PEMILIHAN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN BETA TERBAIK ELI GUSDIANTI

PEMILIHAN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN

BETA TERBAIK

ELI GUSDIANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

PEMILIHAN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN

BETA TERBAIK

ELI GUSDIANTI

G54104027

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

ABSTRACT

ELI GUSDIANTI. Portfolio Selection using Best Beta. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and RETNO BUDIARTI.

An investor, who will make decision on investing his capital, usually considers a model. This model is called Capital Assets Pricing Model (CAPM). This model explains how an investor can calculate his expected returns. The CAPM gives prediction about relationship between risk and expected returns. The CAPM has beta parameter which refers to a measure of risk. By incorporating a target variable into the investor preferences, a best-beta CAPM (BCAPM) can be derived. BCAPM maintains the CAPM’s theoretical properties and analytical simplicity, yet unambiguously improves its pricing accuracy. By calibrating the US historical data to the model, it is found that the BCAPM typically improves the pricing accuracy of the CAPM by 20% to 30% annualy. Both the CAPM and the BCAPM predict a linear relation between assets’ risk premiums and beta.

The aim of this study is to derive a simple variation of the CAPM, which called BCAPM. In both models there are possibly pricing errors. Alpha is defined as pricing errors between the true expected returns and predicted expected returns. This model gives a relationship between alpha on CAPM and alpha on BCAPM. If there are pricing errors, this model shows that alpha on BCAPM is smaller than alpha on CAPM for all assets.

ABSTRAK

ELI GUSDIANTI. Pemilihan Portofolio Menggunakan Beta Terbaik. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI.

Setiap investor yang akan mengambil keputusan dalam menginvestasikan modalnya biasanya berdasarkan pada suatu model yang disebut Capital Asset Pricing Model karena model tersebut menjelaskan kepada perusahaan bagaimana cara menghitung tingkat imbal hasil yang diharapkan oleh investor. Capital Asset Pricing Model (CAPM) memberikan prediksi hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Dalam model CAPM terdapat suatu parameter beta yang menunjukkan suatu ukuran risiko. Dengan memasukkan variabel target ke dalam pilihan investor, diperoleh suatu best-beta CAPM (BCAPM) yang membahas perbandingan teori CAPM dan analisis sederhana dalam meningkatkan akurasi penetapan harga. Dengan penyesuaian data histori Amerika Serikat ke dalam model tersebut ditemukan bahwa BCAPM meningkatkan akurasi penetapan harga dari CAPM sebesar 20% sampai 30% per tahun. Persamaan antara CAPM dan BCAPM sama-sama memprediksikan hubungan linear antara premi aset berisiko dengan beta.

Tulisan ini bertujuan untuk memperoleh suatu variasi sederhana dari CAPM dengan akurasi penetapan harga yang lebih baik, yang disebut BCAPM. Pada model mungkin akan terdapat kesalahan dalam penetapan harga. Alfa didefinisikan sebagai kesalahan penetapan harga antara harapan imbal hasil yang sebenarnya dengan harapan imbal hasil yang diprediksikan. Model ini memberikan hubungan antara alfa pada CAPM dan alfa pada BCAPM. Jika terjadi kesalahan penetapan harga, model ini menunjukkan bahwa alfa BCAPM lebih kecil daripada alfa CAPM untuk semua aset.

PEMILIHAN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN

BETA TERBAIK

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ELI GUSDIANTI

G54104027

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

Judul : Pemilihan Portofolio Menggunakan Beta Terbaik

Nama : Eli Gusdianti

NIM

: G54104027

Menyetujui:

Pembimbing I,

Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math.

NIP. 132 311 927

Pembimbing II,

Ir. Retno Budiarti, MS.

NIP. 131 842 409

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Ciamis pada tanggal 6 Agustus 1986 dari pasangan Maman dan Eros Rosmiati. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.

Tahun 1998 penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Negeri Galuh XXIX Ciamis dan pada tahun yang sama, penulis melanjutkan pendidikan tingkat pertama di SMP Negeri 9 Ciamis. Pada tahun 2001 penulis melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMA Ciamis. Pada tahun 2004 penulis diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di kegiatan mahasiswa yaitu sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2005/2006, staf Departemen Keputerian ROHIS Matematika 41, juga aktif dalam kepanitiaan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA sebagai panitia di berbagai kegiatan antara lain Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika 42, dan Matematika Ria 2006.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin, Puji Syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya

sehingga penulis bisa menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Pemilihan Portofolio

Menggunakan Beta Terbaik. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada junjungan kita nabi besar

Muhammad SAW yang termulia diantara semua makhluk, diutus dengan membawa kebenaran dan petunjuk sebagai rahmat bagi seisi alam.

Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi matematika.

Penulis menyampaikan terima kasih kepada :

1. Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si.,M.Fin.Math. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, pengarahan, semangat dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.

2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan.

3. Ibu Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. selaku penguji yang telah memberikan saran dan masukannya.

4. Keluarga di Ciamis (Mama, Bapak, Fera dan Andi) terima kasih atas doa, semangat dan kasih sayangnya.

5. Nova Ardiansyah, S.Kom. yang telah memberikan doa, kasih sayang, perhatian dan semangatnya.

6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staf Departemen Matematika: Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Yono, Mas Deny, dan Mas Heri, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

7. Teman-teman Matematika 41: Darwisah, Liam, Enje, Maryam, Mukti (makasih atas doa dan semangatnya), Bang Iedris, Fred (makasih udah mau jadi pembahas), Mahar, Liay, Eeph, Uwie, Zali, Intan, Roro, Ib0y, Komti, Ika, Dika, Aji, Deedee, Rite, Situl, Kurenz, Nimut, Dian, Endit, Syifa, Yaya, Enny, Ayu, Triyadi, Neng Ria, Gaga, Great, Mutia, Echie, Romce, Rizule, Rangga, Mazied, Enyon, Oezank, Pen0y, Armi, Amien, Deny, Nidia, Fitri, Febrina, Tities, Mahnur, Chuby, Mora, terima kasih atas kebersamaannya selama ini.

8. Teman-teman kostan Fairuz: Teh Reny, Ima, Rizka, Vina, Pangkau, Rani, Endah, Nana, Ana, Whenny, Jojo, Ipho, Widia, Sinta, Imel, Efi, yang telah memberikan semangat.

9. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.

Penulisan Karya Ilmiah ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Semoga Karya Ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.

Bogor, Januari 2009

DAFTAR ISI

Halaman PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1 Tujuan ... 1 Metode ... 1 Sistematika Penulisan ... 1 LANDASAN TEORI Ruang contoh, Kejadian dan Peluang ... 2

Peubah Acak dan Sebarannya ... 2

Nilai Harapan, Ragam, Standar deviasi dan Koragam ... 2

Fungsi Pembangkit Momen, Momen dan Momen Pusat ... 3

Deret Taylor, Metode Lagrange dan Teorema Amplop ... 4

Fungsi Konkaf ... 4

Fungsi Kepuasan Von Neumann dan Morgenstren ... 4

Two Fund Separation ... 5

Portofolio Model Markowitz ... 5

Model Indeks Tunggal ... 5

Capital Asset pricing Model (CAPM) ... 6

PEMBAHASAN Pembentukkan harga Aset Modal (CAP) ... 6

Penurunan Capital Asset Pricing Model (CAPM) ... 7

Penurunan Best-Beta Capital Asset Pricing Model (BCAPM) ... 9

BCAPM versus CAPM ... 11

Pemilihan Portofolio ... 13

Contoh Empiris ... 14

KESIMPULAN ... 15

DAFTAR PUSTAKA ... 15

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Para investor jarang sekali dipuji karena nalurinya yang baik. Tetapi selama dua dekade terakhir sejumlah perusahaan yang mengalami pertumbuhan mendasarkan keputusan mereka pada model yang berasumsi bahwa manusia bertindak rasional secara sempurna. Jika mereka tidak rasional, apakah pelaku bisnis akan membuat keputusan yang salah?

Model yang biasa disebut dengan model penetapan harga aset modal atau Capital

Assets Pricing Model (CAPM) telah

mendominasi keuangan modern. Hampir setiap manajer yang akan membuat keputusan tentang suatu proyek harus mendapatkan pembenaran keputusan tersebut sebagian berdasarkan CAPM. Alasannya adalah bahwa model tersebut menjelaskan kepada perusahaan bagaimana menghitung tingkat imbal hasil yang diinginkan investor. Jika pemegang saham hendak diuntungkan, imbal hasil suatu proyek harus lebih tinggi dibandingkan tingkat batasnya.

Model Penetapan Harga Aset Modal merupakan pusat dari ilmu ekonomi keuangan modern. Model ini memberikan prediksi tentang hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Hubungan ini mempunyai fungsi penting. Salah satunya menyediakan tolok ukur tingkat imbal hasil untuk mengevaluasi alternatif investasi yang mungkin. Sebagai contoh, jika kita menganalisis beberapa sekuritas, kita mungkin tertarik pada apakah harapan imbal hasil yang diprediksi atas suatu saham adalah lebih tinggi atau lebih rendah daripada imbal hasil ‘wajar’nya dengan risiko tertentu.

Beta dari suatu sekuritas merupakan ukuran risiko yang tepat karena beta adalah proporsional terhadap risiko yang disumbangkan sekuritas tersebut ke dalam portofolio aset yang berisiko yang optimal. Meskipun suatu investasi menghadapi berbagai risiko, investor yang terdiversifikasi seharusnya hanya memperhatikan risiko yang terkait dengan pasar.

Beta bukan hanya menjelaskan bagaimana mengukur risiko tersebut, tetapi juga memungkinkan manajer untuk langsung menerjemahkannya ke dalam tingkat batas (hurdle rate). Jika laba di masa yang akan datang dari suatu proyek tidak lebih tinggi dari pada tingkat batas tersebut, maka proyek tersebut tidak akan meningkatkan nilai uang investor.

Dengan memasukkan variabel target ke dalam pilihan investor, diperoleh suatu

best-beta CAPM (BCAPM) yang membahas

perbandingan teori CAPM dan analisis sederhana dalam meningkatkan akurasi penetapan harga. Dengan penyesuaian data histori Amerika Serikat ke dalam model tersebut ditemukan bahwa BCAPM meningkatkan akurasi penetapan harga dari CAPM sebesar 20% sampai 30% per tahun. Tujuan

Tulisan ini bertujuan untuk memperoleh suatu variasi sederhana dari CAPM dengan akurasi penetapan harga yang lebih baik, yang disebut BCAPM.

Metode

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dan karya ilmiah ini diambil dari jurnal yang berjudul “ The best-beta

CAPM“ oleh Liang Zou pada tahun 2006.

Bahan-bahan yang menunjang penulisan karya ilmiah ini diperoleh dari buku-buku dan jurnal yang terkait dengan tulisan. Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan ini terdiri atas empat bagian. Pada bagian pertama dijelaskan latar belakang masalah, sasaran dan metode yang digunakan. Bagian kedua menyajikan landasan teori berupa definisi, lema dan teorema dari istilah matematis yang digunakan dalam pembahasan sebagai alat analisis masalah. Bagian ketiga membahas mengenai isi dari karya ilmiah ini, yaitu tentang pembentukan harga aset modal (CAP), penurunan rumus CAPM, penurunan rumus BCAPM, perbedaan antara CAPM dengan BCAPM dan tentang pemilihan portofolio. Bagian terakhir dari karya ilmiah ini memuat kesimpulan.

LANDASAN TEORI

Dalam bagian ini akan dibahas teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan selanjutnya, yang diberikan dalam bentuk definisi-definisi, beberapa lema dan teorema-teorema penting.

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama. Namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2 (Ruang Contoh)

Ruang contoh adalah himpunan yang beranggotakan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak dan biasa dinotasikan dengan Ω.

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 3 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut: 1. F 2. Jika A A1, 2,... makaF 1 i i A F   



3. Jika AF maka _Ac , dengan_{F A}c

menyatakan komplemen dari himpunan A. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada ( , )F adalah suatu fungsi P F: [0,1]yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. P( )  dan ( ) 10 P  

2. Jika A A₁, ₂,...F adalah himpunan -himpunan yang saling lepas, yaitu

i j

A  untuk setiap pasangan ,i jA

dengan i makaj 1 1 ( ) i i i i P A P A          







.

Pasangan ( , , )F P disebut ruang peluang.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 5 (Peubah Acak)

Suatu peubah acak adalah suatu fungsi :

X R dengan sifat bahwa untuk setiap

x , {R ;X( )  .x} F

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 6 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi F_X :R[0,1], yang diberikan oleh

( ) ( )

X

F x P X  .x

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai berikut ( ) ( ) x X X F x f u du  



x , untuk suatu fungsiR f R: [0, ) yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi

f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 8 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi

: [0, )

f R  sedemikian sehingga untuk

setiap himpunan AR, ( ) ( )

A

P X A



f x dx

disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Nilai Harapan, Ragam, Standar Deviasi dan Koragam

Definisi 9 (Nilai Harapan)

Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f_X( )x .

Nilai harapan dari X adalah [ ] _X( )

E X xf x

  



, asalkan integralnya ada.

Beberapa sifat dari nilai harapan

2. Jika k suatu konstanta dan X X1, 2 adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2

[ ] [ ] [ ]

E k X k X k E X k E X .

Secara umum, jika k k₁, ₂,...,k_n adalah konstanta dan X X₁, ₂,...,X_n adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2 [ ... ] [ ] [ ] ... [ ]. n n n n E k X k X k X k E X k E X k E X       

[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 10 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut

2 ( ) ( [ ]) Var X E_XE X _ 2 2 [ ] ( [ ]) E X E X  

Beberapa sifat dari ragam

1. Jika k suatu konstanta, maka 2

( ) ( )

Var kX k Var X .

2. Jika k suatu konstanta dan X X₁, ₂ adalah peubah acak, maka

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

Var k X k X k Var X k Var X





1 2 1 1 2 2

2k k E X[ E X( )][X E X( )]

   .

[Ghahramani, 2000] Definisi 11 (Standar Deviasi)

Jika X adalah peubah acak, _X disebut standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai ( ) X Var X  

 





2 EX E X   _  _ [Ghahramani, 2000] Definisi 12 (Koragam)

Misalkan X dan Y dua peubah acak dengan 1 ( ) E X  dan E Y( ) , maka₂



1 2



( , ) ( )( ) Cov X Y E X  Y  1 2 ( ) E XY   

disebut koragam peubah acak X dan Y. Beberapa sifat dari koragam

1. Jika k suatu konstanta dan X Y adalah, peubah acak, maka

1 2 1 2

( , ) ( , )

Cov k X k Y k k Cov X Y

2. Jika k suatu konstanta dan X Y adalah, peubah acak, maka

1 2 3 4 1 3

( , ) ( , )

Cov k Xk k Y k k k Cov X Y

3. Jika k suatu konstanta dan X X1, 2,...,Xn

adalah peubah acak, maka 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ... ) ( , ) ( , ) ... n n Cov X k X k X k X k Cov X X k Cov X X       ( , ) n n k Cov X X  [Ghahramani, 2000] Fungsi Pembangkit Momen, Momen, Momen Pusat

Definisi 13 (Fungsi Pembangkit Momen) Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai

( ) tx tx ( )

X

x

M t E e _{ }



e f x

untuk tR sehingga nilai harapan di atas ada.

Turunan pertamanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak X.

' ' 0 ' ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) [ ] tx X X x t X x x X d M t M t xe f x dt M xe f x x f x M E X     







Turunan keduanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak _X2

'' 2 2 '' 2 0 '' 2 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) [ ]. tx X X x t X x x X d M t M t x e f x dt M x e f x x f x M E X     







[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 14 (Momen)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan massa, maka momen ke-k dari X didefinisikan sebagai

( k)

k

m E X , k = 1,2,3,...

[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 15 (Momen Pusat)

Misalkan nilai harapan dari peubah acak X, 1

m , maka momen pusat ke-k dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut

1 ( ) , k k p m E_X m _ dengan k = 1,2,3,... 1

m = momen ke-1= nilai harapan dari peubah

acak X .

Deret Taylor, Metode Lagrange, dan Teorema Amplop

Definisi 16 (Deret Taylor)

Jika suatu fungsi f dengan yf x( ) memiliki turunan maka fungsi tersebut memiliki ekspansi deret Taylor

2 ( ) ( ) '( ) ''( ) 2 ! h f xh f x h f x  f x 3 '''( ) ... 3! h _{f x}   [Fisher, 1988] Definisi 17 (Metode Lagrange)

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan 1 2

( , )

f x x terhadap kendala g x x( ,_{1 2}) ,0

adalah dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut maksimumkan 1 2 ( , ) f x x , dengan kendala 1 2 ( , ) 0 g x x  .

Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi

Lagrange sebagai berikut:

1 2 1 2 1 2

( , , ) ( , ) ( , )

L x x f x x g x x

Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim * *

1 2 1 2

( ,x x )(x x, ) akan terpenuhi jika turunan parsial dari fungsi Lagrange sama dengan nol sehingga menghasilkan: 1 2 1 ( , , ) 0 L x x x   _  1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 0 f g x x x x x x        (a) 1 2 2 ( , , ) 0 L x x x   _  1 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) 0 f g x x x x x x        (b) 1 2 1 2 ( , , ) ( , ) 0 L x x  g x x   _{ }  .

Dari persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan titik ekstrim * *

1 2

(x x, ).  yang berpadanan dengan fungsi g x x( ,_{1 2}) disebut pengali0

Lagrange.

[Rao, 1978] Teorema Amplop

Teorema Amplop adalah teorema dasar yang digunakan untuk menyelesaikan maksimisasi masalah dalam mikroekonomi. Pernyataan dari teorema ini sebagai berikut:

Diberikan masalah maksimisasi arbitrasi dengan suatu fungsi f bergantung pada parameter a:

( ) max ( , )

x

M a  f x a

dengan fungsi M a( ) memberikan nilai maksimal dari fungsi f sebagai fungsi dari parameter a. Diberikan x a nilai dari x yang( ) mengatasi maksimisasi masalah dalam parameter a sehingga M a( )f x a a( ( ), ). Teorema amplop menyatakan bagaimana perubahan M a( ) sebagai perubahan parameter a, yaitu: * * ( ) ( ) ( , ) x x a dM a f x a da a _   

Turunan pertama dari M bergantung pada a yang diberikan oleh turunan parsial dari

( , )

f x a , x tetap, kemudian dihitung pilihan

optimal (_x*_{). Dengan diprediksikan} * _{( )}

x x a .

[McLennan, 1999] Fungsi Konkaf

Definisi 18 (Fungsi Konkaf)

Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada selang I jika dan hanya jika

1 2 1 2

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )

f x  x f x  f x

untuk setiap x x₁, ₂I dan untuk setiap 0  . 1

Jika yang berlaku

1 2 1 2

( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )

f x  x f x  f x

untuk x₁ dan 0x₂   maka f dikatakan 1 fungsi konkaf sempurna (strictly concave).

[Peressini, 1988] Fungsi Kepuasan Von Neumann dan Morgenstern

Definisi 19 (Fungsi Kepuasan Von Neumann dan Morgenstern)

Fungsi kepuasan U didefinisikan oleh ' 

  . Dengan diberikan m₁

1

( m ,m m) adalah pengeluaran yang paling disukai dan m_n (  m ,m m_n) adalah pengeluaran yang paling sedikit disukai. Untuk masing-masing pengeluaran

m didefinisikan

( )

u m  sehingga m ̴q (m q m₁( ), _n(1q)) (i) Fungsi kepuasan Von Neumann dan Morgenstern untuk m adalah nilai yang' diharapkan dari fungsi kepuasan u m( ) sebagaimana didefinisikan

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ( ), ( ),..., ( )) ( ) ( ) ... ( ) n n n n U m q m q m q q u m q u m q u m     (ii)

[Goyal dan Saxena, 2008]

Two-fund Separation

Definisi 20 (Two-fund separation)

Two-fund separation berlaku jika dan hanya

jika portofolio optimal untuk setiap fungsi kepuasan u tetap dari fraksi positif yangU

diinvestasikan dalam portofolio pasar dan sisa aset berisiko dituliskan

[ '( T ) ] 0, 0

E u kX X  k  u U

Jika k , investor akan meminjam1 (mengambil short position dalam aset berisiko), jika k ,1 investor akan meminjamkan (mengambil long position

dalam aset berisiko), jika k investor akan1 menahan portofolio pasar tanpa meminjamkan atau meminjam.

[Post dan Versijp, 2005] Portofolio Optimal Berdasarkan Model Markowitz

Model Markowitz merupakan model yang menggunakan dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor untuk berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil,

( )

E R , dan risiko aset, σ.

Model Markowitz ini berlandaskan asumsi sebagai berikut:

1. Hanya dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor dalam berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil dan risiko. 2. Investor bersifat risk averse. Artinya untuk

portofolio dengan imbal hasil yang sama investor akan memilih risiko yang paling kecil, dan juga bila dihadapkan pada tingkat risiko yang sama investor akan memilih portofolio yang memiliki nilai harapan imbal hasil paling tinggi.

3. Investor memiliki periode investasi yang sama. Investor juga memiliki persepsi yang sama untuk nilai harapan imbal hasil, ragam dan koragam dari portofolio-portofolio yang ada di pasar.

4. Dalam pembentukan portofolio, hanya sekuritas berisiko saja yang dilihat. 5. Ada n sekuritas yang diperdagangkan2

dengan ragam berhingga dan nilai harapan imbal hasil yang berbeda.

Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan imbal hasil yang diharapkan dari setiap sekuritas dikalikan dengan proporsi masing-masing

sekuritas dalam portofolio. E R( p) adalah nilai harapan imbal hasil dan p merupakan_i

proporsi sekuritas dalam portofolio atau ditulis sebagai 1 ( ) ( ) n p i i i E R p E R  



.

Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka jumlah proporsi dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis

1 1 n i i p  



.

Ragam portofolio

,

merupakan risiko dari portofolio. p adalah proporsi sekuritas ke-i_i

dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut

1 1 1 1 ( _p) ( , ) ... Var R p p Cov R R  1 2 1 2 ( , ) ( , ) ... n n n n p p Cov R R p p Cov R R    1 ( 1, ) n n n n pp Cov R R 

Dengan menuliskan Cov R R( _i, _i)Var R( _i), dengan Var R( i) adalah ragam sekuritas ke-i maka

2 2

1

( _p) ( _i) ... _n ( _n)

Var R p Var R  p Var R

1 2 ( 1, 2) ... 1 n ( 1, n) p p Cov R R p p Cov R R    1 1 ... p_np Cov R_n ( _n,R_n)   2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) n n n p i i i j i j i i j

Var R p Var R p p Cov R R

  









; i .j

Karena Cov R R( i, j)Cov R R( j, i) dengan ( i, j)

Cov R R adalah koragam sekuritas i dan

j untuk i danj p pi j p pj i maka

2 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( , ) n n n p i i i j i j i i j

Var R p Var R p p Cov R R

  









;ij.

Portofolio Markowitz ini digunakan untuk memilih p sehingga_i Var R( _p) minimum atau dapat ditulis { } min ( ) i p p Var R dengan kendala 1 1 n i i p  



.

[Van Keeken, 2001] Model Indeks Tunggal

Model indeks tunggal digunakan untuk menyederhanakan penghitungan pada model Markowitz. Model ini didasarkan pada

anggapan bahwa harga sekuritas berubah searah dengan harga indeks pasar.

Model indeks tunggal adalah model yang menyatakan bahwa imbal hasil setiap sekuritas mempunyai hubungan dengan imbal hasil portofolio pasar. Portofolio pasar adalah portofolio yang terdiri atas semua sekuritas yang ada di pasar dan portofolio pasar ini dapat diwakili oleh indeks pasar. Hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut

i i i m

R  c b R ;i1, 2,...,n

dengan

i

R : imbal hasil sekuritas i,

i

c : suatu peubah acak yang menunjukkan komponen dari imbal hasil sekuritas i yang tidak bergantung pada pasar,

i

b : koefisien risiko yang mengukur perubahan R akibat dari perubahan_i R_m

,

m

R : Tingkat imbal hasil dari indeks pasar,

juga merupakan peubah acak.

Karena c adalah komponen imbal hasil yang_i

tidak bergantung pada imbal hasil pasar maka

i

c dapat dipecah menjadi nilai yang diharapkan (a ) dan kesalahan/residu (_i _i) yang dituliskan sebagai berikut

i i i

c  a  ;i1, 2,...,n.

Sehingga hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut

i i i m i

R  a b R  ;i1, 2,...,n

dengan E( )_i  , karena persamaan tersebut0 berfungsi menduga imbal hasil sekuritas i supaya nilai yang diduga mendekati nilai yang sebenarnya maka diharapkan tidak ada kesalahan atau kesalahannya mendekati nol.

Pada model indeks tunggal, imbal hasil dari sekuritasnya dapat juga dinyatakan dalam bentuk nilai harapan imbal hasil.

[Bodie, et al, 2002]

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil dan risiko sebuah sekuritas individual merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor ketika hendak menanamkan modalnya pada sebuah pasar sekuritas.

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

merupakan suatu model untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Model ini memberikan prediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan.

Pendekatan ini berlandaskan pada asumsi-asumsi berikut:

1. Terdapat banyak investor, mereka bertindak sebagai price takers yaitu setiap tindakan yang mereka lakukan secara perorangan tidak memengaruhi harga suatu sekuritas.

2. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang sama.

3. Investasi dibatasi hanya pada aset keuangan yang diperdagangkan secara umum seperti saham dan obligasi.

4. Investor tidak membayar pajak atas imbal hasil dan juga tidak terdapat biaya transaksi atas perdagangan sekuritas. 5. Seluruh investor berusaha

mengoptimalkan imbal hasil risiko yang rasional.

6. Setiap investor mempunyai harapan yang sama untuk setiap modal yang diinvestasikannya.

[Bodie, et al, 2002]

PEMBAHASAN

Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut Capital Assets Pricing

Model (CAPM) memberikan prediksi tentang

hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama, yaitu estimasi yang sama tentang imbal

hasil yang diharapkan, ragam dan koragam. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal

dan efisien bagi seluruh investor. Jika portofolio pasar tidak lagi efisien, maka hubungan antara imbal hasil dan beta dari CAPM tidak lagi membentuk keseimbangan pasar.

Di dunia dengan semua asumsi, semua aset individual akan menahan portofolio pasar berdasarkan toleransi risiko. Seseorang dengan toleransi risiko rendah menyimpan sebagian besar dari uangnya dalam sekuritas bebas risiko, sedangkan seseorang dengan toleransi risiko tinggi menyimpan sebagian besar dari uangnya dalam portofolio pasar. Penurunan Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Diberikan suatu persamaan CAPM (Bodie, et al, 2002)





0 0 ( _i) _i ( _m) E R  r



E R r dengan ( _i)

E R : harapan imbal hasil aset ke-i 0

r : tingkat suku bunga bebas risiko ( _m)

E R : harapan imbal hasil pada portofolio pasar

i

 : risiko aset ke-i.

Pada proporsi investasi optimal, masing-masing investor pada pasar memenuhi kemungkinan garis pasar tertinggi. Garis pasar bisa dicari dengan memperkecil standar deviasi _p untuk semua harapan imbal hasil portofolio E R( _p). 2 1 1 min ( ) 2 ( , ) i n n p i i i j i j p _{i i} j i p Var R p p Cov R R     







(1) terhadap 0 1 1 ( ) ( ) 1 n n p i i i i i E R p E R p r       _{ }  





(2)

dengan p_i adalah proporsi dari portofolio sekuritas ke-i.

Didefinisikan suatu fungsi L yang didapat untuk meminimumkan standar deviasi sebagai berikut 0 1 1 ( ) ( ) 1 n n p p i i i i i L  E R p E R p r        _   _{ }   





 (3) dengan  adalah pengali lagrange. Untuk selanjutnya akan dicoba mencari proporsi optimal dari setiap aset, dengan memperkecil risiko dari portofolio optimal. Garis pasar bisa

dicari secara analisa dengan menurunkan persamaan (3) terhadap p_i dan terhadap pengali lagrange, dan hasil turunan pertamanya sama dengan nol. Hal ini berlaku untuk n persamaan.1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) 2 ( , ) 2 n j j j p L p Var R p Cov R R p       _  _  _



_



E R( 1) r0



0     (4.1) 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 ( , ) 2 n j j j p j L p Var R p Cov R R p       _{   }       





E R( 2) r0



0     : (4.2) : 1 1 1 2 ( ) 2 ( , ) 2 n n n j n j j n p L p Var R p Cov R R p       _{ }    _



_



E R( n) r0



0     (4.3) 0 1 1 ( ) ( ) 1 0 n n p i i i i i L E R p E R p r     _{   }  _   



_



_ (4.4) Selanjutnya dengan mendapatkan himpunan dari persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4) dan perkalian antara p p₁, ₂ dan lain-lain, diperoleh 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( , ) n j j j p p Var R p p Cov R R        









1 ( 1) 0 p E R r    (5.1) 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( , ) n j j j p j p Var R p p Cov R R       _       







2 ( 2) 0 p E X r    : (5.2) : 1 2 1 1 ( ) ( , ) n n n n j n j j p p Var R p p Cov R R         







( ) 0



n n p E R r    (5.3) 0 1 1 ( ) ( ) 1 n n p i i i i i E R p E R p r       _{ }  





. (5.4)

Jika dijumlahkan persamaan (5.1) sampai (5.3) maka akan diperoleh

2 1 1 1 1 ( ) ( , ) n n n i i i j i j i i j p j i p Var R p p Cov R R         _       







0



1 ( ) n i i i p E R r   



 (6) tanda kurung di ruas kiri menunjukkan ragam dari portofolio optimal 2p, maka diperoleh

0 1 1 1 ( ) ( ) n n p i i i i i p Var R  p E R p r       _  _ 





 (7) dengan demikian maka standar deviasi terkecil dari portofolio optimal adalah

0 0 1 1 ( ) 1 n n p i i i i i p E R p r r

 

       _  _{ } _   





. (8) Pada titik spesifik dengan

1

1





 n i i

p

berlaku



(

)

0



m

E R

m

r

 





.

(9)

Oleh karena itu 0 ( ) 1 _m m E R r     , (10)

dengan m adalah portofolio pasar yang

optimal untuk semua investor dan _m adalah standar deviasi dari portofolio pasar.

0 ( m) m E R r  

didefinisikan sebagai slope dari garis pasar.

Sekarang dapat diturunkan hubungan keseimbangan antara harapan imbal hasil aset ke-i dan risikonya: Gambaran risiko adalah standar deviasi dari imbal hasil pada aset itu sendiri dan koragam dengan imbal hasil dari semua aset risiko lainnya dalam pasar, dengan cara menggunakan persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4) untuk menurunkan persamaaan umum antara harapan imbal hasil dari semua saham dan risikonya.

Secara umum, dari persamaan (4.1) sampai persamaan (4.4) pada titik

1 1 n i i p  



dapat ditulis kembali sebagai:

1 1 ( ) ( , ) n i i j i j j m j i p Var R p Cov R R       _       





E R( i) r0



0.     (11) Penyelesaian dari persamaan tersebut untuk harapan imbal hasil dari aset ke-i E R( _i) diperoleh 0 1 1 ( ) ( ) ( , ) n i i i j i j j m j i E R r p Var R p Cov R R          _  _    



(12) Selanjutnya dengan memasukkan  dari persamaan (10) maka diperoleh

0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) n m i i i j i j j m j i E R r E R r p Var R p Cov R R Var R          _  _    



(13) Berdasarkan definisi, koragam dari aset ke-i dengan portofolio pasar dapat dituliskan kembali sebagai berikut

1 ( , ) ( ) ( , ) n i m i i j i j j j i

Cov R R p Var R p Cov R R

 

 



(14) Kemudian harapan imbal hasil semua aset berisiko dapat dituliskan kembali sebagai berikut 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) m i i m m E R r E R r Cov R R Var R    (15) atau





0 0

( )

i

(

m

)

i

E R

 

r

E R



r



, (16) dengan ( , ) ( ) i m i m Cov R R Var R   . (17)

Capital Asset P ricing Model (CAPM)

menyajikan nilai yang diharapkan dari imbal hasil sekuritas ke-i yang linear pada beta sekuritas tertentu.

Best-Beta Capital Asset Model (BCAPM)

adalah variasi sederhana dari CAPM. Persamaan antara CAPM dan BCAPM adalah keduanya dapat digunakan untuk memprediksikan suatu hubungan linear antara premi aset berisiko E X( ) dan , yang diberikan oleh

( ) ( _m)

E X E X , (18)

dengan E(.) adalah operator harapan, 0

X   danR r X_m   adalah imbalR_m r₀

hasil berlebih (dari suku bunga bebas risiko, 0

r ) berturut-turut pada sekuritas aset dan

pasar.

Perbedaan kedua model terletak pada asumsi tentang preferensi investor, yang mana pada kaitannya menyatakan spesifikasi yang berbeda dari . Menurut definisi beta dari CAPM menyatakan ( , ) ( ) MV m m Cov R R Var R  

dengan Cov(.,.) adalah koragam dan (.)

Var adalah ragam. Pada model CAPM investor mempunyai persepsi yang sama tentang risiko yang diukur oleh ragam dari portofolio imbal hasil dan berbeda dalam tingkat aversi risikonya.

Makalah ini juga membahas keunggulan CAPM dan asumsi bahwa investor mengambil momen kedua dari portofolio imbal hasil sebagai suatu ukuran risiko, karena momen kedua berhubungan dengan ragam dan ragam sendiri berbanding terbalik dengan beta. Oleh karena itu investor mungkin mempunyai persepsi yang berbeda tentang keduanya antara risiko dan tingkat aversi risiko. Meskipun berbeda dalam tingkat aversi risiko, tetapi semua investor memilih portofolio berisiko optimal yang sama. Kondisi keseimbangan untuk harapan imbal hasil dinyatakan dengan ukuran baru dari beta

2 ( ) ( ) B m m E X X E X   ,

dengan ‘B’ berasal dari kata ‘best-beta’ dengan peranannya dalam meminimumkan potensi kesalahan penetapan harga hasil perkalian terkecil.  didefinisikan sebagai kesalahan penetapan harga yang berbeda antara harapan imbal hasil sebenarnya dan harapan imbal hasil yang diprediksikan. Akan ditunjukkan bahwa 2 (1 ) B MV i i    

Penurunan Best-Beta Capital Asset Pricing

Model (BCAPM)

Didefinisikan beberapa variabel pada periode_t t, 1_, sebagai berikut :

, 1

i t

R _ : imbal hasil pada aset ke-i,

t

E : operator harapan pada waktu t, 0,t 1

r  : tingkat bunga bebas risiko, , 1

m t

R _ : imbal hasil dari portofolio pasar dengan Rm t,1  ,0 E Rt( m t,1)r0,t1 dan0Var R( m t,1). Diberikan , 1 , 1 0, 1 i t i t t X _R _r _ menyatakan selisih imbal hasil dan E X_t( _{i t,1}) nilai harapan premi aset berisiko ke-i.

Dengan menggunakan asumsi dari pasar persaingan sempurna, karena dalam pasar persaingan sempurna terdiri atas banyak pasar yang saling bersaing dan mempertimbangkan konsumsi yang optimal, maka keputusan investasi dari investor pada setiap periode bertujuan untuk memaksimumkan nilai kekayaan perusahaan (Rubinstein,1974). Diberikan suatu model, yaitu:

0

0 maxw w p P, V w p( , )U w w(  ) E U wr[ ( p)] (19 ) dengan

V : nilai kekayaan perusahaan

w : kekayaan investor saat ini,

w : konsumsi saat ini,w w : modal investasi,

0

U : fungsi kepuasan investor dari konsumsi saat ini,

U : fungsi kepuasan investor dari kekayaan di masa depan (von Neumann-Morgenstern).

Fungsi kepuasan tersebut monoton naik, konkaf, terdiferensialkan dua kali, dan P adalah himpunan dari semua portofolio investor yang meliputi long positions dan

short positions pada aset ke-i. Long position

adalah posisi ketika investor telah membeli sekuritas dan diasumsikan proporsi sekuritas tersebut bernilai positif satu. Sedangkan short

position adalah posisi ketika investor telah

menjual sekuritas dan diasumsikan proporsi sekuritas tersebut bernilai negatif satu.

Mengasumsikan solusi dari persamaan (19), (Rubinstein, 1974) yaitu solusi optimal (_{w p ) yang dikarakteristikkan oleh}*_, *

0 [ '( * p*)] ' (0 *) r E U w r U ww (20) dan * 0 [ '( * p ) ]i ' ( *) E U w r r U ww (21) untuk semua aset ke-i.

Dengan mengurangkan persamaan (20) dan persamaan (21) diperoleh * 0 * * [ '( * ) ] [ '( * ) ] [ '( * ) ] 0 p p i p i E U w r r E U w r r E U w r X   (22) untuk semua i. Bukti:

Untuk setiap sekuritas dalam pasar persaingan sempurna dialokasikan kekayaan seseorang antara konsumsi dan modal untuk sekuritas berisiko dan bebas risiko. s menyatakan proporsi dari modal w yang dialokasikan pada sekuritas bebas risiko.l menyatakan proporsi_i

dari modal w(1 yang dialokasikan padas) setiap sekuritas berisiko sedemikian sehingga

1

i il 



. Kekayaan di masa depan dapat dituliskan sebagai

0

(1 (1 ) )

p _ii i

wr w   sr s



l r .

Dengan memasukkan hasil dari turunan pertama fungsi kepuasan, didapatkan pengaruh pada grafik akan naik, oleh karena itu diasumsikan U'₀ 0,U'0 maka permasalahan di atas dapat dituliskan menjadi

0 0 , ,{ } max ( ) (1 (1 ) ) i i i i w s lU w w EU w   sr s



l r  1 i il   _



_,

dengan adalah pengali lagrange.

Dengan menurunkan persamaan di atas terhadap masing-masing variabel, didapatkan kondisi optimum sebagai berikut

0 0 * ' ( *) [ '( * p )] U w w r E U w r (i) 0 [ '( * p)(i )] 0 E U w r r r  (ii) Terbukti Menurut ekspansi Deret Taylor dari U wr( _p) dengan w , parameter0  merupakan target imbal hasil investor. Maka ditulis

( _p) ( ) '( )( _p ) U wr U wU wwr w 2 ''( ) ( ) , 2 p U kw wr w    

dengan min(r_p, ) k max(r_p, ). Maka perkiraan dari sasaran investor pada persamaan (19) bisa dituliskan kembali menjadi 0 0 maxw w p P, V w p( , ) U w w( ) EU w( )  _        2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 p p b w a wE wr  w E wr w (23 ) dengan0, ( , )a w0, ( , )b w .0 Nilai relatif dari fungsi tersebut diasumsikan bisa memenuhi kondisi kemonotonan dari tujuan investor pada persamaan (23 ) yang meningkat dalam harapan kekayaan, misalnya cukup dengan mengasumsikan bahwa imbal hasil memiliki sebaran seragam dan b w( , ) lebih kecil daripada a w( , ).

Dengan mengasumsikan (w p_, _) adalah solusi pada persamaan (23), k emudian dengan memasukan keterangan tersebut ke dalam persamaan (22), diperoleh [ '( ) ] 0 [( ( , ) ( , ) ( )) ] 0 [ ( , ) ( , ) ( )] ( ) 0 ( , ) ( ) ( , ) [( ) ] 0 t t t p i p i p i i p i E U wr X E a w b w w r X E a w b w w r E X a w E X b w w E r X                                Sehingga didapatkan ( _, ) ( _i) ( _, ) [( _p ) _i] 0 a w_E X b w_w E r_{ }X  untuk semua i. (24 ) Hasil yang pertama didapat adalah suatu versi baru dari teorema Two-fund separation,

dengan ‘eta-ratio’ didefinisikan oleh:

2 ( ) ( ) ( ) E X X E X   (25)

dengan E X( 2) adalah momen kedua dari imbal hasil X.

Teorema 1 (separation)

Di bawah asumsi CAPM (Sharpe, 1964), kalau tidak semua investor mempunyai tujuan memaksimumkan kekayaannya pada bentuk persamaan (23), two-fund separation tertahan. Portofolio optimal semua investor bisa dipisahkan menjadi kombinasi aset bebas risiko dan portofolio berisiko, yang mana portofolio pasar m pada ekuilibrium

mempunyai eta-ratio paling tinggi. Untuk semua aset berisiko i

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i m i m i E X E X X X E X E X    

Bukti: Lihat Lampiran 1 Definisi 19 (Sharpe-ratio)

Sharpe ratio digunakan untuk membantu mencari kemungkinan proporsi terbaik dari semua sekuritas yang digunakan, definisi dari sharpe ratio adalah

( ) ( )

( ) E X Var X

S X  .

Hubungan antara eta-ratio dan sharpe-ratio adalah sebagai berikut

2 2 2 [ ( )] [ ( )] [ ( )] 1 S X X S X   . (26) Dengan didapatkannya kuadrat dari dua rasio tersebut memberikan tingkatan yang sama dari semua aset untuk dua variabel acak X₁ dan

2

X , yaitu

2 2 2 2

1 2 1 2

[ (X )] [ (X )] [ (S X )] [ (S X )] . Dengan kata lain tujuan investasi yang baru pada persamaan (23) tidak mengubah kriteria efisiensi rataan-ragam dari teori portofolio modern atau MPT (Markowitz, 1952). Jika portofolio p adalah portofolio dengan ragam terkecil Var X( _p), juga mempunyai momen kedua terkecil E X( 2_p) antara semua aset dengan rataan E X( _p) yang sama. Oleh karena itu prosedur Markowitz untuk mendapatkan portofolio optimal pada sisa model rataan-ragam sebagian besar dilengkapi pada model yang baru.

Teorema 2 (BCAPM)

Di bawah asumsi dari Teorema 1 , BCAPM bertahan pada keseimbangan. Untuk semua aset ke-i ( ) B ( ) i i m E X E X (27) dengan 2 ( ) ( ) B m i i m E X X E X   . (28)

Bukti: Lihat Lampiran 2

Dengan menggantikan pilihan yang baru pada persamaan (23) untuk pilihan rataan-ragam ( ( )U w  aw b w( E w( )) )2 di dalam

Modern Portofolio Theory (MPT), sebagian

besar dari hasil dalam MPT sebenarnya dapat ditulis ulang tanpa banyak hal lain yang tidak perlu, meskipun kedua jenis pilihan sangat berbeda. Hal penting lainnya, perbedaan tafsiran ekonomi antara ragam dan momen kedua, atau secara umum antara koragam

( , _m)

Cov X X dan komomen E XX( _m), adalah

tanda permulaan yang signifikan BCAPM dari CAPM. Karena

2 2

( ) ( ) [ ( )]

E X Var X E X ,

besarnya momen kedua bisa dipengaruhi oleh keduanya, ragam dan harapan imbal hasil. Oleh karena itu ketaksamaan ragam tidak selamanya menginterpretasikan _{E X(} 2₎ sebagai ukuran suatu risiko. Dengan cara yang sama,

( _m) ( , _m) ( ) ( _m)

E XX Cov X X E X E X

menyatakan bahwa komomen E XX( _m) bergantung pada keduanya, koragam dan harapan imbal hasil. Tanpa teori penetapan harga aset, E XX( _m) bisa berbeda karena imbal hasil acak X tidak mempunyai korelasi dengan pasar. E XX( _m) dinyatakan s ebagai ukuran komomen. Berdasarkan ketentuan kita bisa menyatakan _iBsebagai ukuran yang dimodifikasi dari aset berisiko sistematis. Perbedaan satu-satunya adalah bahwa

B i

 mengukur bagaimana imbal hasil dari aset ke-i dan koragam pasar sedangkan

MV i

 mengukur bagaimana surprises tentang imbal hasil aset ke-i dan koragam pasar. Kedua beta tersebut sama-sama menyarankan tentang intuitif gagasan yang sama bahwa jika suatu imbal hasil aset ke-i cenderung bergerak bersama-sama dengan pasar, maka cenderung untuk mempunyai suatu risiko sistematis yang lebih tinggi.

BCAPM versus CAPM

Untuk memberikan analisis komparatif, bahasan ini lebih berisikan analisis berdasarkan data empiris. Dinotasikan:

m

X : imbal hasil berlebih yang diberikan oleh portofolio pasar,

( _i)

E X : harapan imbal hasil yang sebenarnya dari aset ke-i,

i

 : beta sebenarnya dari aset ke-i yang memenuhi hubungan pada persamaan (18) dengan pasar. Mengenai kenyataan bahwa keduanya, CAPM dan BCAPM, adalah pendekatan model penetapan harga yang mungkin terdapat adanya kesalahan, prediksi model harapan imbal hasil dari CAPM dan BCAPM didefinisikan berturut-turut,

( ) ( ) MV MV m E X  E X , (29) ( ) ( ) B B m E X E X . (30)

Suatu ukuran kesalahan penetapan harga dari CAPM dan BCAPM yang didefinisikan berturut-turut (Pastor dan Stambaugh, 1999)

( ) ( ) MV MV i E Xi E Xi    , ( ) ( ) B B i E Xi E Xi    .

Teorema ini menunjukkan dua model akurasi penetapan harga relatif.

Teorema 3 Untuk semua aset i,

2 (1 ) B MV i i     (31) 2 ₍₁ 2₎ B MV i i i      (32) dengan 2 2 2 [ ( )] [0,1] ( ) m m E X E X    .

Bukti: Lihat Lampiran 3

Berdasarkan pembahasan tersebut, BCAPM bisa menunjukkan prediksi penetapan kesalahan yang lebih tepat daripada CAPM.

Teorema tersebut menunjukkan bahwa hubungan antara imbal hasil yang diharapkan dengan beta yang diprediksikan dalam CAPM dapat ditingkatkan. Teorema tersebut juga menunjukkan pentingnya pemilihan beta sebenarnya untuk mengukur risiko sistematik suatu aset ketika model menunjukkan kesalahan.

Karena tujuan dari topik ini adalah untuk membandingkan model penetapan harga aset, sementara secara eksplisit berlaku bahwa

model tersebut tidak sempurna, mengenai apakah BCAPM bisa diujikan sebagai model yang tepat adalah bukan masalah. Ada juga yang tidak memerlukan untuk uji empiris dari hasil komparatif dari Teorema 3 karena hubungan persamaan (31) dan persamaan (32) secara umum di bawah sebaran peluang bersama.

Untuk memperoleh pengetahuan yang lebih lanjut dapat digunakan model indeks tunggal untuk menyederhanakan penghitungan model tersebut, diketahui suatu hubungan antara X dani X :m

i i i m i

X  a b X  ;i=1,2,..,n (33 ) untuk a dan_i b adalah konstanta riil tetap,_i

dan variabel acak _i dengan E( )_i  .0 Tanpa batasan lebih lanjut, hubungan pada persamaan umum (33) dapat ditulis menjadi

i Xi ai biXm    ;i=1,2,..,n dan ( ) ( ) i i i m a E X b X ;i=1,2,..,n untuk sebarang b ._i

Mengingat dua permasalahan dan solusinya dari persamaan tersebut. Masalah yang p ertama adalah meminimumkan nilai harapan kuadrat dari _i.

2 , min ( ) i i i i i m a b E X  a b X , (34 ) menghasilkan . ( ) ( ) MV i i MV MV i i i m i b a E X E X        (35) Bukti: 2 ( _{i i i m}) E X  a b X 2 2 ( _i 2 _{i i i} 2 _{i i m} E X a X a b X X     2 2 2a b X_{i i m} b X_{i m})   2 2 ( _i) 2_i ( )_{i i} 2_i ( _{i m}) E X a E X a bE X X     2 2 2a b E X_{i i} ( _m) b E X_i ( _m)   ,

Dapat dicari dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-turut terhadap a dan_i b ,_i

2 ( ) 0 2 ( ) 2 2 ( ) 0 i i i m i i i i m E X a b X a E X a b E X           ( ) ( ) i i m i a b E X E X    (i) dan

2 2 ( ) 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 i i i m i i m i m i m E X a b X b E X X a E X b E X    _       2 ( ) ( ) ( ) i m i m i m a E X b E X E X X    (ii)

dengan mengalikan E X( _m) pada persamaan (i) dan mengurangkannya dengan persamaan (ii) maka 2 2 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i m i m i m i m i m i m a E X b E X E X E X a E X b E X E X X     2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] i m i m i m m E X X E X E X b E X E X    ( ) ( ) MV i m i m Cov X X Var X    ( ) ( ) i i i m a E X b E X ( ) MV ( ) i i m E X  E X   Terbukti Masalah yang kedua adalah meminimumkan nilai harapan kuadrat dari a_i ._i

2 min ( ) i i i m b E X b X , (36) menghasilkan . ( ) ( ) B i i B B i i i m i b a E X E X        (37) Bukti: 2 ( _{i i m}) E X b X 2 2 2 ( _i 2 _{i i m i m}) E X b X X b X    2 2 2 ( _i) 2 _i ( _{i m}) _i ( _m) E X b E X X b E X   

Dapat dicari dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-turut terhadap b ,_i

2 2 2 2 ( ) 0 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) i i m i i m i m i m i m B i m i i m E X b X b E X X b E X b E X E X X E X X b E X               Terbukti Suatu hubungan pada persamaan umum (33), terlihat dari persamaan (35) dan (37) bahwa konstanta a_i adalah sumber potensi kesalahan penetapan harga untuk keduanya, CAPM dan BCAPM. BCAPM mengakui

ketidakpastiannya dan berusaha meminimumkan E a( _i_i)2, daripada

2

( )_i

E  .

Eta-ratio (dikarenakan Sharpe-ratio)

mengambil pengertian baru untuk memecahkan Teorema 3: kuadrat dari eta-ratio sekarang mengukur seberapa banyak

BCAPM meningkatkan akurasi penetapan harga dari CAPM. Oleh karena itu Teorema 3 menetapkan ketelitian hubungan antara dua bukti permasalahan pemisahan: salah satunya memaksimumkan rataan momen kedua pada persamaan (33) dan yang lainnya meminimumkan kesalahan penetapan harga pada persamaan (33).

Dengan kata lain, jika terjadi kesalahan penetapan harga maka kesalahan penetapan harga dari BCAPM ternyata lebih kecil daripada CAPM untuk semua aset ke-i, dengan rasio peningkatan penetapan harga dinotasikan dengan2_.

Pemilihan Portofolio

Dalam melakukan investasi, tersedia banyak pilihan jenis sekuritas bagi investor. Semua jenis sekuritas menjanjikan imbal hasil bagi pemiliknya, terutama sekuritas berisiko. Semakin tinggi risiko suatu sekuritas, biasanya semakin tinggi imbal hasil yang dijanjikan perusahaan sekuritas. Bagi investor hal ini cukup membingungkan, karena investor harus memilih sekuritas yang menguntungkan dari sekuritas yang tersedia.

Hal yang penting dalam mengambil keputusan adalah imbal hasil dan risiko. Masalah yang dihadapi investor ini dipecahkan oleh Markowitz dalam Journal of

Finance pada tahun 1952 dengan judul

Portfolio Selection. Markowitz

memperkenalkan suatu pendekatan modern untuk menyeleksi portofolio dengan melihat tingkat imbal hasil dan risiko suatu sekuritas berdasarkan pada analisis fundamental. Jadi dengan adanya pemilihan portofolio Markowitz, investor dapat mengabaikan informasi tentang perusahaan sekuritas, kebijakannya, dan pangsa pasar portofolio, dan hanya melihat pada beberapa penghitungan statistik.

Investor akan memilih portofolio yang mempunyai tingkat imbal hasil yang tinggi dan tingkat risiko yang serendah mungkin untuk memaksimumkan keuntungannya.

Contoh empiris

Berdasarkan Campbell dan Viceira (2002, Tabel 3.2), kekayaan pertahun AS atas NYSE, AMEX, dan NASDAQ mempunyai imbal hasil rata-rata 7.67% (dengan simpangan baku 16.03%) untuk periode 1952 sampai 1999 dan 10.61% (dengan simpangan baku 15.15%) untuk periode 1983 sampai 1999. Catatan bahwa 2 2 2 2 2 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] m m m m m E X E X E X Var X E X     .

Rasio peningkatan penetapan harga untuk dua periode di atas adalah

(1952-1999) : 2 2 2 2 7.67 0.18629 (16.03 7.67 )     (1983-1999) : 2 2 2 2 10.61 0.32907 (15.15 10.61 )     .

Dalam persentase hasil yang didapat, nilai tersebut cukup menarik perhatian. Untuk para praktisi yang harus membuat keputusan investasi berkali-kali dan taruhannya tinggi, mereka akan mendapatkan BCAPM lebih baik daripada CAPM untuk prediksi imbal hasil saham dan mengevaluasi modal biaya perusahaan.

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil yang diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa Best-Beta Capital

Assets Pricing Model (BCAPM) mempunyai

alfa lebih kecil daripada alfa Capital Asset

Pricing Model (CAPM), dengan alfa

merupakan kesalahan penetapan harga. Sehingga para investor dapat mengambil keputusan investasi dengan mengevaluasi modal biaya perusahaannya.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 2008. Derivation of CAPM.

[terhubung berkala].

http://samba.fsv.cuni.cz/~blahaz/derivati on_of_capm.doc[30 Juni 2008]

Bodie, et al. 2002. Investment. Sixth edition. The McGraw-Hill Companies, Inc. New York.

Campbell, J. Y. & L. M. Viceira. 2002.

Strategic Asset Allocation: Portfolio

Choice for Long-Term Investors.

University Press. Oxpord, New York. Fisher, M. E. 1988. Introduction to

Numerical Methods with the NAG

Software Library. Mathematics

Department. The University of Western Australia.

Ghahramani, S. 2000. Fundamentals of

Probability. Ed. Ke-2. Prentice Hall, Inc.

New Jersey.

Goyal, V. & A. S. Saxena. 2002. Von

Neumann And Morgenstern Utility

Function. [terhubung berkala].

http://www.cse.iitd.ernet.in/~rahul/cs905 /lecture7/index.html [21 Agustus 2008]. Grimmett, G. R. & D. R. Stirzaker. 1992.

Probability and Random Processes.

Second edition. Clarendon Press. Oxpord, New York.

Hogg, R. V. & A. T. Craig. 1995.

Introduction to Mathematical Statistics.

Fifth edition. Prentice Hall, Inc. New Jersey.

Markowitz, H. M. 1952. Portfolio selection. J Fin. 7:77–91. American

Finance Association.

McLennan, A. 1999. Introduction to

Mathematical Economics. [terhubung

berkala].

http://www.econ.umn.edu/~mclennan/Cl asses/Ec5113/ec5113-lec13-3.4.99.pdf

[19 Juli 2008].

Pastor, L. & R. Stambaugh. 1999. Costs of

Equity Capital and Model Mispricing. J

Fin. 54:67-121.

Peressini, et al. 1998. The Mathematics of

Nonlinear Programming.

Spinger-Verlag, New York.

Post, G. T. & P. Versijp. 2005. An

Empirical Test for Two Fund Separation.

Erasmus University Rotterdam, Netherlands.

Rao, S. S. 1978. Optimization Theory and

Application. San Diego State University,

San Diego.

Rubinstein, M. 1974. An Aggregation Theorem for Securitas Market. J Fin

Econ. 1:225–44.

Sharpe, W. F. 1964. Capital asset prices: a

theory of market equilibrium under conditions of risk. J Fin. 19:423-39.

Van Keeken, M. N. 2001. Membentuk

Portofolio Berisiko yang Optimal dengan Seleksi Portfolio Markowitz. [Skripsi]

Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institit Pertanian Bogor.

Zao, L. 2006. The best-beta CAPM.