Matematika u geodezij

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(x2, y2)❥❡

d=p(x2−x1)2+ (y2−y1)2

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❙❧✐❦❛ ✸✿ ❙❢❡r♥✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠

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P♦st♦❥✐ ♥❡❦♦❧✐❦♦ r❛③❧✐↔✐t✐❤ ❦♦♥✈❡♥❝✐❥❛ ③❛ ♣r❡❞st❛✈❧❥❛♥❥❡ ♦✈❡ tr✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ❯ ❙❥❡❞✐♥❥❡♥✐♠ ❆♠❡r✐↔❦✐♠ ❉r➸❛✈❛♠❛ s❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦❜✐↔♥♦ ♦③♥❛↔❛✈❛❥✉ s❛ (ρ, φ, θ) ③❛ r❛❞✐❥❛❧♥✉ ❞✐st❛♥❝✉✱

③❡♥✐t ✐ ❛③✐♠✉t✳ ❯ ❞r✉❣✐♠ ❦r❛❥❡✈✐♠❛ s✈✐❥❡t❛ s✉ ③❡♥✐t ✐ ❛③✐♠✉t ③❛♠✐❥❡♥❥❡♥✐✱ ✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ s✉

(ρ, θ, φ)✳ Pr✈✐ ♥❛↔✐♥ ✐♠❛ ♣r❡❞♥♦st ❞❛ ❥❡ s❧✐↔♥✐❥✐ ❞✈♦❞✐♠❡♥③✐♦♥♦♠ ♣♦❧❛r♥♦♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠

s✐st❡♠✉ ✐ tr♦❞✐♠❡♥③✐♦♥♦♠ ❝✐❧✐♥❞r✐↔♥♦♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠ s✐st❡♠✉✱ ❛ ❞r✉❣✐ ♥❛↔✐♥ ❥❡ ❣❡♦❣r❛❢s❦✐ r❛➨✐r❡♥✐❥✐✳ ❉r✉❣❡ ♥♦t❛❝✐❥❡ ❦♦r✐st❡ r③❛ r❛❞✐❥❛❧♥✉ r❛③❞❛❧❥✐♥✉✳ ❏❛ ➣✉ ♦✈❞✐❥❡ ❦♦r✐st✐t✐ ❛♠❡r✐↔❦✉

♥♦t❛❝✐❥✉✳

✷✳✷✳✷ ❉❡✜♥✐❝✐❥❛

❚r✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ (ρ, φ, θ) s✉ ❞❡✜♥✐s❛♥❡ ❦❛♦✿

• ρ_≥0 ❥❡ r❛③❞❛❧❥✐♥❛ ♦❞ ♥✉❧t❡ t❛↔❦❡ ❞♦ ❞❛t❡ t❛↔❦❡ P✳

• 0 ≤φ ≤ π ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ ③❛❦❧❛♣❛ ♣♦③✐t✐✈♥✐ ❞✐♦ ③✲♦s❡ s❛ ♣r❛✈♦♠ ❦♦❥❛ ♣r♦❧❛③✐ ❦r♦③ ♥✉❧t✉

t❛↔❦✉ ✐ t❛↔❦✉ P✳

• 0 ≤ θ ≤ 2π ❥❡ ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ ③❛❦❧❛♣❛ ♣♦③✐t✐✈♥✐ ❞✐♦ ①✲♦s❡ s❛ ♣r❛✈♦♠ ❦♦❥❛ ♣r♦❧❛③✐ ❦r♦③

♥✉❧t✉ t❛↔❦✉ ✐ t❛↔❦✉ P ♣r♦❥❡❦t♦✈❛♥✉ ♥❛ xOy ✲ r❛✈❛♥✳

(7)

(8)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✼

❙❧✐❦❛ ✹✿ ●❡♦❣r❛❢s❦✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠ ♥❛ r♦t❛❝✐❥s❦♦♠ ❡❧✐♣s♦✐❞✉

ε2 = a

2

−b2

a2 .

❉❡✜♥✐➨✐♠♦ s❛❞❛ ♣♦❥❛♠ ❡❧✐♣s♦✐❞♥❡ ✐❧✐ ❣❡♦❞❡ts❦❡ ✈✐s✐♥❡ ❦❛♦ ✉❞❛❧❥❡♥♦st t❛↔❦❡ ♦❞ ♣❧❛➨t❛ r♦t❛❝✐❥s❦♦❣ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✳

◆❛❞❛❧❥❡✱ ❛❦♦ ✉③♠❡♠♦ ♣r♦✐③✈♦❧❥♥✉ ❣❡♦❣r❛❢s❦✉ ❞✉➸✐♥✉λ ❞♦❜✐❥❛♠♦ ❡❧✐♣s✉ s❛ ✈❡❧✐❦♦♠ ♣♦✲

❧✉♦s♦♠a✐ ♠❛❧♦♠ ♣♦❧✉♦s♦♠b✳ ❚❛❞❛ ♠♦➸❡♠♦ ❞❡✜♥✐s❛t✐ ♣♦❥❛♠ ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦❛ ③❛❦r✐✈❧❥❡♥♦st✐

❦r✐✈❡ ✉ ❜✐❧♦ ❦♦❥♦❥ t❛↔❦✐ ♥❛ ❡❧✐♣s✐ ❦♦❥❛ ♦✈✐s✐ ♦ ❣❡♦❣r❛❢s❦♦❥ ➨✐r✐♥✐ ✐ ♦③♥❛↔✐t ➣❡♠♦ ❣❛ s❛ RN✳

❙❛❞❛ ♠♦➸❡♠♦ ❞❡✜♥✐s❛t✐ ♣♦✈❡③❛♥♦st ❡❧✐♣s♦✐❞♥✐❤ ✐ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ ❛❦♦ s❡ ♥❡ ♥❛❧❛③✐♠♦ ♥❛ ♣♦✈r➨✐♥✐ r♦t❛❝✐❥s❦♦❣ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✱ ♦❞♥♦s♥♦ ❦❛❞❛ ❥❡ h₆= 0✿

x= (RN +h) cosφcosλ,

y = (RN +h) cosφsinλ,

z = [(1₋ε2)RN +h] sinφ,

❣❞❥❡ ❥❡ RN = _Wa.

❯③ ❣❡♦ts❦✉ ➨✐r✐♥✉✱ ❞❡✜♥✐s❛t ➣❡♠♦ ✐ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥✉ ➨✐r✐♥✉ φc ❦❛♦ ✉❣❛♦ ✐③♠❡➒✉ ❡❦✈❛t♦r✐✲

❥❛❧♥❡ r❛✈♥✐♥❡ ✐ ♣r❡↔♥✐❦❛ ✐③ ❝❡♥tr❛ ❞♦ ♣r♦✐③✈♦❧❥♥❡ t❛↔❦❡ ♥❛ ♣♦✈r➨✐✳ ❱❡③❛ ✐③♠❡➒✉ ❣❡♦❞❡ts❦❡ ✐ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❡ ➨✐r✐♥❡✿

tanφc = [1−ε2

RN

RN +h

] tanφ,

(9)

(10)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✾

ε2 _{= 0.00669438002290} _{♣r✈✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t}

ε′2 _{= 0.00673949677548} _{❞r✉❣✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t}

f = 0.00335281068118 s♣❧♦➨t❡♥♦st

f−1 _{= 298.257222101} r❡❝✐♣r♦↔♥❛ ✈r✐❥❡❞♥♦st

(11)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✵

✸✳✺ ❲●❙ ✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞

❲●❙ ✽✹ ✐❧✐ ❲♦r❧❞ ●❡♦❞❡t✐❝ ❙②st❡♠ ✶✾✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞ ❥❡ r❛③✈✐❥❡♥ ✉ ❙❆❉✲✉ ③❜♦❣ t❛↔♥✐❥✐❤ ❣❡♦❞❡t✲ s❦✐❤ ✐ ❣r❛✈✐♠❡tr✐❥s❦✐❤ ♠❥❡r❡♥❥❛ ▼✐♥✐st❛rst✈❛ ♦❞❜r❛♥❡✳ ❩❆ ❞❡✜♥✐r❛♥❥❡ ❲●❙ ✽✹ ✉③✐♠❛❥✉ s❡ s❧❥❡❞❡➣❡ ❦♦♥st❛♥t❡✿

• a ✲ ✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛✱

• f ✲ s♣❧❥♦➨t❡♥♦st✱

• ω ✲ ✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛ ❩❡♠❧❥❡✱

• GM ✲ ❩❡♠❧❥✐♥❛ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛✳

❱r✐❥❡❞♥♦st✐ ③❛❞❛♥✐❤ ❦♦♥st❛♥t✐ ◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡

a= 6378137m ✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛

GM = 3986004,418_×108_m3_s−2 ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❛ ❣r❛✈✐t❛✲

❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛

1/f = 298,257223563 ❞✐♥❛♠✐↔❦❛ s♣❧❥♦➨t❡✲

♥♦st

ω = 7292115_×10−11_{rad s}−1 _{✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛}

■③r❛↔✉♥❛t❡ ❦♦♥st❛♥t❡ ◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡

b = 6356752.3142 ♠❛❧❛ ♣♦❧✉♦s❛

c= 6399593.6258 ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦ ③❛❦r✐✈❧❥❡✲

♥♦st✐ ♥❛ ♣♦❧✉

ε2 _{= 0.00669437999014} _{♣r✈✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t}

ε′2 _{= 0.00673949674228} _{❞r✉❣✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t}

❙❧✐❦❛ ✺✿ ❲●❙ ✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞

✸✳✻ ●❡♦❞❡ts❦✐ ❞❛t✉♠

(12)

(13)

(14)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✸

✹✳✷ ❉❡✜♥✐❝✐❥❡

❉❡✜♥✐❝✐❥❛ ✹✳✶✿ ❊❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥❡ ♣❧♦❤❡

❊❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥❡ ♣❧♦❤❡ s✉ ♣❧♦❤❡ ❦♦❥❡ ✐♠❛❥✉ ❦♦♥st❛♥t♥✐ s❦❛❧❛r♥✐ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧✳ ❚❛❞❛

W =const.

❞❡✜♥✐r❛ ❢❛♠✐❧✐❥✉ ❡❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥✐❤ ♣❧♦❤❛ ✲ ❣❡♦♣❛✳

❉❡✜♥✐❝✐❥❛ ✹✳✷✿ ●❡♦✐❞

●❡♦✐❞ ❥❡ ❣❡♦♣ ❦♦❥✐ ♣r✐❜❧✐➸♥♦ ♣r❡❞st❛✈❧❥❛ sr❡❞♥❥✉ r❛③✐♥✉ ♠♦r❛

❯ ♣♦❞r✉↔✐❥✐♠❛ ❣❞❥❡ s❡ ✈✐s✐♥s❦✐ ♣♦❞❛❝✐ ♥❡ ♠♦❣✉ ❞♦❜✐t✐ st❛♥❞❛r❞♥✐♠ ♠❥❡r❡♥❥✐♠❛✱ r❛❞✐ s❡ ♣r♦❝❥❡♥❛ sr❡❞♥❥❡ r❛③✐♥❡ ♠♦r❛ ♥❛ s❧❥❡❞❡➣✐ ♥❛↔✐♥ ❦♦r✐st❡➣✐ ♦rt♦♠❡tr✐↔♥✉ ✈✐s✐♥✉✿

H =h₋N

❣❞❥❡ s✉✿

• H ✲ r❡❧❛t✐✈♥❛ ✈✐s✐♥❛ ✉ ♦❞♥♦s✉ ♥❛ ❣❡♦✐❞✱

• h ✲ ❣❡♦❞❡ts❦❛ ✈✐s✐♥❛✱

• N ✲ ✉♥❞✉❧❛❝✐❥❛ ❣❡♦✐❞❛✳

❙❧✐❦❛ ✻✿ ❩❡♠❧❥✐♥ ❣❡♦✐❞ ✐ ❡❧✐♣s♦✐❞

(15)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✹

✺ ◆❡❦❡ ❢♦r♠✉❧❡ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

✺✳✶ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡ ✐③ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ t❛↔❛❦❛

❩❛ ♦✈❛❦✈♦ r❛↔✉♥❛♥❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡ ♣♦tr❡❜♥♦ ❥❡ ③♥❛t✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ s✈✐❤ ♣r❡❧♦♠♥✐❤ t❛↔❛❦❛ ♠❡➒♥❡ ❧✐♥✐❥❡ ♣❛r❝❡❧❡ ❦♦❥♦❥ s❡ ♦❞r❡➒✉❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❛✳

❙❧✐❦❛ ✽✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛ T1 ✐ T2

T1 =

1

2(Y3+Y2)(X2−X3)

T2 =

1

2(Y4+Y3)(X3−X4)

❙❧✐❦❛ ✾✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛ T3 ✐ T4

T3 =

1

2(Y2+Y1)(X2−X1) T4 =

1

(16)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✺

❙❧✐❦❛ ✶✵✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛ ♣♦✈r➨✐♥❡

P =T1+T2−(T3+T4)

❯✈r➨t❛✈❛♥❥❡♠ ❞♦❜✐❥❛♠♦✿

2P =Y1(X4−X2) +Y2(X1−X3) +Y3(X2−X4) +Y4(X3 −X1).

❯ ♦♣➨t❡♠ s❧✉↔❛❥✉✿

P = 1 2

n

X

i=1

Yi(Xi−1−Xi+1).

❆♥❛❧♦❣♥♦✱ ❛❦♦ ❜✐ ❣❧❡❞❛❧✐ ♥❛ Y ♦s✐ ✐♠❛♠♦ ♦♣➨t✉ ❢♦r♠✉❧✉✿

P = 1 2

n

X

i=1

Xi(Yi+1−Yi−1).

P♦✈r➨✐♥❛ ♣❛r❝❡❧❡ s❡ ♠♦➸❡ ❞♦❜✐t✐ ✐ ♠❥❡r❡♥❥❡♠ ❞✐♠❡♥③✐❥❛ ♣❛r❝❡❧❡ ♦❜❧✐❦❛ ♥❡❦❡ ♣r❛✈✐❧♥❡ ✜❣✉r❡ ♥❛ t❡r❡♥✉ ✭♥♣r✳ ❦✈❛❞r❛t❛✱ ♣r❛✈♦✉❣❛♦♥✐❦❛✱ tr❛♣❡③❛✱ tr♦❣✉❧❛✱ ✐t❞✳✮✳ P♦✈r➨✐♥❛ ♥❡♣r❛✈✐❧♥❡ ✜❣✉r❡ s❡ ♠♦➸❡ ❞♦❜✐t✐ ❞✐♦❜♦♠ ♥❛ ♣♦③♥❛t❡ ♦❜❧✐❦❡✳

(17)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✻

✺✳✷ ❚r✐❛♥❣✉❧❛❝✐❥❛

❙❧✐❦❛ ✶✷✿ ❚r✐❛♥❣✉❧❛❝✐❥❛

S=p(xB−xA)2+ (yB−yA)2

νB

A = arctan

yB−yA

xB−xA

νA B =ν

B A ±π

φA =νAB+α(−2π)

φB =νBA−β ⇒γ =φB−φA

SA =S

sinβ sinγ

SB =S

sinα sinγ ∆yA =SAsinφA

∆yB=SBsinφB

∆xA=SAcosφA

∆xB =SBcosφB

yT =yA+ ∆yA=yB+ ∆yB

(18)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✼

✻ ❩❛❦❧❥✉↔❛❦

❯ ♦✈♦♠ s❡♠✐♥❛rs❦♦♠ r❛❞✉ s❛♠ ♣r❡❞st❛✈✐♦ s❛♠♦ ❞✐♦ ♣♦✈❡③♥✐❝❛ ✐③♠❡➒✉ ♠❛t❡♠❛t✐❦❡ ✐ ❣❡✲ ♦❞❡③✐❥❡✱ t❥✳ ♥❡❦❡ ♥❛❥❜✐t♥✐❥❡✱ ❛❧✐ ♥❥✐❤ ❥❡ ③❛✐st❛ ❥♦➨ ♠♥♦❣♦ ✉ ✐♥t❡❣r❛❧♥♦♠✱ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❥❛❧♥♦♠ r❛↔✉♥✉✱ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❥❛❧♥♦❥ ❣❡♦♠❡tr✐❥✐ ✐ ✉ ❥♦➨ ♠♥♦❣♦ t♦❣❛✳

(19)

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✽

▲✐t❡r❛t✉r❛

❬✶❪ Ð♦♥❧❛❣✐➣ ❊✳✱ ❉❛t✉♠s❦❛ tr❛♥s❢♦r♠❛❝✐❥❛✱ ●❡♦❞❡ts❦✐ ❣❧❛s♥✐❦ ✭✶✾✾✾✳✮ ❜r✳ ✸✸✱ ✺✲✶✺✳✱ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳s✉❣❣s❜✐❤✳❜❛✴●❊❖❉❊❚❙❑■✷✵●▲❆❙◆■❑✴❛r❤✐✈❛✳❤t♠

❬✷❪ ▼✳ ▲❛♣❛✐♥❡✱ ▼✳ ▲❛♣❛✐♥❡✱ ❉✳ ❚✉t✐➣✱ ◆✉♠❡r✐↔❦❡ ✈r✐❥❡❞♥♦st✐ ❣❡♦♠❡tr✐❥✲

s❦✐❤ ❦♦♥st❛♥t✐ ❡❧✐♣s♦✐❞❛ ●❘❙ ✽✵✱ ●❡♦❞❡ts❦✐ ❧✐st ✭✷✵✵✻✳✮ ❜r✳ ✹✱ ✷✺✾✕✷✻✾✳✱ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❤r❝❛❦✳sr❝❡✳❤r✴✜❧❡✴✽✸✻✼

❬✸❪ ❤tt♣s✿✴✴❤r✳✇✐❦✐♣❡❞✐❛✳♦r❣✴✇✐❦✐✴●❡♦❞❡③✐❥❛