daisuteki ayamari teisei fugo no kosei to sono zenkinteki noryoku ni kansuru kenkyu

㈹数的誤り訂正符号の構成と その程近的能力紀聞する研究. 只︶. −一 りご. ︵ご. −｜. ど三. -. こ7 21乙. −･−. ？ざ. 一･一. ｊ．．、ｊ一一１・. ﾌﾟこ咎?ぞき到旅E辺−−ぎ嵯:こ.こ２タェF. -ノ｀り、 ;/−..-..-、1 4心.ノー.‘.こ. ンー -〃Ｗ---. 一. lj. ／. ・ ’゜゜t. ｙ. 一一ヘ. ｔジ. r“一. 一 一. 一一−. ... ｀4/. Ｗ. ｀:is・. 祠 ー. −● − − ／ヽ. 心゛. -. ２こl. .？.JJ･ ■■. 一 Ｓ. り=∼￣｀“｀S“.

-゛-...,͡･. 代数的誤り訂正符号の構成と その漸近的能力に関する研究. 早稲田大学大学院理工学研究科. 西. 島. 利. Ｔ ｏｓｈｉｈｉｓａ. Ｎ. 尚. ｉｓｈｉｊｉｍａ.

-_＿-．. 目 第１章. 序論. １. １. １. まえがき. ２. 本研究における評価基準と基礎的概念. １. １. ３. １. ４. 本研究の意義と位置づけ. ５. むすび. １. 第２章. 次. S hannonの通信路符号化定理一. S. ・. ・. ・. ・. ・. ・. 一一・. まえがき. ２．２. 繰り返し符号. ・・. ２．３. 連接符号. ・. ２．４. むすび. 第３ 章. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・・・. ・. ・. ・. ・. ・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・. ・・. ・・. ４. −. ８. ・. ・. ・. ・・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. １. ・. ・. ・. ・・・・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ．．．．．．．. ２. １５. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. １６. ・. ・. ・. ・. ・. ２０. １６. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ２７. 一般化連接符号. ３. １. まえがき. ３. ２. 符号化方法. ・・・. ・・・・・・. ３. ３. 復号化方法. ・・・. ・・・・. ３. ４. 信頼度関数と漸近的距離比. ・・. ３. ５. むすび. ・. ●. ・. ・. ・・. ・. ２８. ●. ・・・・・. ・・. ・・・. ・ ・. ・. ・・・. ・. ・. ・. ・・ ・. ・・・一一. ・・・一一 ・・. 一一. ・. ・. 一一 ・. ・. ・・. ・. ・・. ・. ・. ・. ・・. ・・. ・. ・. ・. ・. ２８ ・. ２９. ３２ ・. ・. ・. ・. ．．．．. ３３. 繰り返し符号の能力の改良. ４．１. まえがき. ４．２. 一般化連接符号の符号化・復号化方法を適用した改良. ４．３. 一般化連接符号の符号化・復号化方法と重畳法とを. ・. 組合せ適用した改良. ４．４. ・. hannonの通信路符号化定理が示す符号の存在を構成的に証明可能な符号. ２．】. 第４章. ・. 信頼度関数と漸近的距離比. ・一一. ・. ・. むすび. ・. ・. ・. ・. ・. ・・・・・. ・. ・. ・. ・. ・・・・・・・. (１). ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・一一・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ４２. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・. ・. ・. ４８. ３. ５. ３. ６.

-･∼-一大. 第５章. 漸近的に能率の良い畳込み符号の改良. ５．１ ５．２. まえがき. ・. ・・. ・. むすび. 第６章. １. ６. ２. ・. ・. ・. ・・・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ５０. ・. ・・・. ・・・・・. ・・・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. 一一. ・. ・. ・. ・. ５２. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ５６. ５８. 存在を保証する下界. ２．１. ６．. ２．２. ３. ・・・. ブロック符号. 畳込み符号. ・. ・. 第７章. 結論. 謝辞. ・・. ・・・. 参考文献. ・・一一一一一一. 関連発表論文. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ５. ８. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ６. ２. ・. ６. ４. ６. ４. ６. ８. ・. ・・. ・・. ・. ・. ・. ・・・. ・. ・・. ・. ・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. 一一. ・. ・・. ・. ・・・・・・・・. ・・. ・. ・. ・・. ・. ・. ・・. ・. 一一. ・. ・. ・. ・. ・・. ・・・・・・・・. ・. ・. ・・. ・・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・・. ・. ・. 一一. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ７. １. ７. １. ７４. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ・. ７５. ７７ ７９. ・・・. ８. ・. ・・・・・・. ・・・・・. ８. ・. 一一. ・・・・・. ５. ・. ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・. ・・・・・. 付録. ・. ・. 低符号化比率の場合. ・. ・. ・. 高符号化比率の場合. ・. ・. ・. 構成的に与えられる畳込み符号. ・. ・. ・. ・・. むすび. ・. ・. 低符号化比率の場合. ５. ・. ・. ３．２. ６. ・. ・. ６．. ４．２. ・. ・. ・. ６. ・. ・. 高符号化比率の場合. ６．４．１. ・. ・. 構成的に与えられるブロック符号. ４. ・. ・. ３．１. ・・. ・. ・. ６．. 研究業績. ・. まえがき. ６．. ６. ・. ・. 不均一な誤り訂正能力を有する符号の漸近的距離比. ６. ６. ・. ２次の連接符号化と一般化された連接符号化との組合せにより. 構成される畳込み符号. ５．３. ・. ・. ・・・・一一. ・. ・・. ・・・・・・. ・・・・・. ・・. ・・・. ・. ・. ・・・・・. ・. ・. ９３. ・. 一一. ・・・・・・. 文献に関する主な略語表. ・. ・. ・・. ・. ・. ・. ・・. ・・. ・. ・. ・. ９８. ・. ９９. １０３ (２). １.

-一一-. ．. 第１ 序. .ぶ 早. 論.

㎜-_、、. .〃−. １. まえがき. １. 近年情報化社会の成熟にともないコンピュ テムは て. タを主体とした情報を取り扱うシス. 益々巨大化，高速化，複雑化して来ている 情報そのものをより正確に. より効率的に. 積するかは非常に重要な問題である 具体的な研究は. この様な情報システムにおい より簡単な方法でいかに伝達. このような問題を解決するための本格的かつ. １９４８年のＣ. Ｅ. Ｓ ｈａｎｎｏｎ の論文（ｏによりその緒についた. テムを設計し. ものであり，. より理想的に上. その解明が試みられている. 中でもS. く理論体系は. 凪訓. 以来，理論的あるいは実用的研究が続けられ シス. 蓄. 己問題を解決すべく. 情報理論はその理論的背景となる. hannonによる情報量の定量的な取扱と確率的なモデルに基づ. 今日の情報科学の分野において最も重要なものの一つである. 情報理論の一つの流れの中で中心的テ. また. マである符号理論は，後に述べるS. hannon. の通信路符号化定理に源を発し. これを実現する理想的な符号化システムを得るべ. く着実な歩みを続けて来ている. 実際，今日ではＬＳＩ技術の急速な進歩により. 深宇宙通信，コンパクトディスク （５〉. いる（２）. 態と. しかし. 光ディスク等に符号化システムが実用化されて. 現在においても実用の域にある符号化システムの多くの形. 情報理論による究極の限界，あるいは. 号化方法の間には. 符号理論により解明された多くの符. 未だ多くの隔たりが存在する. いかに経済的に実現するか，. そして. 特に. 理論的に得られた解を. 両者の隔たりをいかに狭めるかが. 実用化の. ための研究であり情報理論，あるいは符号理論に課せられた今日の研究課題である ための研究であり情報理論，. 以上のような事実を踏まえて. 本章は本研究の背景，動機，意義および位置づけを. 明らかにしようとするものである. 情報理論においては urce. encoding. 行うとき. 情報源に対する符号化. − decoding）と通信路に対する符号化. ｄｅｃｏｄｉｎｇ）に分け. ルを図１. 情報のやり取りを. １に記すｏ）. 数学的なモデルとして捉える これは. 復号化（Ｃ. 情報の伝達. 復号化（ＳＯ ｈａｎｎｅｌｅｎｃｏｄｉｎｇ−. 蓄積の数学的モデ. 通信路符号化や通信路に立ち入って詳細な議論を. 余りにも一般的すぎる場合が多いが（６）（７）. １. 通信の基本的な目的. 形.

=I･. 一一. .〃，. ･‥一一一一．. −︱−−−−ＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩ. 符号理論. ｌｓ”’゜ｓ°. -■■■■■■●■・自匍●・・・・●・・■■■喝・Ｓ●・●. 図１．１. 情報の伝達・蓄積の数学的モデル. 態などを記述する上では極めて有用である.S. hannon. は参考文献（1）において通信. 路符号化・復号化に対する定理を次のように与えた．. ［定理1.1］（C.E.S. hannon，1948. : S hannonの通信路符号化定理）. 離散的な記憶のない通信路の通信路容量をびとし，離散的な情報源のエントロピー をμとする．もし//＜rならば，情報源の出力を通信路を通していくらでも小さな 復号誤り確率（または任意に小さな曖昧度）で伝送することができる符号化方法が 存在する．もしμ＞びならば，曖昧度が//−ご十￡より小さくなるように情報源を 符号化することが可能であるが，//−びより小さくなるように符号化する方法は存 在しない．但し，￡は任意に小さな正数とする．. この定理は，通信路符号化により，通信路に雑音の存在することは通信の信頼性 には何ら障害とならないという驚くべきことを述べている．以下，本論文では特に 断りのない限り通信路符号化・復号化を単に符号化・復号化と記す． この定理の証明は，あらゆる符号化を確率的に選択するランダム符号化によるも. ２. （1）.

-｡、_. =。. ので，理想的な符号の存在を保証するだけで，その理想的な符号の符号化・復号化 方法を具体的に与えた定理ではない．. そして現在のところ，繰り返し符号（s），連. 接符号（9）の２クラスの符号のみが，限られた条件のもとではあるが，. この定理か. 示す符号の存在を具体的な符号化・復号化方法を有するという意味で，構成的に証 明可能な符号であることが知られているoo≒ 一方，実用的なシステムにおいて誤り訂正符号の復号化方法をハードウェアによ り実現するには，一般に符号長が大きくなるに従い極めて複雑になる．そこで，従 来は復号化装置を簡単にするために，比較的小さな符号長の符号を複数個組合せる ことにより，適用するシステムが要求している符号長を得ていた．しかし，今日の ＬＳＩ技術の急速な進歩により，適用するシステムに適した十分大きな符号長を有 する単一の符号を用いることが可能になりつつある．すなわち，符号長を大きくす ることにより得られる利点（6）を実現して行くことが可能になりつつある．従って， 近代化されたS. hannonの通信路符号化定理が主張している，符号長を大とするに従. い復号誤り確率を指数的にＯに近づけ得る符号が実用的システムにおいて構成し得 れば理想的である． しかしながら，現在実用的とされている符号，例えば，ハミング符号，ＢＣＨ符 号等は，これら単独の符号化では符号長を大として行くに従い，その復号誤り確率 をＯに収束させることができず，S はないことが示される（lo≒. hannonの通信路符号化定理を証明可能な符号で. 従って，現在実用的なシステムにおいて用いられてい. る符号では，必ずしも符号長を大きくすることにより得られる利点が十分生かされ ない．すなわち，理論的な符号の能力と実用化されている符号の能力の隔たりは未 だ大きい． 以上のような理論的および実用的な背景を踏まえて本論文では，実用的な符号化 方法と理論の示す究極の理想的な符号化方法との狭間を埋めることを目的として， S hannonの通信路符号化定理が示す符号の存在を構成的に証明可能な繰り返し符号， 及び一般化された連接符号（ll）−（13）. を対象とし，これらの能力を改良し，その漸. ３.

SI-. 一一. 近的な能力について考察を与える．すなわち，符号化比率を一定とし，符号長を十 分大として行くに従い，復号誤り確率を次第にＯに近づけて行くことが可能な符号 を対象とする．そして，復号誤り確率のＯへの収束速度のより高速な符号を実用化 されている符号と同程度に陽に構成し与える， 以下，. まず１．２節において，本研究の基礎となるいくつかの概念を定義し，本. 研究で用いる評価基準を明確にする．. 次いで，. レ３節において，近代化された. S hannonの通信路符号化定理について述べ，信頼度関数と漸近的距離比の関係につ いて触れる．. １．４節において，本研究に関連した研究分野について述べ，本研究. で論ずる問題，意義及び位置づけを明らかにする．. １. ２. 本研究における評価基準と基礎的概念. 本研究では，. 通信路モデルは図１．２に記した誤り確率ρの２元対称通信路のみ. を対象とする． 情報源符号化された２元のﾉrピットから或る情報 １. 系列に対して，通信路符号化された符号は，符号長. /）. ０. ０. /V，情報記号数私. 最小距離/)の３者をパラメータ. として一般に(/V，ぶ，/))符号Ｃと記す．通信路 符号化は，２″個の要素を含むﾉV次元ベクトル空間 の中から，2 １. １. １一戸 図１．２. ２元対称通信路. A' 個の要素を選択する方法である．符. 号化によって選択された２゛個のyv次元ベクトルの 集合を符号Ｃと呼び，各要素を符号語と呼ぶ．符号 (7の任意の２つの符号語の距離を求めたとき，その 中で最小の値を符号ごの最小距離Ｄと呼ぶ．ここで 符号語間の距離は，距離の公理を満足する任意の尺. 度である．符号理論では，符号Ｃの能力を評価して行く上で，次のハミング距離を. ４.

J−. 〃･，. 使用するのが一般的である。すなわち，任意の/V次元ベクトルＸ＝（χｈ. ｘ。…. ｘｊｖ）とｙ＝（．ｙｌ，．Ｆ。･･･，タ｡）のハミング距離∂。（ｆ，ｙ）は， ︱. ｙΣμ １. Ｊ･）. 一﹂. ∂ｇ（Ｘ，. ａ犬１（λご≠ｙＤ (１．１). ａｉ＝Ｏ（λシ＝Jへ）. で表される．以下，本論文を通して，特に断わりのない限り，最小距離はハミング 距離を用いて表す.（/V，私. /））符号ごの符号語を通信路を通して送信すれば，. 符号語は通信路で生じた雑音（誤り）によって，yv次元ベクトル空間の任意のベク トルに変化させられる．この変化した系列を受信語あるいは受信系列と呼ぶ．復号 化方法は，受信語から送信された符号語を推定する方法である． さて，巨大化，高速化，複雑化した情報システムにおいて情報そのものを正確に 効率良く，簡単な方法で伝達・蓄積することは重要な問題である．この問題は符号 理論の立場から，『符号理論の目的は，ディジタル情報を正確に，効率良く伝達・ 蓄積するためにできるだけ簡単な符号化・復号化装置で実現できる符号を体系的に 構成することにある』と対応づけることが可能である．従って，圧政さ，効率の良 さ，符号化・復号化装置の簡単さを定量的に評価するために，符号を表現する前述 の３つのパラメータを用いて次のような対応づけを行う．. （１）正確さ. 復号誤り確率戸（￡），復号後の２元シンボル当たりの誤り 確率ｐ. （２）効率. 一一. （３）簡単さ. ｅ，または距離比j△/）//V. −. 争争. 符号化比率ﾉ?△ｆ／ﾉV. −. 符号化アルゴリズムの計算量ぶ。（A/），及び 復号化アルゴリズムの計算量ぶｊ（ﾉV）’≒. ＊Ｉ. ．．（ﾉV）及びjl･jりV）は，符号化アルゴリズム及び復号化アルゴリズムが符号長7Vの如何なる関数のオーダの計算量. により実現できるかを表す．尚，計算量は，符号化・復号化に必要な論理極作の数，すなわち，論理素子数と符号化・復号化 のサイクル数の種として定義される．. ５.

Ｊ。. -. 一般に，符号化比率刃と距離比ｊ（復号誤り確率戸（￡），復号後の２元シンボ ル当たりの誤り確率7り）の間には二律排反の関係がある．すなわち，効率を良く するために/?を大きくすれば，∠1は小さく（戸（ε），ｐｅ. は大きく）なり正確さ. が劣化する．また，その逆も言える． 一方，実際の符号化・復号化システムを設計する上で，符号化・復号化装置の簡 単さの尺度を理論的な側面から削除することはできない．. 以上の評価基準のもと，本研究は，代数的誤り訂正符号の構成とその漸近的能力 １. こついて考察する．以下に，本研究の基礎的な概念のいくつかを定義し，整理する．. ［定義１．１］（能力の高い符号と能率の良い符号） （有限符号長のとき） 同一符号長/V，同一情報記号数ぶの符号を比較し，最小距離/ﾌの大きいものを能 力の高い符号と定義し，同一符号長/V，同一最小距離/ﾌの符号を比較し，情報記号 数ぶの大きいものを能率の良い符号と定義する. （無限符号長のとき） 符号化アルゴリズムの計算量ぶ．（/V）・復号化アルゴリズムの計算量ぶj（A/） を一定として，同一符号化比率/?の符号を比較し，漸近的距離比J｀（/?）*lの大き いものを能力の高い符号と定義し，同一漸近的距離比J｀（/?）の符号を比較し，符 号化比率/?の大きいものを能率の良い符号と定義する．. ［定義レ２］（構成的に与えられる符号） 符号化は，生成行列を決定するために高々符号長/Vの多項式オーダ未満の計算量 で実現可能で，かつ復号化は，符号長yvの多項式オーダの計算量で実現可能な代数 的復号法を有する符号を構成的に与えられる符号と定義する．. ＊１. 式□．３）を参照．. ６.

Ｊ。. 〃・-. 例えば，ハミング符号，ＢＣＨ符号は構成的に与えられる符号である．多くの符. 号の代数的復号法は，符号長をyvとするとき，高々θ（/V. loいyv）またはθ（yv2）. の計算量で実現できる．. ［定義1.3］（R.G.G. allager，1965. 符号長/V，情報伝送速度P（nats/symboO＊≒. : 信頼度関数） （7）（14）. 復号誤り確率戸（ε）とすると. き，信頼度関数￡（P）（ｎａｔｓ）は次式により定義される． ￡（／?＊）△１ｉｍ −. ｓｕｐ［−ｌｎ戸（￡）//V］.. (１．２). yv→（x）. ［定義1.4］（C.E.S. hannon，R.G.G. amp，1967. : 漸近的距離比）. allager，and. E. . R.B. erlek-. （ll）. 符号長/V，情報伝送速度刃’のブロック符号の最小距離の最大値をＤ（/V，が） とするとき，その漸近的距離比j｀（ﾉ?’）は次式により定義される． j｀（Ｒ゛）△ｌｉｍ. ｓｕｐｒ￡）（／Ｖ，が）/yV］.. (１．３). − yV→（x）. 但し，が＝「. ｅ″”ョ＊２である. ［定義レ5］（J.J （yv，私. ustesen，1972. : 漸近的に能率の良い符号）. （16）. β）符号ごに対して，次式を満足する符号を漸近的に能率の良い符号. と定義する． δ（ﾉ?）＞０，０＜ﾉ?＜１. ＊１. (１．４). 情報理論では，一般に対数の底をｅで表し，単位をナット（n,ts）で表す．一方，符号理論では一般に対数の底を２で. 表し，単位をビット（bits）で表す．従って，符号理論で言う符号化比率は，情報理論では情報伝送速度と呼ばれている．以 下，刃’，/.’，刃,lは情報伝送速度を表す． ＊２. ｒ ･･・はｘ以上の最小の整数を表す．. -. ７−.

J。. -k. ［定義1.6］（W.W.P. eterson. and. E .. J.Weldon，J. r.，1972. nonの通信路符号化定理が示す符号の存在を構成的に証明可能な符号）. : S han-. （10）. ある非ゼロの符号化比率/?に対して，符号長yvを十分大とすることにより，復号 誤り確率戸（ｆ）がＯに収束し得る構成的に与えられる符号をS. hannonの通信路符. 号化定理が示す符号の存在を構成的に証明可能な符号，また単に通信路符号化定理 が示す構成的符号と定義する．. Ｉ. ３. S hannonの通信路符号化定理. 信頼度関数と漸近的距離比. 符号理論発祥の源である定理卜Ｉは，１９６５年R.G.G. −. allagerにより，ブ. ロック符号について極めて明快に次のように近代化され与えられている．. ［定理レ2］（R.G.G allager，1965 : 通信路符号化定理） （7〉（14）. 戸（￡）≦exp［−/V￡≒（/Z゛）］. (Ｉ．５). 離散的な記憶のない通信路において，が＝「 但し. ｅ. ＮＲ゛￢￨個の情報源文字系列の各々. １. ￡’ｏ（β、Ｑ）. 一 一. -. ぐ１ 瓦Σμ. Ｑ） ￡≒（ﾉ?’） を符号長yv，情報伝送速度7?＊の符号語に符号化し，かつ復号誤り確率戸（ど）が次 z7 R゛］， ＝ｍａｘ［￡，（ｘ７ Ｑ，０≦／７≦１ 式で与えられるようなブロック符号が存在する．. 1/ １十/7 1＋β. ,／ Σ ノ’. (１．６). 恥 １. 戸. ）. ／１. Ｏ≦β. ≦１. である．ここに，Ｑ＝（Ｑうは確率ベクトル，/）＝［/≒，］はｙ人力ぶ出力の通 信路の遷移確率行列を示し，通信路容量をC（nats/symbol）とするとき情報伝送 速度刃＊はＯ≦ﾉ?＊＜ごを満足するものとする．. ８. (1.7).

J。. .〃●-. この定理は，通信路容量Ｃより小さな任意の情報伝送速度ﾉ?゛に対して，符号長 /Vを大として，符号化・復号化装置を適当に設計すれば，復号誤り確率/）（￡）が 符号長yvのオーダで指数的にＯに収束する符号の存在することを示している．具体 的に，式（１．５）より，符号化比率を一定とすれば，. すなわち/に（ﾉ?゛）を一定とし. たときには，符号長/Vが例えば２倍になれば２乗のオーダでより小さな復号誤り確 率戸（ε）を得ることができる符号の存在を保証している．そして，究極の結果と して符号長/Vを無限大とすれば，復号誤り確率戸（ど）がＯとなる符号化方法が存 在することを示している． y t−. こで，￡。（7i!. 1）は式（１．２）で定義される信頼度関数￡（刃‘）の下界で，特に. ブロック符号のランダム符号化誤り指数と呼ばれる．但し，定理１．２は考えられ るすべての符号化方法を確率的に選択する，いわゆるランダム符号化により評価さ れた存在定理であり，明示的に符号の構成方法を与える定理ではない．従って，式 （１．５）の戸（ｆ）は，確率的に選択された各々の符号化方法が有する復号誤り確率 の平均値である．. 情報伝送速度ﾉ?゛とブロック符号のランダム符号化誤り指数/仁. （ﾉ?＊）の関係を図１．３に記す． 一方，符号長yv，最小距離/っが与えられたとき選択可能となる符号語の数の最大 値の下界が組合せ論的に求められている．すなわち，漸近的距離比の立場から， （Ｎ，. Ｋ，Ｄ）２元線形符号ごについて次の定理が与えられている．. ｉｌｂｅｒｔ，１９５２，Ｒ．Ｒ．ｖ. ａｒｓｈａｍｏｖ，１９５７Ｇ ilbe ・●. ［定理１．３］（Ｅ．Ｎ．Ｇ. ｒｔ− ｖ ａｒｓｈａｌｏｖの下界式） （１７１（１１）. （A/，A’，Zﾌ）２元線形符号ｒの漸近的距離比j≒｡（刃）の下界は，次式で与え られる。 j≒y（ﾉ?）＝ｌｉｍ（／）／ｙ）≧／／−ｌ Λ／→（ｘ）. ＊１. 刃r’［x］はエントロピー関数jり［a･］. 一 一. ［Ｉ一／?］＊１，０く/?くＩ. ｘ４２ｘ−（１−ｘ）㎞２（１−ｘ）の逆関数である．. ９. (１．８).

=-＿ ..〃･. 式（1.8）は，. 漸近的距離比の立場から２元線形符号の存在を保証する下界式とな. っている．現在のところ，Ｇにbert. − v arshamovの下界式を満足する２元線形符号. の具体的な構成方法は知られていない．式（1.8）を図レ４に記す． さらにS. hannon. らは，. 誤り確率戸の２元対称通信路を与えた場合，信頼度関数. 召（/?゛）と漸近的距離比J｀（/?’）の問に次式が成り立つことを明らかにした．. →. ︵・、り︶ty ‘︵・、恥︶“jZ ‘︵・恥︶ここｙ｀細ご妬但卯訟べ￥λむ. ０．５. ０. ０．５. 情報伝送速度ﾉ?1，ﾉ7.1（nat. 図レ３. ランダム符号化誤り指数/F，（ﾉ?’），Ｅ. s/. sylbol. ）→. 。（/?ご），/ト（ﾉ?。゛）と. 情報伝送速度ﾉ?゛，ﾉ?。＊（２元対称通信路の誤り確率ρ＝１. １０. Ｃ. ０ −３）.

J＿. ..〃･-. ［定理１. ４］（Ｃ. １Ｈ７）. ａｍｐ，. Ｅ. Ｓ ｈａｎｎｏｎ，. Ｒ. Ｇ. Ｇａｏａｇｅｒ. ａｎｄ. Ｒ. Ｅ. Ｂ ｅｒｌｅｋ. （１５）. 誤り確率戸の２元対称通信路を与えた場. 合，. 信頼度関数召（ﾉ?’）と漸近的距離. 比ぷ（ﾉ?＊）は次式を満足する. ぶ（／?゛）／２＝. 但し. １. ｉ ｍ［￡リ?゛］／. μ. → ０. ２元対称通信路において. ｌｎｐ］. ０≦ﾉ?１くご7. (１．９). ブロック符号は代数的に復号されるものとする. ︵、｀ヽ．︶. ０．５. Ｑゝ. 1） ％. ︵、り︶. ０．４. →−. ＱＺＳ. 叱り. ０．３. ︵Ｑ︶’”ｙ４Ｓ１１Ｕ. ︵、Ｑ︶嶮沢旋回佃Ｅｇ圀憲司. (％y/E%7. ０．２. ０．１. ０. １１１. ０．２. ０．４. ０．６. 符号化比率ﾉ?，. 図１. ４. 漸近的距離比J｀に（ﾉ?）. ，. J｀ 4. 漸近的自由距離比j｀ r､jむ. （ﾉに）. （ﾉ?。） Ｃｚ。. J｀｡ （石。） ＣＨ。. と符号化比率ﾉ?，/?。. １１. １. ０．８. ﾉ?。. →. j｀ （/?。） 尚,。. ０.

＝-＿. 〃･. これは限られた条件ではあるが，信頼度関数/F（/?＊）と漸近的距離比j｀（/?＊） を関連づける定理である．. Ｉ. ４. 本研究の意義と位置づけ. 通信路で生じる誤りを制御する戦略には，F Ｃ）と. Ａ. ｢ｏｌａＯＣ. Ｒ印eal. orurJ. E. rror. C orrfcDon（ＦＥ. JD?卯ｆμ（ＡＲＱ）の２種類がある．前者は，一方向. 通信路で，誤り訂正符号を用い受信側で誤り訂正を行う戦略である．深宇宙通信， コンパクトディスク，光ディスク等で実用化されている．後者は，二方向通信路， すなわち帰還通信路を有する通信路で，一般に受信側では誤りを検出し，送信側に 再送要求を送り，送信側では再度情報を送信する．正しく送信されるまで繰り返す という戦略である．電話回線や衛星通信の一部で実用化されている．本研究は前者 についてのみ議論する．一般に，符号理論は前者の戦略の理論的裏づけを行うもの である． 前者の戦略において，能力の高い，あるいは能率の良い符号を構成する研究は， まず第１に，有限符号長において能力の高い符号を探索するアルゴリズムを見い出 す研究がある．符号長yvと情報記号数ぶが与えられたとき，最小距離/ﾌができるだ け大きく，あるいは最適となる符号化方法を具体的に与える研究である．例えば， 符号長５１２ピットまでの現在知られている最良の符号をリストしたS. loane. のテー. ブルは有名である（¨）．今日でもなお，能力の高い符号の探索が行われテーブルが 最良の符号パラメータによりぬり変えられている（2o）（21）. 第２に，S. hannonの通信路符号化定理に立ち戻り，符号長yvを増大させたときの. 漸近的能力をランダム符号化を用いて評価する研究である．ある符号化を特定し， 例えば，連接符号化（9≒一般化連接符号化（1. o ，あるいはアフィン符号化. ど，その符号化により与えられるあらゆる符号を確率的に選択し，それら符号が成 す集合の平均的能力を信頼度関数により評価する研究である．これらの研究は情報. １２. （22）. な.

＝..〃●--. 理論的アプロ. チによるもので純粋に理論的な研究と言える. 最後に. 第２の研究で得られた狩りの集合の平均的能力を実際に. 示的に構成し与えようとする研究である 心，. 有する符号を明. 実用化されている符号化. ・復号化方法を. あるいは実用化されている符号と同程度に陽に与えられる符号を適用するこ. とにより. 第２の研究で与えられた平均的な能力を持つ. を実際に. 構成し与える研究である. 従って. あるいはそれに近い符号 S hannonの通信路符号化定理が示す符. 号の存在を構成的に証明しようとする研究であるく１６）（２３）. 研究分野に位置づけられる．. （２６）. 以下にこの研究分野，すなわち. 本研究は. この. 本研究の実用的な側. 面からの意義について述べる 情報の伝達・蓄積の具体的シス. テム. を考えた場合，. ナ，地下ケ. ブル等，必要な装置を設置することは. ない．一方. 端末装置は. 率の良い誤り訂正符号を用いる・. 明らかに 大量生産に適してい 高性能化と量産. すなわち符号長/Vをより大とし. ことが可能である. F anno（6）により指摘されており. すなわち. ア−. 言い替えれば，誤り訂正符号を実用化する際. 復号化装置をいっそう複雑にし. 従って. 大型アン. その結果，端末装置をいっそう複雑にすることにより. 通信路を効率良く用いる傾向にある. ない. 例えば. 今日のＬＳＩ技術の急速な進歩により. 化か加速度的に進んでいる. 符号化. 通信路，. このことは１９６０年当初，. 今日のＬＳＩ技術の進歩を予知していたに違い. 誤り訂正符号を実用化する際. 符号長yvをより大としても. より能. 符号化. 復号化装置を複雑化しても. より能率の良い誤り訂正符号を用いる傾向. にある. S hannonの通信路符号化定理は. 上記実用化の傾向をさらに理論的な側面から促. 進させるものである. S hannonの通信路符号化定理は. 符号長/Vの指数的オ. ダで復号誤り確率戸（￡）をＯに収束させる. 号化方法が存在すること ことを主張している 号長yvを大とするに従い. すなわち. 符号化比率ﾉ?を一定とし. 符号化比率ﾉ?を一定とし. 復号誤り確率戸（￡）が次第に小さくなる. 符号化方法が実用的システムにおいて構成し得れば. １３. ことが可能な符. ことが可能. 理論と実用化の具体的な方法. 符 な.

J、. J〃k-. とが一体となり理想的である．. →ｊ. ０．５. ０．４. ０．３. F W11jJ. ０．２. ０．１. ０. ０．２. ０．４. ０．６. 符号化比率/?. 図レ５. ０．８. １. ０. →. ＢＣＩＩ符号の距離比∠1と符号化比率/?. ところが，現在実用的とされている符号は，符号長/Vを十分大とするに従い，そ の能力は次第に劣化して行き，究極の結果として，符号長A/を無限大としたとき復 号誤り確率戸（￡）を０に収束させることができない．例えば，BCII符号につい て符号化比率ﾉ?と距離比∠3の関係を図レ５に示す．図１．５より明らかなようにＢ ＣＨ符号は，符号化比率/?を一定としたとき，符号長/Vを大きくするに従い距離比 ｊは小さくなる．最終的に，漸近的的距離比J｀（ﾉ?）はＯに収束するoo）（27≒. １４. そ.

J＿. .〃･-. の結果，ＢＣＨ符号は符号長/Vを無限大としたとき復号誤り確率/￣）（f）をＯに収 束させることができない．. 以上より，本研究の主たる目的は，より完全な形でS. hannonの通信路符号化定理. が示す構成的符号を与えることである，すなわち，現在実用化されている符号と同 程度に陽に具体的な符号化・復号化方法を有し，符号化比率/?を一定とし，符号長 /Vを大とするに従い，復号誤り確率戸（￡）が高速にＯに収束する符号を与えるこ とである．これは近い将来，符号長yvの増加によって復号誤り確率/っ（￡）の低下 にもたらせる利点がＬＳＩ技術の進歩などによって符号化・復号化装置の複雑さの 増加によってもたらされる欠点を上回ることが予測される今日において，実用化の 傾向に見合った実用的な符号の構成方法と理論の示す究極の理想的な符号の構成方 法との狭間を埋めることを目的とする極めて重要な研究である．そして，こうした 地道な研究が，装置の高性能化に伴いS. hannonの通信路符号化定理の真の工学的な. 意味を解明していくものと考えられる．. １. ５. むすび. 本章では，まず本研究の評価基準を明らかにし，基礎的な概念を定義し，整理し た．そして，本研究の最大の目標を明らかにするために，S 定理が主張することを定量的に述べた．また，S. hannonの通信路符号化. hannonの通信路符号化定理を証明. する際に重要な役割を果たす信頼度関数と符号を構成的に与えた際に重要な評価基 準となる漸近的距離比の関係についても述べ，本研究の原点となる論点を与えた． 最後に，本研究に関連した研究分野について述べ，その位置づけを明確にし，本研 究の重用性について述べた．. １５.

J -. 第２章. Ｓｈａｎｎｏｎの通言路符号化定理が示す 符号の存在を構成的に証明可能な符号.

J J〃･--. ２．１. まえがき. 本章では，定理１．１が示す符号の存在を構成的に証明可能な繰り返し符号（s）と 連接符号（9）について，それらの構成方法及び能力について概説する．特に，繰り 返し符号について，従来行われていなかった復号誤り確率がＯに収束する収束速度 の評価及び誤り指数に相当する部分を明示するｏ８）．すなわち，符号長を大とする に従い，符号長の如何なる関数のオーダで復号誤り確率をＯに収束させることが可 能であるかを評価し，従来の信頼度関数と同一の視点から繰り返し符号の漸近的な 能力の評価を可能にする．. ２．２. 繰り返し符号. 本節では，E る．. liasの提案した繰り返し符号ごｆの構成方法と能力について概説す. そして，従来行われていなかった復号誤り確率/≒（ざヽ）がＯに収束する収束. 速度について評価を行い限られた条件のもとではあるが，S 定理が示す構成的符号の一つであることを新しい視点から明確にする．. ●●●. 図２．１. 繰り返し符号（!≒の符号化・復号化過程. １６. hannonの通信路符号化.

J -. 繰り返し符号ごｆはｒ段階の符号化・復号化過程を有し，7一個の符号の直積⑧に よって構成される．すなわち，ｒｆ＝ど７，⑧ｒ，⑧…⑧ｒ。で表される．繰り返し符号 の符号化・復号化過程を図２．１に記す．特に，Ｅ. ｌｉａｓ は，第，/段階で用いる符号. を（/V..・ﾂﾞ，￡h）拡張ハミング符号r.，； （／Ｖ．｡Å≒，７）。,）＝（２. ’ｏ−１，２. ’゛ｊ￣１−（ｇ十ｊ），４）. としだ１）．但し，j?は第１段階の符号の符号長ぶｌを決定するパラメータで． 2の整数，ｊ＝１，２，…，. ｒ，である．従って，Ｅ. (２．１). 遭1≧. ｌｉａｓの（/V･，f。，Z）．）繰. り返し符号ごｆは， /V。. ２. 一 一. ａｒ＋｛ｒ（ｒ−１）／２）. (２．２). /’ λ’。＝n. /i≒. (２．３). ,/＝ 1. Ｄ。＝4. (２．４). で表される．そして，次の定理を満足する．. ［定理２．１］（Ｐ．Ｅ. ｌｉａｓ，１９５４）. ７’段階の拡張ハミング符号ｒｈ. ｊ＝１. （・） ２. ●畠●. /'，で構成されている繰り返. し符号Cfの復号後の２元シンボル当たりの誤り確率7四月ま. ２. ρシ≦（２. °４１／））. (２．５). を満足し，そのときの符号化比率ＲＯ（刃7）は /’. ＲＯ（. ｰ7）＝Å≒/A≒＝. H. ノ゜. ＞（1. ［1−（j7十ｊ･）／２¨ｊ−１］ １. − 3/4）（1. − 4/8）［1−（4十２）／２. ４-１１． （２．６）. １７. −＝２.

J ..〃●-一一. Ｌ ン. １ ぐ. ン. 一 Ｉ. −４／８）［１−（４十２）／２ （ｊ７十２）／２. ４−１１，ｊ７＝３. (2.7). ’−１，ｊ?≧４，. (2.8). で与えられる．但し，ρは２元対称通信路の誤り確串である．. 式（２．５）より２元対称通信路の誤り確率ρが，０＜ρく1/8＊1. の範囲で繰り返し. 符号ごｆの符号長A≒を十分大としたとき，すなわちｒ→･･としたとき，復号後の２ 元シンボル当たりの誤り確率ρごは明かにＯに収束する．また，式（２．６）−（２．８）は ｒに無関係な値であるから．. 創≧2のとき繰り返し符号ごｆの符号化比率ＲＯ（. ｰ7）. は１ ｉｍ／?．（ｊ７）＞Ｏである．数値結果を図４．３に記す. r→（x） 以上より，繰り返し符号ごｆは限られた条件の下ではあるが，Ｓ. ｈａｎｎｏｎの通信路. 符号化定理が示す構成的符号である．しかし，繰り返し符号を漸近的距離比の立場 から考察すれば式（２．２）と（２．４）より， ・１. １. m（Ｄ･ノＮ。）＝0. (２．９). /V。 →（X）. となり，漸近的に能率の良い符号ではない（¨）．. また，復号誤り確率ﾉ≒（ど）は. 符号長yv。のオーダで指数的にＯに収束させることができず，信頼度関数による評 価もなされていない．従って，従来はS. hannonの通信路符号化定理が示す構成的符. 号でありながら，後述する連接符号と同一の視点からの能力の比較ができなかった そこで，繰り返し符号ｒｆの復号誤り確率/≒（￡）を信頼度関数. ￡（ﾉ?）と同. 一の視点から評価するために以下のような擬似信頼度関数r（/?）を新たに定義す る．. ＊１ ＊2. 拡張ハミング符号の重み分布'2を用いて厳密な計算を行えば，0＜ρ＜0.1617となる゛29'. (yV，1'，Z))緩形符号ごを考える．符号語中の１の数をその符号語の重みと呼ぶ．鳶みがj'である符号語の個数を. .4jと書くとき，ﾒl。jh，…，j4.を重み分布と言う．線形符号の最小距離と非ゼロ符号語の最小重みは等しい．. １８.

J .,〃･-. ［定義２．１］（擬似信頼度関数Ｆ（ﾉ?））. （２ｓ）. 符号長A/，符号化比率/?，復号誤り確率/）（ど）とするとき，擬似信頼度関数 Ｆ（ﾉ?）を次式のように定義する． F（/?）△1im −. sup（−1og. 2. /7）（f）//’（yv）］. (２．１０). yv→（x）. ここで，復号誤り確率戸（￡）を与える指数部は，符号長/Vのみの関数f（/V） と符号化比率ﾉ?のみの関数r（/?）の積の形として分離されている．この視点より 式（２．１０）は，式（１．２）を特殊な場合として含む一般形となっている． この定義に従い，繰り返し符号ごfの復号誤り確率/≒（f）を評価すれば次の定 理を得る．. ［定理２．２］. （２８〉. 繰り返し符号ごεの復号誤り確率/≒（f）は次式を満足する．. -. 戸ｆ（￡）≦２. ／≒. ｒｆ. （A≒）＝2 （Ｒ。（g））. /≒（/V。）y≒（ﾉ?。（ぶ）） (２．１１). （21og2A≒））1ダ２十∂（１）. (2.12) 一 一. 但し，ﾉV。→o=･のとき∂（１）→. （証明）. １−. 畜. ､２ρ. (2.13). Ｏである. 付録２−Ａを参照. この定理は繰り返し符号こ≒の復号誤り確率/≒（f）が，式（２．１２）で与えられ る関数/≒（Λ≒）のオーダで指数的にＯに収束することを示している．収束速度を 決定する重要なパラメータとして．. −の値に対して符号化比率/?．（堺）が決まり，. １９.

．･_. -. その符号化比率Ｒ。（ 範囲ではあるが. ｰ7）の関数として!1≒（ﾉ?。（. ｰ7））が与えられる. ２元対称通信路の誤り確率7）を与えたとき. Ｏを満足する繰り返し符号ごｆが構成できる. 但し. で定義された擬似信頼度関数r（/?）の下界であり. ｒｆ（ＲＯ（. 限られた ｰ7））＞. ｒｆ（／ｈ（ｇ））は式（２．１０） ブロック符号のランダム符号. 化誤り指数と同様，繰り返し符号ｒｆの擬似誤り指数と呼ぶ． ρ. 一 一. １. ０. ３のときの擬似誤り指数ﾀﾞ句（/?。（ぶ））と符号化比率Ｒ。（ｇ）の関. 係を図２．２に記す． を明らかにするために. さらに. 符号長ﾉVと復号誤り確率戸（￡）の収束速度の関係. 関数/（/V）の関係を図２．３に記す．繰り返し符号ｒｆの. 復号誤り確率戸ｆ（ｆ）は，図２．３からも明らかなように，ランダム符号化によっ て評価されるブロック符号の有する平均的な収束速度よりもかなり遅い速度で０に 収束して行く．従って，後述するS 成的符号である連接符号と比較して なった. しかし. これは実用化さ. /V。を大とするに従い る. hannonの通信路符号化定理が示すもう一つの構 かなり遅い速度でＯに収束することが明確に れている符号がもたない優れた性質で，符号長. 緩やかではあるが次第に復号誤り確率ＰＥ（ど）が小さくな. 実用化されている拡張ハミング符号を直積の形で構成することにより. Ｓ. ｈａｎ−. nonの通信路符号化定理が示す構成的符号を与えたことになる。符号長yv。の関数 /’（/V。）と擬似誤り指数SG（/?。（j7））による繰り返し符号の評価は，S. hann-. onの通信路符号化定理を証明する際に用いられる信頼度関数による評価と同一の視 点である。. 従って，表２．１に示すようにS. hannonの通信路符号化定理が示すブロ. ック符号の有する平均的な特徴と繰り返し符号Ｃｆのそれとを同一の視点から比較 することができ. 厳密な意味で. いる. なった．. ２．３. こと. が明確に. 繰り返し符号ｒｆには改良の余地が多く残されて. 連接符号. 本節では. F orney. の提案した連接符号ごﾀ｡の構成方法とそのランダム符号化誤. 20.

ＳＦ. 飛. -. --. 表２．１. ブロック符号びのランダム誤り指数/匹（/?’）と 繰り返し符号Ｃｆの擬似誤り指数Vﾀﾞ ランダム符号化誤り指数￡，り?'). 復号誤り確率. 擬似誤り指数ｈ（Ｒ。）. 戸（￡）≦一ｆ（ｙ）￡″（刀‘）. ﾉ勺（ご）≦２￣八（/ら）ら（/ら）. ｆ（ｙ）＝ｙ. 八〇V｡）＝2（2］゜g2ん）lﾀﾞ2. Ｏく/?’くご−ど. 0＜ﾉ?。＜（7− ,3 ご＞ｊ＞０. ￡＝∂（１），￡＞０ ∂０）＝０. 刀゛は連続値. 恥は離散値. 復号化方法. 最克復号法. 代数的復号法. 一 〇. Ｉ Ｉ. ＝ ＝. Ｃ 戸. →. 。︵. ︵り︶、恥︶ ⋮｀. ︵弓︶、Ｑ︶、ｊ ４ｍＧＷ?ＩＳ. 八. ，ｙ→ｃＱ. 符号化比率 哨報伝送速度. ︵ミ︶、咄︶ ｇ﹃辿. ら. E（/に（刀7））の比較. 7［ρ］＝0.988592. １０．０. ５．０. ０. １. ０．５. ０. Ｃ＝０．９８８５９２. 符号化比率/?。（迦）→ 図２．２. 繰り返し符号ＣＩ，及び修正繰り返し符号Cjf19. r,f2の. 擬似誤り指数ψ’f（丑。（j7）），F｡1（ＲＯ（j7）），. ２１. −. ら９（Ｒ。（ﾉ（））.

･･_ .〃･一一. →−. １０. ︵ｋ︶／４Ｓ ５. ０. １０ 符号長yv. 図２．３. り指数ノシ（/?。*）と漸近的距離比j｀. ２０ →. 関数/’（/V）. （ＲＯ）について述べる。そして，Ｊ Ｃｚ。. ｅｎがこの連接符弓一化を用いて最初に与えた漸近的に能率の良い符号C≒。の構成方法 及びその能力について概説する。. 図２．４. 連接符号ぐ匹。の符号化・復号化過程. ２２. ｕｓｔｅｓ-.

.j〃‘-一一. まず，固定内部符号化による連接符号Ｃ｡｡を考える。連接符号ｒ｡｡の符号化・復 号化過程を図２．４に記す。. 与えられた離散的無記億通信路の入力アルファベット. の集合をＸとする。情報記号をｇＥＪｆ°，. 内部符号化を17，外部符号化をｚとする. とき，連接符号ｒ｡｡の符号語ｙＥＸぬは次式で与えられる。. ∂ｚ ： ｘｆ°→ｆぬ；. z/→『＝17（z（1/））. ゜（ｒｈ. ｒ２，･･･，. ｒ。）. (２．１４). ここに. ・一. ｇ. （Ｘ″）″→（Ｘ″）”；. 畠９. X゛→X″. び. ｚ／→ｙ＝Ｚ（１／）＝（ｙｌ，ｙ２，…，ｙ。）. Ｆｚ→ｒ，･＝６ｙ（ｙﾊﾞ〉，／. 一 一. １. ２. ●■●. 刀. (２. １５）. (２. １６）. である．写像Ｇ，ｇは，特に混乱しないとき生成行列を表わすことにする．本研究 においてはＩＸＩ＝２とし，外部符号はＧＦ（２勺上の（刀，私. ｄ）Ｒｅｅｄ−. Ｓ. ｏｌｏｍｏｎ符号ｒ，その生成行列をｇとし，g（z/）＝Ｕｇの様に表わす．内部符号の 符号化びは，ＧＦ（２）上の（ﾉV，私 成される（Ｎ. ｏ，Ｋｏ，ＤＯ）連接符号ごり．は，. ￡。＝刄￡，. (2.17). A≒＝刀/V，. (2.18). ρ。＝ｄＤ，. (2.19). 月。＝/’ﾉ?＝. ｙ t−. /））符号ごで行う．以上の符号化により構. 心. ぶ。//V。. (2.20). に. ﾉ?＝ｆ／ｿV，. (２．２１). 7’＝. (２．２２). ｰ／刀，. で与えられる．. こうして得られた連接符号ご∼の復号化アルゴリズムの計算量ぶy（A≒）は次 の様に与えられている．例えば，内部符号に対しては最尤復号化を行い，外部符号. -. ２３.

...〃--. に対しては一般化された最小距離（ＧＭＤ）復号化（９）を行うものと仮定したとき 連接符号C）。の復号化アルゴリズムの計算量λ勺ｇ（Λ≒）は，. ぶに（Λ≒）. 一 一. (２．２３). ∂（/V492/V。）. で与えられる（9≒. そして，連接符号ご∼のランダム符号化誤り指数は次のように与えられている. ［定理2.3］（G.D.F. orney，Jr‥. 1966）. 式（1.5）−（1.7）と同様の条件において，内部符号，. （●） 外部符号ともブロック符号を. 用いて構成される連接符号Ｃ。。のランダム符号化誤り指数￡。（ﾉ?。’）は次式で与 えられる。 ￡）（7?。’）. − /h. ｍａｘ［（１−ｒ＊）ｍｉｎ［￡，（ﾉ?＊）． ＊＝ｒ＊ﾉ?＊. Ｒ゛］］，０≦／?。＊＜『 （２．２４）. 連接符号Ｃｒ。のランダム符号化誤り指数￡リ（/?。*）と情報伝送速度刃♂の関係 を図１．３に記す。. また，同時に連接符号についても，漸近的距離比の立場から存在を保証する下界 式が与えられている。すなわち，内部符号として，式（１．８）を満足する符号を与えれ ば，次の定理を満足する（/V。，f。，Z）。）連接符号Ｃｚ。が得られる。. ［定理２．４］（Ｖ．Ｖ．Ｚ. （yv０９. ｙａｂｌｏｖ，１９７１ ： Ｚ ｙａｂｌｏｖの下界式）. （ｌｏ）. Ｋ。，Ｄ。）連接符号Ｃｚ。の存在を保証する漸近的距離比j｀ ごｚ。. （Ｒ。）は次. 式で与えられる。 ぶ. （ﾉ?。）＝ｌ Ｃｚ。. ｉｍ（／≒／／Ｖ・）≧ｍａ 「ｎａｘ（１−ｒ）／／−１［１−ﾉ?］ β。＝Ｒｒ. yv。→（x）. Ｏ＜／ｈ＜１．（２．２５）. ２４.

IJ‘-. Z yablovの下界式を図１．４に記す. さらに可変内部符号化による連接符号ご,,｡は，刀個の内部符号に相異なる符号を 用いる。すなわち式（2.16）は， i≒＝6≒（ｙう，. ｊ＝１，２，…，刀. に置き換えられる．Ｊ. (２．２６). ｕｓｔｅｓｅｎは外部符号をＧＦ（２１″）上のR eed − S ololon. ｃとし，内部符号を，次式より与えられるｒ｡ 得られる符号ご｡,。を与えた（１●） X゛→J″. Ｉ９. 一９. び. 符号. ／＝１，２，…，刀，を連接して. ●. ｙ・→ｉｒｉ＝ＶｉＧｊ，Ｇ. 一 一. （１。ｙ），. ／＝１. ２. 機種種. 刀. （２．２７） 但し，Ｘ＝ＧＦ（２），刀＝２. ゛−１。７はＧＦ（２勺の原始元，１はＧＦ（２勺. の乗法に関する単位元である。ここで，6≒により特定されたｒバま２元（/V，yv/ 2）符号で非零の符号語はすべて相異なるＷｏｚｅｎｃｒａｆｔのランダムシフト符号であ る（¨≒. 以上より，（/V。，ぶ。，ρ。）Ｊ. ｕｓｔｅｓｅｎ符号ごン。は，. /V。＝ｎ Ｎ、. (２．２８). ￡。＝ぶｿＶ／ ２、. (２．２９). ＝ｒ／２，. Ｒ。＝１／（２刀） ｙ Ｌ. で表される．. ｙ Ｑ．. (２．３０). で，. ｰ＝１／２、 ７’＝1･ﾉ. (２．３１). jl、. (２．３２). である. こうして得られるＪ. よって提案された（３２）. ｕｓｔｅｓｅｎ符号ｒ,,。は，Ｓ．Ｍ．Ｒ. ｅｄｄｙとＪ．Ｐ．Ｒ. 積符号のＧＭＤ復号法９）を適用することにより，Ｌ（ノハー. １）／２」’１個の誤りを代数的に訂正する. ことができる（１６）. ２５. −. ｏｂｉｎｓｏｎに.

．-. 〃･---. J ustesen符号C≒．の外部符号の符号語のＧＦ（２勺上のシンボルは少なくとも げ個が非ゼロであるから，内部符号は少なくとらｄ個が相異なる非ゼロ符号語であ る．そこで，次の補題を使って，J. ustesen符号ｒごの最小重みの下界が与えられ. る．. ［補題２．１］（Ｊ．Ｊ. ｕｓｔｅｓｅｎ，１９７２，Ｊ．Ｌ．Ｍａｓｓｅｙ，１９７４）. （ｌｓ）（ｓｌ）. 長さ￡の２元系列がjﾀﾞ個あり，それらが非ゼロですべて異なるとき，長さj￡ガの 系列の重みｒは，. i’≧￡が（7/−1［β］−∂（1）），. (２．３３). である．但し，. が＝7･（2. jj L. −１），０＜７･く１，０＜μ＜１，. (2.34). であり，￡→（,）のとき，∂（１）→Ｏである. ［定理２．５］（Ｊ．Ｊ. ｕｓｔｅｓｅｎ，１９７２）. （ｌｌ）. J ustesen符号rj。の漸近的距離比j｀ （/?。）は次式で与えられる． Ｃｊ。. j｀ ご. （/h） ､/Q. 一 一. l. im（. /）。/yv。）. ン. ｍａｘ［（１−ｒ）Ｈ￣｀［１−ﾉ?］］ /?。＝/?r. ー. yv。→（x）. 1/2≦刃＜１ （１−ｒ）. (２．３５). //￣1. ﾉ?。＝ﾉ?/'，刃. ［1/ 一 一. 1/2. Ｊｕｓｕｔｅｓｅｎは，符号化比率Ｒ。，0＜ＲＯ＜１において，J｀. ＬＸ」はｘを越えない最大整数を表す．. ２６. −. (２．３６). （ﾉ?。）＞Ｏとなる ＣＪ. ＊１. ２］.

.〃･-一一. 符号を初めて構成的に与えた意義は大きい．式(2.35)と(2.36)の数値結果を図１．４ に記す.. J. usutesenが式(1.8)は大きく下回るものの漸近的距離比が式(2.35)と(2.. 36)で与えられる符号を構成的に与えたことは， 式(1.9)の関係から，. S. 限られた条件のもとではあるが，. hannonの通信路符号化定理が示す構成的符号を与えたこと. になる．従って，漸近的距離比が非ゼロでできるだけ大きな値を有する符号を構成 的に与えることは，信頼度関数の値が大きな符号を構成的に与えていることになる． その結果，S. hannonの通信路符号化定理を明示的な構成方法から証明を与えること. になり，理論的に極めて興味深い問題である．. ２．４. むすび. 本章では，S. hannonの通信路符号化定理の示す符号の存在を構成的に証明可能な. 繰り返し符ごf号と連接符号ごy｡について概説した．特に，繰り返し符号ごりの復号 誤り確率μｆ（￡）は，符号長Λ≒の関数として2（21og2A≒）1ﾀﾞ2十゛ｸ（１）のオー ダで指数的にＯに収束するという新しい視点を示し，評価を与えた．これによって S hannonの通信路符号化定理が示す構成的符号について，復号誤り確率の上界を符 号長の関数と符号化比率の関数に分離し評価するという意味で，従来の信頼度関数 による評価と同一の視点からの統一的考察が可能になった．. ２７.

ｉ‥罪. 禰. 心. や●’. A‘A-‘ 采３. ふ 早. イ. 般 ヒ連接符号.

７. ｀'111･ll･. ￨￨￨■ＩＩ■￨￨●●闘●●■￨●●●‐￨II●■￨■I■lll･●I●−I＝＝一一｡-一一. ･￨. -. =-−J=･JI㎜･■■. W’. まえがき. １. ３. 本章では，本研究を遂行して行くうえで極めて重要でかつ基礎となる一般化連接 符号の符号化・復号化方法について概説し（11に（¨），その信頼度関数（11）（12）. と漸. 近的距離比（25）（34）について述べる．一般化連接符号は，信頼度関数の立場からも， 漸近的距離比の立場からも２元線形符号のそれに比較して劣るものの，連接符号の それより常に優れており，これを用い，符号化方法を構成的に与えS 路符号化定理を証明する試みがなされている（¨）（35≒. hannonの通信. 実際，構成的に与えられる. 漸近的に能率の良い最良の符号は一般化された連接符号化により与えられている（z ３）（２５）（２６）. また，一般化連接符号の符号化・復号化方法は不均一な誤り訂正能力. の符号化・復号化に適用可能であり，極めて興味深い性質を持つことが知られてい. ３. 符号化方法. ２. 連接符号Ｃｒｏの式（２．１５）と（２．１６）を次の様に一般化する．. φ・. ぶ’. ん. （Ｘ勺 ）＿. ｙ（. ￡/. −. /7 ￣゛（･¥″） ；. （j） ¨・・z/ ）→ わ. ｅｉ. ■働●. Ｆ. Ｉ. ．丿刀. ５. ”. Ｆ. ぐ. 一. □） （n ’（z/ 1・zf 2.. □）Ｚｊ. （ｙ｀;. 一. U） z/. ）. １. ､/. ２. 一 一. ｊ. ●趣●. (３．１). 召：ｘｊ″→χ″. Ｆ. 一 一. （ｙ（;），ｙ（ｙ，…，ｙ‘ヅ）→部り＝r7（iり），ｊ’＝１，２ (３. 但し １）. ６≒４１（ｙ（. 171＝17，. j＝. ｉ. ｌ. ｙ！. １，. 【ｊ一ノ】. 2） JI. ●. ２，. ・・●. Ｉ●●. Ｆ. ，･. ）⊂∂，･（ｙ. ,／−１. （１） ｊ ｇ. （ｌ） ｙ ｊ. ｌ. （ｊ−Ｊ＋１） …， ｙ ｊ. （３．３）. ２８. 刀. ●●●. ）. ２）.

iII. ７ !!●●[!!●目Irl■●III. ljll●●￨￨￨￨! ￨● !I●■￨●￨瞬間･￨￨￨・･●−-･-…･一一-･･-一一. -. -●’. 『. （ｒｈ. 一 一. を得る．. ｙ２，・’･，. ＩＦ. Ｉ. 『. 一９. を満足する晋≒を連接して，一般化された連接符号ごにの符号語 ）∈λ¨″. (３．４). ここで，6yは一般には非組織符号゛１を生成する．. 本研究において，外部符号はＧＦ（２゛）上の，7（，/≧2）個の（７｡ｊ≒，∂。,･） Ｒｅｅｄ − Ｓ ｏｌｏｌｌｏｎ符号ｒ．ｉ， ここで. R eed−. Ｊ＝１，２，…。／，を連接することにより得られる。. S olomon符号r7の生成行列をｇ７とする．そして内部符号の符号化. 17は，一般にＧＦ（２）上の非組織的な（/V，j瓦. ￡h）符号ど71を生成するもの. とする．そして符号Ｃ，は，ＣＩ⊃ｒ２⊃…⊃ｒ．ｊの関係にある非組織的な（A/，（j− j十１）瓦. ￡ら）部分符号Ｃｊ，ｊ＝２，３，…，ｊ，をｊ−１個有する．このと. （A‰，f。，￡り）一般化連接符号ｒｌ。は，. き. 八万 Å≒ Z八. 一 一. 一 一. 一 一. jl N,ｴ （j･ 1 十１２十…十ｌｊ）瓦 ｍｊｎ （ｄバ）ｊ）， y=1，2，…，。/. (３．５). (３．６). (３．７). である。また，一般化連接符号Ｃｇｏの符号化比率をＲ。とおけば ｒ／ /?. 一 -. ＝Jc jﾉ. jl、. (３．８). （ｊｆ）／／Ｖ、. (３．９). より. 刃。＝（７１十r. (３．１０). 21十…十7い）Ｒノ Ｊ，. である。一般化連接符号Ｃ。。の符号語を図３．１に記す. ３. ＊１. ３. 復号化方法. 既約梯形標準形でない生成行列により符号化される符号を非組織符号と呼ぶ．逆に既約梯形標準形の生成行列により符. 号化される符号を組織符号と呼ぶ．. ２９. −.

-〃-一一. ＊. 図中斜線部は検査記号部を表す．一般化連接符号Cg｡の符号語は一般に非組織的であるが．図示するために組織的な符号. 誦として記してある．. 図３. １. 一般化連接符号ごにの符号語. 一般化連接符号ＣＨ。を復号して行く上で重要な補屈を次に与える. ［補題３ （/V. （Ｓ８）. １］（平渾，笠原，杉山，滑川，1984） ｙ￡. ノハ）符号ＣＩの符号ぶ. 卜が既知となった場合. 吾の情報. 記号ＪＫビットの内（八/−1）. その符号語は（yv，. （ｙ−ｙ十１）Ｋ、. 号語として復号される. -. ３０. −. ￡ピッ. Ｄｊ）符号（≒の符.

.-. -〃−. 一般化連接符号Ｃａｏの復号化は，以下の手順で行われる．. （手順１）刀個の受信系列をＧＦ（２）七の（Ｎ、. Ｊ!ぐ、. して復号する．次にＧＦ（２勺上の（jl、. ｐ１）符号び、の符号語と. Jr. 1、 d、）Ｒ ｅｅｄ− Ｓｏｌｏｍｏｎ. 符号ｒ、の符号語に相当する受信系列のみを復号する．ここで復号され た受信系列は送信された符号語に正しく復号されたと仮定する．. （手順２）手順１で正しく復号された情報を用い，. 補題３．１より刀個の受信系列. をＧＦ（２）上の（/V，（y−1）Ｋ，. ＤＩ）符号ご≒の符号語として. 復号する．次に，ＧＦ（２勺上の（ｊｌ，. １．，ｄ。｀）. Ｒ. ｅｅｄ − Ｓｏｌｏｍｏｎ符. 号ｒ２の符号語に相当する受信系列のみを復号する．ここで復号された 受信系列は送信された符号語に正しく復号されたと仮定する．以下同様 の手順で復号が行なわれる．すなわち，. （手順,ﾉ゛）手順（ｙ−１）で正しく復号された情報を用い，. 補題３．１より/7個の. 受信系列をＧＦ（２）上の（/V，（j−y十１）Ｋ，. Ｄ．，）符号（7.zの符. 号語として復号する．次に，ＧＦ（２勺上の（刀，. ｋ.ら. ｄ．，）Ｒ. ｅｅｄ−. Ｓ ｏｌｏｍｏｎ 符号ｒｊの符号語に相当する受信系列のみを復号する．ここで 復号された受信系列は送信された符号語に正しく復号されたと仮定する．. 以上，同様の手順をｙ回繰り返すことにより一般化連接符号ごg｡は復号される。. この様な手順で復号化される一般化連接符号ＣＨＯの復号化アルゴリズムの計算量 ぶ∼（A≒）は，式（２．２３）と同一条件で， １争、/. Ｚ. ｄ瓦いV。）. で与えられる．. 一 一. ∂nv・bg. １十./. 2 /V. 。）. (３．１１). 式（２．２３）で与えられる連接符号ご∼の復号アルゴリズムの計算量. 才ｏぺΛ≒）と式（３．１１）で与えられる一般化連接符号ご∼の復号化アルゴリズムの. ３１.

J. 太一. 計算量λい9（yv。）とを比較すれば明らかに一般化連接符号ＣＨＯのそれが複雑にな っている。しかしながら，内部符号に終端された畳込み符号＊１を用いることにより 一般化連接符号（2≒。も連接符号ｒ∼と同一のオーダの計算量で復号可能である（１１） また，一般化連接符号む≒。も，Ｓ．Ｍ．Ｒ 案された（32）. ｅｄｄｙとＪ．Ｐ．Ｒ ｏｂｉｎｓｏｎ によって提. 積符号のＧＭＤ復号法（9）を手順j’で復号される連接符号に適用すれ. ば，手順ｙでＬ（ｄｊＤ．｡−１）／２」個の誤りを代数的に訂正することができるこ とが示されている（¨）。. ３. ４. 信頼度関数と漸近的距離比. 以下に一般化連接符号ＣＨ。のランダム符号化誤り指数￡≒（/?。＊）と漸近的距離 比j｀ （Ｒ。）に関する定理を与える． ｒこ。. ［定理３．１］（平渾，笠原，杉山，滑川，１９８０）. ｛１１１. 一般化された連接符号ご。。の信頼度関数￡。（ﾉ?。’）は次式で与えられる. jr’ ￡g（j?。゛）. 一 一. ｍａｘ［（Ｒ゛ ﾉ?。＊. ﾉ?。’）／∫. ｄｘ／￡。（ぶ）］ ０ Ｏく/Z。＊＜び。. 但し，外部符号の数，7はy→（x）である. 式（３．１２）の数値結果を図１．３に記す。 織的な（Ｎ、. Ｊ瓦、. ｐ、）符号む≒. 次の補題を満足するＧＦ（２）上の非組. を内部符号として用いた（A≒、f。、/ﾀ。）一般. 化連接符号ご。ｚ。は次の定理を満足する。. ［補題３．２］（平渾，笠原，杉山，滑川，１９８６） 各々がＧ. ＊１. （２５）（３４）. ｉｌｂｅｒｔ− ｖ ａｒｓｈａｍｏｖ の下界式を満足し，ご，⊃Ｃ，⊃…⊃ごｙの関係にあ. 畳込み符号については第５章で述べる．. ３２. −. (３．１２).

lyj･I[￨￨ﾌIﾄ■I■￨II[. ･■￨=●￨･￨III. j. ●.-.〃k. るｙ−１個の（/V，（y−y十１）Ｋ， を持つＧＦ（２）上のＧ yぶ，/ハ）符号ご１. y＝2，. 3，…．. ，７．. ｉｌｂｅｒｔ − ｖ ａｒｓｈａｍｏｖの下界式を満足する非組織的な（yv.. が存在する．. ｌｏｋｈａｎｄ. ｖ．Ｖ．Ｚ. ｙａｂｌｏｖ，１９７４Ｂ 番・. 「定理３．２」（Ｅ．Ｌ．Ｂ １ｏｖの下界式）. Ｄ.,）部分符号（7/l. ｌｏｋｈ−. Ｚ ｙａｂ. （21）（s4）. （Ｎ。、ｊ｛ｏ、Ｄ。｝一般化連接符号む≒ｚ。の漸近的距離比J｀ （ＲＯ）は次式で与 Ｃｓｚ。 えられる。 j｀. （刃。）＝ｌ. ｉｍ（／）。／Ａ≒）≧. ｍａｘ（／?−jh）. ＸＪ”ｄ ０. ｘ／／／−１［１−ｘ］. (３．１３). 但し，外部符号の数ｙは，7→a）である. 定理３．２は漸近的距離比の立場からの一般化連接符号の存在を保証する下界式と なっている．式（３．Ｈ）を図１．４に記す．. ３. ５. むすび. 本研究の基礎となる一般化連接符号ご∼の符号化・復号化方法について述べ，そ のランダム符号化誤り指数￡U（/?。*）. と漸近的距離比J｀ （ﾉ?。）について述べ こ≒z。. た。一般化連接符号ごg｡の外部符号は既に構成的に与えられるｙ個のR omon符号であるから本研究の主たる目的は構成的に与えられる能力の高い，あるい は能率の良い内部符号を与えることである。すなわち，第５章では構成的に与えら れる漸近的に能率の良い畳込み符号について述べ，第６章では不均一な誤り訂正能 力を有する符号の漸近的な能力について述べる。また，一般化連接符号の特別なク ラスとして修正積符号が提案されている（¨≒. 一般化連接符号の外部符号と同様に. 積符号の第２段の符号を構成し，一般化連接符号の内部符号が有する条件を積符号. ３３. eed− S o1-.

j. ●−｡〃･. の第１段の符号にそのまま適用することにより修正積符号は構成される，修正積符 号の復号方法は，一般化連接符号のそれと令く同様である．この修正積符号の符号 化・復号化方法は第４章の繰り返し符号の改良に適用される．. ３４.

F四−・･ｒ−−. -. ･●’. _〃･-. Ａ一八‘ 采４. ,ぶ 早. 繰り返し符号の能力の改良.

-. -. .〃･. ４．１. ２. まえがき. ２節で述べたように. 構成的符号である. 繰り返し符号ごバまS. hannonの通信路符号化定理が示す. しかし. （１）符号化比率ＲＯ（j7）は通信路容量Ｃよりもかなり小さな離散値である （２）２元対称通信路の誤り確率ρはＯ＜ρく２. （３）復号誤り確率. （屑＋１）. の範囲に限られる. /≒（￡）の収束速度がランダム符号化によるブロック符号の. それに比べ低速である. という３つの制約条件がある. これらの制約条件を改善し. より厳密な意味でＳｈ. annonの通信路符号化定理が示す構成的符号を与えることは興味ある問題である. 例えば. （２）の制約条件を改善した研究として. わりに. ＢＣＨ符号を繰り返すことにより. 拡張ハミング符号を繰り返すか 復号後の２元シンボル当たりの誤り確. 率をＯに近づけることのできる２元対称通信路の誤り確率μの範囲を改善した繰り 返し符号が提案されている（４０）. そこで４. ２節では. る目的で，２元対称通信路の誤り確率ρは. （１）の制約条件を改善す. Ｏ＜ρ＜０．１６１７であることを仮定し. 繰り返し符号むりの符号化・復号化方法に. 修正積符号の符号化. 適用し修正繰り返し符号ご肖を提案する（41）（42）. 復号化方法（３８〉. を. この修正繰り返し符号（791は. Ｏく戸く0.1617において，繰り返し符号ｒｆより常に高い符号化比率j昌（g）で実 次に４．３節では. 現することができる びむの符号化. 復号化方法と重畳法(43). の制約条件を改善する（¨ 誤り確率ρが. （４４）. とを組合わせることにより. ても擬似誤り指数Ｆ肖（Ｒ。（ｇ））. さらに（Ｉ）. この修正繰り返し符号C｡2は. O＜ρ＜0,0959の範囲に限定されるが. 号化比率ﾉ?。（僧）を部分的に上回る. Ｃｆのそれと比較し. ４．２節で提案された修正繰り返し符号. ２元対称通信路の 修正繰り返し符号（7,nの符. 修正繰り返し符号ご｡｡. また. Fg2（刄。（j7））を求め. 能力の改良が成されていることを２. ３５. −. Ｃ肖. に対し. 繰り返し符号. ２節で述べた新しい視点.

4嘱と……゛･j･……●■1……………………:r………7,1●￨･.･I■●■II■l･ll㎜･圖・"'-−−￣−--. ---. から示す. ４．２. --一般化連接符号の符号化・復号化方法を適用Ｌた改良. 繰り返し符号ｒｆはごj,＝ご，⑧ご，⑧…⑧ど7，で表される．これは積符号（ｒ２ｊ-１ ⑧Ｃ，ﾊﾞ）の直積とも見なせる．すなわちご．＝（17，⑧ご，）⑧（Ｃ，⑧Ｃ，）⑧…⑧ （Ｃ，−，⑧ｒ。）と表せる．但し，／＝１，２，…，ｒ／２，ｒは偶数である．この 積符号（ｒｓ ｊ’−１⑧Ｃ。）の符号化・復号化に一般化連接符号の特別なクラスである 修正積符号の符号化・復号化方法を適用して修正繰り返し符号ｒ。，を構成する．積 符号（Ｃｌｊ‘−１⑧ｒｎ）の符号語を図４．１に記す．. ｙＶyv2 ２ Ｊ’−１ J'−1 ／. 心. ． ￡２／−１ 、￨ へ. ／. /Vn. ＼. Ｘ. ｘ. ／. ￡ｎ. Ｊ. ＼. ／. /. ／. ＊図中斜織部は検査記号部を表す． 図４．１. 積符号『ど７１』‘−｜⑧Ｃｌｊ）の符号語. ３６. −.

-. ●●p’. Ｅｌｉａｓの繰り返し符号（!≒の各段の符号は式（２．１）で与えられるので修正繰り返し符 号ｒｎを構成する各段の符号パラメータは次のように与えられる．第２. ／−１段の. 符号Ｃｎ−１は非組織符号で， （／Ｖ２ｊ‘−１¶. λ’２ｊ−１９. ７?ｌ，−１）＝（２. °゛ｌい’￣ｎ，２. -. で表される．但し，Ｓ≧３の整数，j‘＝. １. “゛２い’￣ｎ. （Js7十２. ／−１），４），（４．１）. ２，…，ｊ･／２，／’は偶数とし，その. 部分符号として符号ご‘lj-，；. （／Ｖｎ−ｈ. ｆ’２，＿ｈ. β・２ｊ−，）. -. （２ａ＋ｌ（ｊ￣ｌ），２. −（３. ｓ４２（ｊ･￣１１. ｊ?十６. ｉ−. ５），８），（４．２）. を持つ．特に，j,＝3のとき，部分符号ｒ≒は. （／Ｖ・１，ｆｌｈ. Ｚ）≒）＝（８，１，８）. (４．３). の反復符号である．そして，第２ｊ段の符号は符号ｒ，ｊ；. （／Ｖ２。ｆ２，･，Ｚ）２，）. 一. （２¨２ｊ￣１，２. ’゛゛￣１−. い77十２. ｊ），４），（４．４）. 一１. と符号こ'・，. （/V2. 一. A’・ 11.. ﾌﾌﾟ２，） 2j，. 一 一. （２. ’゛ｌ゛’，. ２. ’゛２゛￣’，１）. (4.5). の２クラスを用いる．Ｅｏａｓの繰り返し符号Ｃｆを構成している積符号（Ｃ２；-1⑧ ＣＨ）をＨＥ（2 /-1， 2/）で表わし，この積符号を式（４．１）−（４．５）で表わされる符号を 用いて修正した積符号を//｡l（2 まず，2（j7十２ ／−２）ｘｆ。･の情報記号を符号Ｃ２ｊの符号語として符号化す /-1， る。 そして， 残りの｛ｆ２ｊ‘−１￣ ２（ｓ十２ ｊ’−２）｝ｘｆ≒，の情報記号を符号 2/）で表わす．修正積符号jhn万（2 Ｃ≒ｊの符号語として符号化する。その結果，符号化されたぶ2』‘−1 ×/V2j個の符号 /-1， 語を情報記号として，符号ｒ２ｊ‘−１の/V‥一個の符号語に符号化し，積符号/Z。，（2 2/）の符号 化手順を次に示す． ３７. /-1，.

-. W.一心. 2/)を得る．. 同様の手J「哨を/7.，（/’-1，/･），77｡1（/’-3，/一一2），…，//。，（1，2）の順に繰り返すことに より，修正繰り返し符号ご。，が符号化される。修正積符号//j,1（2. /-1，2/）の符号化過. 程を図４．２に記す。. ２. い77十２. ／−２）. /V21’−1. ｇ’。. （ａ）. （ｂ）. （a）/ハn（2. （ｃ）. /-1， 2/）の情報記号. （ｂ）符号Ｃ２，の符号化 （ｃ）符号ご２７-１ ＊. の符号化. 図中斜線部は検査記号部を表す．修正積符号//g1（2/-1,2/）の符号語は非組織的であるが，図示するために組織的な符号. 語として記してある． 図４．２. 修正積符号/ハn（2/-1，2/）の符号化過程. 修正繰り返し符号ご｡,の復号化は，積符号/7.1（2 た一般化連接符号の復号化方法を適用し， j･）の順に行う。次に，JZ/｡，（2. /-1， 2/）に対して３．３節で記し. 77.1（1，2），//。￨（3，4），…，/7｡1（r-1，. /-1，2/）の復号化方法を記す。／７．，（２. 38. ／-１， ２／）を送信し.