KONSEP DASAR SISTEM DAN MODEL

KONSEP DASAR SISTEM DAN MODEL

Sistem, Keadaan, Model

model

Permasalahan Dunia Industri

Mendapatkan pemahaman adanya suatu fenomena baru misalnya

jumlah produk jadi di dalam gudang dari tahun ke tahun cenderung

mengalami peningkatan

Mengetahui response perilaku sistem, misalnya seberapa besar load

faktor pabrik atau utilisasi sumber dayanya

Optimasi performansi untuk meningkatkan profit perusahaan,

misalnya apakah kapasitas produksi masih bisa ditingkatkan dengan

sumber daya yang dimiliki.

Peran Matematik Dalam Problem Solving

A.

Semakin majunya teknologi komputer

B.

Semakin berkembangnya metodologi komputasi

C.

Digunakannya pendekatan sistem dalam problem solving

Peran Matematik

•

Dimulai dengan formulasi masalah,

•

Membangun model matematik,

•

Analisis terhadap model matematik yang sudah

dibangun tersebut

•

Dan interpretasi hasil analisis untuk

Pemodelan Matematik

•

Interpretasi dan Representasi Proses Dunia Nyata ke

dalam simbol-simbol abstrak

•

Simbol abstrak yg membentuk formulasi matematik ini

disebut model matematik

•

Formulasi matematik dipandang sebagai dummy

Validitas Model

•

Permasalahan validitas dari solusi yang

diperoleh kemudian muncul dan ini berkaitan

dengan model matematik yang sudah dibangun

tersebut.

•

Sehingga dalam realitanya, model matematik

Membangun Model Yang Valid

KREATIVITAS

SKILL

TEORI

MATEMATIK

SISTEM

DUNIA

NYATA

MODEL

PENDEKATAN SISTEM



Aktivitas problem solving baik menggunakan

matematik atau tidak, dimulai dari

mendefinisikan masalah yang ada.



Problem dipandang sebagai sesuatu yang

“embodied” di dalam system



Karakteristik sistem yang terkait dengan problem

IDENTIFIKASI MASALAH

KARAKTERISASI SISTEM

FORMULASI MODEL

ANALISIS MODEL

ESTIMASI PARAMETER

VALIDASI MODEL METODOLOGI :

SIMULASI

IDENTIFIKASI MASALAH

•

Permasalahan yang akan dipecahkan harus

didefinisikan dengan jelas sebelum pemodelan

matematik dimulai.

•

Pendefinisan masalah yang diambil dari dunia

nyata ini dilakukan dengan mendeskripsikan

konteks permasalahan yang ada dan

menyatakannya tetap dalam konteks tersebut.

Contoh : Identifikasi Masalah

Topik

Deskripsi

Problem

Alloy

selection

Sebuah pabrik akan

memproduksi logam campuran dengan sifat thermal terbaik dari bahan & metoda tertentu

Menentukan metoda fabrikasi dan asal bahan tambang yang dapat memberikan sifat thermal terbaik

Optimal

production

PT.X memproses susu segar menjadi susu krim, yoghurt dan keju.

Menentukan kombinasi produk yang memaksimalkan profit

World

population

Pertumbuhan penduduk

merupakan faktor penting dalam peningkatan produksi dan

konsumsi makanan

Estimasi jumlah populasi

berdasarkan data populasi yang lalu

Weather

changes

Kolam renang dirancang agar temperatur tetap 27 C. Energi panas berasal dari matahari dan pemanas buatan

Thermal power stations

Produksi listrik dg membakar batubara, menghasilkan uap utk menggerakan turbin-generator

Kapan dibangun, berapa kapasitasnya, untuk base load atau load following

Component Reliabilty

Sistem kompleks terdiri dari

banyak komponen. Berdasarkan data operasi komponen, lama operasi komponen sebelum gagal bersifat tak pasti

Berapa lama mesin agar tetap operasional dengan n suku cadang komponen yang dimiliki?

Berapa kali penggantian komponen dibutuhkan agar mesin tetap bekerja?

Supermarket Operation

Supermarket yang besar memiliki banyak counter. Sedikit counter menimbulkan antrean yg

panjang, banyak counter mengurangi profit

Berapa jumlah counter yang optimal yang harus dimiliki supermarket tersebut?

Demand for soft sdrink

Perusahaan soft drink berfikir untk mengembangkan kapasitas pabriknya untuk mengantisiasi peningkatan permintaan ke depan

Bagaimana perusahaan mendapatkan estimasi

KARAKTERISASI SISTEM



Untuk mendapatkan deskripsi yang benar tentang

sistem yang ditinjau.



Tidak semua “features” dalam proses dunia nyata

punya relevansi dengan problem atau solusinya.



Karakterisasi berarti juga deskripsi parsial suatu

Konsep Karakterisasi

Real world Problem

Goal for

study

Total system description

Simplification

KONSEP DASAR KARAKTERISASI SISTEM



Memahami sistem, elemen-elemen atau objeknya, variable dan

parameter, input dan outputnya.



Sebagian besar sistem bersifat terbuka yaitu berinteraksi dengan objek

diluar sistem



Banyaknya elemen atau objek dan interaksi antar objek akan

menentukan kompeksitas dalam pemodelan.



Jika struktur internal sistem tidak dapat diketahui (tidak transparan)

maka digunakan pendekatan black box



Pendekatan statik terhadap sistem yang dinamik adalah masalah

penentuan periode atau time scale.



Jika pendekatan continuous terlalu detail maka dilakukan pendekatan

diskrit

Sistem, variable, parameter

Thermal

power station

3 objek utama : boiler, turbin, generator

Variable dan parameter

diturunkan dr pers heat transfer, mekanika fluida, listrik dll

Supermarket 3 objek : customer, counter, product

Jml customer di dalam toko, yang antree dan jml barang yg dibeli Parameter : harga produk, jmlh counter

Keandalan komponen

Single objek Variable : state dr komponen : bekerja/gagal, umur komponen

• Sistem : kumpulan objek-objek yang saling berinteraksi dan mengarah ke suatu tujuan tertentu.

• Setiap objek mempunyai karakteristik (attributes) tertentu.

• Atributes intrinsik disebut parameter

Sistem Terbuka dan Tertutup

Sistem terbuka jika objek di dalam sistem berinteraksi dengan objek di luar sistem. Sebaliknya disebut sistem tertutup.

Thermal power plant

Sistem terbuka jika asal batubara dianggap objek di luar system yang

mempengaruhi sistem. Jaringan PLN dianggap objek lain yg dipengaruhi oleh sistem

Sistem Tambang

batubara Jaringan PLN

Permintaan Soft drink

Jika satu-satunya variabel yaitu permintaan ke depan hanya dikaitkan dengan permintaan yg lalu, sistem menjadi tertutup. Jika dikaitkan dengan perubahan populasi, cuaca dan promosi, sistem terbuka.

Sistem

Populasi

Cuaca

Promosi

INTERAKSI ANTAR OBJEK

Interaksi antar objek digambarkan melalui suatu garis yg menghubungkan variable-variable objek yang berinteraksi. Hubungan ini menjelaskan suatu interaksi sebab-akibat yg dikenal dg “causal relationship”

Causal relationship dapat diindikasikan dengan menggunakan graph-theoric display atau tabel matriks.

Iklan Promosi

Penjualan

Profit Iklan

iklan penjualan profit

iklan

WHITE BOX VS BLACK BOX

Sistem terbuka tetapi struktur dalam sistem tersebut tidak diketahui, maka deskripsi ini disebut black box.

Sebaliknya jika dapat digambarkan objek-objek di dalam sistem dan atribute-atributnya disebut deskripsi white box.

Keandalan komponen

Pertama, karakterisasi sederhana dengan hanya 1 variable yg hanya punyai 2 nilai yaitu 1jika bekerja dan 0 jika gagal. Kedua, jika mekanisme kegagalan yaitu crack propagation bisa digambarkan, maka kita punyai deskripsi yg lebih rinci.

Pertumbuhan penduduk

FORMULASI MODEL

Jenis Sistem

•

Statik

•

Dinamik

•

Determisintik

•

Stokastik

•

Diskrit

•

Kontinyu

Model Manufaktur

•

Model Antrean

STATIC VS DYNAMIC

Jika waktu tidak berperan sehingga semua variabel juga independen terhadap waktu, maka sistem adalah statik.

Sebaliknya jika waktu berperan sehingga variabel nilainya berubah dg waktu, maka kita mempunyai sistem dinamik.

Alloy Selection

Jika problem ini digambarkan sebagai sistem lup tertutup dg 3 variabel yaitu A koeffisien thermal, B metoda produksi dan C suplier

C

A B

Rocket launch

Continuous vs discrete

Jika variabel dalam sistem perlu digambarkan pada “all time instants” (Continuous) atau hanya pada “relevant time instants” (discrete)

Memilih continuous atau discrete tergantung banyak aspek dalam pemodelan.

Jika “continuous” terlalu detail, bisa digunakan skala waktu “discrete”

Permintaan soft drink

Jika tertarik pada interval permintaan mingguan, maka varibel yang menggambarkan sistem berubah mingguan. Unsur waktu diperlakukan sebagai discrete.

Polusi Sungai

Level konsentrasi zat pencemar di sungai pada lokasi tertentu berubah secara kontinyu dengan waktu, sehingga digunakan pendekatan

Deterministik Vs Stokastik

• Deterministik: Jika nilai variabel (sistem statik) atau perubahan nilainya (sistem dinamik) bersifat predictable dengan kepastian.

•Stokastik: Jika nilai atau perubahan nilai variabelnya random dan

unpredictable.

Keandalan komponen

Data waktu kegagalan komponen sebuah mesin menunjukkan adanya variabilitas yang besar (37 s/d 415 jam) sehingga sistem tersebut

stokastik

Peluncuran Roket

Model Stokastik (Probabilistik)

•

Mengandung unsur acak atau distribusi peluang

sehingga tidak hanya membuat penaksiran

keluaran yang definitif tetapi juga disertai

dengan deviasi (variance).

•

Semakin besar ketidakpastian akan tingkah laku

Cont’

•

Tingkah laku sistem dapat menjadi deterministik apabila kuantitas

besar dilibatkan artinya variasi yang sangat kecil tidak begitu

berarti dalam taksiran yang dihasilkan model.

•

Kasus epidemiologi , dinamika populasi, pengendalian populasi

terkadang didekati dengan model stokastik.

Proses Acak

Kelahiran

Kematian

MODEL ANTRIAN

• Pada prinsipnya sistem-sistem manufaktur, pergudangan, transportasi, pelayanan publik , seperti rumah sakit, kantor pos dan bank mempunyai bentuk model sistem antrean.

• Analisis antrian merupakan bentuk analisis probabilitas, bukan teknik penentuan yang digunakan untuk mengambil keputusan dalam suatu operasi yang

mengandung masalah antrian.

• Ada sejumlah model antrian yang berbeda yang dapat digunakan, akan tetapi

bentuk yang paling umum adalah system pelayanan tunggal (single server system) dan system pelayanan ganda (multiple server system)

Pergi

Customer

datang Antree dilayani

PENDEKATAN MARKOV

•

N(t) yaitu jumlah customer di dalam sistem bersifat random dan memiliki

distribusi probabilitas

•

Probabilitas jumlah customer N(t)=n dimana n= 0, 1, 2, …n,….,∞ adalah

p

_n

(t)

•

Jumlah keseluruhan probabilitas adalah satu

•

Probabilitas pada waktu yang akan datang , p

_n

(t+1), dapat diprediksikan

sebagai fungsi p

_n

(t) melalui matriks transisi P

_T

dimana berlaku p

_n

(t+1)= P

_T

p

_n

(t)

•

Pada t menuju ∞, diharapkan terjadi kondisi

steady-state

dimana

PENDEKATAN MARKOV

•

Asumsi yang digunakan dalam perumusan

matematik adalah :

▫

Populasi pelanggan tidak terbatas

▫

Disiplin antrian

first come first served

▫

Tingkat kedatangan terdistribusi poisson

DISCRETE EVENT MODEL

•

Model kejadian diskrit (discrete-event model) menggunkan

pendekatan yang sangat berbeda dengan pendekatan Markov

•

Beberapa asumsi yang digunakan:

▫ Secara umum sistem dimodelkan secara dinamik, diskrit, dan probabilistik

▫ Pada t=0, tidak ada pelanggan di dalam sistem

▫ Kedatangan pelanggan pertama pada t=X₁, dan jarak antar kedatangan pelanggan berikutnya X₂, X₃ dan seterusnya sehingga waktu kedatangan pelanggan kedua t=X₁+X_2, pelanggan ke-3 adalah t=X₁+X₂+X₃ dan

seterusnya

▫ Waktu antar kedatangan diasumsikan adalah independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi probabilitas tertentu

▫ Lama pelayanan untuk pelanggan pertama, kedua dan seterusnya juga bersiat independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi

DISCRETE EVENT MODEL

•

Variable dan parameter yang digunakan

dalam pendekatan diskrit ini adalah

▫

Variabel: status server (sibuk atau nganggur),

jumlah customer antree, dan waktu kedatangan.

▫

Kejadian (e): suatu peristiwa yang dapat

mengubah variable sistem antrean yaitu

kedatangan customer (t

_i

) dan kepergian customer

(C

_i

)

▫

Aktivitas: lama enititas (customer) diproses atau

dilayani

e₀ e₁ e₃ e4 e5

e₆

MODEL INVENTORY

•

Model Analitik

.

.

Order Placed Q

Q I_i

s

MODEL INVENTORY

•

Model Simulasi

S

s

2 3

1

Place an order Order arrives

S–I (1) I-_(t)

I(t) I+_(t)

I-_(t)

T Ai

VALIDASI MODEL

•

Validasi adalah proses menguji kecukupan

(adequacy) dari model matematis yang diberikan

•

Validasi model simulasi dilakukan dengan

mengevaluasi response dari sistem model tersebut

y

m

_{(t) dibandingkan dengan response sistem actual}

y

s

_{(t) terhadap sejumlah data masukan, x}

s

_(t)

•

Dalam pendekatan ini, validitas sebuah model diuji

dengan sebuah tes yang mengevaluasi persesuaian

antara model dan perilaku sistem, yaitu error atau

deviasi e(t)= y

s

_{(t) - y}

m

_(t)

•

Untuk pendekatan ini, asumsi-asumsi yang dibuat

Validasi Model

SISTEM NYATA

MODEL SISTEM xm

(t)

ys_(t)

ym_(t)

e(t)