Matematika (4)Matematika (4)Matematika (4) Matematika (4)Matematika (4)

UNIVERZITET “Sv. KIRIL I METODIJ”– SKOPJE

Fakultet za elektrotehnika i informaciski tehnologii

MATEMATIKA 1

–Zbirka zadaqi– –2015/16 –

1

_{Realni broevi}

1.1

_{Princip na matematiqka indukcija}

Zadaqa 1.1_{. So primena na principot na matematiqka indukcija da se dokaжe toqnosta na}

slednive ravenstva za sekoj priroden broj n_∈N:

a) 1 + 2 + 3 +. . .+n= n(n+ 1) 2 ;

b) 1 + 4 + 7 +. . .+ (3n₋2) = n(3n−1) 2 ;

v) 12

+ 22

+ 32

+. . .+n2

= n(n+ 1)(2n+ 1) 6 ; g) 13

+ 23

+ 33

. . .+n3

= (1 + 2 + 3 +. . .+n)2

;

d) 1 1_·2+

1

2_·3 +. . .+ 1 n(n+ 1) =

n n+ 1;

´ g) 1

1_·3+ 1

3_·5 +. . .+

1

(2n₋1)(2n+ 1) = n 2n+ 1;

e) 1_·1! + 2_·2! +. . .+n_·n! = (n+ 1)!₋1;

ж) 1 + 2 2 +

3 22 +

4

23 +. . .+

n 2n−1 =

2n+1

−n₋2 2n−1 ;

z) 12

−22

+ 32

−. . .+ (₋1)n−1

n2

= (₋1)n−1n(n+ 1)

2 ; ) 13

−23

+ 33

−43

+. . .₋(2n)3

=₋n2

(4n+ 3);

i) 1 + 2x+ 3x2

+. . .+nxn−1

= nx

n+1

−(n+ 1)xn_{+ 1}

(x₋1)2 , x∈R, x6= 1;

j) x 1₋x2 +

x2

1₋x4 +. . .+

x2n−1

1₋x2n =

1 1₋x ·

x₋x2n

1₋x2n, x∈R;

k) 1 + 11 +. . .+ 11_{· · ·}1 | {z }

n

= 1 81(10

n+1

−9n₋10).

l) 1_·2_·2n_{+ 2·3·2}n−1

+_{· · ·}+n(n+ 1)2 + (n+ 1)(n+ 2) = 2n+4

−(n2

+ 7n+ 14)

lj) 12

+ 72

+...+ (3k₋2)2

= 1 2k(6k

2

Zadaqa 1.2_{. So primena na principot na matematiqka indukcija da se dokaжe toqnosta na}

slednive neravenstva:

a) 1 22 +

1

32 +. . .+

1 n2 <

n₋1

n , n >1; b) 1 √

1 + 1 √

2 +. . .+ 1

√_n ≥√n, n_∈N;

v)1 2 ·

3 4 ·. . .·

2n₋1 2n <

1 √

3n+ 1 , n >1; g) r

4 + q

4 +. . .+√4

| {z }

n−pati

<3, n_∈N;

d)nn+1

>(n+ 1)n_{, n >2; ´g)(1 +x)}n_{≥1 +nx, x∈R, x >−1, n∈N.}

Zadaqa 1.3_{. So principot na matematiqka indukcija da se dokaжe binomnata formula:}

(a+b)n =

n

X

i=0

n

i

an−ibi, a, b_∈R, n_∈N.

1.2

_{Apsolutna vrednost na realen broj}

Zadaqa 1.4_{. Da se presmeta |2−a| − |b+ 1|+|a+b| ako a= 2, b=−4.}

Zadaqa 1.5_{. Da se rexat slednive ravenki:}

a)_|x₋3_|= 7; b)_|x2

−5x+ 6_|=₋4x+ 8;

v)

x₋1 x+ 1 =

x₋1

x+ 1; g)|x

2

−5x+ 6_|=₋(x2

−5x+ 6);

d)_|2x+ 1_|+_|x+ 3_|=_|x+ 6_|; ´g)_|x2

+ 2x_|+_|x2

−1_{| − |}x_|= 1;

e)|x2

−1_|=_|x+ 1_|+_|x+ 1_|2

; ж)px+ 3₋4√x₋1 +px+ 8₋6√x₋1 = 1.

Zadaqa 1.6_{. Da se rexat slednive neravenki:}

a)_|2x₋3_|<2x₋3; b)_|2x₋3_{| ≤}2x₋3;

v)_|x2

+ 7x+ 12_|> x2

+ 7x+ 12; g)_|x2

+ 7x+ 12_{| ≥}x2

Zadaqa 1.7_{. Da se rexat neravenkite:}

2

_{Nizi od realni broevi}

Zadaqa 2.1_{. Da se opredeli opxtiot qlen na nizata zadadena na sledniot naqin:}

a) 1, 1

Zadaqa 2.2_{. Da se pokaжe deka nizite}

a) an =

Zadaqa 2.3_{. Da se ispita monotonosta na nizata so opxt qlen:}

a) an =

Zadaqa 2.4_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

Zadaqa 2.5_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

Zadaqa 2.6_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

a) lim ristat slednive ravenstva pokaжani so matematiqka indukcija:

1 + 2 + 3 +. . .+n= n(n+ 1)

Zadaqa 2.7_{. Da se pokaжe deka:}

lim

Zadaqa 2.8_{. a ) So pomox na matematiqka indukcija da se pokaжe deka e toqno}

14

b) Da se presmeta lim

n→∞

Zadaqa 2.10_{. Da se pokaжe deka nizata {an} opredelena so a1 =} √_{2, an+1 =} √_{2·an e}

monotona i ograniqena.

Zadaqa 2.11_{. Da se dokaжe deka nizata so opxt qlen xn =} 1

Zadaqa 2.13_{. Da se dokaжe deka nizata so opxt qlen}

an =

e monotonoa i ograniqena.

Zadaqa 2.14_{. Da se ispita dali nizata {an} so opxt qlen:}

e konvergentna i ako e, kon xto konvergira?

Zadaqa 2.15_{. Da se dokaжe deka lim} n→∞

2n

n! = 0.

Zadaqa 2.16_{. Koristej´ki gi granicite na specijalnite nizi,}

lim

da se najdat granicite na slednive nizi:

3

_{Realni funkcii od edna realna promenliva}

3.1

_{Definicija i osobini na realna funkcija od edna realna}

promen-liva

Zadaqa 3.1_{. Dadena e funkcijata f(x) =}

 



2x_{, −1< x <0}

2 +x, 0_≤x <1 4₋x2

. 1_≤x_≤3

. Da se opredeli:

a) Definicionata oblast i mnoжestvoto vrednosti na f(x);

b) f(0), f(1), f(3), f(₋0.5);

v) Da se skicira grafikot na funkcijataf(x).

Zadaqa 3.2_{. Dadena e Hevisajdovata funkcija H(x) =}

1, x_≥0

0, x <0 . Da se opredeli:

a) Definicionata oblast i mnoжestvoto vrednosti na H(x);

b) H(0), H(1), H(₋3), H(₋0.5);

g) Da se skicira grafikot na funkcijata H(x);

d) Da se opredeli funkcijata H(x₋2) i da se skicira nejziniot grafik.

Zadaqa3.3_{. Funkcijata nareqena cel del od x, e definirana so: f(x)e najgolemiot cel broj}

pomal ili ednakov na x. Da se opredeli:

a) Mnoжestvoto vrednosti na f(x);

b) f(0), f(₋1), f(₋3,5), f(0.5), f(2,5);

v) Da se skicira grafikot na funkcijataf(x).

Zadaqa 3.4_{. Da se skiciraat graficite na slednive funkcii:}

f1(x) =|x|; f2(x) =|x+ 1|; f3(x) =|x|+ 2.

Zadaqa 3.5_{. Dadena e funkcijata f(x) =x}2

+ 1. Da se opredeli:

a) f

a+b 2

−f

a₋b

2

; b) 2f(2a);

v) f(2 +√x); g) f(2) +f(√x);

d) f

1 x

; ´g) 1

f(x);

Zadaqa 3.6_{. Neka f1(x) = √} x

1 +x2 i fn+1 =f1(fn(x)). Da se pokaжe deka fn(x) =

x √

1 +nx2.

Zadaqa 3.7_{. Da se opredeli f(x) ako f}

1 x

=x+√1 +x2_{, x > 0.}

Zadaqa 3.8_{. Da se opredeli f(x) ako}

a) f

x+ 1 x

=x2

+ 1

x2, x > 0; b)f

x+ 1

x

=x3

+ 1

x3, x >0.

Zadaqa 3.9_{. Da se opredeli definicionata oblast na slednive funkcii:}

a) y= q

sin√x; b) y= arcsin 2x 1 +x;

v) y= arcsin 4x

4 +x2; g) y= arccos(2 sinx);

d) y= lg(cos(lg(x))); ´g) y= cotπx+ arccos(2x_).

Zadaqa3.10_{. Da se opredeli definicionata oblast i mnoжestvoto vrednosti na funkcijata}

y= lg(1₋2 cosx).

Zadaqa3.11_{. Ako funkcijata e definirana na segmentot [a, b] da se opredeli definicionata}

oblast na funkcijata :

a) f

x₋1 x+ 1

; b) f(lg(1 +x)).

Ako f e rasteqka funkcija definirana na segmentot [a, b] da se opredeli definicionata oblast na funkcijata f(f(x)).

Zadaqa 3.12_{. Da se opredeli definicionata oblast i da se ispita parnosta na slednive}

funkcii:

a) lnf(x) = ln1 +x

1₋x; b) f(x) = a

x_+a−x_;

v) f(x) = ax_−a−x_{; g) f(x) =} x

ax₋₁;

d) f(x) = xm_|xn_{|; ´g) f(x) = ln(x+}√_{1 +x}2_).

Upatstvo: ´g) Da se pokaжe deka f(x) +f(₋x) = 0.

Zadaqa 3.13_{. Da se ispita koi od slednive funkcii se ograniqeni:}

a) f(x) = 5sin_x

; b) f(x) = sinxcosx; v) f(x) = (x−1)

2

Zadaqa 3.14_{. Da se ispita periodiqnosta na slednive funkcii:}

a) f(x) = sin2x; b) f(x) = sinx+1

2sin 2x+ 1

3sin 3x;

v)f(x) = 2 tanx

2 −3 tan x

3; g) f(x) = sin 1 x.

Zadaqa 3.15_{. Neka za nekoe c∈ R vaжi f(x+c) =} 1−f(x)

1 +f(x),∀x ∈R. Da se dokaжe deka f e periodiqna funkcija.

Upatstvo: Da se pokaжe deka f(x+c+c) = f(x).

Zadaqa 3.16_{. Da se ispita dali slednive funkcii imaat inverzni funkcii. Vo potvrden}

sluqaj da se opredelat inverznite funkcii.

a) y= 1₋3x; b) y=x2

−1; v) y=√1₋x2_{; g) y=}

3.2

_{Graniqna vrednost na funckcija}

Zadaqa 3.17_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

a) lim

3.3

_{Karakteristiqni graniqni vrednosti}

Zadaqa 3.18_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

Zadaqa 3.19_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

a) lim

Zadaqa 3.20_{. Da se presmetaat slednive graniqni vrednosti:}

a) lim

3.4

_{Leva i desna granica na funkcija. Neprekinatost na funkcija}

Zadaqa 3.21_{. Da se opredeli levata i desnata granica na dadenite funkcii vo dadenite}

Zadaqa 3.22_{. Da se ispita neprekinatost od levo, neprekinatost od desno i neprekinatost}

na funkcijata vo toqkata x0 za slednive funkcii:

a) f(x) =x2

+ 4x+ 3 vo toqkatax0 = 2; b) f(x) =

1 x5

−3 vo toqkatax0 =−1;

v) f(x) = _|5x₋1_| vo toqkatax0 =

1

5; g) f(x) =

5, x₆= 1

0, x= 1 vo toqkatax0 = 1;

d) f(x) =  



|x₋1_|

x₋1 , x6= 1 1, x= 1

vo x0 = 1.

Zadaqa 3.23_{. Dali moжe da se odbere vrednost za konstantata a taka xto funkcijata f(x)}

da bide neprekinata na R ako f(x) =  



sin (x2

+x₋6)

x+ 3 , x6=−3

a , x=₋3

.

Zadaqa 3.24_{. Da se prodolжi do neprekinatost funkcijata}

f(x) = x

2

−3x+ 2 x₋1 .

Zadaqa 3.25_{. Dali moжe da se prodolжi do neprekinatost funkcijata f(x) =}

√

x₋1₋1 x2

−4 ?

Zadaqa 3.26_{. Dali moжe da se opredeli realen broj a takov xto funkcijata}

f(x) =

x+ 1, x_≤1 3₋ax2

, x >1 da bide neprekinata?

Zadaqa 3.27_{. Da se ispita neprekinatosta na funkcijata f(x) =}

√

x2_+x3

x .

Zadaqa 3.28_{. Koj uslov treba da go zadovoluvaat a i b taka xto funkcijata}

a)f(x) =

(x+a)e−x−11 , |2x−1|>1

e−x_{+b , |2x−1| ≤1} b)f(x) =

 



−2 sinx , x_{≤ −}π/4

asinx+b ₋π/4< x < π/4 cosx , x_≥π/4

da bide neprekinata?

Zadaqa 3.29_{. Da se ispita neprekinatost na funkcijata}

f(x) =  



1

x −

1

ex₋1, x >0

1/2 x= 0

1₋cosx

x2 x <0 .

Zadaqa 3.30_{. Da se ispita neprekinatost i diferencijabilnost, i da se skicira grafikot}

na funkcijata zadadena so:

f(x) =  



−x , x <0 2x , 0_≤x_≤2 −x+ 6, x > 2

4

_{Realni funkcii od edna realna promenliva}

4.5

_{Diferencijalno smetanje na funkcija od edna realna promenliva}

4.5.1

Prv izvod od eksplicitno zadadeni funkcii

Zadaqa 4.1_{. Da se najde prviot izvod na slednive funkcii:}

a) y= 2x5

+ 3x_{; b)y =} 5

3 √

x2 −

6

x√3_x; v) y=

cosx+ sinx cosx₋sinx;

g) y= (x+ 1)(x2

+ 1)(x3

+ 1); d) y= x+ arctanx

x3 ; ´g) y =x 2

(√2)x_;

e) y=xlnx₋tanx; ж) y= 1 + sinx−x

2

1₋x+x2 ; z) y= logx2

x_.

Zadaqa 4.2_{. Da se najde prviot izvod na funkciite:}

a) y= sin lnx; b) y= ln sinx; v) y= e

x_−e−x

2 ;

g) y=√3

x2_{+ 4x−1; d) y= ln (x+}√_x2_{+ 3); ´g) y = (x+ 2)10}√x+1_;

e) y= ln [xsin (x√1₋x2_{)]; ж) y= ln} 3 s

(x2_{+ 4)}5_(3x

−1)2

(6x3_{+ 1)}2_(etan 5x₎; z) y=

3 s

ln

sinx+ 3 4

;

) y= arctan(1 +x

2

) √

1 +x2 ; i) y= arcsin

1 √

x+ 1; j) y= ln x √

1₋x2;

k) y =xx; l) y=xxx

; lj) y= (2 + cosx)x;

m) y= ln (ln (lnx)); n) y =esin2x; nj) y= (x+ 2)

3

(x+ 1)3_{(x+ 3)}4.

4.5.2

Prv izvod od parametarski zadadeni funkcii

Zadaqa4.3_{. Da se najde prviot izvod na funkciitey=f(x)zadadeni vo parametarski oblik:}

a)

x=acost

y=asint , a=const.; b)     

   

x= ccost 1 +bcost

y = asint 1 +bcost

, a, b, c=const.;

v)

x=e2t_cos2

t y =e2t_sin2

t ; g)

4.5.3

Prv izvod od implicitno zadadeni funkcii

Zadaqa 4.4_{. Da se najde prviot izvod na funkcijata y=f(x) zadadena vo impliciten oblik}

so ravenkite:

a) x3

+y3

−3axy = 0, a₋const.; b) arctany x = ln

p

x2_+y2_;

v) ex+y

−sin (xy) = 10; g) (x2

+y2

)2

= 2xy2

.

4.5.4

Diferencijabilnost na funkcija od edna promenliva.

Prv diferencijal

Zadaqa 4.5_{. Da se ispita neprekinatost i diferencijabilnost na funkcijata zadadena so:}

f(x) =  



−1, x <0 x2

−1, 0_≤x_≤2 −x+ 5, x > 2

.

Zadaqa 4.6_{. Da se opredeli broj a ∈ R t.x. funkcijata f(x) =}

x+ 1, x_≤1 3₋ax2

, x >1 da bide neprekinata. Za taka najdenoto a da se ispita dali funkcijata f(x) e diferencijabilna vo toqkata x= 1.

Zadaqa 4.7_{. Opredeli ja vrednosta na parametarot a taka xto funkcijata}

f(x) =  



x x−1 −

1

ln_x, x >1

ax2

−1

|x−1_|, x <1

1/2, x= 1

e neprekinata? Potoa, da se ispita diferencijabilnost na funkcijata f(x).

Zadaqa 4.8_{. Dadena e funkcijata f(x) =}

(a+x)e−bx_{, x <0}

ax2

+bx+ 1, x_≥0 . Da se opredelat realnite broevi a ib taka xto funkcijata da bide neprekinata i diferencijabilna vo site toqki od nejzinata definiciona oblast.

Zadaqa 4.9_{. Da se najde prviot diferencijal na funkciite:}

a) y= ln

cos1 x

− 1_x; b) y=xe−x; v) y2

= 2px, p =const.

Zadaqa 4.10_{. Da se presmeta :}

a) d(x

3

−2x6

−x9

)

d(x3₎ ; b)

d sinx x

d(x2₎ ; v)

4.5.5

Izvodi i diferencijali od povisok red

Zadaqa 4.11_{. Da se najde y}′_{, y}′′_{, y}′′′ _{za funkcijata y=e}x2 _+x3_.

Zadaqa 4.12_{. Da se najde y}′_{, y}′′_{, y}′′′ _{za funkcijata y=f(x) zadadena so x}5

+y2

sinx= 25.

Zadaqa4.13_{. Da se najdey}′_{, y}′′_{, y}′′′ _{za funkcijatay =f(x)zadadena so parametarskite ravenki}

x= 2t₋t2

, y = 3t₋t3

.

Zadaqa 4.14_{. Da se najde 20-tiot izvod na funkcijata y =x}2

e2x_.

Zadaqa 4.15_{. Da se najde 10-tiot izvod na funkcijata y =} e x

x.

Zadaqa 4.16_{. Da se najde n−tiot izvod na funkciite:}

a) f(x) =xex_{; b)f(x) =a}x_{, a >0, a6= 1; v) f(x) = sinx;}

g) f(x) = ln (x+ 1); d) f(x) =e−x_{; ´g) f(x) =xcosx;}

e) f(x) = 23x_.

Zadaqa 4.17_{. Da se proveri dali slednive funkcii gi zadovoluvaat zadadenite relacii:}

a) y=xe−x_{, xy}′ _{= (1−x)y;}

b) y=acos (lnx) +bsin (lnx), a, b=const., x2

y′′_+xy′_{+y= 0;}

v) y=e2_x

sin 5x, y′′_−4y′_{+ 29y= 0.}

Zadaqa 4.18_{. Da se najde vtoriot diferencijal d}2

y na funkcijata:

a) y=ex3; b) y= arctan 1 x.

4.5.6

Tangenta i normala na kriva

Zadaqa 4.19_{. Da se najde koeficientot na pravec na tangentata i normalata na krivata}

y=x2

+ 2x+ 5 vo toqkata so apcisa x= 1, a potoa i vo toqkata so ordinata y= 13 2 .

Zadaqa 4.20_{. Vo koi toqki koeficientot na pravecot na tangentata na krivata y = x}3 _e

ednakov na 3?

Zadaqa 4.21_{. Vo koi toqki tangentata na krivata y = lnx e normalna na pravata}

y= 1₋2x? Vo koi toqki tangentata na dadenata kriva e paralelna so pravata2x₋y₋1 = 0?

Zadaqa4.22_{. Da se najdat toqkite vo koi tangentite na krivitey=x}3_{−x−1iy= 3x}2_−4x+1

Zadaqa4.23_{.Da se napixat ravenkite na tangenta i normala na krivatax}2

+y2

+4x₋4y+3 = 0 vo preseqnite toqki so x₋oskata.

Zadaqa 4.24_{. Da se najde ravenka na tangentata i na normalata na funkcijata x}2_+xlny−

3xy= 10 vo toqkata(x0,1).

Zadaqa 4.25_{. Da se napixe ravenkata na tangenta na krivata}

x= arcsin√ t

1+t2

y=e2t vo toqkata

dobiena za t= 0.

Zadaqa4.26_{. Da se opredelat ravenkite na tangenta i normala na krivata}

x= 2t₋t2

y= 3t₋t3 vo

onaa toqka od krivata qija ordinata e 2.

Zadaqa 4.27_{. Da se dokaжe deka dolжinata na otseqkata na x−oskata pome´gu tangentata i}

normalata na krivata

x= 2a ln (sint)₋sin2

t

y=asin 2t , a−const. iznesuva 2a.

Zadaqa 4.28_{. Da se dokaжe deka tangentata na krivata}

x=a(1₋cost)

y=a(1₋sint) , a = const. so koordinatnite oski obrazuva triagolnik so perimeter 2a.

Zadaqa 4.29_{. Pod koj agol se seqat krivite y1 =x}2 _{i y2 =}√_x?

Zadaqa 4.30_{. Da se dokaжe deka krivata x}3

−y3

= 1 ja seqe y₋oskata pod prav agol.

4.5.7

Osnovni teoremi na diferencijalnoto smetanje

Zadaqa4.31_{. Da se pokaжe deka funkcijataf(x) =x}4_−2x2 _{gi zadovoluva uslovite od teorema}

na Rol za x_∈[0,√2] i da se najde soodvetnata vrednost na c.

Zadaqa 4.32_{. Dali funkcijata f(x) = 1−}√3_x2 _{gi ispolnuva uslovite od terema na Rol na}

[₋1,1] ?

Zadaqa4.33_{. Na intervalite(−2,2)i(2,3)odredi gi toqkite vo koi tangentite na krivata}

f(x) = (x2

−4)(x₋3) se horizontalni, t.e. paralelni so x-oskata.

Zadaqa 4.34_{. Dadena e funkcijata f(x) =}

√

4x, 0_≤x_≤1 x2

+ 1, x >1 . Dali moжe da se primeni teoremata na Lagranж na segmentot [0,2]?

Zadaqa4.35_{. Dali postoi toqka vo koja tangentata na krivataf(x) =}

  

 

3₋x2

2 , 0≤x≤1 1

x, x >1 e paralelna so pravata koja minuva niz toqkite A

0,3

2

i B

2,1 2

Zadaqa 4.36_{. Da se dokaжat slednive neravenstva:}

a) x−y x <ln

x y <

x₋y

y , 0< x < y; b) b−a

cos2_a <tanb−tana <

b₋a

cos2_b, 0< a < b <

π 2.

Zadaqa 4.37_{. Da se dokaжe deka arcsinx+ arccosx=} π

2, x∈[−1,1].

Zadaqa 4.38_{. Da se dokaжe deka ravenkata 3}x_{+ 4}x _{= 5}x _{ima edinstveno realno rexenie.}

Zadaqa 4.39_{. Da se dokaжe deka ravenkata x}3

+ 2x2

+ 4x+ 2 = 0 ima edinstveno realno rexenie i da se najde intervalot vo koj pripa´ga toj koren.

4.5.8

Lopitalovo pravilo

Zadaqa4.40_{. So primena na Lopitalovo pravilo da se najdat slednive graniqni vrednosti:}

a) lim

x→1

x10

−10x+ 9

x5_{−5x+ 4} ; b) _xlim_→1

xx_−x

lnx₋x+ 1; v) xlim→0

e−x12

x50 ;

g) lim

x→0

cosx+ 3x₋1

2x ; d) xlim→0

x₋sinx

ex_−esinx; ´g) _x→lim+_∞

ln lnx lnx ;

e) lim

x→+_∞

x2

x+ex; ж) _x→lim+_∞

ln (aex_+b)

ln (cex_+d); z) _x→lim+_∞

xm

ax;

) lim

x→0(xlnx); i) _xlim_→∞xe

−x_{; j) lim}

x→0

1 x3 −

1 sinx

;

k) lim

x→0

cotx₋ 1 x

; l) lim

x→0x

x_{; lj) lim} x→∞x

1

x;

m) lim

x→∞

x+√x2_{+ 1}

1 lnx

; n) lim

x→0 e 2_x

+x 1

x ; _nj) lim x→0

1 +ex

2

cotx

.

4.5.9

Maklorenova i Tajlorova formula

Zadaqa 4.41_{. Da se primeni Maklorenovata formula za funkcijata f(x) = e}x_.

Zadaqa 4.42_{. Da se primeni Maklorenovata formulata za funkcijata f(x) = ln (1 +x).}

Zadaqa4.44_{. Koristej´ki poznati razvoi, slednive funkcii da se razvijat po Maklorenovata}

formula do qlenot koj sodrжi x4

:

a) f(x) =ex2+2; b) f(x) = (x+ 5)e2x;

v) f(x) = e3x_sinx

3; g) f(x) = 1 √

1₋x2;

d) f(x) = 1

2x+ 3; ´g) f(x) = ln (5−4x).

4.5.10

Ekstremni vrednosti na funkcija od edna realna promenliva

Zadaqa 4.45_{. Da se opredelat lokalnite ektremi na funkcijata f(x) =} (x+ 3)

3

(x+ 1)2.

Zadaqa 4.46_{. Da se opredelat lokalnite i globalnite ektremi na funkcijata}

f(x) =x(x₋1)(x+ 1) na:

a) R; b) [₋1,1]; v) [₋1,2]; g) [₋3,1].

Zadaqa4.47_{. Brojot 36 da se pretstavi kako proizvod na dva mnoжiteli taka xto zbirot na}

nivnite kvadrati da bide najmal.

Zadaqa 4.48_{. Vo koja toqka na elipsata} x

2

a2 +

y2

b2 = 1 traba da se povleqe tangenta koja ´ke

obrazuva so koordinatnite oski triagolnik so najmala ploxtina?

Zadaqa 4.49_{. Vo elipsata} x

2

a2 +

y2

b2 = 1 da se vpixe pravoagolnik so maksimalna ploxtina

qii strani se paralelni so oskite na elipsata.

Zadaqa 4.50_{. Na parabolata y =x}2

da se najde toqka qie rastojanie do pravata y= 2x₋4 e najmalo.

Zadaqa4.51_{. Vo oblast ograniqena so y= 4−x}2

iy= 0 da se vpixe pravoagolnik so strani paralelni na koordinatnite oski qija ploxtina e najgolema.

Zadaqa4.52_{. Vo koja toqka od krivata x=acos}3_{t, y =asin}3_{t, t ∈[0,2π) treba da se povleqe}

tangenta taka xto triagolnikot xto taa go formira so koordinatnite oski da ima najmala ploxtina?

Zadaqa 4.53_{. Pogolemata osnova na ramnokrak trapez ima dolжina 2a, a negovite kraci se}

4.5.11

Ispituvanje osobini na funkcija i skiciranje na grafik

Zadaqa 4.54_{. Da se ispitaat osobinite i da se skicira grafikot na dadenive funkcii:}

a) y = x

3

4(2₋x)2; b) y=

x

x2_{+ 1}; v) y=

(x+ 2)3

(x₋2)2;

g) y =₋ x (x2

−1)2; d) y =x+

1

x2; ´g) y=

x2

−2 e2x ;

e) y= (1₋x2

)e−x; ж) y=xe−x2

2 ; z) y=e

1 x2

−4x_{+ 3 ;}

) y= ln (x−3)

(x₋3)2 ; i) y=

√ x

ln2x; j) y = 3 √

2x2

−x3_;

k) y=x_·√4₋x2_{; l) y= arcsin} 4x

4 +x2; lj) y=

1₋lnx 1 + lnx;

5

_{Neopredelen integral}

5.1

_{Neposredna integracija}

Neka f(x) e funkcija definirana na nekoj interval I od realnata oska. Funkcijata F(x) koja e definirana i diferencijabilna na toj interval se vika primitivna funkcija na funkcijata f(x) ako F′_{(x) =f(x) za sekoj x∈I .}

Mnoжestvoto od site primitivni funkcii f(x) na nekoj interval se vika neopredelen integral na f(x) na toj interval, a funkcijata f(x) e podintegralna funkcija. Ako F(x) e proizvolna primitivna funkcija na funkcijata f(x) togax

Z

f(x)dx=F(x) +C, C _∈R.

Osobini na neopredelen integral

1) d(R f(x)dx) = f(x)dx

2) R dF(x) =F(x) +C, C ₋const.

3) R kf(x)dx=kR f(x)dx, k₋const.

4) R(f(x)_±g(x))dx=R f(x)dx_±R g(x)dx

Tabela od osnovni integrali

Zadaqa 5.1_{. Da se presmetaat slednive integrali so neposredna integracija:}

5.2

_{Integriranje so metod na zamena}

Neka ϕ(t) e funkcija koja na nekoj interval I od realnata oska ima neprekinat prv izvod pri xto ϕ′_{(t)6= 0. Ako x=ϕ(t) na toj interval, togax vaжi}

Z

f(x)dx= Z

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Zadaqa 5.2_{. Da se presmetaat slednive integrali voveduvaji pogodna zamena:}

k)

5.3

_{Parcijalna integracija}

Ako u(x) i v(x) se diferencijabilni funkcii na intervalot I togax na toj interval vaжi formulata

Z

u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)₋ Z

v(x)u′(x)dx.

Zadaqa 5.3_{. Da se presmetaat slednive integrali so primena na metodot na parcijalna}

integracija:

arctanxdx; lj) Z

xarctanxdx;

m) Z

Zadaqa 5.4_{. Da se presmetaat slednive integrali so metodot na parcijalna integracija:}

a)

Z _arcsinx

2

√

2₋xdx; b) Z

xln (x+√1 +x2₎

√

1 +x2 dx; v)

Z x3

e−x2dx;

g) Z

(x2

−2x+ 5)e−xdx; d)

Z _√ x2

−a2_{dx; ´g)}

Z _√

x2_+a2_dx;

e)

Z _√

a2_−x2_{dx; ж)}

Z _√

3 + 2x₋x2_{dx; z)}

Z _√

x2_{−2x dx;}

)

Z _√

x2_{+ 6x+ 13dx; i)}

Z x2

dx

(x2 _{+ 1)}2; j)

Z

sin (lnx)dx.

5.4

_{Integriranje drobno racionalni funkcii}

a) Polinomot vo imenitelot ima realni ednokratni koreni Zadaqa 5.5_{. Da se rexat slednive integrali:}

a) Z

dx

(x₋1)(x+ 2)(x+ 3); b) Z

x3

+ 1 x3

−5x2_{+ 6x}dx; v)

Z x6

x2

−1dx; g) Z

x3

+ 1 x2

−3x+ 2dx.

b) Polinomot vo imenitelot ima realni poveekratni koreni Zadaqa 5.6_{. Da se rexat slednive integrali:}

a) Z

x3

−2x2

+ 4 x3_(x

−2)2 dx; b)

Z

dx x2₍₁

−x2₎.

v) Polinomot vo imenitelot ima kompleksni ednokratni koreni Zadaqa 5.7_{. Da se rexat slednive integrali:}

a) Z

x4

x4_{+ 5x}2_{+ 4}dx; b)

Z x3

+x+ 1 x3_+x dx;

v)

Z _dx

x3_{+ 1}; g)

Z _dx

x4

5.5

_{Integriranje iracionalni funkcii}

Zadaqa 5.8_{. Da se rexat slednive integrali:}

a)

5.5.1 _{Integrali od binomen diferencijal}

Zadaqa 5.9_{. Da se rexat slednive integrali:}

a)

5.6

_{Integriranje trigonometriski i hiperboliqni funkcii}

Zadaqa 5.10_{. Da se rexat slednive integrali:}

a)

sin 3xcos 10xdx;

5.7

_{Integriranje na nekoi iracionalni funkcii}

koi se rexavaat so trigonometriski smeni

Zadaqa 5.11_{. Da se rexat slednive integrali:}

a)

5.8

_{Rekurentni formuli}

Zadaqa5.12_{. Da se najde rekurentnata formula za presmetuvanje In=}

Z _dx

(x2_+a2₎n, n∈Q

+

i da se primeni za presmetuvanje na I3.

Zadaqa 5.13_{. Da se najde rekurentnata formula za In =}

Z (x2

+a2

)ndx, n _∈ Q+ i da se primeni za presmetuvanje na I3

2.

Zadaqa 5.14_{. Da se najde rekurentnata formula za presmetuvanje na}

Z

lnnxdx, n _∈N.

Zadaqa 5.15_{. Da se pokaжat slednive rekurentni formuli}

a)

5.9

_{Razni integrali}

Zadaqa 5.16_{. Da se rexat slednive integrali:}

6

_{Opredelen integral}

6.1

_{Osobini na opredelen integral}

1) Ako f i g se integrabilni na segmentot[a, b], togax i funkciite kf, k =const i f_±g se integrabilni na [a, b] i vaжi:

b

Z

a

kf(x)dx=k

b

Z

a

f(x)dx;

b

Z

a

[f(x)_±g(x)]dx=

b

Z

a

f(x)dx_±

b

Z

a

g(x)dx;

2)

a

Z

a

f(x)dx= 0;

3)

b

Z

a

f(x)dx=₋

a

Z

b

f(x)dx;

4) Ako f e integrabilna na segmentot [a, b] i c_∈ [a, b], togax f e integrabilna na [a, c] i [c, b] i vaжi:

b

Z

a

f(x)dx=

c

Z

a

f(x)dx+

b

Z

c

f(x)dx.

6.2

_{Formula na Njutn-Lajbnic}

Ako funkcijata f(x)e integrabilna na [a, b]i F(x) e nejzinata primitivna funkcija, togax

b

Z

a

f(x)dx=F(x)b

a =F(b)−F(a).

Zadaqa 6.1_{. Neka funkcijata f e integrabilna na [0,5] i}

1

Z

0

f(x)dx = 6,

2

Z

0

f(x)dx = 4 i

5

Z

2

f(x)dx= 6. Presmetaj

5

Z

1

f(x)dx.

Zadaqa6.2_{. Dadena e funkcijata f(x) =}

x2

, 0_≤x_≤1

2₋x , 1< x_≤2 . Dali f(x)e neprekinata na

[0,2]? Dali f(x) e integrabilna na [0,2]? Da se presmeta

2

Z

0

Zadaqa 6.3_{. Da se presmetaat slednive integrali:}

Upatstvo: [x]e funkcijata cel del odx, a sgnx e funkcijata definirana na sledniov naqin:

sgnx=

Zadaqa 6.4_{. So pomox na definicijata na opredelen integral da se presmeta lim}

n→∞Sn ako:

Zadaqa 6.5_{. So primena na prethodnata zadaqa da se presmetaat integralite:}

Zadaqa 6.6_{. Da se izvede rekurentna formula za dadenite integrali, a potoa tie da se}

presmetaat:

a) In= a

Z

0

(a2₋x2)ndx, n _∈Q+; b) In= π/2

Z

0

sinnxdx, n_∈N, n >2; v) In= π/2

Z

0

cosnxdx, n_∈N, n >2.

Zadaqa 6.7_{. Da se dokaжe deka} π

2 Z

π

4

dx 1 + sinx ≤

π

2 Z

π

4 dx

sinx bez da se presmetuvaat integralite.

Zadaqa 6.8_{. Da se dokaжe deka 2}−q _<

1

Z

0

dx

(1 +xp₎q <1, p, q >0.

Zadaqa6.9_{. Da se proveri koj od integralite}

1

Z

0

x dx ili

1

Z

0

x2

dxima pogolema vrednost bez

tie da se presmetuvaat.

Zadaqa6.10_{. Da se proveri koj od integralite}

1

Z

0

√

1 +x2_{dx ili} 1

Z

0

x dx ima pogolema

vred-nost bez tie da se presmetuvaat.

Zadaqa 6.11_{. Da se sporedat opredelenite integrali I1 =} π

2 Z

0

sin10

xdx i I2 =

π

2 Z

0

sin2

xdx bez

da se presmetuvaat.

Zadaqa 6.12_{. Da se oceni vrednosta na opredeleniot integral}

1

Z

0

√

3 +x2_{dx bez toj da se}

presmetuva.

Zadaqa 6.13_{. Da se oceni vrednosta na opredeleniot integral}

2

Z

0

ex2−xdx.

Zadaqa 6.14_{. Da se oceni vrednosta na opredeleniot integral}

1

Z

0

x9

dx √

1 +xdx.

Zadaqa 6.15_{. Da se oceni vrednosta na opredeleniot integral}

1

Z

0

ex

6.3

_{Nesvojstveni integrali}

Zadaqa 6.16_{. Da se presmetaat slednive integrali:}

a) I =

+_∞

Z

0

dx

x2_{+ 1}; b) I = +_∞

Z

2

dx x2_+x

−2; v) I =

+_∞

Z

0

xdx (1 +x)3;

g) I =

+_∞

Z

2

lnx

x dx; d) I =

+_∞

Z

1

lnx

x2 dx; ´g) I = +_∞

Z

1

dx x2_{(1 +x}2₎;

e) I =

0

Z

−∞

exdx; ж) I =

0

Z

−∞

e−xdx; z) I =

+_∞

Z

−∞

dx (x2_{+ 1)}2;

) I =

2

Z

1

x₋2 √

x₋1dx; i) I =

2

Z

1

dx

xlnxdx; j) I =

1

Z

−1

dx 3 √

x2dx;

k) I =

1

Z

0

dx p

x(1₋x); l) I =

+_∞

Z

0

xlnx

(1 +x2₎2dx; lj) I =

e

Z

0

6.4

_{Primena na opredeleniot integral}

6.4.1 _{Ploxtina na ramninski lik}

a) Ploxtina na ramninski lik vo pravoagolen koordinaten sistem (funkciite se zadadeni vo ekspliciten ili impliciten oblik)

Akof e neprekinata funkcija na[a, b]if(x)_≥0, _∀x_∈[a, b], togax ploxtinata na krivo-liniskiot trapez ograniqen so lakot na krivata y=f(x), pravite x=a, x=b i x₋oskata, se presmetuva spored formulata:

P =

b

Z

a

f(x)dx.

Akof e neprekinata funkcija na[a, b]if(x)_≤0, _∀x_∈[a, b], togax ploxtinata na krivo-liniskiot trapez ograniqen so lakot na krivata y =f(x), pravite x =a, x=b i x₋oskata se presmetuva spored formulata:

P =₋

b

Z

a

f(x)dx.

Neka f i g se neprekinati funkcii na [a, b] i f(x) _≤ g(x), _∀x _∈ [a, b]. Ploxtinata na ramninskiot lik ograniqena so pravite x=a, x=b i krivite koi se grafici na funkciite f i g na [a, b], se presmetuva so formulata:

P =

b

Z

a

[g(x)₋f(x)]dx.

Zadaqa 6.17_{. Da se skiciraat graficite na dadenite funkcii, a potoa da se presmeta}

ploxtinata na likot ograniqen so niv:

a) y=x2

, x+y= 2; b) x+y= 0, y= 2x₋x2

;

v) y=√2x+ 1, y=x₋1; g) y=√3

x, x=₋1, y = 0;

d) x= 1₋4y2

, x= 0; ´g) x=₋y2

+ 2, y =x, y = 0, (x, y _≥0);

e) y=_|lnx_|, y= 0, x= 0,1, x= 10; ж) y= 2x, y= 2, x= 0;

z) y=ex, y =e−x, x= 1; ) y=_|x₋1_|, y = 0, x=₋1, x= 2;

i) y= (x+ 1)2

, x= sinπy, y = 0 (0_≤y_≤1); j) x

2

a2 +

y2

b2 = 1;

k) y= 1

x2, x= 1 (x >1); l) y=

1

1 +x2, y =

x2

2 ;

Zadaqa 6.18_{. Vo kakov odnos parabolata y}2

= 2x ja deli ploxtinata na krugot x2

+y2

= 8?

b) Ploxtina na ramninski lik vo pravoagolen koordinaten sistem (funkciite se zadadeni vo parametarski oblik)

Neka krivata e zadadena vo parametarski oblik

x=x(t) y =y(t)

kade xto x(t) i y(t) se neprekinati funkcii za t0 ≤ t ≤t1. Ako y(t) ≥0, a x˙ e neprekinata

funkcija na [t0, t1], togax ploxtinata na ramninskiot lik ograniqen so dadenata kriva i

pravite x=x(t0), x=x(t1) iy = 0 moжe da se presmeta so:

P =

t1 Z

t0

y(t) ˙x(t)dt.

Zadaqa 6.19_{. Da se skiciraat graficite na dadenite funkcii, a potoa da se presmeta}

ploxtinata na likot ograniqen so niv:

a)

x=a(t₋sint)

y=a(1₋cost) , t∈[0,2π], a−const., y = 0;

b)

x=acost

y=bsint , t∈[0,2π), a, b−const.

v)

x=acos3

t y=asin3

t , t∈[0,2π), a−const.

v) Ploxtina na ramninski lik vo polaren koordinaten sistem

Ploxtinata na likot ograniqen so krivata zadadena vo polaren koordinaten sistem so ρ=ρ(ϕ) i polupravite ϕ =α, ϕ=β (α < β) se presmetuva po formulata:

P = 1 2

β

Z

α

ρ2

(ϕ)dϕ.

Zadaqa 6.20_{. Da se skiciraat graficite na dadenite funkcii, a potoa da se presmeta}

ploxtinata na likot ograniqen so niv:

a) ρ2

=a2

cos 2ϕ, a₋const.; b) ρ=a(1 + cosϕ), a₋const.;

v) ρ=asin 3ϕ, a₋const.; g) ρ= 2√3 cosϕ, ρ = 2 sinϕ;

d) ρ=acosϕ i ρ=a(cosϕ+ sinϕ), a₋const., a >0(toqkata Aa 2,0

Zadaqa6.21_{. Da se napixe ravenkata na krivata (x}2

+y2

)2

=a(x3

−3xy2

), a >0vo polarni koordinati, a potoa da se skicira nejziniot grafik i da se presmeta polxtinata na likot ograniqen so nea.

Zadaqa 6.22_{. Da se presmeta ploxtinata na pomaliot lik ograniqen so krivite:}

ρ= 1 + cosϕ, ρ =√3 sinϕ.

Zadaqa 6.23_{. Krivata x}2_+y2 _=a2 _{go deli likot ograniqen so krivata}

(x2

+y2

)2

= 4a2

xy na dva dela. Da se najde odnosot na ploxtinite na dobienite delovi.

6.4.2 _{Dolжina na lak na kriva}

a) Dolжina na lak na kriva vo pravoagolen koordinaten sistem (funkciite se zadadeni vo ekspliciten ili impliciten oblik)

Ako f i f′ _{se neprekinati funkcii na [a, b], togax dolжinata na lakot na krivata}

y=f(x), x_∈[a, b] se presmetuva so formulata:

l=

b

Z

a

q 1 +y′2

dx.

Zadaqa 6.24_{. Da se skicira grafikot na dadenata funkcija, a potoa da se presmeta}

dolжi-nata na:

a) lakot na krivata y= x

2

2 −1 otseqen so pravata y= 0; b) lakot na krivata y=ex otseqen so pravite x= 0 i x= 1; v) lakot na krivata y=chx otseqen so pravite x= 0 i x= 3.

Zadaqa 6.25_{. Da se presmeta dolжinata na lakot ograniqen so krivite}

y3

=x2

i y=√2₋x.

b) Dolжina na lak vo pravoagolen koordinaten sistem (funkciite se zadadeni vo para-metarski oblik)

Neka funkcijata e zadadena vo parametarski oblik

x=x(t) y =y(t)

kade xto x(t) i y(t) se neprekinato diferencijabilni funkcii za t0 ≤ t ≤ t1. Ako x˙ i y˙ se

integrabilni funkcii na [t0, t1], togax dolжinata na lakot na dadenata kriva me´gu pravite

x=x(t0), x=x(t1) se presmetuva so formulata:

l=

t1 Z

t0 p

˙

Zadaqa6.26_{. Da se skiciraat graficite na dadenite funkcii, a potoa da se presmeta}

dolжi-nata na nivniot lak:

a)

x=a(t₋sint)

y=a(1₋cost) , t∈[0,2π], a−const.;

b)

x=acost

y=bsint , t∈[0,2π), a, b−const.;

v)

x=acos3

t y=asin3

t , t∈[0,2π), a−const.

v) Dolжina na lak vo polaren koordinaten sistem

Dolжinata na lakot ograniqen so krivata ρ=ρ(ϕ) i polupravite ϕ=α, ϕ =β (α < β) se presmetuva po formulata:

l =

β

Z

α

q

ρ2_+ρ′2

dϕ.

Zadaqa6.27_{. Da se skiciraat graficite na dadenite funkcii, a potoa da se presmeta}

dolжi-nata na nivniot lak:

a) ρ2

=a2

cos 2ϕ, a₋const.; b) ρ=a(1 + cosϕ), a₋const.

6.4.3 _{Volumen na rotaciono telo}

Volumenot na teloto xto se dobiva so rotacija na krivoliniskiot trapez ograniqen so krivata y =f(x), pravite x=a, y=b i y= 0 okolu x₋oskata e

Vx =π b

Z

a

y2

dx.

Ako krivata e dadena vo parametarski vid so ravenkite: x=ϕ(t), y=ψ(t), t1 ≤t≤t2

togax

Vx =π t2 Z

t1

[ψ(t)]2

ϕ′_(t)dt.

Ako krivata e dadena vo polarni koordinati ρ = ρ(ϕ), α _≤ ρ _≤ β, a rotira okolu polarnata oska togax

V = 2π 3

ϕ2 Z

ϕ1 ρ3

(ϕ) sinϕ dϕ

Zadaqa6.28_{. Da se presmeta volumenot na telo dobieno so rotacija okolux-oskata na likot}

ograniqen so parabolata y= x

2

Zadaqa 6.29_{. Da se presmeta volumenot na teloto xto se dobiva so rotacija na elipsata}

x2

a2 +

y2

b2 = 1 okolu x−oskata. So primena na dobieniot rezultat da se opredeli formula za

presmetuvanje na volumen na topka so radius R.

Zadaqa 6.30_{. Da se presmeta volumenot na elipsoidot} x

2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1.

Zadaqa 6.31_{. Da se presmeta volumenot na teloto xto se dobiva so rotacija na krivata}

x=a(t₋sint)

y=a(1₋cost) , 0≤t ≤2π okolu x-oskata. Da se skicira dobienoto telo.

Zadaqa 6.32_{. Da se presmeta volumenot na teloto koe se dobiva so rotacija na krivata}

ρ=a(1 + cosϕ), 0_≤ϕ_≤2π okolu polarnata oska.

6.4.4 _{Ploxtina na rotaciono telo}

Ploxtinata koja ja opixuva lakot na krivata y=f(x)me´gu toqkite so apcisi x=a iy=b rotirajki okolu x₋oskata se presmetuva po formulata

Px = 2π b

Z

a

ydl= 2π

b

Z

a

y q

1 +y′2

dx.

Ako krivata e zadadena vo parametarski oblikx=x(t), y=y(t), t1 ≤t≤t2 togax

Px = 2π t2 Z

t1

ypx˙2_{+ ˙y}2_dt.

Ako krivata e zadadena vo polarni koordinati ρ=ρ(ϕ), α_≤ϕ_≤β togax

P = 2π

β

Z

α

ρsinϕ q

ρ2_+ρ′2

dϕ.

Zadaqa 6.33_{. Da se presmeta ploxtinata na teloto xto se dobiva so rotacija na krivata}

y=x3

, ₋2

3 ≤x≤ 2

3 okolux−oskata.

Zadaqa 6.34_{. Da se presmeta ploxtinata na teloto xto se dobiva so rotacija na krivata}

y= sinx, 0_≤x_≤π okolu x₋oskata.

Zadaqa6.35_{. Da se presmeta ploxtinata na teloto xto se dobiva so rotacija okolux−oskata}

na elipsata

x2

a2 +

y2

b2 = 1.

So primena na dobieniot rezultat da se opredeli formula za presmetuvanje na ploxtina na sfera so radius R.

Zadaqa 6.36_{. Da se presmeta ploxtinata na teloto xto se dobiva so rotacija na krivata}

x=asin3

t y=acos3

t , 0≤t <2π okolu x-oskata. Da se skicira dobienoto telo.

Zadaqa 6.37_{. Da se presmeta ploxtinata na teloto xto se dobiva so rotacija okolu}

polar-nata oska na krivata