1
PEMODELAN MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN STOCHASTIC GOAL PROGRAMMING: STUDI KASUS PADA PEMAKAIAN BAHAN BAKAR DI PLTGU PT
PJB UP GRESIK .
Rina Puspitaningrum Jurusan Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya Kampus ITS Sukolilo Surabaya 60111
Email: Rina.ironadi@gmail.com
Abstrak
Ketidakpastian pasokan bahan bakar gas telah menjadi hal yang menganggu pada proses produksi listrik di PLTGU PT PJB UP Gresik. Oleh karena itulah, digunakan bahan bakar minyak HSD untuk mengisi kekurangan pasokan tersebut. Pemodelan untuk mencari komposisi yang tepat antara kedua jenis bahan bakar tersebut dilakukan guna mendapatkan biaya produksi yang minimum dan pemenuhan permintaan beban konsumen serta keuntungan yang maksimum.
Pada Tugas Akhir ini digunakan stochastic goal programming (SGP) untuk melakukan pemodelan dengan ketidakpastian atau variabel random seperti kasus yang dihadapi PLTGU. SGP mampu mereduksi masalah stokastik menjadi pemrograman kuadratik dengan kendala-kendala yang linear. Pada pemodelan ini, pembobotannya menggunakan Absolute Risk Aversion.
Dari perhitungan yang dilakukan, didapatkan pemakaian bahan bakar minyak HSD sebesar 11,488,000,000 Kcal dan pemakaian gas sebesar 32,248,000,000 Kcal. Dengan komposisi tersebut, semua fungsi tujuan yang ingin dicapai dapat terpenuhi secara optimum.
Kata kunci: ketidakpastian, stochastic goal programming, variabel random, pemrograman kuadratik,
Absolute Risk Aversion
I. PENDAHULUAN
Kelangkaan dan ketakteraturan dalam pa-sokan bahan bakar baik minyak maupun gas telah menjadi berita yang kerap muncul dan cukup mengganggu belakangan ini. Tak hanya mengim-bas pada perorangan, perusahaan-perusahaan ne-gara pun tak luput dari kondisi tersebut, tak terke-cuali PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembang-kitan Gresik (PT PJB UP Gersik).
PT PJB UP Gresik merupakan salah satu anak perusahaan dari (PLN) yang bergerak dalam sektor pembangkitan dan menjadi salah satu pro-dusen penghasil listrik yang melayani kebutuhan listrik Pulau Jawa dan Bali. PT PJB memiliki tiga unit pembangkitan, yaitu Pembangkit Listrik Te-naga Uap (PLTU), Pembangkit Listrik TeTe-naga Gas (PLTG), dan Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap (PLTGU). Pada Tugas Akhir ini, diguna-kan data sekunder yang didapat dari bagian bahan bakar di unit PLTGU, sehingga masalah yang di-bahas hanya mengacu pada persoalan bahan bakar di unit tersebut.
Dengan posisinya sebagai produsen lis-trik, bahan bakar merupakan hal vital yang sangat menentukan pelaksanaan proses produksi pada PLTGU. Ada dua jenis bahan bakar yang diguna-kan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) seba-gai bahan bakar cadangan. Ketidakpastian pasokan gas menjadikan ketersediaan bahan bakar minyak sebagai bahan bakar cadangan menjadi sangat penting.
Pada kasus nonrandom, untuk mengopti-mumkan beberapa tujuan tertentu, langsung bisa digunakan deterministic goal programming
(DGP). DGP adalah salah satu metode pemodelan matematika yang mampu menyelesaikan kasus pengoptimuman multi-tujuan dengan data-data yang tidak mengandung variabel random, sehing-ga kurang cocok diterapkan pada kasus ketidak-pastian seperti pada masalah bahan bakar di atas
Teknik pemodelan awal yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ketidakpastian ada-lah chance contrained programming (CCP). Na-mun, Bravo dan Gonzales (2009) menyatakan
2 bahwa CCP kurang praktis jika diterapkan untuk kasus-kasus yang lebih umum dan rumit.
Teknik penyelesaian lain untuk kasus multi-tujuan yang kerap digunakan dewasa ini adalah fuzzy goal programming (FGP) dan
sto-chastic goal programming (SGP).
Permasalahan bahan bakar di PLTGU sebelumnya pernah dianalisa menggunakan FGP oleh Sari (2011),tetapi metode tersebut masih me-miliki beberapa kekurangan, diantaranya adalah sulitnya mengestimasi membership function dan terlalu banyaknya cara untuk menginterpretasi aturan-aturan fuzzy (Russell & Norvig, 2006).
Karena itulah, pada Tugas Akhir ini digu-nakan metode stochastic goal programming (SGP) untuk menangani masalah yang dialami PLTGU. SGP adalah salah satu cabang matematika yang mampu melakukan pendekatan untuk pemodelan multi-tujuan dengan data-data yang mengandung ketidakpastian, yang pembobotannya berbasis pa-da Absolute Risk Aversion (Ballestero 2001). SGP memiliki aspek operasional yang hampir sama dengan model mean-varians Markowitz (Bravo & Gonzalez, 2009). SGP juga sangat cocok untuk memodelkan tujuan-tujuan yang saling bertentang-an (Munoz & Ruiz, 2009; Ben Abdelaziz et al., 2007), misalnya saja masalah biaya produksi dan keuntungan yang dihubung-kan dengan perminta-an bebperminta-an konsumen seperti dalam Tugas Akhir ini. Ballestero (2001) menyatakan bahwa metode SGP dengan pembobotan adalah cukup umum dan mu-dah diaplikasikan pada kasus-kasus dalam kehi-dupan nyata. Proses perhitungannya tidak memer-lukan kalkulasi yang rumit karena masalah yang ada telah direduksi ke dalam bentuk kuadratik de-ngan kendala-kendala linear.
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Stochastic Goal Programming
SGP merupakan salah satu pendekatan un-tuk goal programming yang mengandung ketidak-pastian, yang pembobotannya dilakukan sesuai de-ngan keinginan dari para pembuat keputusan dan juga berdasar pada Absolute Risk Aversion (ARA).
Seperti model mean-varians (E-V), SGP berbasis pada hipotesis maksimisasi . Bal-lestero (2001) memformulasikan tujuan dari SGP sebagai berikut:
(2.1)
dengan adalah fungsi tujuan ke- , adalah va-riabel keputusan ke- , dan adalah variabel ran-dom dari fungsi tujuan ke- dan variabel keputus-an ke- .
Karena berdasar pada hipotesis maksimi-sasi , prinsip dari pemodelan ini adalah ―the more the better,‖ atau ―semakin besar sema-kin baik.‖ Pada kenyataanya, ada beberapa tujuan yang mempunyai prinsip ―the more the worse‖ atau ―semakin besar semakin buruk,‖ misalnya sa-ja biaya produksi. Tujuan tersebut bisa dikonversi ke dalam bentuk ―the more the better‖ dengan mengubahnya menjadi:
(2.2)
dengan adalah target maksimum yang didapat dari data referensi.
Untuk lebih jelasnya, dapat ditinjau kem-bali konsep-konsep dari berikut ini. 2.1.1 Fungsi Kegunaan
Dalam teori kegunaan, dikenal fungsi ke-gunaan (utility function) , dengan adalah fungsi tujuan.
Jika dihubungkan dengan fungsi keguna-an, tujuan bisa didefinisikan sebagai mak-simisasi/minimisasi dari:
(2.3) 2.1.2 Absolute Risk Aversion
Risk Aversion adalah sebuah konsep da-lam psikologi, ekonomi, dan finansial yang dida-sarkan pada perilaku manusia yang mengandung ketidakpastian.
Perumusan koefisien ARA adalah seba-gai berikut:
(2.4) Dalam ilmu ekonomi, exponential utility adalah bentuk yang spesifik dari fungsi kegunaan, sering digunakan dalam banyak bidang karena ke-lebihannya dalam menyelesaikan kasus-kasus yang mengandung resiko. Secara formal, peru-musan exponential utility diberikan oleh:
(2.5) dengan adalah konstanta positif yang merepre-sentasikan derajat ARA (Levy, 2006). Dalam Tu-gas Akhir ini, nilai yang digunakan adalah 1.
3 2.1.3 Model Mean-Varians
Model mean-varians (E-V) adalah dasar dari SGP. Perbedaan paling mendasar di antara ke-duanya adalah bahwa E-V hanya menyelesaikan persoalan dengan satu tujuan, sementara SGP mampu menyelesaikan kasus-kasus multi-tujuan. Formulasi SGP dapat ditulis sebagai berikut:
(2.6)
dengan kendala:
(untuk tujuan dengan prinsip ―the more the better‖), (2.7) atau
(untuk tujuan dengan prinsip ―the more the worse‖), (2.8) bersama dengan kendala-kendala lain yang mung-kin dan kondisi taknegatif dari tiap variabel, de-ngan adalah target atau level aspirasi dari .
adalah vektor baris dari variabel keputus-an, dengan dan adalah ma-triks transpos dari . Matriks variabilitas dida-pat dari penjumlahan matriks kovarians , yaitu matriks kovarians dari fungsi tujuan ke- .
(2.9) dengan dan adalah bobot gabungan yang komponen-komponennya adalah sebagai be-rikut: dan sebagai bobot preferensi dari pembuat keputusan untuk masing-masing tu-juan dan dan adalah koefisien ARA untuk masing-masing tujuan.
2.2 Matriks Kovarians
Dalam teori probabilitas, matriks kova-rians adalah matriks yang elemen pada posisi dan -nya merupakan kovarians antara elemen dan ke- dari vektor random (disebut juga vek-tor dari variabel random) (Higham, 2002).
Jika vektor kolom
adalah variabel random, masing-masing dengan varians terbatas, maka matriks kovarians pada baris ke- dan kolom ke- adalah kovarians
(2.10) sehingga didapatkan: (2.11) 2.3 Matriks Hessian
Dalam matematika, matriks Hessian ada-lah matriks kuadrat dari turunan kedua parsial dari suatu fungsi (Binmore & Davies, 2007).
Diberikan fungsi kuadrat bernilai real . Jika dituliskan ke dalam notasi matriks, didapatkan bentuk sebagai berikut
(2.12) dengan adalah matriks Hessian, adalah vektor kolom yang mewakili persama linear dari , dan
adalah matriks transpos dari .
Dan jika semua turunan kedua parsial dari ada, maka matriks Hessian dari adalah
)
dengan adalah operator turunan yang berkaitan dengan argumen ke- . Sehingga matriks Hessian dapat ditulis menjadi:
(2.13)
Pada Tugas Akhir ini, matriks Hessian berguna dalam penyelesaian masalah pemrogram-an kuadratik menggunakpemrogram-an salah satu fitur dari Matlab, yaitu quadprog.
2.4 PLTGU PT PJB UP Gresik
Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap (PLTGU) adalah salah satu unit pembangkitan yang ada di PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan Gresik, atau yang lebih dikenal de-ngan nama PT PJB UP Gresik. PLTGU itu sendiri memiliki tiga unit produksi, yaitu blok 1, blok 2, dan blok 3 (Permana, Ramadhani, & Prasetyo, 2008).
4 III. METODOLOGI PENELITIAN
1. Tahap Persiapan
- Identifikasi Permasalahan - Studi Literatur
2. Tahap Pengumpulan Data
3. Tahap Pengolahan Data dan Pembuatan Mo-del
- Mendefinisikan Fungsi Tujuan - Menganalisa Konstanta - Merumuskan Fungsi Kendala 4. Tahap Formulasi Model dengan SGP
- Menentukan Bobot
- Menghitung Matriks Kovarians
- Memformulasikan Model Mean-Varians 5. Tahap Penyelesaian Masalah dengan Matlab 6. Tahap Penarikan Kesimpulan
7. Tahap Penyusunan Laporan
IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN 4.1 Menentukan Permasalahan
Pembangkit Listrik Tenaga Gas dan Uap PT Pembangkitan Jawa Bali Unit Pembangkitan Gresik (PLTGU PT PJB UP Gresik) adalah salah satu unit pembangkitan dari Perusahaan Listrik Negara (PLN) yang terletak di provinsi Jawa Ti-mur.
Ada dua jenis bahan bakar yang diguna-kan PLTGU PJB, yaitu gas sebagai bahan bakar utama dan minyak HSD (High Speed Diesel) seba-gai bahan bakar cadangan.
Ketidakpastian pasokan gas menjadikan ketersediaan bahan bakar minyak sebagai bahan bakar cadangan menjadi sangat penting. Tapi tentu saja, harga minyak yang jauh lebih mahal diban-dingkan dengan harga bahan bakar gas adalah ma-salah yang tidak bisa begitu saja diabaikan karena besarnya biaya produksi adalah salah satu hal po-kok yang mempengaruhi keuntungan perusahaan. Selain itu, meningkatnya biaya poduksi akibat komposisi bahan bakar yang kurang tepat tersebut juga akan berimbas pada pemenuhan permintaan beban konsumen.
Di sisi lain, PT PJB juga harus tetap mem-perhitungkan jumlah minyak HSD ideal yang akan digunakan tiap harinya. Penggunaan yang terlam-pau sedikit juga kurang menguntungkan, mengi-ngat bahwa pengendapan minyak HSD yang terla-lu lama pada tangki penyimpanan juga akan ber-dampak buruk pada kualitas minyak.
Keterangan tambahan tentang pemakaian minyak dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Keterangan kapasitas tangki PLTGU
UNIT KAPASITAS TANGKI (liter) DEAD STOCK (liter) KAPASITAS EFEKTIF (liter) 1 2 3 4=2-3 PLTGU / HSD Receiving Tank 1 20,000,000 1,037,494 18,962,506 2 20,000,000 1,025,818 18,974,182 Storage Tank 1 20,000,000 2,725,274 17,274,726 2 20,000,000 2,708,964 17,291,036 TOTAL 80,000,000 7,497,550 72,502,450
Konsumsi per hari pada 100% load: 3,200,000 liter
Sumber: Bagian Bahan Bakar Unit PLTGU PT PJB UP Gresik
4.2 Pengolahan Data dan Pembuatan Model Pada bab ini dilakukan pengolahan data sekunder dari perusahaan, untuk pada akhirnya di-lakukan pemodelan dengan langkah-langkah seba-gai berikut.
4.2.1 Mendefinisikan Fungsi Tujuan
Pada Tugas Akhir ini, penelitian difokus-kan pada pengoptimuman komposisi dua jenis ba-han bakar pada PLTGU, yaitu minyak HSD dan gas, dengan mempertimbangkan biaya produksi yang minimum, permintaan beban konsumen yang terpenuhi secara maksimum, dan keuntungan yang maksimum.
Dihubungkan dengan persamaan 2.1 dan persamaan 2.3, fungsi-fungsi tujuan tersebut dide-finisikan sebagai
, (4.1)
dengan adalah fungsi tujuan ke- dan adalah variabel random dari fungsi tujuan ke- dan bahan bakar .
Sementara adalah variabel keputusan dengan adalah jumlah pemakaian bahan bakar minyak HSD (dalam Kcal) dan adalah jumlah pemakaian bahan bakar gas (dalam Kcal).
Dihubungkan dengan permasalahan-per-masalahan yang dihadapi PLTGU, didapatkan fungsi-fungsi tujuan sebagai berikut.
5 1. Fungsi tujuan pertama, yaitu meminimumkan
biaya produksi.
Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan per-tama dapat dituliskan sebagai:
(4.2) dengan adalah nilai variabel random dari harga bahan bakar.
Hasil analisa dari tujuan pertama menun-jukkan bahwa ada kaitan antara harga panas bahan bakar dan biaya produksi. Harga panas bahan ba-kar merupakan harga bahan baba-kar tiap satuan energinya, yaitu kalori. Sehingga, jika masing-ma-sing harga bahan bakar tersebut (dalam Rp/Kcal) dihubungkan dengan banyaknya pemakaian tiap bahan bakar (dalam Kcal), didapatkan suatu nilai dari biaya produksi per hari dari perusahaan (da-lam Rp).
2. Fungsi tujuan kedua, yaitu memaksimumkan pemenuhan permintaan beban konsumen. Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan kedua dapat dituliskan sebagai:
(4.3) dengan adalah nilai variabel random dari pro-duksi beban per pemakaian bahan bakar.
Hasil analisa dari tujuan kedua menunjuk-kan bahwa produksi beban per pemakaian bahan bakar dapat dikaitkan dengan permintaan beban konsumen. Pemakaian bahan bakar yang sama pa-da suatu proses produksi tipa-dak selalu menghasikan jumlah beban yang sama. Hal ini dipengaruhi oleh banyak hal, diantaranya adalah keandalan mesin itu sendiri atau kerusakan yang mungkin terjadi pada mesin, yang perhitungannya tidak berpenga-ruh dalam pemodelan ini. Oleh karena itulah, ba-nyaknya bahan bakar (dalam Kcal) yang dihu-bungkan dengan hasil produksi beban per pema-kaian bahan bakar pada tiap proses produksi (da-lam KWh/Kcal) dapat mempengaruhi terpnuhinya permintaan beban konsumen (dalam KWh). 3. Fungsi tujuan ketiga, yaitu memaksimumkan
keuntungan.
Sesuai persamaan 4.1, fungsi tujuan ketiga dapat dituliskan sebagai:
(4.4) dengan adalah nilai variabel random dari harga
jual beban dengan menggunakan masing-masing bahan bakar.
Tabel 4.2 Fungsi tujuan dan variabel randomnya
Fungsi Tujuan Variabel Random Keterangan Fungsi Tujuan Pertama
variabel random dari harga bahan bakar minyak HSD variabel random dari harga bahan bakar gas
Fungsi Tujuan Kedua
variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar minyak HSD
variabel random dari produksi beban per pemakaian bahan bakar gas
Fungsi Tujuan Ketiga
variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar minyak HSD
variabel random dari harga jual beban yang menggunakan bahan bakar gas
Hasil analisa fungsi tujuan ketiga menun-jukkan bahwa harga jual beban (dalam Rp/Kcal) bisa dihubungkan dengan biaya produksi (dalam Rp) untuk memaksimumkan keuntungan. Artinya, semakin besar selisih harga jual tersebut dengan biaya produksi, keuntungan dari perusahaan akan semakin besar.
Untuk lebih jelasnya, penjabaran variabel-variabel random tersebut dapat dilihat pada Tabel 4.2.
4.2.2 Analisa Konstanta
Dari Tabel 4.1 dapat diketahui beberapa konstanta sebagai berikut:
1. Kapasitas tangki HSD di PLTGU adalah sebe-sar 80,000,000 liter.
2. Nilai dead stock telah ditetapkan oleh perusa-haan, dengan batas minimum yang besarnya mencapai 7,491,550 liter.
3. Kapasitas efektif adalah kapasitas tangki diku-rangi dengan deadstock. Sehingga,
Kapasitas efektif (dalam liter) (4.5) Karena 1 liter = 9,166.41 Kcal, jika satuan liter (volume) tersebut diubah ke dalam satuan Kcal (energi), persamaan 4.5 menjadi:
6
(dalam 1010 Kcal) (4.6) 4. Konsumsi HSD maksimum per hari yang
dite-tapkan oleh perusahaan berdasarkan data ada-lah 3,200,000 liter. Jika diubah ke satuan ener-gi, didapatkan:
Konsumsi HSD maks (dalam 1010 Kcal)
(4.7)
Konstanta-konstanta tersebut digunakan sebagai nilai ruas kanan dari kendala tambahan.
4.2.3 Merumuskan Fungsi Kendala
Pada Tabel 4.2 diperlihatkan keterangan dari variabel-variabel random yang terkait dengan pemodelan ini. Pengolahan data-data tersebut di-gunakan untuk mendapatkan perhitungan mean yang bisa dilihat pada Tabel 4.4. Dan perumusan selengkapnya dibahas pada sub-sub bab ini.
Jika dihubungkan dengan target, fungsi-fungsi tujuan yang telah didefinisikan pada sub-sub bab sebelumnya berubah menjadi kendala tu-juan, yaitu sebagai berikut:
Kendala tujuan pertama ( ): biaya produksi (4.8) Kendala tujuan kedua ( ): pemenuhan be-ban konsumen
: (4.9) Kendala tujuan ketiga ( ): keuntungan
(4.10) dengan adalah target dari masing-masing kenda-la tujuan , seperti dijabarkan pada Tabel 4.3.
Dari ketiga persamaan tersebut dapat dike-tahui bahwa:
1. Kendala tujuan pertama memiliki makna bah-wa perusahaan ingin mendapatkan biaya pro-duksi yang lebih kecil dari target ;
2. Kendala tujuan kedua berarti bahwa perusaha-an menginginkperusaha-an produksi bebperusaha-an yperusaha-ang setidak-tidaknya terpenuhi sesuai target ; dan 3. Kendala tujuan ketiga berarti bahwa
perusaha-an menginginkperusaha-an harga jual bebperusaha-an yperusaha-ang lebih besar dari target .
Karena SGP berbasis pada hipotesis mak-simisasi , semua kendala tujuan diubah ke dalam prinsip ―the more the better.‖ Biaya produk-si memiliki prinproduk-sip ―the more the worse‖, sehingga
sesuai dengan persamaan 2.2, persamaan 4.8 diubah menjadi:
, (4.11) dengan adalah biaya produksi tertinggi yang didapatkan dari data. Permintaan beban konsumen dan keuntungan memiliki prinsip ―the more the better,‖ sehingga persamaan 4.9 dan persamaan 4.10 tetap.
Tabel 4.3 Kendala tujuan dan targetnya
Kendala
Tujuan Target Keterangan
Kendala Tujuan Pertama
Nilai harapan dari biaya
produksi (Tabel 4.2 kolom 5) Kendala
Tujuan Kedua
Nilai harapan dari permintaan beban konsumen (Tabel 4.4 kolom 7)
Kendala Tujuan Ketiga
Nilai harapan dari biaya produksi (Tabel 4.5 kolom 7)
Tabel 4.4 Kendala tujuan dan hasil perhitungan mean dari data
Kendala Tujuan
Data dan Nilai Mean BBM BBG Kendala Tujuan Pertama Harga Panas Bahan Bakar (Rp/Kcal) 0.65557736 0.10440393 Biaya Produksi (1010 Rp) 0.83627167 2.14736133 Kendala Tujuan Kedua Produksi Beban/Pemak aian Bahan Bakar (KWh/Kcal) 0.00047397 0.00061699 Permintaan Beban (1010 KWh) 0.00253416 - Kendala Tujuan Ketiga Harga Jual Beban (Rp/KWh) 2.80315810 0.31226562 Biaya Produksi (1010 Rp) 0.83627167 -
Perumusan fungsi kendala dilakukan dengan cara menghubungkan masing-masing kendala tujuan
7 yang telah didefinisikan dengan hasil perhitungan mean pada Tabel 4.4.
1. Kendala tujuan pertama:
Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.11 berubah menjadi:
(dalam 1010 Rupiah) 2 Kendala tujuan kedua:
Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.9 ber-ubah menjadi:
(dalam 1010 KWh) 3. Kendala tujuan ketiga:
Dihubungkan dengan perhitungan yang telah didapatkan pada Tabel 4.4, persamaan 4.7 ber-ubah menjadi:
(dalam 1010 Rupiah) Kendala-kendala tambahan:
1. Untuk menghindari posisi kritis, pemakaian ba-han bakar minyak tidak dibolehkan melebihi kapasitas efektif. Sehingga, jika dihubungkan dengan persamaan 4.10, didapatkan perumusan sebagai berikut:
(dalam 1010
Kcal)
2. Pemakaian bahan bakar diharapkan tidak akan melebihi expected value dari pemakaian bahan bakar total. Jika dihubungkan dengan mean ba-han bakar total, didapatkan persamaan sebagai berikut:
(dalam 1010
Kcal) 3. Sesuai dengan data, perusahaan menginginkan
pemakaian bahan bakar minyak yang ideal ada-lah tidak akan melebihi pemakaian HSD maks-imum pada persamaan 4.7, sehingga perumus-annya dapat dituliskan menjadi:
(dalam 1010
Kcal)
Sehingga, kendala tambahan pertama dan keti-ga cukup ditulis sebaketi-gai satu persamaan, yaitu:
(dalam 1010
Kcal)
4. Dan yang terakhir adalah kondisi taknegatif dari tiap-tiap variabel.
4.3 Formulasi Model dengan SGP
Sesuai Ballestero (2001), pemodelan SGP di-dapat dari proses pereduksian masalah stokastik ke dalam bentuk kuadratik dengan kendala-kendala yang linear. Setelah pendefinisian fungsi tujuan dan perumusan fungsi kendala selesai, dilakukan formulasi model menggunakan SGP, yang diawali dengan langkah-langkah sebagai berikut
4.3.1 Menentukan Bobot
Bobot yang digunakan dihitung menggu-nakan koefisien ARA. Karena pemakaian bahan bakar gas lebih diutamakan daripada pemakaian bahan bakar minyak HSD , perhitungan ARA pada Tugas Akhir ini dilihat dari perspektif pema-kaian bahan bakar gas ( ). Sehingga, berdasar-kan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5, perhitung-an koefisien ARA untuk masing-masing fungsi tu-juan adalah sebagai berikut:
1. Fungsi tujuan pertama:
2. Fungsi tujuan kedua:
3. Fungsi tujuan ketiga:
Pembobotan kedua didapatkan dari pre-ferensi pembuat keputusan. Karena ketiga fungsi tujuan tersebut saling mempengaruhi, maka keti-ganya memiliki kedudukan yang sama. Saat biaya produksi diminimumkan, dalam waktu yang bersa-maan keuntungan juga harus dimaksimumkan,
8 atau saat keuntungan dimaksimumkan, pemenuh-an pemintapemenuh-an bebpemenuh-an konsumen juga harus tetap di-maksimumkan dalam waktu yang bersamaan. Oleh karena itu, berdasarkan analisa tersebut, keti-ga fungsi tujuan mendapatkan preferensi yang se-imbang dari pembuat keputusan, yaitu:
.
Dari persamaan 2.9 diketahui bahwa , sehingga untuk masing-masing fungsi tujuan bisa dilakukan perhitungan bobot ga-bungan sebagai berikut.
4.3.2 Menghitung Matriks Kovarians
Hal selanjutnya yang perlu dilakukan pada pemodelan kali ini adalah menghitung matriks ko-varians dari masing-masing fungsi tujuan ke- menggunakan persamaan 2.10, dengan posisi dan mewakili posisi bahan bakar dalam ma-triks kovarians.
1. Matriks kovarians
Dari data random, dilakukan perhitungan kova-rians sesuai dengan persamaan 2.10.
Sehingga, sesuai persamaan 2.11 didapat-kan:
2. Matriks kovarians
Dari data random, dilakukan perhitungan kova-rians sesuai dengan persamaan 2.10.
Sehingga, sesuai persamaan 2.12 didapat-kan:
3. Matriks kovarians
Dari data random, dilakukan perhitungan kova-rians sesuai dengan persamaan 2.10.
Sehingga, sesuai persamaan 2.13 didapat-kan:
Dari masing-masing matriks kovarians dan pem-bobotan yang telah didapatkan, dapat dihitung matriks variabilitas dengan menggunakan persa-maan 2.11, yaitu:
4.3.3 Memformulasikan Model Mean-Varians Setelah pengolahan data selesai, fungsi tu-juan dan kendala yang telah dirumuskan dimasuk-kan ke dalam formulasi stochastic goal
program-ming (SGP) guna mendapatkan penyelesaian yang
paling mendekati optimum dari fungsi-fungsi tuju-an ytuju-ang telah didefinisiktuju-an.
Sesuai dengan persamaan 2.8, dilakukan minimasasi pada .
Sehingga formulasi SGP dari pemakaian bahan bakar di PLTGU adalah:
dengan kendala (dalam 1010 Rupiah) (dalam 1010 KWh) (dalam 1010 Rupiah) (dalam 1010 Kcal) (dalam 1010 Kcal)
4.2 Penyelesaian Masalah dengan Matlab Karena fungsi tujuan dari formulasi SGP yang telah didapatkan berbentuk kuadrat, persa-maan tersebut harus diubah ke matriks Hessian agar dapat diselesaikan dengan salah satu fitur da-lam Matlab, quadprog. Persamaan 4.11 dapat ditu-liskan sebagai berikut:
(4.12) Persamaan 4.12 dapat dituliskan sebagai notasi matriks seperti pada persamaan 2.13. Sehingga, ji-ka dihubungji-kan dengan persamaan 2.16, bentuk-nya berubah menjadi:
9
dengan
adalah matriks Hessian dari , dan
.
mewakili bentuk linear dari .
4.5 Analisa Hasil
Pemodelan SGP yang telah didapatkan di-hitung dengan menggunkan Matlab dan hasilnya adalah sebagai berikut:
(dalam Kcal)
(dalam Kcal)
Dengan kata lain, komposisi bahan bakar ideal yang diperlukan untuk proses produksi listrik di PLTGU adalah sebesar 11,488,000,000 Kcal un-tuk minyak HSD dan sebesar 32,248,000,000 Kcal untuk gas.
Selanjutnya, masing-masing variabel kepu-tusan yang telah didapatkan dimasukkan ke dalam fungsi-fungsi tujuan dan kendala yang ingin diop-timumkan.
1. Kendala pemakaian bahan bakar total Pemakaian BB total
(dalam Kcal)
2. Kendala tujuan pertama:
Biaya produksi (dalam Rupiah)
3. Kendala tujuan kedua:
Pemenuhan beban (dalam KWh)
4. Kendala tujuan ketiga:
Keuntungan (dalam Rupiah)
Perbandingan antara hasil yang diperoleh menggu-nakan perhitungan SGP dengan target dan batasan yang ingin dipenuhi dapat dilihat pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5 Perbandingan target/batasan dan hasil
Fungsi Kendala Target/Batasan Hasil
Pemakain Bahan Bakar Total 53,808,874,200 43,736,000,000 Pemakaian Bahan Bakar Minyak 29,332,512,000 11,488,000,000 Kendala Tujuan Pertama 13,110,896,600 10,898,090,600 Kendala Tujuan Kedua 25,341,600 25,341,700 Kendala Tujuan Ketiga 8,362,716,700 42,501,967,000
V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan
Dari hasil perhitungan yang telah didapatkan pada Bab 4, bisa diambil beberapa kesimpulan, di antaranya:
1. Pemodelan SGP untuk permasalahan bahan bakar adalah sebagai berikut:
dengan kendala (dalam 1010 Rupiah) (dalam 1010 KWh) (dalam 1010 Rupiah) (dalam 1010 Kcal) (dalam 1010 Kcal)
Dari model tersebut didapatkan perhitung-an sebagai berikut:
1. Kendala pemakaian bahan bakar
Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 10,072,874,200 (dalam Kcal). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan
10 SGP telah menghasilkan penghematan bahan bakar total sebesar 18.72%.
2. Kendala pemakaian bahan bakar minyak Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 17,844,512,000 (dalam Kcal). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan penghematan bahan bakar minyak sebesar 60.84%.
3. Kendala tujuan pertama
Pada Tabel 4.5, dapat diketahui selisih nilai sebesar 2,212,806,000 (dalam Rupiah). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan penurunan biaya pro-duksi sebesar 16.88%.
4. Kendala tujuan kedua
Pada Tabel 4.6, dapat diketahui selisih nilai yang sangat kecil, yaitu hanya sebesar 100 (dalam KWh). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah memenuhi permintaan beban konsumen secara opti-mum, yaitu sebesar 100.0004%.
5. Kendala tujuan ketiga
Pada Tabel 4.6, dapat diketahui selisih nilai sebesar 34,139,250,300 (dalam Rupiah). Hal ini menunjukkan bahwa hasil dari pemodelan SGP telah menghasilkan peningkatan keun-tungan sebesar 408.23%.
Secara umum, pemodelan SGP yang dila-kukan berjalan dengan baik karena telah mampu memenuhi target dan batasan dari semua fungsi kendala.
5.2 Saran
Saran-saran yang ingin disampaikan penu-lis, diantaranya:
1. Pada pemodelan ini, hanya digunakan tiga fungsi tujuan dengan beberapa kendala tam-bahan. Dengan melakukan analisa lebih dalam pada permasalah di PLTGU, diharapkan prak-tikan selanjutnya mampu mememukan faktor-faktor lain yang mempengaruhi proses pro-duksi tersebut, sehingga pemodelan berjalan dengan lebih baik dan akurat.
2. Pada Tugas Akhir ini, hanya digunakan dua jenis pembobotan yaitu ARA dan preferensi dari pembuat keputusan. Sangat diharapkan praktikan berikutnya mampu mengaplikasikan pembobotan lain yang lebih akurat namun se-derhana.
DAFTAR PUSTAKA
Bagian Bahan Bakar PLTGU. 2010. Laporan
Harian Pemakaian Bahan Bakar PLTGU.
Gresik: PT PJB UP Gresik.
Ballestero, E., 2001. Stochastic goal programming: A mean-variance approach.
European Journal of Operational Research,
131, 476-481.
Ben Abdelaziz, F., Aoni, B. & El Fayedh, R., 2007. Multi-objective stochastic programming for portfolio selection.
European Journal of Operational Research,
177, 1811–1823.
Binmore, K., & Davies, J., 2007. Calculus
Concepts and Methods. Cambridge:
Cambridge University Press.
Bravo, M. & Gonzales, I., 2009. Applying stochastic goal programming: A case study on water use planning. European Journal of
Operational Research, 196, 1123-1129.
Higham, N. J., 2002. Computing the nearest correlation matrix—a problem from finance. IMA Journal of Numerical
Analysis, 22, 329–343.
Munoz, M. M. & Ruiz, F., 2009. ITSMO: An interval reference point-based method for stochastic multiobjective programming problems. European Journal of Operational
Research, 197, 25-35.
Permana, N., Ramadhani, D. P. E. & Prasetyo, E., 2008. Sistem pengaman elektris pada
generator PLTGU PT PJB Unit
Pembangkitan Gresik (Kerja Praktik).
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Levy, H., 2006. Stochastic Dominance:
Investment Decision Making under
Uncertainty. New York: Springer.
Russell, S. & Norvig, P., 2006. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Chapter 14.7. Diakses dari www.cs.uiowa.org tanggal 29 Mei 2011. Sari, N. E., 2011. Optimasi penggunaan bahan
bakar unit PLTGU dengan menggunakan metode fuzzy goal programming (Tugas
Akhir). Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
