)Graftakterhubung(b)Grafterhubung. . . .6

2.3 (a)GrafG,(b)SubgrafdariGrafG,(c)Subgrafyangdiinduksi darigrafG . . . .7

2.4 contohGrafLengkap . . . .8

2.5 K4adalahGrafPlanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.6 K5adalahbukanGrafPlanar . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.7 GrafHalin. . . .11

2.8 ContohGrafGraceful . . . .13

3.1 GrafHalinG(4,5) . . . .14

3.2 GrafHalinG(2,n) . . . .15

3.3 GrafHalinG(2,5) . . . .18

3.4 PelabelantitikpadaG(2,5) . . . .19

3.5 PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,5) . . . .21

3.6 PelabelanbobotsisiganjilpadaGrafHalinG(2,5). . . .21

3.7 GrafHalinG(2,7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.8 PelabelantitikpadaG(2,7) . . . .23

3.9 PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,7) . . . .24

3.11 GrafHalinG(2,6) . . . .25

3.12 PelabelantitikpadaG(2,6) . . . .26

3.13 PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,6) . . . .28

3.14 PelabelanbobotsisiganjilpadaGrafHalinG(2,6) . . . .29

3.15 GrafHalinG(2,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.16 PelabelantitikpadaG(2,8) . . . .31

3.17 PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,8) . . . .32

DAFTAR

TABEL

3.1 PelabelantitikpadaG(2,5) . . . .19

3.2 PelabelanbobotsisigenappadaG(2,5) . . . .20

3.3 PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,5). . . .20

3.4 PelabelantitikpadaG(2,7) . . . .22

3.5 PelabelanbobotsisigenappadaG(2,7) . . . .23

3.6 PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,7). . . .24

3.7 PelabelantitikpadaG(2,6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.8 PelabelanbobotsisigenappadaG(2,6) . . . .27

3.9 PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,6). . . .28

3.10 PelabelantitikpadaG(2,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3.11 PelabelanbobotsisigenappadaG(2,8) . . . .31

BAB

I

PENDAHULUAN

1.1

Latar

Belakang

Masalah

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun

1736 sebagai upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg. Pada tulisan

tersebutEulermembahasmasalahjembatanyangmenghubungkankota-kotadi

KonigsbergdanPrussiayangterpisaholehsungai. Teoriinilahirdarisebuah

pertanyaanapakahbisamelewatiketujuhjembatanKonigsbergdalamsatukali

melintassampaikembaliketempatsemula. Untukmemecahkanmasalah

terse-but,Eulermempersentasikandaratanyangdihubungkanjembatandengantitik

(vertex) danjembatandinyatakandengansisi(edge). Daripermasalahanitu,

akhirnyaEulermengembangkanbeberapakonsepmengenaiteorigraf. Teoriini

terusberkembangseiringditemukannyaberbagaiaplikasidalammenyelesaikan

beberapapermasalahan.

Grafadalahbagiandarimatematikadiskrityangbanyakdigunakan

un-tukmenggambarkanataumenyederhanakansuatupersoalanagarlebihmudah

dimengerti sehingga dapat diselesaikan. Hal ini memungkinkan ditemukannya

hal-halbaruyangterkaitdengangrafdanmenjadifaktorutamamengapateori

Perkembangan teori graf menyangkut dua hal yaitu topik bahasan dan

aplikasinya.Beberapatopikbahasanbarudiantaranyayaitupelabelan,

Hamilto-nian,dimensipartisi,danoperasipadagraf. Pelabelangrafmenjaditopikyang

banyakmendapatperhatian,karenamodel-modelyangadapadapelabelangraf

bergunauntukaplikasiyangluas.

Pelabelangrafmerupakanpemetaansatu-satuyangmemetakanunsur

him-punantitikdanatauunsurhimpunansisikebilanganbulatpositifyangdisebut

label.Pelabelantitikadalahpelabelandengandomainhimpunantitik,pelabelan

sisiadalahpelabelandengandomainhimpunansisi,danpelabelantotaladalah

pelabelandengandomaingabunganhimpunantitikdanhimpunansisi.

SuatupelabelanfdarisuatugrafG(V,E)adalahpemetaansatu-satudari

himpunantitikdiGkesuatuhimpunanbilanganbulatpositif. Untuksetiap

sisie = uv ∈ E(G), bobotyangdiinduksiolehf padaeditulisf(e), adalah

|f(u)−f(v)|. MisalkanGadalahsuatugrafberorderndansizem. Jikaf :

V(G) → {0,1,2,... ,m} adalah suatu pelabelan dari G, sedemikian sehingga

himpunanbobotyangdiinduksiolehf adalah{1,2,... ,m},makaf dikatakan

pelabelangracefuldariG,danGdinamakangrafgraceful.

Beberapakajianterdahulutentangpelabelangracefuluntukjenis-jenisgraf

tertentu telah dibahas pada skripsi yang lain seperti pelabelan vertex-graceful

padagraf-(5,6)dangraf-(6,7),pelabelangraceful padagrafsuperstarS5,n,dan

lainsebagainya.Penulistertarikuntukmelakukanpenelitianpadajenisgrafyang

1.2

Perumusan

Masalah

Berdasarkanlatarbelakangdiatas,masalahyangakandikajidalamskripsi

ini adalah bagaimana menentukan pelabelan graceful pada graf halin G(2,n),

untukn≥3.

1.3

Pembatasan

Masalah

Dalamtulisanini,permasalahanakandibatasipadaGrafHalinG(2,n),

untukn≥3.

1.4

Tujuan

Tujuandaripenulisanskripsiiniadalahuntukmenentukanpelabelan

grace-fulpadagrafhalinG(2,n),untukn≥3.

1.5

Sistematika

Penulisan

Dalamskripsiiniterdiridari4bab. PadaBabIdiberikanpendahuluan

yangdidalamnyamencakuplatarbelakang,permasalahan,pembatasanmasalah,

tujuanpenulisan,dansistematikapenulisanskripsiini. Konsepdasardariteori

grafberupadefinisi_{danterminologiyangmendasarihasildanpembahasanpada}

skripsiinidisajikanpadaBabIIsebagailandasanteori.Selanjutnya,kajiandari

permasalahan tersebut akan dijelaskan pada Bab III dan penulisan skripsi ini

BAB

II

LANDASAN

TEORI

PadaBabiniakandibahasbeberapakonsepdasaryangberkaitandengan

permasalahanyangtelahdikemukakandiBabI.Konsepdasarinidiawalidengan

beberapadefinisi_{danterminologidalamteorigraf,jenis-jenisgraf,pelabelan}

padagraf,danteoremapendukung.

2.1

Definisi

dan

Terminologi

dalam

Teori

Graf

GrafGdidefenisikansebagaipasanganhimpunan(V,E), ditulisdengan

notasiG=(V,E)terdiriatashimpunanV ={v1,v2,v3,... ,vn}denganV adalah

himpunantakkosongdarititik(vertex)yangdisebuthimpunantitik,dan

himpu-nanE={e1,e2,e3,... ,em},dimanaanggotanyadisebutsisiyang

menghubung-kansepasangtitikdandinyatakansebagaipasangantak-terurutdarititikpada

V [4].

BanyaktitikyangadapadaGadalah|V(G)|,dandisebutordedariG,

sedangkanbanyaksisipadaGadalah|E(G)|,dandisebutukuran(size)dariG.

Gambar 2.1.GrafG1

bahwaGrafG1 mempunyaititikV(G1) = {v1,v2,v3,v4,v5}dansisiE(G1) =

{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}.Jadi,|V(G1)|=5dan|E(G1)|=8.

Jikasisie=(u,v)denganu,v∈V(G),makatitikudisebutbertetangga

dengantitikvdandemikiansebaliknya. Dalamhalini,sisiedikatakanterkait

dengantitikudanv,jugatitikudanvdikatakanterkaitdengansisie. Banyak

sisiyangterkaitdengantitikvdinamakanderajattitikv,ditulisd(v)[4].

Suatusisiedisebutloop,jikae=(v,v)untuksuatuv∈V(G).Suatusisi

disebutsisiganda(multipleedge),jikaterdapatlebihdarisatusisiyangterkait

dengan2titik.Walk(jalan)padasuatugrafmisalkangrafGadalahbarisantitik

padaGyangdimulaidarititikawalvidanberakhirpadatitikakhirvjdansetiap

titiknyadihubungkanolehsebuahsisi.

Pada walk, jika sebuah sisinya dilewati tidak lebih dari satu kali maka

walk tersebutdikatakantrail(jalur). Walk yangsemuatitiknyaberbedadisebut

Pathyangtitikawaldantitikakhirnyasamadikatakancycle(sikel).Banyak

sisidalampath disebutlength(panjang)daripath tersebut. Path dancycle

de-nganntitikberturut-turutdinotasikandenganPndanCn. LengthdaripathPn

adalah(n−1)sisi.

Duabuahtitikv1 dantitikv2 disebutterhubungjikaterdapatlintasan

dariv1kev2.GrafGdisebutGrafterhubung(connectedgraph)jikauntuksetiap

pasangtitikvidanvj dalamhimpunanV terdapatlintasandarivikevj. Jika

tidakdemikian,makaGdisebutGraftakterhubung(disconnectedgraph)seperti

padagambar2.2.

Gambar 2.2.(a)Graftakterhubung(b)Grafterhubung

Suatu graf H disebut subgraf dari G jika E(H) ⊆ E(G) dan V(H) ⊆

V(G). JikaE(H)={xy∈E(G)|x,y∈V(H)},makaHdikatakansubgrafyang

Gambar 2.3. (a)GrafG,(b)SubgrafdariGrafG,(c)Subgrafyangdiinduksi

darigrafG

2.2

Jenis

-

Jenis

Graf

Berdasarkansifatnyagrafdapatdikelompokkanmenjadibeberapakategori

(jenis)bergantungpadasudutpandangpengelompokannya.Pengelompokangraf

dapatdipandangberdasarkanadatidaknyasisiganda,berdasarkanbanyaktitik,

atauberdasarkanorientasiarahpadasisi.

Berdasarkanadatidaknyasisigandapadasuatugraf,makasecaraumum

grafdapatdigolongkanmenjadi2jenis:

1. Grafsederhana(simplegraph)

Grafsederhanaadalahgrafyangtidakmengandungsisigandamaupunloop.

2. Graftak-sederhana(unsimplegraph)

Graftak-sederhanaadalahgrafyangmengandungsisigandaatauloop.Ada

duamacamgraftak-sederhana,yaitugrafganda(multigraph)dangrafsemu

(pseudograph). Grafgandaadalahgrafyangmengandungsisiganda. Graf

Definisi2.2.[4]Banyaktitikpadagrafdisebutsebagaikardinalitasgraf,

dinyata-kandengann=|V|danbanyaksisidinyatakandenganm=|E|.

Berdasarkanbanyaktitikpadasuatugraf,makasecaraumumgrafdapat

dikelompokkanmenjadiduajenis:

1. Grafberhingga(limitedgraph)

Grafberhinggaadalahgrafyangbanyaktitiknyan,berhingga.

2. Graftak-berhingga(unlimitedgraph)

Graftak-berhinggaadalahgrafyangbanyaktitiknyan,takberhingga.

Terdapatbeberapajenisgrafsederhanakhusus. Berikutinididefinisikan

beberapagrafkhususyangseringditemukan:

1. GrafLengkap(CompleteGraph)

Graf lengkap merupakan graf sederhana yang setiap titiknya terhubung

(olehsatusisi)kesemuatitiklainnya. Dengankatalain,setiaptitiknya

bertetangga. GraflengkapdengannbuahtitikdilambangkandenganKn.

Banyaksisipadasebuahgraflengkapyangterdiridarinbuahtitikadalah

n(n−1)/2sisi.Sebagaicontoh,dapatdilihatpadaGambar2.4

2. GrafLingkaran(CycleGraph)

Graflingkaranmerupakangrafsederhanayangsetiaptitiknyaberderajat

dua.GraflingkarandenganntitikdilambangkandenganCn.

3. GrafRoda(WheelsGraph)

Grafrodamerupakangrafyangdiperolehdengancaramenambahkansatu

titikpadagraflingkaranCn,danmenghubungkantitikbarutersebutdengan

semuatitikpadagraflingkarantersebut.

4. GrafTeratur(RegularGraph)

Grafteraturmerupakangrafyangsetiaptitiknyamempunyaiderajatyang

sama. Apabiladerajatsetiaptitikpadagrafteraturadalahr,makagraf

tersebutdinamakangrafteraturberderajatr.Banyaksisipadagrafteratur

denganntitikadalahnr/2sisi.

5. GrafPlanar(PlanarGraph)danGrafBidang(PlaneGraph)

Grafyangdapatdigambarkanpadabidangdatarsehinggatidakadadua

sisiyangsalingbersilanganmakagraftersebutdinamakanGrafplanar.Jika

tidakdemikianmakagraftersebutdinamakanGrafnon-planar.Perlu

diper-hatikanbahwabelumtentusuatugrafyangsecarakasatmataterlihat

sisi-sisinyasalingbersilanganadalahgrafnon-planar. Graftersebutmungkin

sajaplanar,karenagraftersebutdapatdigambarkankembalidengancara

yangberbedayangsisi-sisinyatidaksalingbersilangan. Untuklebih

jelas-nyaperhatikancontohberikut,grafK4padaGambar2.5adalahgrafplanar

bersilangan,sedangkanK5padaGambar2.6bukangrafplanarkarenajika

direpresentasikankegrafbidangmakaterdapatduasisiyangbersilangan.

Gambar 2.5.K4adalahGrafPlanar

Gambar 2.6.K5adalahbukanGrafPlanar

Grafplanaryangdigambarkandengansisi-sisiyangtidaksalingbersilangan

disebutgrafbidang(planegraph).

6. GrafHamiltonian(HamiltonianGraph)

Sebuah cycle pada graf G yang memuat setiap titik dari G dinamakan

Hamiltoniancycle. GrafHamiltonianadalahgrafyangmemuat

Hamilto-niancycle. Olehkarenaitu,pastilahgrafCn(n≥3)adalahHamiltonian

7. GrafHalin(HalinGraph)

SuatuGrafHalinH adalahgrafplanaryangdibangundengan

menggam-barkansebuahtreeT yangsetidaknyaterdiridariempattitikpadasuatu

bidang,dimanaT tidakmemuattitikberderajatduadanmenghubungkan

semuatitikpadatreedengancycleC. Sebagaicontoh,dapatdilihatpada

Gambar2.7

Gambar 2.7.GrafHalin

2.3

Pemetaan

[5]

MisalkanAdanBadalahduahimpunanyangtidakkosong. Suatucara

atauaturanyangmemasangkansetiapelemendarihimpunanAdengantepatsatu

elemendihimpunanBdisebutpemetaandarihimpunanAkehimpunanByang

dinotasikanf:A→B. HimpunanAdisebutsebagaidaerahasal(domain)dan

himpunanBdisebutdaerahkawan(kodomain). Secaraumum,pemetaandapat

digolongkanmenjadi3golongansebagaiberikut:

1. Pemetaansatu-satu(Injektif)

daerah kodomain yang berpasangan, mempunyai pasangan elemen tepat

satudidaerahdomain,dapatditulissecaramatematikasebagaiberikut:

f:A→B,injektif ⇔∀x,y∈A,f(x)=f(y)⇒x=y.

2. PemetaanPadaSurjektif

Pemetaanpada(surjektif)adalahpemetaandimanasemuaelemendidaerah

kodomainmempunyaipasanganelemendidaerahdomain,dapatdituliskan

secaramatematikasebagaiberikut:

f:A→B,surjektif ⇔∀y∈B,∃x∈A y=f(x).

3. PemetaanKorespondensisatu-satubijektif

Pemetaankorespondensisatu-satu(bijektif)adalahpemetaanyangmemenuhi

pemetaaninjektif danpemetaansurjektif.

2.4

Pelabelan

Graf

Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan atau fungsi yang

memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya

bi-langanbulatpositif). Jikadomaindaripemetaanadalahtitik,makapelabelan

disebutpelabelantitik(vertexlabeling). Jikadomainnyaadalahsisi,maka

dise-butpelabelansisi(edgelabeling),danjikadomainnyatitikdansisi,makadisebut

Sebuahtreememilikintitik,makagraftersebutmemilikin−1sisi.Apabila

f : V(G) → {1,2,3,...,n} dan f : E(G) → {1,2,3,... ,n−1}, sedemikian

sehinggapelabelanpadasetiapsisisamadenganselisihdaripelabelanduatitik

ujung,makatreedinamakangraceful[5].

Definisi 2.3.[1] Misalkan G adalah suatu graf berorder n dan size m. Jika

f:V(G)→{0,1,2,... ,m}adalahsuatupelabelandariG,sedemikiansehingga

himpunan bobot yang diinduksi oleh f adalah {1,2,... ,m}, maka f dikatakan

pelabelangracefuldariG,danGdinamakangrafgraceful.

GrafgracefuldapatditunjukkanpadaGambar2.8

BAB

III

PELABELAN

GRACEFUL

PADA

GRAF

HALIN

G(2,

n),

UNTUK

n

≥

3

Padababiniakandijelaskanhasilutamadariintipembahasanskripsiini

yaitupelabelangracefulpadaGrafHalinG(2,n),untukn≥3.

MisalkanG(k,l)merupakangrafplanaryangmempunyaihimpunansisiE.

HimpunansisiEdapatdidekomposisikedalamduasubhimpunansisiyangsaling

lepasyaituhimpunantree T danhimpunancycle C,sehinggaE=T∪C dan

T∩C=∅. SubgrafdariG(k,l)diinduksipadaT yangmerupakansebuahtree

dengansatutitikuberderajatk,satutitikvberderajatl,udanvbertetangga,

dansisanyak+l−2titikberderajatsatudansubgrafyangdiinduksipadaC.

Cadalahcycledenganpanjangk+l−2yangmelewatisemuatitikdariG(k,l)

kecualiudanv[6].SebagaicontohdapatdilihatpadaGambar3.1

i=1{xi,xi+1}∪ j=1{x0,xj}∪

3.1

Pelabalen

graceful

pada

graf

halin

G(2,

n)

Berdasarkanuraiandiatas,makadiperolehTeorema3.1sebagaiberikut:

Teorema3.1.[6]GrafhalinG(2,n)adalahgraceful.

Bukti.

MisalkanGrafHalinG(2,n)dengann≥3adalahgrafdenganhimpunantitik

V ={x0,x1,... ,xn,xn+1}danhimpunansisiE= n n−1

{x0,xn+1}∪{x1,xn}.Dalamhaliniberarti|V|=n+2dan|E|=2n+1.Sehingga

grafG(2,n)dapatdigambarkansepertiGambar3.2

Gambar 3.2.GrafHalinG(2,n)

Definisikanuntukn≥5pelabelantitikf:V →{0,1,2,... ,2n+1}dengan

carasebagaiberikut:

kasus1:untuknganjildann≥5,definisikanlabeltitiksebagaiberikut:

· f(xn+1)=0,

· f(xn)=2n,

i+1 jika i∈{1,3,...,n−2},

2n−i jika i∈{2,4,...,n−3}.

2n−i untuk i∈{1,3,...,n−2},

i+1 untuk i∈{2,4,...,n−3}, · f(xn−1)=2n−1,

· f(xi)=

Selanjutnya, misalkan w menyatakan bobot sisi pada G(2,n), sehingga

pelabelansisidapatdilakukandengancarasebagaiberikut:

1. Untukpelabelansemuabobotsisigenapdidefinisikansebagai

· w(xi,xi+1)=2(n−i−1) untuk i∈{1,2,... ,n−3},

· w(x0,xn−1)=2,

· w(x1,xn)=2n−2,

· w(xn,xn+1)=2n.

2. Untukpelabelansemuabobotsisiganjildidefinisikan_sebagai

· w(x0,xi)=

· w(xn−1,xn)=1,

· w(xn−2,xn−1)=n,

· w(x0,xn+1)=2n+1.

kasus2:untukngenapdann≥6,definisikanlabeltitiksebagaiberikut:

n+i jika i∈{4,6,...,n−2},

n−i+5 jika i∈{5,7,...,n−1}.

n−i+1 untuk i∈{4,6,...,n−2},

n+i−4 untuk i∈{5,7,...,n−1}, · f(x0)=2n+1,

· f(x1)=2,

· f(x2)=4,

· f(x3)=5,

· f(xi)=

Selanjutnya, misalkan w menyatakan bobot sisi pada G(2,n), sehingga

pelabelansisidapatdilakukandengancarasebagaiberikut:

1. Untukpelableansemuabobotsisigenapdidefinisikansebagai

· w(xi,xi+1)=2i−4 untuk i∈{4,5,... ,n−1},

· w(x1,x2)=2,

· w(x0,x3)=2n−4,

· w(x1,xn)=2n−2,

· w(xn,xn+1)=2n.

2. Untukpelabelansemuabobotsisiganjildidefinisikansebagai

· w(x0,xi)=

· w(x2,x3)=1,

· w(x0,x1)=2n−1,

· w(x0,x2)=2n−3,

· w(x0,xn+1)=2n+1.

Selanjutnyaakandiberikanbeberapacontohuntukmengilustrasikan

teo-rema3.1.

1. GrafG(2,n)dengann=5

DiberikanpenotasiantitikpadaGrafHalinG(2,n)sepertipadaGambar3.3

Gambar 3.3.GrafHalinG(2,5)

Tabel3.1.PelabelantitikpadaG(2,5)

Setelahdilakukanpelabelantitiksesuaidengandefinisiyangdiberikan,

diperolehgrafdenganpelabelantitiksepertiGambar3.4

Gambar 3.4.PelabelantitikpadaG(2,5)

Berdasarkanrumuspelabelanbobotsisiyangdidefinisikan_diatas,

makaakandicaribobotsisipadaG(2,5)sehinggadiperoleh: i xi f(xi)

0

1

2

3

4

5

6 x0

x1

x2

x3

x4

x4

x6

2n+1=5

i+1=2

2n−i=8

i+1=4

2n−1=9

2n=10

(a) Pelabelanuntuksemuabobotsisigenapadalah

Tabel3.2.PelabelanbobotsisigenappadaG(2,5)

(b) Pelabelanuntuksemuabobotsisiganjiladalah

Tabel3.3.PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,5)

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka dapat digambarkan

pelabelanbobotsisigenapdanpelabelanbobotsisiganjilsepertipada gam-i j (xi,xj) w(xi,xj)

1 2 0 1 5 2 3 4 5 6

(x1,x2)

(x2,x3)

(x0,x4)

(x1,x5)

(x5,x6)

2(n−i−1)=6

2(n−i−1)=4

2

2n−2=8

2n=10

i j (xi,xj) w(xi,xj)

0 0 0 4 3 0 1 3 2 5 4 6

(x0,x1)

(x0,x3)

(x0,x2)

(x4,x5)

(x3,x4)

(x0,x6)

2n−i=9

2n−i=7

i+1=3

1

5

Gambar 3.5.PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,5)

2. GrafG(2,n)dengann=7

DiberikanpenotasiantitikpadaGrafHalinG(2,n)sepertipadaGambar

3.7

Gambar 3.7.GrafHalinG(2,7)

LabeltitikdariGrafG(2,7)dapatdilihatpadatabel3.4berikut:

Tabel3.4.PelabelantitikpadaG(2,7) i xi f(xi)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

2n+1=15

i+1=2

2n−i=12

i+1=4

2n−i=10

i+1=6

2n−1=13

2n=14

Setelahdilakukanpelabelantitiksesuaidengandefinisiyangdiberikan,

diperolehgrafdenganpelabelantitiksepertiGambar3.8

Gambar 3.8.PelabelantitikpadaG(2,7)

Berdasarkanrumuspelabelanbobotsisiyangdidefinisikan_diatas,

makaakandicaribobotsisipadaG(2,7)sehinggadiperoleh:

(a) Pelabelanuntuksemuabobotsisigenapadalah

Tabel3.5.PelabelanbobotsisigenappadaG(2,7) i j (xi,xj) w(xi,xj)

1 2 3 4 0 1 7 2 3 4 5 6 7 8

(x1,x2)

(x2,x3)

(x3,x4)

(x4,x5)

(x0,x6)

(x1,x7)

(x7,x8)

2(n−i−1)=10

2(n−i−1)=8

2(n−i−1)=6

2(n−i−1)=4

2

2n−2=12

(b) Pelabelanuntuksemuabobotsisiganjiladalah

Tabel3.6.PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,7)

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka dapat digambarkan

pelabelanbobotsisigenapdanpelabelanbobotsisiganjilsepertipada

gam-bar3.9dan3.10berikut:

Gambar 3.9.PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,7) i j (xi,xj) w(xi,xj)

0 0 0 0 0 5 6 0 1 3 5 2 4 6 7 8

(x0,x1)

(x0,x3)

(x0,x5)

(x0,x2)

(x0,x4)

(x5,x6)

(x6,x7)

(x0,x8)

2n−i=13

2n−i=11

2n−i=9

i+1=3

i+1=5

n=7

1

Gambar 3.10.PelabelanbobotsisiganjilpadaGrafHalinG(2,7)

3. GrafG(2,n)dengann=6

DiberikanpenotasiantitikpadaGrafHalinG(2,n)sepertipadaGambar

3.11

LabeltitikdariGrafG(2,6)dapatdilihatpadatabel3.7berikut:

Tabel3.7.PelabelantitikpadaG(2,6)

Setelahdilakukanpelabelantitiksesuaidengandefinisiyangdiberikan,

diperolehgrafdenganpelabelantitiksepertiGambar3.12

Gambar 3.12.PelabelantitikpadaG(2,6) i xi f(xi)

0 1 2 3 4 5 6 7 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

2n+1=13

2

4

5

n+1=10

n−i+5=6

2n=12

Berdasarkanrumuspelabelanbobotsisiyangdidefinisikan_diatas,

makaakandicaribobotsisipadaG(2,6)sehinggadiperoleh:

(a) Pelabelanuntuksemuabobotsisigenapadalah

Tabel3.8.PelabelanbobotsisigenappadaG(2,6) i j (xi,xj) w(xi,xj)

1

4

5

0

1

6 2

5

6

3

6

7

(x1,x2)

(x4,x5)

(x5,x6)

(x0,x3)

(x1,x6)

(x6,x7)

2

2i−4=4

2i−4=6

2n−4=8

2n−2=10

(b) Pelabelanuntuksemuabobotsisiganjiladalah

Tabel3.9.PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,6)

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka dapat digambarkan

pelabelanbobotsisigenapdanpelabelanbobotsisiganjilsepertipada

Gam-bar3.13dan3.14berikut:

Gambar 3.13.PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,6) i j (xi,xj) w(xi,xj)

0 0 2 3 0 0 0 4 5 3 4 1 2 7

(x0,x4)

(x0,x5)

(x2,x3)

(x3,x4)

(x0,x1)

(x0,x2)

(x0,x7)

n−i+1=3

n+i−4=7

1

n−1=5

2n−1=11

2n−3=9

Gambar 3.14.PelabelanbobotsisiganjilpadaGrafHalinG(2,6)

4. GrafG(2,n)dengann=8

DiberikanpenotasiantitikpadaGrafHalinG(2,n)sepertipadaGambar

3.15

LabeltitikdariGrafG(2,8)dapatdilihatpadatabel3.10berikut:

Tabel3.10.PelabelantitikpadaG(2,8)

Setelahdilakukanpelabelantitiksesuaidengandefinisiyangdiberikan,

diperolehgrafdenganpelabelantitiksepertiGambar3.16 i xi f(xi)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

2n+1=17

2

4

5

n+i=12

n−i+5=8

n+i=14

n−i+5=6

2n

Gambar 3.16.PelabelantitikpadaG(2,8)

Berdasarkanrumuspelabelanbobotsisiyangdidefinisikan_diatas,

makaakandicaribobotsisipadaG(2,8)sehinggadiperoleh:

(a) Pelabelanuntuksemuabobotsisigenapadalah

Tabel3.11.PelabelanbobotsisigenappadaG(2,8) i j (xi,xj) w(xi,xj)

4 5 6 7 1 0 1 8 5 6 7 8 2 3 8 9

(x4,x5)

(x5,x6)

(x6,x7)

(x7,x8)

(x1,x2)

(x0,x3)

(x1,x8)

(x8,x9)

2i−4=4

2i−4=6

2i−4=8

2i−4=10

2

2n−4=12

2n−2=14

(b) Pelabelanuntuksemuabobotsisiganjiladalah

Tabel3.12.PelabelanbobotsisiganjilpadaG(2,8)

Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka dapat digambarkan

pelabelanbobotsisigenapdanpelabelanbobotsisiganjilsepertipada

gam-bar3.17dan3.18berikut:

Gambar 3.17.PelabelanbobotsisigenappadaGrafHalinG(2,8) i j (xi,xj) w(xi,xj)

0 0 0 0 2 3 0 0 0 4 6 5 7 3 4 1 2 9

(x0,x4)

(x0,x6)

(x0,x5)

(x0,x7)

(x2,x3)

(x3,x4)

(x0,x1)

(x0,x2)

(x0,x9)

n−i+1=5

n−i+1=3

n+i−4=9

n+i−4=11

1

n−1=7

2n−1=15

2n−3=13

BAB

IV

PENUTUP

4.1

Kesimpulan

Berdasarkanhasilpembahasanpadababsebelumnya,dapatdisimpulkan

bahwaGrafHalinG(2,n)adalahgraceful. Pelabelangraceful padaGrafHalin

G(2,n)didefinisikanmenjadi2kasus,yaitukasusuntuknganjildann≥5,dan

kasusuntukngenapdann≥6.Padamasing-masingkasusdiperolehpelabelan

titikdanpelabelansisiyangberbeda. AkibatnyadiperolehbahwaGrafHalin

G(2,n)adalahgraceful.

4.2

Saran

Pembahasanmengenaipelabelangraceful inimasihterbukabagipeneliti

lain.Penulismenyarankanuntukmelanjutkanpenelitianinipadaaplikasinyadan

DAFTAR

PUSTAKA

[1]Bondy, J.A.andU.S.R.Murty. 1976. GraphTheorywithApplications. Macmillan,London.

[2]Chartrand,G.andLesniak.L.1996.GraphsandDigraphs.London.

[3]Gallian,J.2003. Adynamicsurveyofgraphlabeling. TheElectronicJournal Combinatories.

[4]Gross,J.L.andYellen.J.2003.HandbookofGraphTheory.CRCPressLLC, NewYork.

[5]Hartsfield,N.andG.Ringel.1994.PearlsinGraphTheory.AcademicPress, NewYork.

[6]Histamedika,G.2011.pelabelanvertex-gracefulpadagraf-(5,6)dangraf-(6,7). Skripsi-SI,Tidakditerbitkan.

[7]Kudlac,M.andS.Schrotter.2006.GracefulLabellingofSpecialHalinGraph. FacultyofElectricalEngineeringandInformatics,Kosice.

RIWAYAT

HIDUP

PenulisbernamaDinnyFitriani,dilahirkandiTembilahanpadatanggal13

Maret1990daripasanganChairilAnwardanNoniLidya. Penulisadalahanak

keduadariduabersaudara. PenulismenamatkanpendidikanSekolahDasardi

SDN004Tembilahanpadatahun2002,SMPN2Tembilahanpadatahun2005,

danSMANegeri1Tembilahanpadatahun2008.Padatahunyangsama,penulis

diterimasebagaimahasiswajurusanMatematikaFakultasMatematikadanIlmu

PengetahuanAlamUniversitasAndalasmelaluijalurSNMPTN(SeleksiNasional

MasukPerguruanTinggiNasional).

SelamamenjadimahasiswadijurusanMatematikaFMIPAUnand,penulis

aktifdalamorganisasiHimpunanMahasiswaMatematika(HIMATIKA),

organi-sasiKoperasiMahasiswaUniversitasAndalas,danpengajarprivatmatapelajaran

Matematika.PenulismelaksanakanKuliahKerjaNyata(KKN)padatahun2011

diKampungBukitSilapu,KenagarianAirHaji,KecamatanLinggoSariBaganti,

KabupatenPesisirSelatandalamrangkamenyelesaikansalahsatumatakuliah