PENAKSIR PRODUK YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA DAN SAMPLING BERPERINGKAT

(1)

1

PENAKSIR PRODUK YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA DAN

SAMPLING BERPERINGKAT

Dwi Andini1*, Firdaus2, Arisman Adnan2

1

Mahasiswa Program S1 Matematika

2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia

*

andhien_math@yahoo.com

ABSTRACT

This paper discusses two product estimators for the population mean in the random sampling, those are the product estimator in simple random sampling and product estimator in ranked set sampling using the auxiliary variable quartiles given by Al-Omari [International Journal of Human and Social Sciences., 4 (2009), pp. 1181-1185]. The two estimators are biased estimators. The most efficient estimator is the estimator that has the smallest mean square error obtained by comparing the mean square error of each estimator.

Keywords: product estimator, biased, quartiles, simple random sampling, rank set

sampling and mean square error ABSTRAK

Pada artikel ini dibahas dua penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak, yaitu penaksir produk pada sampling acak sederhana dan penaksir produk pada sampling berperingkat menggunakan kuartil yang diajukan oleh Al-Omari [International Journal of Human and Social Sciences., 4 (2009), pp. 1181-1185]. Kedua penaksir ini merupakan penaksir bias. Penaksir yang efisien merupakan penaksir yang memiliki mean square error terkecil yang diperoleh dengan membandingkan mean

square error dari masing-masing penaksir.

Kata kunci: penaksir produk, bias, kuartil, sampling acak sederhana, sampling

berperingkat dan mean square error

1. PENDAHULUAN

Penaksir produk merupakan suatu metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian suatu penaksir, dengan mengambil manfaat hubungan antara variabel yang

(2)

2

diteliti Y dan variabel tambahanX [4]. Bentuk umum penaksir produk sederhana untuk

rata-rata populasi_Y didefinisikan dengan

       X SRS SRS SRSC X Y Y  ˆ _,

dengan asumsi bahwa rata-rata populasi _X dari variabel tambahan X_SRS diketahui. Disini Y_SRS adalah rata-rata sampel dari variabel yang diteliti dan X_SRS adalah rata-rata dari variabel tambahan. Dari penaksir produk sederhana, Al-Omari [1] mengajukan sebuah penaksir produk dengan menggunakan parameter kuartil 1 dan kuartil 3 seperti

         k X k SRS SRS SRSk q q X Y Y  ˆ _, ₍₁₎

dengan Yˆ_SRSk adalah penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana, Y_SRS dan X_SRS adalah rata-rata sampel pada sampling acak sederhana dan

k

q adalah kuartil dengan k 1 dan 3.

Dari kedua penaksir produk acak sederhana tersebut, Al-Omari [1] mengadaptasi kembali menjadi penaksir produk pada sampling berperingkat. Penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling berperingkat didefenisikan dengan

         k X k RSS RSS RSSk q q X Y Y  ˆ _, (2) dengan YRSSk

ˆ _{adalah penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling}

berperingkat, YRSSdanXRSS adalah rata-rata sampel pada sampling berperingkat. Penaksir produk untuk rata-rata populasi tersebut masing-masing merupakan penaksir bias. Maka untuk mendapatkan penaksir produk yang efisien adalah dengan menghitung MSE untuk masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE yang diperoleh maka akan semakin efisien.

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Pengambilan sampel acak sederhana merupakan suatu metode untuk mengambil m unit sampel dari N unit populasi, sehingga setiap elemen CmN sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai unit sampel. Pengambilan sampel ini adalah pengambilan sampel acak tanpa pengembalian agar karakteristik unit-unit lebih akurat [4].

Untuk penarikan sampel acak sederhana, variansi dan kovariansi rata-rata sampel secara berturut-turut adalah

(3)

3

 



1



2, 2 Y Y m f N m N m Y V     





_







      N i X i Y i X Y N m f X Y Cov 1 1 1 1 ,   , dengan N m f  dan





1 1 2 2 



   N Y N i Y i Y   .

3. SAMPLING ACAK BERPERINGKAT

Sampling berperingkat pertama kali ditemukan oleh McIntyre [5]. McIntyre menggunakan sampling berperingkat sebagai pengganti dari sampling acak sederhana untuk menaksir rata-rata populasi.

Pengambilan sampel berperingkat merupakan suatu proses pengambilan n unit sampel dari populasi berukuran N dilakukan dengan pengambilan 2

m unit sampel dari populasi menggunakan metode sampling acak sederhana. Sampel acak sederhana tersebut kemudian dibagi menjadi m set. Dari set pertama, unit terkecil pertama dipilih sebagai sampel. Pada set kedua, dipilih unit terkecil kedua sebagai sampel. Proses ini dilanjutkan sampai pada set m dipilih unit terbesar sebagai sampel. Keseluruhan proses ini diulang sebanyak n sehingga menghasilkan sampel berukuran mn. Unit-unit sampel yang diperoleh ini disebut sampel berperingkat. Sampel berperingkat merupakan salah satu sampel yang mungkin pada sampling acak sederhana [3].

Untuk penarikan sampel berperingkat, variansi dan kovariansi rata-rata sampel secara berturut-turut adalah





        



 m i i Y Y RSS T m m Y Var 1 2 2 1 1 _ dan         



 m i i XY XY RSS RSS T m m Y X Cov 1 1 1 ) , (  , dengan





1 1 2 2 



   N Y N i Y i Y   ,











1 1    



 N X Y N i X i Y i XY    ,  



 



, 1 2 1 2



    m i Y i Y m i i Y T   dan



_{ }







_{ }





_{ }





     m i X i X Y i Y m i i XY T 1 1     .

(4)

4

4. BIAS DAN MSE PENAKSIR PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI

Bias dan MSE penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana (1) dalah

 

ˆ



1



2 X Y SRSk CC m f Y B     dan

 





2 2



2



2 1 1 ˆ _



_

_

_

_

_

_

Y X SRSk m T m Y MSE , (3) dengan k X Y q T     , X Y      , k X X q      , X Y C C C dan X X X C





 .

Bias dan MSE penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling berperingkat (1) adalah   _            _ 



 m i i XY YX X RSSk T m m Y B 1 1 1 1 ) ˆ (   dan

 







_{ }



2



2



1 2 2 2 2 1 1 1 ˆ _  _ _ _ _ __          



 Y m i X i X X RSSk m m m T Y MSE , (4) dengan k X Y q T     dan X Y      .

5. PENAKSIR PRODUK YANG EFISIEN

Untuk menentukan penaksir yang efisien dari penaksir yang bias, dapat ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari penaksir produk pada sampling acak sederhana (3) dan MSE dari penaksir produk pada sampling berperingkat (4) , yaitu

 









_           2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ  _ _ _ Y X RSSk SRSk m T m Y MSE Y MSE

(5)

5













_                  



 2 2 2 1 2 ) ( 2 1 1 1 _ _ _ _ _  Y m i X i X X m T m m

 









2 1 2 ) ( 1 ˆ ˆ _ _

_

_ __ __  T m Y MSE Y MSE m i X i X RSSk SRSk . (5) 6. CONTOH

Contoh berikut merupakan data tingkat fertilitas di Indonesia pada tahun 2012 seperti terlihat pada Tabel 1. Untuk mengetahui rata-rata tingkat fertilitas dengan memanfaatkan informasi tambahannya yaitu banyaknya pemakai alat kontrasepsi di tiap-tiap provinsi.

Untuk mengilustrasikan penerapan sampling berperingkat pada data ini, dipilih sampel berukuran 9 dari populasi dengan menggunakan metode sampling acak sederhana. Data sampel tersebut dikelompokkan ke dalam 3 set masing-masing berukuran 3 (m = 3). Mengikuti metode sampling berperingkat maka seluruhnya dilakukan sebanyak 3 kali penelitian (m = 3). Informasi yang diperoleh dari data adalah sebagai berikut : Y menunjukkan angka fertilitas dan X jumlah pemakai alat kontrasepsi. Dan dari Tabel 1 diperoleh informasi sebagai berikut :

N = 33, Y 2.776, q1 53.7,  -0.704737741, X(2) 0

m = 3, X 58.7273, q3 66.2, X(1) 0.846, X(3) 0.846

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh dari data angka fertilitas dan pemakai alat kontrasepsi ke persamaan (5) maka diperoleh sebagai berikut

1. Efisiensi sampling berperingkat terhadap sampling acak sederhana pada q₁_yaitu









387.404 1 2 1 2 ) (   



    T m m i X i X

2. Efisiensi sampling berperingkat terhadap sampling acak sederhana pada q₃_yaitu









74.21457287 1 2 1 2 ) (   



    T m m i X i X

Sehingga dapat disimpulkan bahwa penaksir produk 1 ˆ

RSS

Y lebih efisien dibandingkan dengan penaksir produk Yˆ_RSS₃.

(6)

6

Tabel 1. Angka Fertilitas dan Pemakai Alat Kontrasepsi di Indonesia Tahun 2012

1 Aceh 46.8 2.8 2 Sumatera Utara 55.9 3 3 Sumatera Barat 56.9 2.8 4 Riau 61.1 2.9 5 Jambi 66.9 2.3 6 Sumatera Selatan 67.6 2.8 7 Bengkulu 64.2 2.2 8 Lampung 70.3 2.7 9 Bangka Belitung 69.6 2.6 10 Kepulauan Riau 53.1 2.6 11 DKI Jakarta 57.3 2.3 12 Jawa Barat 62.2 2.5 13 Jawa Tengah 65.2 2.5 14 DI Yogyakarta 69.9 2.1 15 Jawa Timur 65.3 2.3 16 Banten 64 2.5 17 Bali 66.2 2.3

18 Nusa Tenggara Barat 56 2.8

19 Nusa Tenggara Timur 47.9 3.3

20 Kalimantan Barat 65.1 3.1 21 Kalimantan Tengah 67.3 2.8 22 Kalimantan Selatan 68.3 2.5 23 Kalimantan Timur 60.1 2.8 24 Sulawesi Utara 68.9 2.6 25 Sulawesi Tengah 55.7 3.2 26 Sulawesi Selatan 55.8 2.6 27 Sulawesi Tenggara 51.5 3 28 Gorontalo 63.2 2.6 29 Sulawesi Barat 52.2 3.6 30 Maluku 45.5 3.2 31 Maluku Utara 53.7 3.1 32 Papua Barat 42.5 3.7 33 Papua 21.8 3.5

Jumlah Pemakai Alat Kontrasepsi (%) Angka Fertilitas Nama Provinsi No Sumber [2] DAFTAR PUSTAKA

[1] Al-Omari, A. I. F. 2009. New Product-Type Estimators for The Population Mean Using Quartiles of the Auxiliary Variable. International Journal of Human and

Social Sciences. 4, 1181-1185.

[2] Badan Kependudukan dan Keluarga Berencana Nasional. Tabel Angka Fertilitas,

dan Pemakaian Kontrasepsi. Available from: http://www.bkkbn.go.id/litbang/.php?.

(7)

7

[3] Chen, Z., Z. Bai & B. K. Sinha. 2003. Ranked Set Sampling : Theory and

Application. Springer, Berlin Heidelberg New York.

[4] Cochran, W.G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Sampling

Techniques, oleh Rudiansyah & E.R Osman. UI Press, Jakarta.

[5] Mcintyre, G. A. 1952. A Method for Unbiased Selective Sampling Using Ranked Sets. Australian Journal. 3, 385-390.