PENGAPLIKASIAN NILAI EIGEN DALAM
KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Dwi Yulianti Sari
1, Ika Muslihatu Rohmah
2, Hendra Kartika
3 1,2Mahasiswa Pendidikan Matematika,Universitas Singaperbangsa Karawang
3Staff Pengajar Pendidikan Matematika, Universitas Singaperbangsa Karawang
dwiyuliant1808@gmail.com
Abstrak- Artikel ini akan membahas suatu materi yang berkaitan dengan salah satu cabang ilmu metematika yaitu Aljabar. Dalam aljabar terdapat suatu materi yaitu Nilai Eigen. Kegunaan nilai eigen telah digunakan dalam berbagai bidang ilmu. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan beragam masalah dalam kehidupan sehari-hari. Diantaranya untuk menganalisis sumber suara, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, rekontruksi wajah, dan lain-lain. Pada pemakaiannya biasanya hanya diperlukan nilai eigen terbesar dan vektor eigen yang berkaitan. Sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan dalam membantu mempermudah kehidupan sehari-hari. Karena permaslahan nilai eigen cukup penting kegunaannya maka berbagai metode yang digunakan untuk menentukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari. Dalam jurnal ini akan disajikan pengaplikasian nilai eigen dalam kehidupan sehari-hari serta metode yang digunakan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks.
Kata kunci : Aljabar, matriks, nilai eigen, vektor eigen
I. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Biasanya, perumusan model matematika ini berupa fungsi. Model matematika dapat diselesaikan dengan metode analitik dan metode numerik.
Penyelesaian dari masalah-masalah yang terjadi disekitar dan penerapannya pada cabang ilmu lain telah mengalami perkembangan zaman. Dalam permasalahan sehari-hari tidak semua model matematika dapat diselesaikan dengan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau arritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi).
Pengaplikasian nilai eigen dalam kehidupan sehari-hari salah satunya adalah pada sistem tenaga listrik. Penggunaan Power system stabilizer(PSS). pada sistem tenaga listrik secara luas telah banyak digunakan dalam meningkatkan stabilitas sistem.Analisa kestabilan sistem dapat diketahui melalui nilai eigen.
Pada pemakaiannya nilai eigen biasanya hanya diperlukan nilai eigen dominannya dan vektor eigen yang berkaitan. Contohnya, dalam pengambilan keputusan menggunakan metode PHA, dan dalam rekontruksi wajah dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen. Menentukan nilai eigen dominan dan vektor eigen yang bersesuai dari suatu matriks bujur sangkar dapat dilakukan dengan menentukan persamaan karakteristik terlebih dahulu.
Persamaan karakteristiknya berbentuk
Det (λI-A) = 0 ... (1) yang nantinya akan memperoleh persamaan dalam bentuk
+ c1 + ... + cn = 0 ... (2)
yang disebut sebagai polinom karakteristik. Dengan λ merupakan nilai-nilai eigen dari matriks. Untuk
mencari nilai λ kita harus mencari solusi dari polinom karakteristik, setelah diperoleh nilai eigennya
kemudian diplih nilai eigen dominannya. Cara ini tidak efisien jika yang akan dicari hanyalah nilai eigen dominannya beserta vektor eigennya yang bersesuaian dan jika dimensi matriks cukup besar
karena akan menyulitkan pencarian nilai λ yang memenuhi polinom karakteristik jika derajat
II. PEMBAHASAN
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.
Contoh Matriks
1. Matrik berordo 2x2 ?
2. Matriks berorodo 2x3 ?
2. Pengertian eigen
Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:
dimana A suatu matriks, x merupakan vektor, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan
3. Pengertian Vektor Eigen
Vektor eigen (x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x
≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada
tiga. Misalkan untuk λ = 2
jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh : -0,4b - 0,4c = 0
-10a + 21b - 9c = 0
dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 ialah :
untuk λ = -2, jika dicari diperoleh :
dan untuk λ = 4
4. Pengaplikasian Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam kehidupan sehari-hari. 4.1 Menganalisa Sumber Suara
a. Pengamatan Nilai Eigen
Nilai eigen yang diperoleh dari tiap masukan bunyi vokal berupa matrik diagonal dengan ordo n tergantung panjang segmentasi yang digunakan. Untuk kemudahan dalam pengamatan, maka nilai eigen disusun dalam bentuk matrik kolom tunggal dengan mengambil nilai diagonalnya saja dan diperoleh matrik baru berukuran satu kolom (n x 1).
b. Ekstraksi Ciri Bunyi Vokal Bahasa Indonesia
Laju bit data dalam pengiriman suara jarak jauh dapat ditekan menjadi cukup rendah dengan teknik kompresi dan penyandian. Penurunan laju bit yang lebih drastis akan diperoleh bila yang dikirim hanya berupa ciri suara. Selanjutnya penerima akan mensintesiskan suara yang serupa. Ciri dari suara tersebut sangat membantu guna membedakan suara vokal yang satu dengan yang lain. Penganalisaan akan mencari parameter bunyi vokal dengan membuat grafik sebaran nilai yang terbentuk dari nilai-nilai eigen.
c. . Ciri dari Sebaran Nilai Eigen
diperoleh penunjukan ciri khusus sebaran nilai yang terbaik dari bunyi vokal. Dari pengamatan grafik nilai eigen di atas, hanya akan diambil 10 nilai eigen tertinggi. Penganalisaan dilakukan dengan memplot antara 2 nilai eigen, maka sesuai dengan kaidah permutasi dan kombinasi akan diperoleh kombinasi sebanyak 45 buah sebaran nilai eigen.
Dari hasil analisa, pengaruh dari perubahan panjang segmentasi adalah semakin besar panjang segmentasi yang digunakan untuk menganalisa bunyi vokal maka sebaran nilai eigen yang diperoleh makin mengelompok dan terpusat pada nilai tertentu sehingga mempermudah dalam penunjukkan ciri penyebaran nilai dari metode eigen.
Jadi, Parameter pencirian bunyi vokal dalam bahasa Indonesia dapat dilakukan dengan metode eigen, yaitu nilai eigen. Pencirian bunyi vokal sangat baik direpresentasikan dengan sebaran nilai eigen, dari hasil analisa diperoleh sebaran nilai terbaik pada sebaran nilai eigen ke-1 terhadap eigen ke-5, eigen ke-1 terhadap eigen ke-6 dan eigen ke-2 terhadap eigen ke-5 dari nilai tertinggi. Semakin besar panjang segmentasi yang digunakan maka pencirian bunyi vokal akan semakin baik dan jelas.
4.2 Aplikasi Nilai Eigen Pada Sistem Tenaga Listrik Power System Stabilizier (PSS)
Penggunakan Power System Stabilizer (PSS) pada system tenaga listrik secara luas telah banyak digunakan untuk meningkatkan stabilitas sistem. PSS konvensional yang telah dikembangkan,didesain menggunakan pemodelan linier yang diperoleh dengan linierisasi model nonlinier disekitar nilai nominal yang menghasilkan nilaioptimal untuk kondisi dan parameter sistem yang nominal .
Yang dimaksud dengan sistem tenaga listrik yaitu komponen-komponen tenaga listrik yang membentuk suatu sistem terpadu dan terhubung Sistem Tenaga Listrik Analisa Kestabilan Dengan State Space Segala gejala dari sistem yang dinamik, seperti halnya sistem tenaga, dapat direpresentasikan dalam kesatuan dari n non linear orde
pertama dari persamaan differensial yang mengikuti persamaan berikut: xi = fi(x1, x2, …, xn ;u1, u2, …,ur; t) dengan i = 1,2,…,n bentuk lain yang lebih ringkas dari persamaan sebelumnya adalah, x = f (x ; u ; t) Kolom dari x disebut dengan variabel keadaan, sedangkan u adalah variabel inputan dan t adalah waktu. Kolom input adalah segala masukan dari dalam atau luar sistem yang mempengaruhi sistem tersebut. persamaan umum dari state space ini terhadap sistem yang besar, yaitu x = A Dx + B Du Dy = C Dx + D Du Persamaan di atas dapat mengatasi analisa mengenai kestabilan saat gangguan kecil, dengan variabel-variabelnya adalah sebagai berikut:
Dx adalah vektor keadaan dengan dimensi n Dy adalah vektor keluaran dengan dimensi m Du adalah vektor masukan dengan dimensi r
A adalah matriks keadaan dari sistem dengan ukuran nxn B adalah matriks pengontrol masukan dengan ukuran nxr C adalah matriks keluaran dengan ukuran mxn
D adalah matriks feedforward antara input dan output dengan ukuran mxr
Jika studi sistem telah diungkapkan ke dalam analisa state space atau melalui blok diagram, maka analisa kestabilan sistem tersebut dapat diketahui melalui nilai eigennya Kestabilan sistem non linier dari gangguan kecil diberikan oleh akar-akar (eigen) dari persamaan karakteristik matriks A, yaitu:
(a) Jika nilai-nilai eigennya negatif, maka sistem tersebut dikatakan stabil
(b) Jika setidaknya ada satu nilai positif , maka sistem tersebut dapat dikatakan tidak stabil
Sedangkan eigen values suatu matriks itu sendiri didapat dari nilai skalar parameter λ
yang berasal dari persamaan : AФ=λФ
Sedangkan A adalah matriks nxn dan Ф adalah matriks nx1 Bilangan kompleks tersebut mempunyai bentuk λ = σ ± jώ Dengan frekuensi osilasi dalam Hz ƒ = ώ / 2 π
Frekuensi di atas menandakan frekuensi teredam Rasio redaman ditentukan oleh persamaan:
ζ = - σ / √ σ² + ώ²
4.3 Aplikasi Nilai Eigen terhadap perbedaan genotip
Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemui masalah perbedaan karakter seseorang, bentuk seseorang, dan perbedaan kemampuan seseorang. Ini merupakan salah satu sifat turunan yang berupa gen yang dibawa dari orang tua yang terdiri dari genotip yang merupakan susunan konstitusi genetika.
Pada umumnya penentuan kemungkinan jenis genotip keturunan suatu makhluk hidup ditentukan dengan teori peluang, ternyata kemungkinan jenis genotip keturunan itu dapat ditentukan dengan perhitungan matematika lainnya yaitu menggunakan salah satu cabang matematik aljabar linier. Yaitu dengan pengaruh nilai eigen.
III. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor.
Pengaplikasian materi dalam kehidupan sehari-hari itu sangat penting, yaitu untuk mempermudah siswa dalam menanggapi suatu materi yang diberikan guru kepada peserta didiknya. Serta untuk menambahkan pengetahuan peserta didik tentang pemanfaatan materi yang mereka pelajari dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, dengan mengetahui pengaplikasiannya mampu menarik minat peserta didik dalam mempelajari materi yang sedang dipelajari.
Pengaplikasian nilai eigen dalam kehidupan sehari-hari dapat digunakan dalam berbagai bidang ilmu. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan beragam masalah dalam kehidupan sehari-hari. Diantaranya untuk menganalisis sumber suara, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, Sistem Tenaga Listrik Power System Stabilizier (PSS), rekontruksi wajah, perbedaan genotip dan lain-lain.
Saran
Supaya pengajaran dapat berjalan dengan baik dan lebih menarik dengan pengenalan penggunaan setiap materi dalam kehidupan sehari-hari. Diharapkan juga peserta didik lebih kreatif dan inovatif serta mampu mengembangkan pengetahuannya agar tidak hanya mengetahui rumus tapi dapat mengaplikasikan terhadap kehidupannya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] https://ebenbohr.wordpress.com/30-persamaan-gelombang/
[3] https://www.academia.edu/5935030/POWER_S_METHODE
[4] http://artikamareta.blogspot.co.id/p/blog-page_25.html
