Jadi, ingkaran dari pernyataan adalah “Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung ada siswa yang diperkenankan membawa kalkulator dan hand phone (HP).”  [D]

(1)

1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013

SOAL DAN SOLUSI UJIAN SEKOLAH

UTAMA TAHUN 2013

1. Diberikan premis-premis berikut!

1. Mathman belajar tidak serius atau ia dapat mengerjakan semua soal Ujian Nasional dengan benar.

2. Jika ia dapat mengerjakan semua soal Ujian Nasional dengan benar, maka Mathman lulus Ujian Nasional.

3. Mathman tidak lulus Ujian Nasional.

Penarikan kesimpulan yang sah pada premis-premis tersebut adalah …. A. Mathman lulus Ujian Nasional.

B. Mathman belajar dengan serius atau ia lulus Ujian Nasional.

C. Mathman tidak dapat mengerjakan semua soal Ujian Nasional dengan benar. D. Mathaman belajar dengan serius.

E. Matham belajar dengan serius dan lulus Ujian Nasional.

Solusi:

Kaidah yang digunakan adalah Kaidah Siligisme dan Modus Tollens

p q  p  q

 Mathman tidak belajar dengan serius. 

 

A

2. Ingkaran dari pernyataan “Jika air sungai meluap, maka kota kebanjiran dan semua warga kota hidup menderita” adalah….

A. Air sungai tidak meluap dan kota tidak kebanjiran dan ada warga kota tidak hidup menderita.

B. Air sungai tidak meluap dan kota tidak kebanjiran atau beberapa warga kota tidak hidup menderita.

C. Air sungai meluap dan kota tidak kebanjiran atau beberapa warga kota tidak hidup menderita.

D. Jika air tidak sungai meluap maka kota tidak kebanjiran dan semua warga kota tidak hidup menderita.

E. Jika air sungai tidak meluap maka kota tidak kebanjiran atau ada warga kota tidak hidup menderita.

Solusi:

Sifat:

1. ~



pq



p~q 2. ~



pq



~ p~q

p q p  q

q  r  q  r

…. p r

~r

▸ Baca selengkapnya: tidak semua siswa yang pandai lulus ujian nasional

(2)

Jadi, ingkaran dari pernyataan adalah “Air sungai meluap dan kota tidak kebanjiran atau beberapa warga kota tidak hidup menderita.”  [C]

3. Ingkaran dari pernyataan “Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung semua siswa tidak diperkenankan membawa kalkulator atau hand phone (HP).” adalah ….

A. Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung ada siswa diperkenankan

membawa kalkulator atau hand phone (HP).

B. Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung semua siswa diperkenankan

membawa kalkulator dan hand phone (HP).

C. Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung semua siswa diperkenankan

membawa kalkulator atau hand phone (HP).

D. Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung ada siswa yang diperkenankan

membawa kalkulator dan hand phone (HP).

E. Pada saat ujian nasional (UN) sedang berlangsung beberapa siswa tidak

diperkenankan membawa kalkulator dan hand phone (HP).

Solusi :

Sifat:

~



pq



~ p~q

Jadi, ingkaran dari pernyataan adalah “Pada saat ujian nasional (UN) sedang

berlangsung ada siswa yang diperkenankan membawa kalkulator dan hand phone (HP).”



[D]

4. Bentuk sederhana dari

96 8

150 54

3



 _adalah….

A. 32 6 B. 2 63 C. 63 D. 2 6 E. 3 6

Solusi:

6 4 8

6 5 6 9 96 8

150 54

3

   



6 4 8

6 4

 

6 2

6

 

6 2

6 2 6 2

6

    

6 4

6 6 2

 

 3 6 [E]

5. Diberikan log12adan log18b . Nilai dari log8.... A. 2ab

B. a2b

C. 2ab

D. 3 2ab

E. 2 3ab

Solusi:

log12a



log3log4a



log32log2a



log3a2log2

…. (1)

b 

18

log



log9log2b



2log3log2b

…. (2)

(3)



a2log2



log2b

2

b a4log2log2 2

b a 2 2 log 3

b a 2 8

log



[C]

6. Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 4x30sedangkan 2dan2adalah akar-akar persamaan x2  pxq0, maka nilai p adalah ….

A. 9 B. 7 C. 2

D. 1 E. 3

Solusi:

2x2 4x30, akar-akarnya adalah dan

2

2 4__

    

a b

 

2 3

  

a c



x2  pxq0, akar-akarnya 2dan2 2 2 p







2 2 p

 

 p

       

2 3 2

2 2

p7

Jadi, nilai p7. 

 

B

7. Jika persamaan kuadrat 4x2 



48k



x2kk2 0mempunyai dua akar yang positif , maka nilai k adalah ….

A. 5 1



k atau k0

B. 0

5 1_ _

k C. k0atau k 2 D. 0k2

E. 1k2

Solusi:

Persamaan kuadrat 4x2 



48k



x2kk2 0akar-akarnya x1 dan x2. D0



48k



2 44



2kk2



0 1664k64k2 32k16k2 0 80 2 _96 _16_0

k k

5 2 _6 _1_0

(4)



5k1



k1



0

1 5 1



x …. (1)

x1x2 0





0

4 8 4 _

 k

12k0

2 1



k …. (2)

x1x2 0 0

4 2k k2 _

k



2k



0 2k0…. (3)

Dari (1)  (2)  (3) menghasilkan:

1k2 [E]

8. Batas-batas nilai p yang memenuhi, jika grafik fungsi kuadrat

 

2





2 2 8 4

4x k x k k

x

f      selalu berada di atas sumbu X adalah ….

A. 1

5 1_ _

 k

B. 1

5 1_ _

k

C. 1

5 1_ _

 k

D. k1atau 5 1

 k

E. 5 1



k atau k1

Solusi:

Syarat grafik fungsi kuadrat f

 

x 4x2 



48k



x2kk2 selalu berada di atas sumbu X adalah a0 danD0.

0 4

 a



48k



244



2kk2



0 1664k64k232k16k2 0 80k296k160

5k26k10



5k1



k1



0 1

5 1_ _

k  [B]

9. Di toko MURAH, Dinda, Annisa, Laras, dan Afifah membeli berbagai buku dan alat tulis. Dinda membeli 2 buku tulis, 3 pulpen, dan 2 pinsil seharga Rp 16.500,00; Annisa membeli 4 buku tulis dan 2 pulpen seharga Rp 15.000,00; sedangkan Laras membeli 3 pulpen dan 4 pinsil

 

2 0

5

1 ₁

2

1 

(5)

seharga Rp 15.500,00. Jika Afifah membayar dengan uang Rp 50.000,00 untuk membeli 1 buku tulis, 1 pulpen, dan 3 pinsil, maka besar uang kembalian yang diterimanya adalah .… A. Rp 40.000,00

B. Rp 39.000,00 C. Rp 38.000,00

D. Rp 35.000,00 E. Rp 30.000,00

Solusi:

Ambillah harga sebuah buku, pulpen, dan pinsil, masing-masing adalah x, y, dan z rupiah. 500

. 16 2 3

2x y z …. (1)

000 . 15 2 4x y

500 . 7

2xy …. (2)

500 . 15 4

3y z …. (3)

Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan: 000

. 9 2

2y z …. (4)

2  Persamaan (4) – Persamaan (3) menghasilkan: 500

. 2

 y

500 . 2



y  2x y7.500 2x2.5007.500 x2.500

500 . 2



y  3y4z15.500 32.5004z15.500 4z8.000

z2.000

Uang yang harus dibayarkan untuk membeli 1 buku tulis, 1 pulpen, dan 3 pinsil adalah Rp 2.500,00 + Rp 2.500,00 + 3  Rp 2.000,00 = Rp 11.000,00.

Jadi, besar uang kembaliannya Rp 50.000,00 – Rp 11.000,00 = Rp 39.000,00.  [C]

10. Salah satu garis singgung pada lingkaran x2  y2 10x6y250 yang tegak lurus pada garis 4x3y120adalah ….

A. 3x4y420 B. 3x4y320 C. 3x4y520 D. 3x4y370

E. 3x4y120

Solusi:

0 25 6 10 2

2 _ _ _ _ _

y x y x



x5

 

2  y3



2 9

Pusat dan jari-jari lingkaran adalah

 

5,3 dan 3. Gradien garis 4x3y120 adalah

3 4 1 

m .

Syarat dua garis berpotongan saling tegak lurus adalah m₁m₂ 1. 1

3 4

2 

(6)

(7)

12. Suku banyak x32x2mxn, jika dibagi



2x4



bersisa 16 dan jika dibagi



x2



bersisa 20. Jika suku banyak tersebut dibagi



2x28



, maka sisanya adalah ….

A. 2x12 B. x22 C. 2x20 D. x18 E. x16

Solusi:

16 16 2   

 m n m n2

20 2mn

20 2 2m m

5

 m

10 5 2 2   

 m n

suku banyak itu adalahP

 

x x32x2 5x10 Ambillah sisa pembagian adalah axb.

 

x



x



h

 

x ax b

P  4 28  

 

2 



4228



h

 

2 a2b16

P  2ab16…. (1)

   

2 



4 2 28



h

   

2 a 2 b20

P  2ab20…. (2)

Persamaan (1) + persamaan (2) menghasilkan: 36

2b

18

 b

16 18 2a 

2 2a

1

  a

Jadi, sisanya adalah x18. [D]

13. Jika fungsi f didefinisikan sebagai f

 

x x1dan fungsi yang lain didefinisikan sebagai

  

gof x x2 2x5, maka fungsi g

 

x adalah ….

A. x224 B. x22x4 C. x24 D. x24x

E. x24

2 1 2 m n

2 8 2m + 16

1 4 m+ 8 2m + n +16 = 16

2 1 2 m n

(8)

8 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013 Alternatif 1:



fog

 

x  f



g

 

x



 f



x2



(9)

dengan kabel listrik membutuhkan waktu 2 jam untuk membuatnya dan dijual seharga $30. Perusahaan itu hanya menpunyai waktu kerja 800 jam untuk digunakan memproduksi pencukur per harinya dan departemen pengiriman dapat membungkus 300 pencukur per hari. Jika kedua produk tersebut terjual habis, maka perusahaan memperoleh pendapatan maksimum sebesar ….

A. $7,000 B. $8,000 C. $9,000 D. $10,000 E. $11,000

Solusi:

Ambillah banyak pencukur tanpa kabel listrik = x buah dan banyak pencukur dengan kabel listrik = y buah.

      

   

 

0 0

300 800 2

4

y x y x

y x

Fungsi objektif f

 

x 40x30y

4x2y800 2xy400.... (1) x y300…. (2)

Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: x100

x100 xy300 100 y300 y200

Koordinat titik potongnya adalah (100,200)

Titik f

 

x 40x30y

(0,0) 4003000 (200,0) 402003008.000

(100,200) 401003020010.000(maksimum) (0,300) 400303009000

Jadi, perusahaan memperoleh pendapatan maksimum sebesar $10,000.  [D] 16. Diberikan matriks _

  

  

10 26

27 12

A , _

  

 

 

 

7 1 2

1 3

b a

b

B , dan _

     

4 3

2 1

C . Jika AT BC, dengan T

A adalah transpos matriks A, maka maka nilai ab.... A. 15

B. 10 C. 5 D. 5 E. 15

Solusi:

O

400

300

300 (100,200)

300

 y x

X Y

800 2

4x y

(10)

(11)

11 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013 Jika proyeksi ortogonal dari vektor upada vektor v panjangnya adalah 2, maka nilai p

adalah…. arah jarum jam dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x y0 adalah ….

(12)

21. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 0 3

dapat dinyatakan sebagai ….

(13)

Solusi:

) 3 , 0

(  f

 

x2log



ax



b

32log



a0



b

32logab.... (1) )

5 , 12

(  f

 

x2log



ax



b

52log



a12



b.... (2)

Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:



a 12



loga

log

22  2 2 12 log

2  _

a a

4 12_

 a a

12 4aa

12 3a

4

 a

4



a  32logab

32log4b 32b

b1

Jadi, persamaan fungsi logaritma adalah f

 

x2log



4x



1atau dapat dinyatakan sebagai

 

x



x



f 2log82 .  [E]

23. Delina menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 50.000,00. Setelah 2 tahun uangnya berjumlah Rp2.580.000,00. Besar tabungan Delina pada pada bulan ke-20 adalah ….

A. Rp135.0000,00 B. Rp140.000,00 C. Rp145.000,00 D. Rp150,000,00

E. Rp155.000,00

Solusi:

Deret aritmetika: a = 50.000

n12tahun = 24 bulan S242.580.000

Sn n



2a



n 1



b



2  





2 50.000



24 1





2.580.000 2

24

24    b 

S

1.200.000276b2.580.000 276b1.380.000

5.000 276

000 . 380 .

1 _

 b

(14)

Jadi, Besar tabungan Delina pada pada bulan ke-20 adalah Rp 145.000,00  [D]

24. Diketahui deret geometri dengan rasio postif, suku pertama 6, dan jumlah tiga suku pertama deret tersebut adalah 42. Suku ke-6 deret geometri tersebut adalah ….

A. 512 B. 384 C. 256 D. 192 E. 128

Solusi:





1 1

  

r r a S

n n





₄₂

1 1 6 3

4 _ 

 

r r S









42 1

1 1

6 2 _

   

r r r r

7 1 2_ _ _

r r

0 6 2__r_ _

r



r3



r2



0 3

 

r (ditolak) atau r2(diterima) 192

2 6 5 5

6 ar   

u  [D]

25. Diberikan kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P dan Q berturut-turut terletak pada pertengan AB dan BC. Jarak titik D ke bidang irisan kubus dengan bidang HPQ

adalah ….

A. 17 17

8

cm

B. 17 17 18

cm C. 17 cm D. 7 17cm

E. 18 17cm

Solusi:

Perhatikan BSQ BMC

BC BM BQ

BS _

BC BD

BC

BS ₂

1

2

1 

BS BD

4 1



62 62 4

1 _



BS 2

2 3

 cm A B

C D

E _F

G H

P

Q T

U

S M

(15)

2

2 9 2 2 3 2

6  

  BD BS

DS cm

HS DH2DS2

2 2

2 2 9

6 

      

2 81 36



2 9 4 3 

 34

2 3

 cm

Luas HDS  HDDS HSDR

2 1 2

1

DR

HS DS

HD _

DR



34 2 3

2 2 9 6

DR

17 18

17

17 18



DR cm

Jadi, jarak titik D ke bidang irisan kubus dengan bidang HPQ adalah 17 17 18

cm.

26. Diberikan bidang empat D.ABC beraturan, dengan panjang rusuk-rusuknya 9 cm. Nilai sinus sudut antara garis DA dan bidang alas adalah ….

A. 3 3 1

B. 6 2 1

C. 3 9 1

D. 6 3 1

E. 2 3 1

Solusi:

DP

adalah jarak titik puncak

P

dengan bidang alas

ABC

.

Menurut Pythagoras:

2 2 _BQ

AB

AQ  3

2 9 2 9 9

2 2 _ _

     



cm

3 3 3 2 9 3 2 3

2 _ _ _

 AQ

AP

cm

2 2

AP AD

PD   92 

 

3 3 2  543 6

cm





6

3 1 9

6 3 ,

sin   

AD PD ABC

DA



[D]

27. Diberikan segitiga ABC dengan AC150



31



cm, sudut ACB = 45o, dan sudut BAC = 60o. maka AB = ….

A.150 cm

9 9 9

D

C

9/2

P A

9/2

(16)

16 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013 B. 200 cm

C. 250 cm D. 300 cm

E. 450 cm

Solusi:

C A B  

 180

B180604575 Menurut Kaidah Sinus:

C AB B AC

sin sin 

C

B AC

AB sin

sin 







 

 

 sin45

75 sin

1 3 150





 

  

 



 sin45

30 sin 45 cos 30 cos 45 sin

1 3 150





2

2 1

2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1

1 3

150 _

  











6 2



4 1

2 6 75

 

 300cm  [D]

28. Nilai cos pada gambar adalah.... A. 1

B. 7 5

C. 3 2

D. 7 3

E. 7 2

Solusi:

Menurut Aturan Kosinus: h2122 92 2129cos h2225216cos…. (1)

h232 62236cos



180



h2 4536cos …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh: 225216cos 4536cos

252cos180

7 5 252 180

cos    [B]

29. Jumlah akar-akar persamaan cos2x3sinx10, untuk 0x2πadalah…. A.

6

π

18

B. 6 7π 1

C

A B



3 1



150 

60o 45o

9 12 6

3



9 12 6

3



(17)

Jadi, jumlah akar-akar dari persamaan tersebut adalah 6

π

18

. [A]

30. Diketahui

(18)

(19)

2 1 0

2

0 sin 0 sin 0 0 cos 1 lim

0  

    



a a

x 1a0 a1

Jadi, nilai a3 b3 13 13 0.  [A]

Pemeriksaan:

₂

0

cos 1 cos lim

x

x x

x

  



Menurut Teorema Hospital:

₂

0

cos 1 cos lim

x

x x

x

  

 _x

x x x x

x 2

sin sin cos

1 lim

0

 

 

 ₂

cos cos sin

sin lim

0

x x x x x

x

 

  



2 1 2

0 cos 0 cos 0 0 sin 0

sin     _



 (OK)

33. Sebuah kotak dari logam tanpa tutup mempunyai volume 288 liter. Jika panjang alas kotak dua kali lebarnya, maka luas permukaan kotak minimum adalah ….

A. 106 dm2 B. 108 dm2 C. 118 dm2

D. 216 dm2 E. 256 dm2

Solusi:

Volume kotak = 288 288 2xxh

2 144

x h

Luas permukaan kotak: L2xx2xh22xh

L2x2 6xh

2 2 6 144₂

x x x

L  

x x

L2 2 864

' 4 864₂

x x

L 

" 4 1728₃

x L  

Nilai stasioner (titik kritis) dicapai jika L'0, sehingga 4 864₂ 0

x x

x3 2160 _x_3 ₂₁₆ _₁₆

Karena untuk x6, maka 12 0 6

1728 4

"  ₃  

L , maka fungsi L mencapai nilai minimum pada 6

 x .

2x

(20)

(21)

21 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013 D.

6 5

16 satuan luas

E.

37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y2xx2, garis 4

Batas-batas integral:

(22)

22 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Sekolah Utama, 2013 38. Perhatikan data yang disajikan pada histogram berikut ini.

Rata-rata dari data tersebut adalah ….

A. 25 ,1

B. 24 ,5

C. 24 ,1

D. 23 ,5

E. 23 ,1

Solusi:

1 , 24 50 1205_

 



i i i

f x f

x  [C]

39. Bilangan yang terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9 . Banyak bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan kurang dari 600 adalah ….

A. 180 B. 120 C. 90

D. 72 E. 60

Solusi:

Posisi angka pada bilangan tiga angka kurang dari 600.

Bilangan yang terdiri dari tiga angka yang kurang dari 600, angka pertamanya 2, 3, dan 5. Dua angka yang dibelakangnya dipilih dengan menggunakan permutasi.

Jadi, bilangan tiga angka yang diminta adalah 2

6 2 6 2

6P  P  P 36 P2





! 2 6

! 6 3

 

 90

! 4

! 4 5 6

3   

  [C]

9,5 14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 3 7

14 18 8 Frekuensi

Nilai

2 3 5

Titik Tengah

 

xi Frekuensi

 

fi fixi

12 3 36

17 7 119

22 14 308

27 18 486

32 8 256

50



(23)

40. Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk memperoleh jumlah angka kurang dari 7 adalah ….

A. 36

1

B. 9 1

C. 12

7

D. 12

5

E. 2 1

Solusi:

Dadu 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Jumlah titik sampel adalah n(S)36

Angka kurang dari 7 adalah A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)}, sehingga n(A) = 15.

12 5 36 15 ) (

) ( )

(   

S n

A n A