UNIT KEGIATAN BELAJAR Mandiri
1.
Identitas
a.
Nama Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan)
b.
Semester
: ganjil
c.
KompetensiDasar
:
d.
Indikator Pencapaian Kompetensi
:
e.
MateriPokok
: Proyeksi dua buah vektor.
f.
AlokasiWaktu
: 9JP ( 3 x pertemuan )
g.
TujuanPembelajaran :
h.
Materi Pembelajaran
o
Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP)
:Kanginan,
Nurdiansyah, dkk. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya.3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antarvektor
dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor,
panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang)
dan berdimensi tiga
3.2.8
Menjelaskan konsep vektor satuan.
3.2.9 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor.
3.2.10 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor.
3.2.11 Menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor.
3.2.12 Menentukan hasil proyeksi orthogonal dua buah vektor.
4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi
vektor
Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta
didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeksi orthogonal dan
dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi
vektor, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran
agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan
bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan
berpikir
kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C)
2.
PetaKonsep
3.
KegiatanPembelajaran
a.
Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memaham
icerita di bawah ini.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan
ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.
b.
KegiatanInti
1)
Petunjuk Umum UKBM
a)
Baca dan pahami
materi pada Buku Teks Pelajaran
(BTP)
:Kanginan, Nurdiansyah, dkk. 2016.
Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya, Hal. 239 s.d 251Proyeksi Dua buah Vektor
Konsep Vektor Satuan Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor
Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor
“
Pak. Yunus, bersama anak didiknya mengadakan kegiatan
karyawisata ke Jatim Park 2, Batu .Di dalam ruangan geografi, Pak.
Yunus menunjukkan sebuah kristal kalium karbonat yang memiliki
bentuk sebuah segidelapan(Oktagon) seperti ditunjukkan dalam
gambar
Jika titik-titik sudutnya sumbu
koordinat yang sesuai A(1,-5,2),
B(6, -3,4), C(7,1,0), D(2,-1,-2),
E(-4,9,10) dan F(12,-13,-8). Analisa
dan temukan jawaban, hipotesa
bahwa pernyataan diagonal
ruang AC dan EF dari kristal ini
saling berpotongan?”
Gambar Kristal
Kalium Karbonat
Definisi
b)
Setelah memahami isi materi dalam bacaan
berlatihlah untuk
berfikir tinggi
melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKBM ini
baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau
teman lainnya.
c)
Kerjakan UKBM
ini di buku kerja atau langsung mengisikan
pada bagian yang telah disediakan.
d)
Kalian dapat
belajar bertahap dan berlanjut
melalui kegiatan
ayo berlatih
, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu
menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan
belajar 1, 2, dan 3 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain
yang sudah siap untuk
mengikuti tes formatif agar kalian
dapat belajar ke UKBM berikutnya.
2)
Kegiatan Belajar
Ayo……ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan
konsentrasi
!!!
Kegiatan Belajar 1
Pada kegiatan 1 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus vektor satuan. Kerjakan dan lengkapi titi-titik pada kolom penyelesaian dengan benar, sehingga kalian diharapkan menuliskan dikolom kesimpulan. Harus Semangat!
Bacalahuraiansingkatmateridancontohberikutdenganpenuhkonsentrasi!
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan
dalam arah
a
ditulis
, Demikian juga vektor satuan dalam arah
b
ditulis
NO
Permasalahan
Penyelesaian
1.
Berapa panjang vektor AB... Berapa panjang vektor CD. ... Nyatakan vektor CD dalam AB ...
2. Berapa panjang vektor AB
... Berapa panjang vektor CD. ...
Nyatakan vektor CD dalam vektor AB
3. Berapa panjang vektor AB
... Berapa panjang vektor CD. ...
Nyatakan vektor CD dalam vektor AB
...
Ayo .... Berfikir kritis!!
Vektor
di atas adalah vektor satuan dari vektor .
Apakah panjang vektor pada permasalahan no. 1, no. 2 dan no. 3 di atas sama.? ... Sebutkan perbedaan vektor pada permalahan no1, no. Dan no.3!
... Analisislah permasalahan no. 1, no 2 dan no.3 pada bagian “Nyatakan vektor CD dalam vektor AB” kemudian tulislah rumus untuk vektor satuan di bawah ini.
Contoh
Berikut adalah contoh vektor satuan
Diketahui
a
=
. Tentukan vektor satuan dari vektor
a.
Penyelesaian
=
Ayooberlatih!
Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka:
Vektor-vektor satuan dantermasuk vektor satuan karena besar vektor-vektor ini sama dengan satu.
Jadi,
Diberikan vektor a = xi +yj+zk, panjang vektor a = , jika adalah vektor satuan dari vektor a tuliskan vektor dalam vektor a
Glosarium
Soal terbuka ( No. 1 dan 2 )
1.
Buatlah dua buah vektor sebarang yang unsur vektornya berbeda dengan
unsur vektor temanmu.
2.
Dari dua buah vektor yang kalian buat di atas, tentukan masing-masing
vektor satuannya.
3.
Perhatikan gambar berikut!
Berapa panjang vektor ?
Vektor mana yang merupakan vektor satuan dari vektor ? Lengkapi titik-titik di bawah ini!
a.
b.
c.
Berpikirah lebih tinggi!!
4. Diberikan tiga buah vektor, a = 3i – 2j +5k, b = i – 7j + ak, c = 10i+6j-2k. Dari ketiga vektor di atas, vektor satuan mana yang paling besar(panjang), dan mengapa vektor satuan tersebut yang terpanjang?
Jelaskan jawabanmu dan tuliskan pada buku kerja kalian!
Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas, maka kalian bias
melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.
Kegiatan Belajar 2
Pada kegiatan belajar 2 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor dan sekaligus dapat menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor.
Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi
!
Orthogonal = tegak lurus
Skalar = bilangan yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.
Proyeksi vektor = bayangan vektor
Proyeksi vektor a pada b adalah panjang vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b
Definisi
,
Sekarang perhatikan gambar berikut !
Pada Kegiatan ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar vektor a pada byaitu , serta dapat menerapkan dalam kontekstual sehari-hari terkait proyeksi vektor.
Vektor , dan .
proyeksi vektor pada adalah vektor . Selanjutnya Perhatikan segitiga OAC ,
Cos
=
... ( 1
)
Perhatikan vektor
a
dan
b
,
.
= ... ( 2 )
= ...
Substitusikan (1) ke (2)
= ...
Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini. Permasalahan di bawah ini adalah berbagai kasus pada proyeksi skalar dua buah vektor.
No. Permasalahan Penyelesaian
1.
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
Bagaimana panjang vektor hasil
proyeksi dengan panjang vektor b. ... ...
Contoh
2.Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
Bagaimana panjang vektor hasil
proyeksi dengan panjang vektor b. ... ...
3.
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ... ...
Bagaimana panjang vektor hasil
proyeksi dengan panjang vektor b. ... ...
1. Tentukan proyeksi skalar vektor a= 3i+4j+6k pada b = i -3j +2k! Penyelesaian
:
b b a c .14
14
3
14
3
)
2
(
)
3
(
)
1
(
)
2
)(
6
(
)
3
)(
4
(
)
1
)(
3
(
2 2 2
c
2.
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A( -2,1,3), B(3, -1, 4) dan B(-4, 2, -1). Tentukan Proyeksi skalar vektor pada !Penyelesaian :
=
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga hasil jawaban permasalahan di atas.
... ... ...
=
=
=
21
21
16
21
16
)
4
(
)
1
(
)
2
(
)
4
)(
1
(
)
1
)(
2
(
)
2
)(
5
(
.
2 2 2
AC
AC
AB
c
Ayo berlatih!!
Setelahmemahamicontoh di atas, makaselesaikanlahsoal-soalberikut di bukukerja kalian!
1. Diketahui a= -2i +3j + k, b = i - 2j +3k dan c = 3i+ 2j - 4k
Tentukan proyeksi skalar vektor ( a + b) pada ( b – c ). 2. Diberikan dua vektor a = 2i - 3j +6k, dan b = -2i + 2j – k
Misalkan
. Tentukan nilai !
3. Ditentukan koordinat titik-titik A(-2,6,5); B(2,6,9) dan C(5,5,7); AP : PB = 3: 1. Tentukan :
a. Vektor PC
b. Panjang proyeksi vektor PC pada AB.
Apabila kalian sudahmampumenyelesaikansoalini, maka kalian
bisamelanjutkanpadakegiatanbelajar 3 berikut.
KegiatanBelajar 3
Ayo…sekarangperhatikanlagirumus proyeksi skalar vektor a dan b ,denganbaik, selanjutnya kita akan berusaha menemukan rumus proyeksi orthogonal vektor a pada b, misalkan c = vektor hasil proyeksi vektor a pada b. Kita akan membuktikan
bahwa
b
b
b
a
c
.
2
.
!Perhatikan gambar berikut
:
Panjang vektor AB = 2, panjang vektor AC= 5. Jika panjang vektor AB dinyatakan dengan panjang vektor AC.
Vektor = .
Mengingatkan pada kegiatan Belajar 2,
Perlu kalian ketahui bahwa vektor adalah vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b. Vektor c itu biasanya disebut sebagai proyeksi orthogonal vektor a pada b. Kita sudah menemukan rumus proyeksi skalar vektor a pada b ,
b b a
c . ... ( 1 ) Pada gambar di atas terlihat
atau
...( 2 )
Ayo Kamu Pasti Bisa !
Substitusikan persamaan ( 1) ke persaman ( 2)
Tuliskan hasil akhir sebagai rumus proyeksi orthogonal vektor a pada b di dalam kotak di bawah ini.
Ayo berpikir kritis!!
Ayo berkolaborasi dengan teman!!
Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini
.
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a
pada b ?
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
...
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a
pada b ?
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
...
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor a
pada b ?
... ...
Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
...
Alternatifpenyelesaiandaripermasalahan di atassebagaiberikut.
Ayo berpikir kritis!!
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga gambar di atas.
...
... ...
Apa perbedaan antara proyeksi skalar dengan proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b.
... ...
Mari bereskplorasi !
Kerjakan dengan soal berikut dengan semangat kebersamaan!
1. Tentukan proyeksi orthogonal vektor a = 2i+4j- 3k pada b = i +2j +5k! Penyelesaian:
b
b
b
a
c
.
2.
6 5 3 1 6 1 2 2 25
2
1
6
1
5
2
1
)
)
5
(
)
2
(
)
1
((
)
5
)(
3
(
)
2
)(
4
(
)
1
)(
2
(
c
2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(3,-1,2), B(-2, -1, 3) dan B(-5,- 2, 1). Tentukan Proyeksi orthogonal vektor pada !
Penyelesaian : = =
1 1 8 66 41 1 1 8 ) 1 ( ) 1 ( ) 8 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 0 ( ) 8 )( 5 ( . . 2 2 2 AC AC AC AB c3. Diketahui vektor a = -3i- j+xk pada b =3 i- 2j +6k! Jika Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 5. Hitunglah nilai x !
Penyelesaian :
xk
j
i
a
3
k
j
i
b
3
2
6
x x x b a 6 7 6 2 9 ) 6 ( ) 2 )( 1 ( ) 3 )( 3 ( CONTOH
=
=
7
49
6
)
2
(
3
2 2 2
b
Proyeksi skalar orthogonal vektor a pada b adalah 5, ini berarti;
7 42 6 35 6 7 5 7 6 7 5 . x x x x b b a Jadi nilai x = 7
Dari contohpenyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami?Jika
kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!
Ayoo berlatih!!
Ayo Berpikir lebih kritik lagi !
Soal mulai HOTS
1.
Diketahui A(1,1), B(5,4), C(11,-1), D(8,3) dan E(-1,5)
Tentukan;
a.
Proyeksi orthogonal vektor AB pada vektor AC.
b.
Proyeksi orthogonal vektor AD pada vektor AC.
c.
Proyeksi orthogonal vektor AE pada vektor AC.
Analisislah jawaban-jawaban dari 3a., 3b, dan 3c. Hasil proyeksi orthogonal
mana yang berlawanan arah dengan arah vektor AC.
...
...
2.
Diberikan sebuah belah ketupat PQRS. Seperti pada gambar di bawah ini!
PQRS adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 satuan. Titik K, L, M dan N
berturut-turut titik tengah PQ, QR, RS, dan SP. Jika vektor SN mewakili u dan
vektor SM mewakili v. Buktikan bahwa
.
Ayo...Browsing !! Ayo Bereksplorasi!!
Untuk lebih memahami aplikasi vektor satuan, kalian bisa melihat atau browsing di laman di bawah ini.
http://ipa3sanmar.blogspot.co.id/2013/09/aplikasi-vektor-satuan-dalam-kehidupan.html
Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing! Periksakan
seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi
sebelum kalian diperbolehkan belajarke UKBM berikutnya.
a.
Penutup
Bagaimana kalian sekarang?
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3,
berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah
kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada
UKBM ini di Tabel berikut.
TabelRefleksiDiriPemahamanMateri
No
Pertanyaan
Ya
Tidak
1.
Apakah kaliantelahmemahamipengertianvektor
satuan?
2.
Dapatkah kalianmenjelaskanproyeksi skalar dua
buah vektor?
3.
Dapatkah kalian menjelaskanproyeksi orthogonal
dua buah vektor??
4. Dapatkah
kalianmenyelesaikanmasalahkontekstual yang
berkaitandenganproyeksi vektor.
Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka
pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan
pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian
ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat.
Jangan putus asa
untuk mengulang agi!.
Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua
pertanyaan, maka lanjutkan berikut.
Dimana posisimu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Proyeksi skalar dan proyeksi
vektor orthogonal dua buah vektor. Dalam rentang
0 – 100
, tuliskan ke
dalam kotak yang tersedia.
Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Proyeksi
skalar dan proyeksi vektor, lanjutkan kegaitan berikut untuk
mengevaluasi penguasaan kalian!.
Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Proyeksi Vektor!
Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Proyeksi Skalar
dan Proyeksi vektor, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku
kerja kalian masing-masing.
1)
Buktikanlah bahwa
2 j idan
j
i
(sin
)
)
(cos
adalah vektor vektor
satuan.
2)
Diberikan tiga titik O, P dan Q sedemikian sehingga
3
2
OP
dan
q
q
OQ
2
. Jika
adalah suatu vektor satuan. Carilah
nilai q yang memungkinkan.
3)
Diketahui
kubus
ABCD.
EFGH.
Misalkan
vektor-vektor
Titik P adalah
titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi vektor FP pada vektor AC.
Pada gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan
a. panjang proyeksi vektor pada ? b. panjang proyeksi vektor pada ? c. proyeksi vektor pada ?
d.proyeksi vektor pada ?
