Rekursif Algoritma Struktur data

Rekursif

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu:

 Menjelaskan defnisi rekursif

 Menerapkan rekursif dalam pembuatan

program

 Membedakan rekursif dan iteratif

 Defnisi rekursif  Deklarasi rekursif

 Penggunaan rekursif

 Analisa rekursif dan iterasi

 Method yang memanggil dirinya sendiri  Berguna untuk teknik pemrograman

 Lebih memudahkan pemecahan masalah

tertentu

 Contoh:

Faktorial 0! = 1;

n! = n x (n – 1)!; n > 0

 Memerlukan kondisi penghentian (stopping

condition atau base case)

 Contoh deklarasi rekursif:

public static long factorial(int n) {

if(n==0) // stopping condition / base case

return 1;

else

return n * factorial(n-1); // recursive call

}

 Pemanggilan factorial (diri sendiri)  rekursif  Dipanggil sampai mencapai kondisi n == 0

(stopping condition atau base case)

Penggunaan Rekursif

return 1 return 1 *

factorial(0) return 2 *

factorial(1) return 3 *

factorial(2) return 4 * factorial(3)

factorial(4)

Step 0: executes factorial(4)

Step 1: executes factorial(3)

Step 2: executes factorial(2)

Step 3: executes factorial(1)

Step 4: executes factorial(0)

Step 5: return 1

Step 6: return 1

Step 7: return 2

Step 8: return 6

 Faktorial lebih baik menggunakan loop

int hasil = 1;

if(bil>1) {

for(int i=2; i<=bil; i++) hasil *= i;

}

 Faktorial baik dalam merepresentasikan

rekursif

Penggunaan Rekursif



Fibonacci:



Dimulai dari 0 dan 1



Bilangan berikutnya penjumlahan dari 2

bilangan sebelumnya



fb(0) = 0

fb(1) = 1

fb(index) = fb(index – 2) x fb(index – 1);

index > =2

Inde

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

1

1

Seri 0 1 1 2 3 5 8 1

 Palindrom: kata, frasa, bilangan, atau

kalimat yang dibaca sama dari 2 arah pembacaan

 Contoh: ◦ Civic

◦ Level

◦ Rotator

◦ Was it a rat I saw

◦ 58285

◦ 20-02-2002

 Method isPalindrome pertama mengecek

apakah string tersebut palindrom

 Method isPalindrome kedua mengecek

apakah substring tersebut palindrom

 Teknik mendeklarasikan method bantuan

untuk rekursif  recursive helper method

 Berguna untuk string dan array

 Rekursif:

◦ Bentuk alternatif kontrol program

◦ Repetisi tanpa loop

◦ Memanggil methodnya sendiri

◦ Memerlukan pernyataan seleksi (if) untuk base case/stopping condition ◦ Memerlukan memori lebih banyak

◦ Waktu eksekusi lebih lambat

◦ Terkadang lebih jelas, sederhana dibandingkan iteratif

 Iteratif:

◦ Merupakan struktur kontrol (fundamental dari bahasa pemrograman)

◦ Spesifkasi loop body

◦ Dikontrol oleh loop-control-structure

◦ Memori lebih sedikit dan waktu proses lebih cepat

 Permasalahan yang dapat diselesaikan oleh

rekursif pasti bisa diselesaikan oleh iteratif

 Infnite recursion (rekursif tak terhingga)

terjadi jika tidak ada stopping condition atau

base case

 Contoh pada Faktorial

public static long factorial(int n) {

return n * factorial(n-1); // recursive call

}

 Menyebabkan StackOverfowError  Solusi

if(n==0) // stopping condition / base case

return 1;

 Tower of Hanoi: contoh rekursif klasik

 Mudah diselesaikan dengan rekursif

 Terdapat 3 menara (tower) dan beberapa

cakram (disk) dengan ukuran berbeda

 Disk atas harus lebih besar daripada disk

bawah

 Semua disk berawal dari tower pertama

 Hanya 1 disk yang boleh dipindahkan dalam

sekali waktu

 Semua disk harus dipindahkan ke tower akhir

Fungsi Rekursif

(Berulang)

Defnisi

 Recursive = Berulang  Recursive function =

fungsi rekirsif =

fungsi yang berulang

 di dalam fungsi

tersebut dia

 Fungsi rekursif:

Di dalamnya terdapat pernyataan yang memanggil dirinya sendiri.

 Berguna untuk memecahkan masalah yang dapat

didefnisikan secara rekursif pula.

 n faktorial atau n! = n * n-1 * n-2 * …. * 3 * 2 * 1,

dan didefniskan bahwa 0! = 1

 Contoh:

 3! = 3 * 2 * 1

 4! = 4 * 3 * 2 * 1  4! = 4 * 3!

 n! = n * (n-1)!

25

Faktorial (n) atau n! didefnisikan sebagai berikut :

jika n = 0, n! = 1

jika n > 0, n! = n * (n-1)!

4! = 4 * 3! 3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1* 0! 0! = 1

4! = 4*3! = 4*3*2! = 4*3*2*1! = 4*3*2*1 = 24

// iteratif dekremental

long faktorialIteratifDec(long n) mulai

long i, faktorial = 1; for(i=n; i>=1; i--) faktorial *= i; return faktorial; selesai

tutup

4! = 1*2*3*4 = 24

// iteratif inkremental

long faktorialIteratifInc(long n){ mulai

long i, faktorial = 1; for(i=1; i<=n; i++) faktorial *= i; return faktorial; selesai

tutup

27

 Contoh perhitungan 5 faktorial

28

5!

(5 * 4!)

(5 * (4 *3!))

(5 * (4 * (3 * 2!)))

(5 * (4 * (3 * (2 * 1!))))

(5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 0!))))) (5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1))))) (5 * (4 * (3 * (2 * 1))))

(5 * (4 * (3 * 2))) (5 * (4 * 6 ))

(5 * 24) 120

 Fungsi rekursif mempunyai dua komponen

yaitu:

◦ Base case:

Mengembalikan nilai tanpa melakukan pemanggilan rekursi berikutnya.

Rekursi berakhir jika base case dijumpai/dipenuhi

◦ Recursion call / Reduction step:

Memanggil fungsi rekursif di dalam fungsi rekursif di atas Menghubungkan sebuah fungsi rekursif dengan fungsi rekursif di dalamnya

Biasanya memiliki keyword return untuk

mengembalikan nilai ke fungsi yang memanggilnya

29

 Fungsi faktorial ◦ Base case: n = 0

◦ Reduction step: f(n) = n * f(n-1)

// rekursif

long faktorialRekursif(long n) mulai

if(n==0)

return (1); else

return(n * faktorialRekursif(n-1)); selesai

tutup

30

 Contoh:

31

• _{Faktorial - Rekursif}

long faktorial(long n) mulai if(n==0) return (1); else return(n*faktorial(n-1)); selesai tutup

• _{Faktorial - Rekursif}

long faktorial(long n) mulai if(n==0) return (1); else return(n*faktorial(n-1)); selesai tutup

• _{Faktorial - Iteratif} // dekremental

long faktorial(long n) mulai

long i, faktorial = 1; for(i=n; i>=1; i--) faktorial *= i; return faktorial; selesai

tutup

• _{Faktorial - Iteratif}

// dekremental

long faktorial(long n) mulai

long i, faktorial = 1; for(i=n; i>=1; i--) faktorial *= i; return faktorial; selesai

tutup

32

Rekursif

Pengulangan dengan struktur seleksi (if-else) dan

pemanggilan fungsi (dirinya sendiri) -> rekursi

Pengulangan berhenti saat base case dijumpai/dipenuhi

(konvergen terhadap base case)

Pengulangan tanpa henti jika

base case tidak pernah

dijumpai/dipenuhi (tidak konvergen terhadap base case)

Biaya proses lebih tinggi dengan pemanggilan banyak fungsi (butuh memori lebih besar & kerja prosesor lebih tinggi) Terbaca lebih jelas, model lebih

dekat dengan masalah

(contoh: faktorial, fbonacci)

Rekursif

Pengulangan dengan struktur seleksi (if-else) dan

pemanggilan fungsi (dirinya sendiri) -> rekursi

Pengulangan berhenti saat base case dijumpai/dipenuhi

(konvergen terhadap base case)

Pengulangan tanpa henti jika

base case tidak pernah

dijumpai/dipenuhi (tidak konvergen terhadap base case)

Biaya proses lebih tinggi dengan pemanggilan banyak fungsi (butuh memori lebih besar & kerja prosesor lebih tinggi) Terbaca lebih jelas, model lebih

dekat dengan masalah

(contoh: faktorial, fbonacci)

Iteratif

Pengulangan dengan struktur repetisi (for/while)

Pengulangan berhenti saat

kondisi pengulangan bernilai salah (false)

Pengulangan tanpa henti jika kondisi pengulangan selalu benar

Biaya proses lebih rendah

(kebutuhan memori lebih kecil & kerja prosesor lebih rendah) karena proses pengulangan berada dalam satu fungsi Terbaca kurang jelas, model

kurang dekat dengan masalah (contoh: faktorial, fbonacci)

Iteratif

Pengulangan dengan struktur repetisi (for/while)

Pengulangan berhenti saat

kondisi pengulangan bernilai salah (false)

Pengulangan tanpa henti jika kondisi pengulangan selalu benar

Biaya proses lebih rendah

(kebutuhan memori lebih kecil & kerja prosesor lebih rendah) karena proses pengulangan berada dalam satu fungsi Terbaca kurang jelas, model

kurang dekat dengan masalah (contoh: faktorial, fbonacci)

 Meskipun penulisan program dengan cara

rekursif bisa lebih jelas dan pendek, namun fungsi rekursif memerlukan :

◦ Memori yang lebih banyak untuk mengaktifkan

stack (memori yang digunakan untuk

pemanggilan fungsi).

◦ Waktu lebih lama untuk menjejaki setiap rekursi melalui stack.

33

Apakah stack ?

 Secara umum, hanya jika :

◦ Penyelesaian sulit dilaksanakan secara iteratif

◦ Efsiensi dengan cara rekursif masih memadai

◦ Efsiensi bukan masalah dibandingkan dengan kejelasan logika program

◦ Tidak mempertimbangkan faktor penghematan memori dan kecepatan eksekusi program

Kecepatan kerja dan penghematan memori (iteratif)

VS

Perancangan logika yang baik (rekursif)

34

 Urutan bilangan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

disebut bilangan Fibonacci.

 Hubungan antara satu angka dengan angka

berikutnya didefnisikan secara rekursif sebagai berikut :

◦ Fib(n) = n, jika n = 0 atau 1

◦ Fib(n) = Fib(n-2) x Fib(n-1) , jika n >= 2

35

 Misalkan jika ditanya berapa suku ke-4 dari

barisan fbonachi?

 n = 4

fbo(4) =

= fbo(3) x fbo(2)

= (fbo(2) x fbo(1)) x (fbo(1) x fbo(0))

= ((fbo(1) x fbo(0)) x 1) x (1 x 0)

= ((1 x 0) x 1) x 1

= (1 x 1) x 1

= 2 x 1

37 int Fib(int n)

mulai int f; if(n==0)

f = 0;

else if(n==1) f = 1;

else

f = Fib(n-2) + Fib(n-1); return f;

selesai tutup

int Fib(int n) mulai

int f; if(n==0)

f = 0;

else if(n==1) f = 1;

else

f = Fib(n-2) + Fib(n-1); return f;

selesai tutup

Fungsi fb() di atas ditulis secara rekursif dan disebut sebagai slow_Fib()

Tulislah fast_Fib() jika menggunakan iterasi.

Fungsi fb() di atas ditulis secara rekursif dan disebut sebagai slow_Fib()

Tulislah fast_Fib() jika menggunakan iterasi.

 Contoh : Skema fbonacci jika N=4

38

FIB (4)

FIB (3) FIB (2)

FIB (2) FIB (1) FIB (1) FIB (0)

FIB (1) FIB (0)

Bilangan Fibonacci

+

+

+

Latihan

 Implementasikan algoritma rekursi untuk

 #include <iostream>

 using namespace std;

 long rekursifaktorial(int f)

 { 

     if (f == 0)

         return 1;

     else

         return f * rekursifaktorial(f - 1);

 }

 int main()

 {

     int x;

  

     int n = 4;

  

     cout << n << "! = "<< rekursifaktorial(n) << endl;

Recursif faktorial C++

 n = 9;

 cout << n << "! = “ << rekursifaktorial(n) << endl;  cout<<"Masukan Angka yang akan difaktorialkan : ";  cin>>x;

 cout << x <<"! = " << rekursifaktorial(x) <<endl;   

 Introduction to Java Programming. 7ed. Liang. 2009. ch 20

 Java Software Solutions. 5ed. Lewis & Loftus. 2007. ch 11

 Fibonacci.

http://en.literateprograms.org/Fibonacci_numbers _(Java)

 Palindrome.

http://en.wikipedia.org/wiki/Palindrome  Towers of Hanoi.

◦ http://www.codeproject.com/KB/graphics/Towers_of_Hanoi/Towers_of_Ha noi.jpg

◦ http://www.codeproject.com/KB/graphics/Towers_of_Hanoi.aspx

◦ http://www.java2s.com/Tutorial/Java/0100__Class-Defnition/TheTowersof Hanoi.htm

◦ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Java/Hanoi/index.html

Ada kalanya kita mengalami kesulitan

untuk mendefnisikan suatu obyek secara

eksplisit

.

Mungkin lebih mudah untuk

mendefnisikan obyek tersebut dengan

menggunakan dirinya sendiri. Ini

dinamakan sebagai

proses rekursif

.

Kita dapat mendefnikan

barisan

,

fungsi

Contoh:

Barisan bilangan pangkat dari 2

a_n = 2n untuk n = 0, 1, 2, … .

Barisan ini dapat didefnisikan secara rekursif: a₀ = 1

a_nx1 = 2a_n untuk n = 0, 1, 2, …

Langkah-langkah untuk mendefnisikan barisan secara rekursif:

1. Langkah basis: Spesifkasi anggota awal.

2. Langkah rekursif: Berikan aturan untuk membangun

anggota baru dari anggota yang telah ada.

Berikan defnisi rekursif dari a_n=rn, dengan rN, r≠0 dan n bilangan bulat positif.

Solusi:

Defnisikan a₀=r0=1 dan a_nx1=r . a

n untuk n = 0, 1, 2, …

Contoh barisan yang

didefnisikan

Langkah-langkah untuk mendefnisikan

fungsi dengan domain

bilangan cacah

:

1.

Langkah basis

: Defnisikan nilai fungsi

pada saat nol.

2.

Langkah rekursif

: Berikan aturan untuk

mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan

bulat berdasarkan nilai fungsi pada

bilangan bulat yang lebih kecil.

Defnisi seperti itu disebut

rekursif

atau

defnisi induktif

.

f(0) = 3

f(n x 1) = 2f(n) x 3 Maka

f(0) = 3

f(1) = 2f(0) x 3 = 23 x 3 = 9 f(2) = 2f(1) x 3 = 29 x 3 = 21 f(3) = 2f(2) x 3 = 221 x 3 = 45 f(4) = 2f(3) x 3 = 245 x 3 = 93

Contoh fungsi yang

didefnisikan

Bagaimana kita dapat mendefnisikan

fungsi faktorial f(n) = n! secara rekursif?

f(0) = 1

Karena (nx1)! = n! (nx1) maka

f(n x 1) = (n x 1)f(n)

f(0) = 1

f(1) = 1 f(0) = 1



1 = 1

f(2) = 2 f(1) = 2



1 = 2

f(3) = 3 f(2) = 3



2 = 6

f(4) = 4 f(3) = 4



6 = 24

Contoh fungsi yang

didefnisikan

Contoh fungsi yang

didefnisikan

secara rekursif (3)

f

₀

= 0, f

₁

= 1

f

_n

= f

_n-1

x f

_n-2

, n=2,3,4,…

Contoh terkenal: Bilangan

Fibonacci

f₀= 0 f₁= 1

f₂= f₁x f₀= 1 x 0 = 1 f₃= f₂x f₁= 1 x 1 = 2 f₄= f₃x f₂= 2 x 1 = 3 f₅= f₄x f₃= 3 x 2 = 5 f₆= f₅x f₄= 5 x 3 = 8

Tunjukkan bahwa untuk n



3,

Langkah-langkah dalam mendefnisikan suatu himpunan secara rekursif:

1. Langkah basis:

Spesifkasi koleksi awal dari anggota

2. Langkah rekursif:

Mendefnisikan aturan konstruksi anggota baru dari anggota yang telah diketahui

Himpunan yang

Misalkan S didefnisikan secara rekursif oleh: 3  S

(xxy)  S jika x  S dan y  S

Maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3.

Bukti:

Misalkan A himpunan yang beranggotakan semua bilangan bulat positif yang habis dibagi 3.

Untuk membuktikan bahwa A = S, harus ditunjukkan A  S and S  A.

Bagian I: Akan dibuktikan A  S, yaitu menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S (dengan menggunakan induksi matematika).

Contoh himpunan yang

Misalkan P(n): proposisi “3n anggota S”.

1. Langkah basis: P(1) benar, karena 3  S. 2. Langkah induktif:

Asumsikan P(k) benar, yaitu 3k  S.

Akan ditunjukkan P(kx1) juga benar, yaitu

3(kx1)  S

Karena 3k  S dan 3  S, berdasarkan

defnisi rekursif dari S, 3kx3 = 3(kx1) juga ada di S.

3. Konklusi:

Jadi, setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S.

Kesimpulan dari bagian I adalah A  S.

Contoh himpunan yang

Bagian II: Akan ditunjukkan S  A dengan menggunakan defnisi rekursif dari S.

Langkah basis:

Akan ditunjukkan setiap anggota awal S ada di A. Karena 3 habis dibagi 3 maka 3  A.

Langkah rekursif:

Akan ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang dibangun dengan mengunakan langkah rekursif juga merupakan

anggota A, yaitu

(xxy)  A jika x,y  S (yang diasumsikan  A).

Jika x dan y keduanya di A, maka 3 | x dan 3 | y. Akibatnya, 3 | (x x y).

Kesimpulan dari bagian II adalah S  A. Jadi, secara keseluruhan, berlaku A = S.

Contoh himpunan yang

Dalam membuktikan hasil-hasil yang berkaitan dengan himpunan yang didefnisikan secara rekursif, akan lebih mudah apabila digunakan suatu bentuk induksi matematika yang disebut

induksi struktural.

Langkah-langkah dalam induksi struktural:

1. Langkah basis:

Menunjukkan bahwa hasil yang akan dibuktikan berlaku untuk semua anggota awal.

2. Langkah rekursif:

Menunjukkan bahwa jika hasil yang akan

dibuktikan berlaku untuk anggota-anggota yang digunakan untuk membangun anggota baru,

maka hasil tersebut juga berlaku untuk anggota yang baru dibangun.

Himpunan string * atas alfabet  dapat didefnisikan secara

rekursif oleh:

1. Langkah basis:

  * ( adalah string kosong yang tidak memuat simbol)

2. Langkah rekursif:

Jika w  * dan x   , maka wx  *

Himpunan string atas

alfabet

Contoh:

Jika  = {0,1} maka string yang merupakan anggota *

adalah:

• yang didefinisikan sebagai anggota _* dalam langkah basis,

• 0 dan 1 yang dibentuk dalam langkah rekursif pertama,

• 00, 01, 10, dan 11 yang dibentuk dalam langkah rekursif

kedua,

Konkatenasi

Sebagai operasi kombinasi dari dua string,

konkatenasi didefnisikan secara rekursif sebagai:

1. Langkah basis:

Jika w *, maka w.  = w, dengan  string

kosong

2. Langkah rekursif:

Jika w₁  * dan w₂  * dan x  , maka

w₁ . (w₂ x) = (w₁ . w₂) x

Himpunan string atas alfabet

(2)

w₁ . w₂seringkali ditulis sebagaiw₁ w₂

Contoh:

Konkatenasi dari w₁ = meng dan w₂ = apa adalah

Panjang string

Panjang dari string

w

, l (

w

) dapat

didefnisikan secara rekursif oleh:

l () = 0,

l (w x) = l (w) x 1 jika w  * dan x  .

Himpunan string atas alfabet

(3)

Gunakan induksi struktural untuk

membuktikan bahwa

Induksi matematika dapat diperluas untuk

membuktikan hasil-hasil mengenai himpunan yang memiliki sifat terurut dengan baik.

Contoh: himpunan N x N

Contoh perluasan induksi

Misalkan didefnisikan secara rekursif untuk (m,n) N x N oleh

dan

Tunjukkan bahwa

untuk setiap

(m,n)



N x N.

n m

a

_,

0

0 , 0



a



















 

0

jika

,

0

dan

0

jika

,

1

1 , , 1

,

a

n

n

m

n

a

a

n m n m n m

2

/

)

1

(

,



m



n

n



 Proses yang memanggil dirinya sendiri.  Merupakan suatu fungsi atau prosedur  Terdapat suatu kondisi untuk berhenti.

Faktorial



Konsep Faktorial

n! = n(n-1)(n-2)…1



Dapat diselesaikan

dengan

 Int Faktorial(int n)  {

 if (n<0) return -1 ;  else if (n>1)

 {

 S = 1 ;

 for(i=2 ;i<=n;ixx) S = S * n ;  return S ;

 }

 else return 1 ;  }

 Int Faktorial(int n)  {

if (n<0) return -1

else if (n>1) Return (n*Faktorial(n-1))

Else Return 1 ;

 }



Leonardo Fibonacci berasal dari Italia

1170-1250



Deret Fibonacci f

₁

, f

₂

,… didefinisikan secara

rekursif sebagai berikut :

f

1

= 1

f

2

= 2

f

n

= f

n-1

+ f

n-2

for n > 3



Deret: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,

377, 610, 987, 1597,…



procedure

fab

(n)





if n=1 then

return 1





if n=2 then

return 2



return (

fab

(n-1) x

fab

(n-2))



end

 Jika pernyataan terakhir yang akan

dieksekusi berada dalam tubuh fungsi

 Hasil yang kembali pada fungsi tsb

bukanlah bagian dari fungsi tersebut.

 Tidak memiliki aktivitas selama fase balik.

Rekursif Tail : Faktorial()

F(4,1) = F(3,4) Fase awal F(3,4) = F(2,12)

F(2,12) = F(1,24)

F(1,24) = 24 Kondisi Terminal

 Algoritma BinRec(n)

◦ //input : Bilangan desimal integer positif n

◦ //output : Jumlah digit biner yang dinyatakan dengan n

If (n=1) return 1

Else return BinRec( n/2 ) x 1