(Soal dalam buku seri Schaum Edisi II, halaman 324 nomor 7)
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
dx Sehingga
dx cos 2 ( ) sin 4 4 ( ) sin 4 ( 9 ) sin 4 cos
2 cos
2 cos
4 cos 16
cos
Maka cos 16
cos sin 4 3 4
=
16
Volume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah urutan tanda integrasi dxdy.
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
dx sin 9 cos 3 ( ] ) sin 1 ( 9 ) sin 9 ( 9 16 ) sin 1 cos
3 cos
48 cos 48 cos 16
cos
Maka cos 16
cos sin 4 3 4
cos sin 16
`
Gambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah
R
dA y x f
V ( , )
4 16
2
2
16
2 x dydx
x
Y
X
Z
X
Y Y A(4,0,0)
) 0 , 0 , 4 (
A
) 0 , 4 , 0 (
B
Y
X
4
0 16
0
2
2
16
8 x dydx
x
4
0
16
0 2
2
16
8 y x x dx
4
2
16
8 x dx
4
0 3 3 1 16
8
x x
= 8[(16.4- 43
3 1
)-(16.0- 0 3 1
) = 8(128/3)
= satuanisi
3 1024
3. Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan volume bangun ruang yang dibatasi oleh bidang z = 0, x + y = 4 dan y + z = 4
Bangun persekutuan bidang seperti gambar berikut:
` X
Z
Y
4 z y
4
R
dA y x f
V ( , )
4
0 4
0
4 y
dxdy y
x yx
ydy
4
0
4 0
4
y y y dy4
0
) 4 ( ) 4 ( 4
y yy dy4
0
2)
4 4 16 (
yy dy4
0
2)
8 16 (
4
0 3 2
3 1 3 8
16
y y y
2 3 2 .03
3 1 0 . 3 8 0 . 16 4
. 3 1 4 . 3 8 4 . 16
3 64 3 128 64
4. Tentukan volume bola x2 y2z2 25 menggunakan integral ganda dua.
Jawab
Dengan integral ganda dua diperoleh
r r y
dxdy y x r V
0 0
2 2 2
2 2
8
dxdy x y r
y r
2
0 0
2 2 2
2 2
) (
8
Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri
diperoleh
x =
r2 y2 costdan dx =
r2 y2sintuntuk x = 0 didapat t = dan untuk x =
r2 y2didapat t =
2
, sehingga
dxdy x y r
y r
2
0 0
2 2 2
2 2
) (
8
dy t y r t y
r y r
2
0 2
0
2 2 2 2 2 2
2 ) ( )sin ( cos )
( 8
2
0 2
0
2 2
2 )cos
( 8
dtdy t y
r
dy t t t y
r
2
0
2
0 2
2
2 1 2
cos sin ) (
8
r
dy y r
0
2
2 )
( 4 . 8
r
y y r
0 3 2
3 1
2
2 3
3 1 2 r r r
3
3 4
r
