CATATAN KULI AH
Pe r t e m u a n X I : Opt im a si Ta n pa Ke n da la da n
Aplik a sin y a ( Fu n gsi de n ga n V a r ia be l 2 a t a u Le bih ) I I
A. Fu n gsi Tu j u a n de n ga n Le bih da r i D u a V a r ia be l • Bent uk Um um Fungsi 3 Variabel : z= f( x1, x2, x3)
Diferensial Tot al Orde Sat u:
Diferensial Tot al Orde Dua:
• Diferensial Tot al Orde Dua m enghasilkan det erm inan Hessian
yang sim et ris:
3 3 2
3 1
3
3 2 2 2 1 2
3 1 2
1 1 1
|
|
x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
H
=
Yang m inor ut am anya adalah:
Sehingga syarat cukup orde kedua unt uk t it ik ekst rem dari z adalah:
o d2z definit negat if ( m aksim um ) bila :
0 | | 0 | | 0 |
|H1 < H2 > H3 <
o d2z definit posit if ( m inim um ) bila :
0 | | 0 | | 0 |
|H1 > H2 > H3 >
o sem ua m inor ut am a diuj i pada t it ik st asioner dim ana:
0
0
0
3 2
1
=
x=
x=
x
f
f
f
3 2
1 2 3
1
dx
f
dx
f
dx
f
dz
=
x+
x+
x[
]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 2 1
1 2
1 2
3 3 2 3 1 3
3 2 2 2 1 2
3 1 2 1 1 1
dx
dx
dx
f
f
f
f
f
f
f
f
f
dx
dx
dx
z
d
x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
2 2 1 2
2 1 1 1
|
|
2x x x x
x x x x
f
f
f
f
H
=
1 1
|
B. Pe n e r a pa n Ek on om i
• Perm asalahan Perusahaan Mult iproduk
• Cont oh 1: Asum sikan suat u perusahaan dengan dua produk
berada pada keadaan Persaingan sem purna.
Karena berada dalam persaingan sem purna, harga- harga kedua kom odit i dianggap eksogen. Misalkan harga t ersebut dinot asikan dengan P10 dan P20
Fungsi pendapat an perusahaan: R=P10Q1+P20Q2,
Dim ana Q1 danQ2,adalah t ingkat out put produk 1 dan produk 2
Fungsi biaya perusahaan: 2
2 2 1 2
1 2
2Q QQ Q
C= + +
Maka fungsi Labanya:
(
2)
2 2 1 2 1 2 20 1
10 2 2
P C -R
π= = Q +P Q − Q +QQ + Q
Derivat if orde pert am anya:
0 4
π
, 0 4
π
2 1 20 1 2
1 10 1
= − − = ∂
∂ =
− − = ∂
∂
Q Q P Q Q
Q P Q
Dalam bent uk m at riks didapat :
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
− −
20 10 2
1
4 1
1 4
P P Q
Q
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
2 1 20
10
4 1
1 4
15 1
Q Q P
P
Didapat :
15 4 ,
15
4 * 20 10
2 20
10 * 1
P P Q P
P
Q = − = −
Sehingga:
( )
( )
(
)
( )
2 18(4) 2( ) ( )
2 24 2( )
4 24 72 8 8 32 48 12π
2 2
P C -R
π
4 15
12 18 4 ,
2 15
18 12 4
2 2
*
2 2 2 1 2 1 2 20 1 10
* 2 *
1
= − − − + = −
− −
+ =
+ +
− +
= =
= − =
= − =
Q Q Q Q Q P Q
Q Q
Penguj ian t it ik ekst rem : Mat riks Hessian ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
− − =
4 1
1 4
H
.
π
Laba jumlah
dan Laba, kan memaksimal yang
* Q *, Q kuantitas Berapa
18, P
dan 12 P Jika
*
2 1 20
10
nya
max. definite,
negative 4
15 4 1
1 4
1 =− →
= − −
− −
= H
H
• Cont oh 2: Asum sikan suat u perusahaan dengan dua produk
berada pada keadaan Persaingan sem purna.
Karena berada dalam persaingan sem purna, harga- harga kedua kom odit i dianggap eksogen. Misalkan harga t ersebut dinot asikan dengan P10dan P20. Dengan :
(
2)
2 2 1 2 20 1 102 2 2 1 2
20 1 10
2 2 P
C -R
π
2 2 ,
P R
Q Q Q P Q
Q Q C Q
P Q
+ −
+ =
=
+ = +
=
Derivat if orde pert am anya:
( )
( ) ( ) ( )
(
2)
20 2 10 2
20 2 10 2 20 2
10 *
2 20 2
10 20
20 10 10 *
20 * 2 10
* 1
2 20 1 1
10 1
8 1 8 8
8 2 8 2
π
4 2 4
2 4 4
P
π
4 ,
4
0 4
π
, 0 4
π
P P P
P P
P
P P
P P P
P Q P
Q
Q P Q Q
P Q
+ =
− −
+ =
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +
=
= =
= − = ∂
∂ = − = ∂
∂
Penguj ian t it ik ekst rem :
maximum definite,
negative 4
16 4 0
0 4
0
π
4
π
, 4
π
1
2 1
2 2
2 2 2
1 2
→ −
= =
− − =
= ∂ ∂
∂ −
= ∂
∂ −
= ∂ ∂
H H
Q Q Q
Q
• Diskrim inasi Harga
Jika perusahaan m onopolist ic m enj ual sat u j enis produknya ke dalam dua at au lebih pasar yang t erpisah, m aka harus
dit ent ukan j um lah out put Q yang dit aw arkan ke m asing- m asing pasar agar Laba m enj adi m aksim um .
Pada um um nya, set iap pasar m em punyai kondisi perm int aan yang berbeda, dan bila elast isit as perm int aan berbeda dalam berbagai pasar, m aksim asi Laba m em erlukan prakt ik
Cont oh 1: Suat u perusahaan m onopoli yang m em produksi 2 m acam produk m em punyai fungsi perm int aan unt uk m asing-m asing produk sebagai berikut :
Fungsi biaya t ot alnya:
Tent ukan kuant it as dan harga dari m asing- m asing produk yang m em aksim um kan laba unt uk m onopolis t ersebut dan hit ung berapa laba m aksim um nya?
Jawab:
* π = TR – TC = ( p1q1+ p2q2) – C
= 36q1 – 4q12 + 40q2 – 8q22 – 2q1q2
Turunan pert am a:
πq1 = 18 - 4q1 – q2 = 0 πq2 = 20 - 8q2 – q1 = 0
Diperoleh q1 = 4 dan q2 = 2
Unt uk m enent ukan m aksim um at au m inim um , gunakan t urunan kedua. πq1q1 = - 8, πq1q2 = - 2, π q2q2 = - 16 ;
πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 = 124
Karena πq1q1 < 0, π q2q2 < 0, dan πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 > 0, m aka
t erbukt i bahw a produksi q1 = 4 unit dan q2 = 2 unit
m enghasilkan keunt ungan m aksim um bagi perusahaan. * p1 = 24 dan p2 = 30
Harga produk 1 = 24 dan Harga produk 2 = 30.
* π m aksim um = 112.
Cont oh 2: Misalkan perusahaan m onopolist ik m em punyai fungsi pendapat an rat a- rat a pada 3 pasar yang berbeda sbb:
Harga ( P) sebagai fungsi dari kuant it as ( Q)
3 3
2 2
1
1 63-4Q P 105-5Q P 75-6Q
P = = =
Fungsi pendapat an sebagai perkalian Harga ( P) dengan Kuant it as ( Q) , didapat :
2 3 3 3
3 3
2 2 2 2
2 2
2 1 1 1
1 1
6Q -75Q Q
R
, 5Q -105Q Q
R
, 4Q -63Q Q
R
= =
= =
= =
P P P
2 2
2
1 1
1
5 40 :
3 36 :
q p
D
q p
D
− =
− =
2 2 2 1 2
1 2qq 3q
q
Dan Fungsi biaya t ot alnya :
105 /
679
π
340 1019
245 540
234
*
Unt uk m elihat im plikasi dari kondisi ini berkait an dengan diskrim inasi harga, dihit ung pendapat an m arj inal sbb :
⎟⎟
Penguj ian t it ik ekst rem
max. definite,
negative ,
0 ,
0
, 0 12 0
0
0 10 0
0 0 8
0
π π π π π π
12
π
10
π
8
π
0 12 60
π
0 10 90
π
0 8 48
π
1 2
32 23 31 13 21 12 33 22 11
3 3
2 2
1 1
→ <
>
< − − − =
= = = = = =
− =
− =
− =
= −
=
= −
=
= − =
H H
H
Q Q Q
• Keput usan I nput dalam Perusahaan
Variabel pilihan dari perusahaan j uga bisa t im bul dalam bent uk t ingkat input , selain t ingkat out put Qi
Asum sikan
1. Dua input a dan b digunakan dalam produksi produk Q
2. Harga dari out put P dan harga- harga input Pa dan Pb
3. Proses produksi m em but uhkan t t ahun unt uk selesai , sehingga pendapat an ( fut ure) harus didiskont okan sebelum dapat dibandingkan dengan biaya sekarang ( present )
4. Tingkat diskont o adalah i0
Fungsi Biaya C dan fungsi pendapat an R:
( )
rt ba bP R PQ a be
aP
C= 0+ 0 = 0 , −
Jadi Fungsi Labanya:
( )
0 00 ,
π a b
rt
bP aP e
b a Q P C
R− = − −
= −
Am bil derivat if parsialnya :
0 0
π
0 0
π
0 0
0 0
b
0 0
0 0
a
> =
= − =
> =
= − =
− −
− −
b b
rt b b
rt b
a a
rt a a
rt a
Q dengan P
e Q P P
e Q P
Q dengan P
e Q P P
e Q P
Fungsi Produksi : Q=Q
( )
a,bb a
b a
b a
MPP MPP Q
Q da db
db Q da Q dQ
− = − =
= +
= 0
Not e: MPP = Marginal Physical Product / Produk Fisik Marj inal
Unt uk m endapat kan Qa&Qb >0, m aka m em bat asi input pilihan hanya pada bagian dengan kem iringan negat if pada isokuan t ersebut sehingga t iap isokuan dapat dianggap sebagai fungsi
(a) b=φ
Syarat Orde Kedua unt uk Laba m aksim um :
0
0 0
0
0 >
= −− −−rt
bb rt
ab
rt ab rt
aa
e Q P e Q P
e Q P e Q P
H dan
0 H1 = 0 −rt <
aae
Q P
Maka syarat t ersebut t erpenuhi j ika:
0
< aa
Q dan
ab ab bb
aaQ Q Q
Q >
Not e: Qaa adalah laj u perubahan dari Qa dim ana Qbkonst an
C. Aspe k St a t is Kom pa r a t if da r i Opt im a si
• I de ut am a: unt uk m enget ahui ‘bagaim ana perubahan pada
sem barang param et er akan m em pengaruhi posisi ekuilibrium pada m odel, yang berkait an dengan nilai opt im al dari variabel pilihan’
• Pem ecahan Bent uk Ringkas ( reduced- form )
Pada Perm asalahan Perusahaan Mult iproduk Cont oh 1,
20 10 an P
P d : harga- harga kedua kom odit i bersifat eksogen.
Tingkat out put opt im al dinyat akan dalam param et er eksogen t ersebut :
15 4 ,
15
4 * 20 10
2 20
10 * 1
P P Q P
P
Q = − = −
Diferensiasi parsial dari solusi opt im al t ersebut akan
m em berikan sifat - sifat st at is kom parat if dari m odel t ersebut :
15 4 ,
15 1 ,
15 1 ,
15 4
20 * 2 10
* 2 20
* 1 10
*
1 =
∂ ∂ −
= ∂ ∂ −
= ∂ ∂ =
∂ ∂
P Q P
Q P
Q P
JADI dapat disim pulkan: unt uk m em aksim alkan laba, set iap produk sebaiknya diproduksi dalam j um lah besar j ika harga naik at au bila harga pasar produk lain t urun.
• Model Fungsi Um um ( general- funct ion m odels)
Pada Keput usan I nput dalam Perusahaan , asum sikan Qab> 0.
Berapa banyak param et er pada m odel t ersebut ?
Fungsi Labanya:
( )
0 0 dengan P dengan Pekonom inya?
Misalkan hanya variabel eksogen I saj a yang bervariasi m aka: maka
0, Q Jika
0
1. Suat u peusahaan dengan dua produk m enghadapi fungsi perm int aan dan biaya sbb:
B. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapat kah anda
m em ut uskan bahw a persoalan ini m em iliki m aksim um m ut lak yang unik?
