CATATAN KULIAH Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II. = dx

CATATAN KULIAH

Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan

Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II

A. Fungsi Tujuan dengan Lebih dari Dua Variabel

• Bentuk Umum Fungsi 3 Variabel : z=f(x1, x2, x3)

Diferensial Total Orde Satu: Diferensial Total Orde Dua:

• Diferensial Total Orde Dua menghasilkan determinan Hessian

yang simetris: 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1

|

|

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

f

f

f

f

f

f

f

f

f

H

=

Yang minor utamanya adalah:

Sehingga syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem dari z adalah:

o d2z definit negatif (maksimum) bila :

0 | | 0 | | 0 | |H₁ < H₂ > H₃ <

o d2z definit positif (minimum) bila :

0 | | 0 | | 0 | |H₁ > H₂ > H₃ >

o semua minor utama diuji pada titik stasioner dimana:

0

0

0

3 2 1

=

x

=

x

=

x

f

f

f

3 2 1 _{2 3} 1

dx

f

dx

f

dx

f

dz

=

_x

+

_x

+

_x

[

]

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1 1 2 1 2 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1

dx

dx

dx

f

f

f

f

f

f

f

f

f

dx

dx

dx

z

d

x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 1 2 2 1 1 1

|

|

₂ x x x x x x x x

f

f

f

f

H

=

1 1

|

|

H

₁

=

f

_{x x}

|

H

₃

|

=

H

B. Penerapan Ekonomi

• Permasalahan Perusahaan Multiproduk

• Contoh 1: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk

berada pada keadaan Persaingan sempurna.

Karena berada dalam persaingan sempurna, harga-harga kedua komoditi dianggap eksogen. Misalkan harga tersebut dinotasikan dengan P₁₀ dan P₂₀

Fungsi pendapatan perusahaan: R=P₁₀Q₁+P₂₀Q₂,

Dimana Q₁ danQ₂,adalah tingkat output produk 1 dan produk 2

Fungsi biaya perusahaan: 2

2 2 1 2 1 2 2Q QQ Q C= + +

Maka fungsi Labanya:

(

2

)

2 2 1 2 1 2 20 1 10 2 2 P C -R π= = Q +P Q − Q +QQ + Q

Derivatif orde pertamanya:

0 4 π , 0 4 π 2 1 20 1 2 1 10 1 = − − = ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ Q Q P Q Q Q P Q

Dalam bentuk matriks didapat:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 20 10 2 1 4 1 1 4 P P Q Q ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 1 20 10 4 1 1 4 15 1 Q Q P P Didapat: 15 4 , 15 4 _{* 20 10} 2 20 10 * 1 P P Q P P Q = − = − Sehingga:

( )

( )

(

)

( )

2 18(4) 2

( ) ( )

2 24 2

( )

4 24 72 8 8 32 48 12 π 2 2 P C -R π 4 15 12 18 4 , 2 15 18 12 4 2 2 * 2 2 2 1 2 1 2 20 1 10 * 2 * 1 = − − − + = − − − + = + + − + = = = − = = − = Q Q Q Q Q P Q Q Q

Pengujian titik ekstrem: Matriks Hessian _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 4 1 1 4 H . π Laba jumlah dan Laba, kan memaksimal yang * Q *, Q kuantitas Berapa 18, P dan 12 P Jika * 2 1 20 10 nya = =

max. definite, negative 4 15 4 1 1 4 1 =− → = − − − − = H H

• Contoh 2: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk

berada pada keadaan Persaingan sempurna.

Karena berada dalam persaingan sempurna, harga-harga kedua komoditi dianggap eksogen. Misalkan harga tersebut dinotasikan dengan P₁₀dan P₂₀. Dengan :

(

2

)

2 2 1 2 20 1 10 2 2 2 1 2 20 1 10 2 2 P C -R π 2 2 , P R Q Q Q P Q Q Q C Q P Q + − + = = + = + =

Derivatif orde pertamanya:

( )

( ) ( ) ( )

₍

2

₎

20 2 10 2 20 2 10 2 20 2 10 * 2 20 2 10 20 20 10 10 * 20 * 2 10 * 1 2 20 1 1 10 1 8 1 8 8 8 2 8 2 π 4 2 4 2 4 4 P π 4 , 4 0 4 π , 0 4 π P P P P P P P P P P P P Q P Q Q P Q Q P Q + = − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = = = = − = ∂ ∂ = − = ∂ ∂

Pengujian titik ekstrem:

maximum definite, negative 4 16 4 0 0 4 0 π 4 π , 4 π 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 → − = = − − = = ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ H H Q Q Q Q • Diskriminasi Harga

Jika perusahaan monopolistic menjual satu jenis produknya ke dalam dua atau lebih pasar yang terpisah, maka harus

ditentukan jumlah output Q yang ditawarkan ke masing-masing pasar agar Laba menjadi maksimum.

Pada umumnya, setiap pasar mempunyai kondisi permintaan yang berbeda, dan bila elastisitas permintaan berbeda dalam berbagai pasar, maksimasi Laba memerlukan praktik

Contoh 1: Suatu perusahaan monopoli yang memproduksi 2 macam produk mempunyai fungsi permintaan untuk masing-masing produk sebagai berikut:

Fungsi biaya totalnya:

Tentukan kuantitas dan harga dari masing-masing produk yang memaksimumkan laba untuk monopolis tersebut dan hitung berapa laba maksimumnya?

Jawab: * π = TR – TC = (p1q1+p2q2) – C = 36q1 – 4q12 + 40q2 – 8q22 – 2q1q2 Turunan pertama: πq1 = 18 - 4q1 – q2 = 0 πq2 = 20 - 8q2 – q1 = 0 Diperoleh q1 = 4 dan q2 = 2

Untuk menentukan maksimum atau minimum, gunakan turunan kedua. πq1q1 = -8, πq1q2 = -2, π q2q2 = -16 ;

πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 = 124

Karena πq1q1 < 0, π q2q2 < 0, dan πq1q1 . πq1q2 - π2 q1q2 > 0, maka

terbukti bahwa produksi q1 = 4 unit dan q2 = 2 unit

menghasilkan keuntungan maksimum bagi perusahaan. * p1 = 24 dan p2 = 30

Harga produk 1 = 24 dan Harga produk 2 = 30.

* π maksimum = 112.

Contoh 2: Misalkan perusahaan monopolistik mempunyai fungsi pendapatan rata-rata pada 3 pasar yang berbeda sbb:

Harga (P) sebagai fungsi dari kuantitas (Q)

3 3 2 2 1 1 63-4Q P 105-5Q P 75-6Q P = = =

Fungsi pendapatan sebagai perkalian Harga (P) dengan Kuantitas (Q), didapat : 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6Q -75Q Q R , 5Q -105Q Q R , 4Q -63Q Q R = = = = = = P P P 2 2 2 1 1 1 5 40 : 3 36 : q p D q p D − = − = 2 2 2 1 2 1 2qq 3q q C= + +

Dan Fungsi biaya totalnya : , , 15 20 Q Q Q₁ Q₂ Q₃ C = + = + + Fungsi profit :

( )

( )

( )

45 , 5 0 12 60 15 12 75 / π 60 , 9 0 10 90 15 10 105 / π 39 , 6 0 8 48 15 8 63 / π ) ( R R R π * 3 * 3 3 3 3 3 * 2 * 2 2 2 2 2 * 1 * 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 = = = − = − − = ∂ ∂ = = = = − = − − = ∂ ∂ = = = = − = − − = ∂ ∂ = − + + = P Q Q Q Q P Q Q Q Q P Q Q Q Q Q C Q Q Q π π π Jadi didapat * ₌20

Q dan Laba maksimum adalah:

679 π 340 1019 245 540 234 * * * * 3 * 2 * 1 = = = = = = C R R R R

Untuk melihat implikasi dari kondisi ini berkaitan dengan diskriminasi harga, dihitung pendapatan marjinal sbb :

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = = = di i i i i i i i i i i i i i i i i i i P P Q dQ dP P Q dQ dP dQ dQ P dQ dR MR Q P R ε 1 1 1

Di mana εdi: nilai elastisitas permintaan dalam pasar ke-I

(biasanya negatif). Untuk kasus di atas :

6 5 4 1 1 1 1 1 1 _{=− =− =−} dQ dP dQ dP dQ dP 5 . 1 6 1 5 45 , 33 . 1 5 1 9 60 , 625 . 1 4 1 6 39 1 1 1 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = d d d ε ε ε

Syarat Orde pertama π₁ =π₂ =π₃ =0ÆMC =MR₁ =MR₂ =MR₃

Karena : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = di i di i i P P MR ε ε 1 1 1 1

Maka syarat orde pertama menjadi :

15 5 . 1 1 1 45 33 . 1 1 1 60 625 . 1 1 1 39 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − d d d P P P ε ε ε

Pengujian titik ekstrem max. definite, negative , 0 , 0 , 0 12 0 0 0 10 0 0 0 8 0 π π π π π π 12 π 10 π 8 π 0 12 60 π 0 10 90 π 0 8 48 π 1 2 32 23 31 13 21 12 33 22 11 3 3 2 2 1 1 → < > < − − − = = = = = = = − = − = − = = − = = − = = − = H H H Q Q Q

• Keputusan Input dalam Perusahaan

Variabel pilihan dari perusahaan juga bisa timbul dalam bentuk

tingkat input, selain tingkat output Qi

Asumsikan

1. Dua input a dan b digunakan dalam produksi produk Q

2. Harga dari output P dan harga-harga input Pa dan Pb

3. Proses produksi membutuhkan t tahun untuk selesai ,

sehingga pendapatan (future) harus didiskontokan sebelum dapat dibandingkan dengan biaya sekarang (present)

4. Tingkat diskonto adalah i0

Fungsi Biaya C dan fungsi pendapatan R:

( )

rt b

a bP R PQ a be

aP

C= ₀+ ₀ = ₀ , −

Jadi Fungsi Labanya:

( )

0 0 0 , π a b rt bP aP e b a Q P C R− = − − = −

Ambil derivatif parsialnya :

0 0 π 0 0 π 0 0 0 0 b 0 0 0 0 a > = = − = > = = − = − − − − b b rt b b rt b a a rt a a rt a Q dengan P e Q P P e Q P Q dengan P e Q P P e Q P Fungsi Produksi : Q=Q

( )

a,b

b a b a b a MPP MPP Q Q da db db Q da Q dQ − = − = = + = 0

Note: MPP = Marginal Physical Product / Produk Fisik Marjinal

Untuk mendapatkan Qa&Qb >0, maka membatasi input pilihan

hanya pada bagian dengan kemiringan negatif pada isokuan tersebut sehingga tiap isokuan dapat dianggap sebagai fungsi

(a) b=φ

Syarat Orde Kedua untuk Laba maksimum:

0 0 0 0 0 _> = ₋− ₋−_rt bb rt ab rt ab rt aa e Q P e Q P e Q P e Q P H dan 0 H₁ = ₀ −rt < aae Q P

Maka syarat tersebut terpenuhi jika: 0 < aa Q dan ab ab bb aaQ Q Q Q >

Note: Q_aa adalah laju perubahan dari Q_a dimana Q_bkonstan

C. Aspek Statis Komparatif dari Optimasi

• Ide utama: untuk mengetahui ‘bagaimana perubahan pada

sembarang parameter akan mempengaruhi posisi ekuilibrium pada model, yang berkaitan dengan nilai optimal dari variabel pilihan’

• Pemecahan Bentuk Ringkas (reduced-form)

Pada Permasalahan Perusahaan Multiproduk Contoh 1, 20

10 an P

P d : harga-harga kedua komoditi bersifat eksogen.

Tingkat output optimal dinyatakan dalam parameter eksogen tersebut: 15 4 , 15 4 * _{20 10} 2 20 10 * 1 P P Q P P Q = − = −

Diferensiasi parsial dari solusi optimal tersebut akan

memberikan sifat-sifat statis komparatif dari model tersebut:

15 4 , 15 1 , 15 1 , 15 4 20 * 2 10 * 2 20 * 1 10 * 1 ₌ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ P Q P Q P Q P Q

JADI dapat disimpulkan: untuk memaksimalkan laba, setiap produk sebaiknya diproduksi dalam jumlah besar jika harga naik atau bila harga pasar produk lain turun.

• Model Fungsi Umum (general-function models)

Pada Keputusan Input dalam Perusahaan , asumsikan Qab>0.

Berapa banyak parameter pada model tersebut? Fungsi Labanya:

( )

0 0 0 , π rt _{a b} bP aP e b a Q P C R− = − − = − Derivatif parsialnya : 0 0 π 0 0 π 0 0 0 0 b 0 0 0 0 a > = = − = > = = − = − − − − b b rt b b rt b a a rt a a rt a Q dengan P e Q P P e Q P Q dengan P e Q P P e Q P

Dalam model diskrit: e-rt_{=(1 + i}

0)-1

Sehingga:

F1(a, b; P0, Pa0, Pb0, i0) = P0Qa(a, b)(1 + i0)-1 – Pa0 = 0

F2(a, b; P0, Pa0, Pb0, i0) = P0Qb(a, b)(1 + i0)-1 – Pb0 = 0

Jadi terdapat empat parameter (P0, Pa0, Pb0, i0)

Selanjutnya cari (∂a*/∂i0) and (∂b*/∂i0), dan apa interpretasi

ekonominya?

Derivatif orde keduanya:

di i Q P dP dP i Q db i Q P da i Q P di i Q P dP dP i Q db i Q P da i Q P b b b bb ab a a a ab aa 2 0 0 0 1 * 1 0 * 1 0 2 0 0 0 1 * 1 0 * 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( − − − − − − − − + + + + − = + + + + + + + − = + + +

Dalam bentuk matriks:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − + + + + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − − − − − − − − di i Q P dP dP i Q di i Q P dP dP i Q db da i Q P i Q P i Q P i Q P b b b a a a bb ab ab aa 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 * * 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 )( , ( 0 ) 1 )( , ( ) , , , ( ) , , , ( 0 1 * * 0 0 1 * * 0 0 0 0 * * 0 0 0 * * ≡ − + ≡ − + = = − − b b a a b a b a P i b a Q P P i b a Q P i P P P b b i P P P a a

Misalkan hanya variabel eksogen I saja yang bervariasi maka: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ + ∂ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − − − − − − 0 2 0 0 2 0 * * 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( i i Q P i i Q P b a i Q P i Q P i Q P i Q P b a bb ab ab aa Jika ∂i₀ ≠0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − − − − − − 2 0 2 0 0 * 0 * 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( i Q P i Q P i b i a i Q P i Q P i Q P i Q P b a bb ab ab aa

Dengan aturan Cramer:

(

)

0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 0 * 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 + < − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + + + = + + + + = − − − − − − − − − J i P Q Q Q Q i a i Q P i Q P i Q P i Q P J i Q P i Q P i Q P i Q P A ab b bb a bb ab ab aa bb b ab a a 0 maka 0, Q Jika 0 * ab _∂ < ∂ > i a

Interpretasi: kuantitas dari input akan menurun ketika tingkat

diskonto (i0) meningkat. Selanjutnya ketika tingkat diskonto (i0)

meningkat, nilai uang sekarang (present) dari output P0

menurun, yang mengurangi permintaan implisit (MVP) untuk input a dan b.

Latihan:

1. Suatu peusahaan dengan dua produk menghadapi fungsi permintaan dan biaya sbb:

Q1 = 40 – 2 P1– P2 Q2 = 35 – P1 – P2

C = Q12 + 2 Q22 + 10

A. Carilah tingkat output yang memenuhi syarat cukup orde pertama untuk laba maksimum ?

B. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapatkah anda

memutuskan bahwa persoalan ini memiliki maksimum mutlak yang unik?