POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Oleh
MARDININGSIH 098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARDININGSIH 098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
Judul Disertasi : POLINOMIAL KOMBINATORIK Nama Mahasiswa : Mardiningsih
Nomor Pokok : 098110007
Program Studi : Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Co-Promotor Co-Promotor
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 24 Juli 2013
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang 4. Dr. Sutarman, M.Sc
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam di-sertasi saya yang berjudul:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pem-bimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukan-nya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Juli 2013 Penulis,
ABSTRAK
Polinomial kombinatorik merupakan masalah optimisasi yang berasal dari masalah kombinatorial yang berbentuk pemrograman polinomial dan integer. Penelitian ini menyajikan syarat agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian. Syarat eksistensi (adanya) nilai optimum dapat diperoleh dengan memberikan batasan pada variabel keputusan dan menggunakan sifat-sifat him-punan penyelesaian (polihedra) dari model yang diberikan, dan menggunakan definisi kekonvekan fungsi pada bilangan bulat.
ABSTRACT
The combinatoric polynomial comes from optimization problem combinato-rial in form the nonlinear and integer programming. This reasearch present a condition such that the combinatoric polynomial has solution. Existence of op-timum value will be found by restriction of decision variable and properties of feasible solution set and definition convexity at integer. Through this condition, the optimum value could be known.
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulilah, segala puji bagi Allah atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyele-saikan disertasi yang berjudul Polinomial Kombinatorik.
Dalam meyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan, baik moril maupun material dari berbagai pihak. Pada kesem-patan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesem-patan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan komisi penguji yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Pro-gram Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan ma-sukan dan saran hingga selesainya disertasi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu Matematika, dan selaku komisi penguji. Atas keiklasan dan kesabaran serta ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga selesainya disertasi ini.
4. Bapak, Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Promotor, atas ke-tulusan hati dan keiklasan dalam membimbing dan mendukung dan men-garahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya di-sertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor dengan ketulusan hati dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk masa-lah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Co-Promotor yang atas keik-lasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi disertasi ini.
7. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku komisi penguji yang atas keiklasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi di-sertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar Program Studi S3 Ilmu Matematika dan staf pengajar Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
9. Buat sahabat-sahabatku, dan seluruh teman-teman S-3 Ilmu Matematika yang tidak disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan dorongan dan doanya kepada penulis.
Matema-tika serta Staf Administrasi Fakultas MatemaMatema-tika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih kepada Alm. Ayahanda dan Almh. Ibunda tercinta, yang telah tak terhingga banyaknya mendidik tentang arti hidup dan mendoakan agar penulis berhasil dan manjadi orang yang berman-faat. Penulis turut menyampaikan penghargaan dan terimakasih tak terhingga yang sangat mendalam kepada suamiku tercinta dan anak-anakku tersayang, ju-ga buat semua kakak-kakak dan adik-adikku yang sanju-gat menyayangiku yang telah memberikan support luar biasa demi keberhasilan pendidikan ini.
Akhir kata penulis, semoga pendidikan yang saya peroleh ini bermanfaat untuk kebaikan umat manusia. Sekian maaf dan terimakasih.
Medan, Juli 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Mardiningsih dilahirkan di Medan pada tanggal 5 april 1963, dari Ayah yang bernama Wiryamiharja (Alm) dan Ibu bernama Markonah (almh) sebagai anak bungsu dari delapan bersaudara. Pada tahun 1975 lulus SD Swasta Budisatrya Medan. Pada tahun 1978 lulus SMP Swasta PAB Sampali. Pada tahun 1981 Lulus SMA swasta Josua Medan. Pada tahun 1986 Lulus Sarjana Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 1999 memperoleh gelar Master Science pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Selanjutnya pada tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan S3 program studi Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1988, penulis diterima sebagai staf pengajar di FMIPA USU, dan sampai saat ini penulis memperoleh pangkat Lektor Kepala golongan IV/c di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penulis menikah tanggal 1 Maret 1986, dan sampai saat ini telah dikaruniai Allah SWT dengan tiga orang putra.
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
a. R= Himpunan semua bilangan real
b. Z= Himpunan bilangan bulat
c. Z[x1, x2, x3, . . . , xn] = Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1, . . . , xn dan koefisien bilangan bulat
d. K[x1, x2, x3, . . . , xn] = K[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1, . . . , xn dan koefisien field K
e. Misalkan suatu field K dan bilangan bulat positif n, didefinisikan suatu ruang Eucledian atas K berdimensi n adalah himpunan
Kn ={(a1, . . . , a
n)|a1, . . . , an∈K}
Zn={(a1, . . . , a
n)|a1, . . . , an∈Z}
Rn={(a1, . . . , an)|a1, . . . , an∈R}
f. Z+ = himpunan bilangan real positif ={x ∈R|x≥0}
g. Z+ = himpunan bilangan bulat positif ={x∈Z|x≥0}
h. Conv (K) = Konveks hull dariK memuat titik-titik interior bilangan bulat yang bukan elemenK
i. Kn= Graph komplit dengan n verteks
j. Himpunan tutup [a, b] ={x∈R|a≥x≥b} k. ∅= Himpunan kosong
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN i ABSTRAK ii ABSTRACT iii KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vii
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI viii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR xii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Tujuan penelitian 11
1.3 Manfaat Penelitian 11
1.4 Metodologi Penelitian 12
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 14
2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial 14 2.2 Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial 16 2.2.1 Himpunan stabil dan bilangan stabil 16 2.3 Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi
Kombi-natorial 18
2.5 Definisi dan Notasi 20 BAB 3 KRITERIA KEOPTIMALAN DARI MASALAH OPTIMISASI
POLI-NOMIAL 22
3.1 Eksistensi Optimisasi Polinomial 22
3.2 Pengali Lagrange 25
3.3 Syarat Keoptimalan KARUSH-KUHN-TUCKER 25
3.4 Kekonvekan 27
3.5 Pendekatan Optimisasi Berkendala 28
3.5.1 Metode dasar 30 3.5.2 Variabel superbasic 32 3.5.3 Metode derivatif 34 3.5.4 Arah pencarian 37 3.5.5 Implementasi 39 3.5.6 Ringkasan prosedur 39
BAB 4 POLINOMIAL KOMBINATORIK 44
4.1 Definisi dan Notasi 44
4.2 Kekonvekan pada Bilangan Bulat 47
BAB 5 EKSISTENSI NILAI OPTIMUM POLINOMIAL KOMBINATORIK 52
5.1 Masalah Polinomial Kombinatorik 53
5.2 Himpunan Layak (Polihedra) 54
5.3 Eksistensi (keberadaan) Nilai Optimum 59
BAB 6 KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN 61
6.1 Kesimpulan 61
6.2 Penelitian Lanjutan 62
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu persoalan optimisasi dimulai dengan himpunan variabel bebas atau parameter, dan acapkali mencakup kondisi atau pembatasan terhadap nilai ter-terima dari variabel. Pembatasan demikian diistilahkan kendala dari persoalan. Komponen penting lainnya dari persoalan optimisasi adalah yang disebut fungsi objektif atau fungsi tujuan, yang tergantung pada variabel-variabel persoalan. Penyelesaian dari persoalan optimisasi adalah himpunan dari nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala, sedemikian hingga fungsi objektif mencapai nilai opti-mal.
Bentuk baku secara matematika yang representatif dalam mengungkapkan persoalan optimisasi dan untuk menyelesaikan persoalan adalah,
Maksimum f(X)
dengan Kendala gi(X) = 0, i=,2,· · · , m
gi(X)60, i=m+ 1, m+ 2,· · · , n
X = (x1, x2,· · ·xd)
(1.1)
Fungsi objektif f dan fungsi kendalagi merupakan fungsi bernilai real, X adalah
2
Bentuk (1) diatas menyatakan : tentukan nilai demikian untuk larik variabel keputusanX, sehingga fungsif(X) dimaksimumkan dan fungsi kendala dipenuhi. Bentuk (1) disebut sebagai model program matematika.
Dari uraian terdahulu, jelas bahwa untuk menyelesaikan persoalan opti-misasi, perlu dihasilkan suatu model. Seringkali dalam pemakaian, variabel kepu-tusan X dipersyaratkan memiliki batas bawah l dan batas atas u dengan l > 0 dan u > 0 agar nilai variabel keputusan X diharapkan tidak mengambil nilai 0. Dengan adanya persyaratan tersebut, model (1) sekarang ditambah dalam kendala dengan l ≤X ≤u.
Ada masalah optimisasi yang variabel keputusannya dibatasi oleh bilang-an bulat (integer) atau biner, masalah optimisasi ini disebut optimisasi kombi-natorial. Persoalan optimisasi kombinatorial ini berasal masalah kombikombi-natorial. Masalah kombinatorial adalah suatu masalah yang berhubungan dengan menghi-tung (counting), sehingga penyelesaian masalah optimisasi kombinatorial adalah bilangan bulat. Dengan bertambahnya persyaratan tersebut, model program ma-tematika dari optimisasi kombinatorial adalah model (1) ditambah syarat pada kendala, yakni X = (x1, x2,· · · , xd), xi bilangan bulat untuk setiapi.
Masalah optimisasi kombinatorial dapat diformulasikan dalam bentuk graph dan dalam bentuk program matematika. Suatu masalah optimisasi kombinatorial dalam graph yang mempunyai banyak aplikasi dan telah banyak diteliti secara intensif adalah masalah pewarnaan graph ( Murty, 2003). Masalah
pewar-3
naan graph dari suatu graph G = (V, E), adalah persoalan mencari minimum banyaknya warna yang dapat diberikan pada setiap titik pada himpunan V de-ngan setiap titik diberi satu warna, dede-ngan kendala untuk setiap edge (i, j)∈E, warna yang digunakan untuk verteksidan verteksj harus berbeda, permasalahan ini merupakan masalah optimisasi kombinatorial.
Suatu graph G adalah suatu network (V, E) dengan V adalah himpunan berhingga titik-titik (verteks ) dan E adalah himpunan garis (edge), setiap edge merupakan pasangan berbeda dari titik-ttik. Jika V mempunyai n titik maka biasanya setiap titik diberi label, 1,2,· · · , n. Garis yang menghubungkan titik
i dan j dinotasikan dengan (i, j). Titik i dan j disebut bertetangga (adjacent) pada graph jika ada garis yang menghubungkan titiki dan titik j.
Optimisasi kombinatorial dari masalah pewarnaan graph dapat direpre-sentasikan sebagai program matematika. Pada suatu graph dengan n buah titik, masalah pencarian warna menggunakan variabel keputusan bilangan bulat antara 1 dan n dan tidak pernah lebih besar dari n.
Masalah pewarnaan graph, banyak aplikasinya pada masalah sehari-hari nyata, misalnya:
1. Masalah pembuatan jadwal pertemuan, dengan masalah pencarian mini-mum banyaknya slots waktu yng diperlukan untk penjadwalan semua perte-muan tanpa terjadi konflik.
4
2. Masalah pemberian warna pada pembuatan peta dunia, dengan semua ne-gara harus diberi warna tetapi nene-gara yang bertetangga tidak diperbolehkan mempunyai warna sama. Masalahnya adalah berapa minimum banyaknya warna yang digunaka pada pembuatan sebuah peta.
Lovast (1994), merepresentasikan masalah optimisasi kombinatorial dari masalah pencarian minimal banyaknya warna pada suatu graph G(V, E) dengan n buah titik, dengan mendefinisikan suatu variabel keputusan xi untuk i = 1 sampai
dengan n,
xi= bilangan untuk warna yang digunakan pada titiki.
diperoleh program matematika dengan fungsi objektif f adalah fungsi linear, fungsi kendala gi merupakan polinomial, dan k adalah bilangan bulat positif,
sebagai berikut:
Miminimumkank
Kendala xki −1 = 0 untuk setiap vertex i∈V (G)
xki +xki−2xj +xkj−1 = 0 untuk setiap edge {i, j} ∈E(G)
16 i6n
Aplikasi lain dari masalah optimisasi kombinatorial graph, misalnya masalah pemilihan kerja (job assignment problem), dapat diformulasikan sebagai program matematika, dengan fungsi objektif f dan fungsi kendala gi merupakan fungsi
5
MisalkanT adalah variabel waktu ketika semua pekerjaan telah dilakukan, bentuk program matematika (2) nya adalah:
minimumkanT Kendala X j∈Si xij =ti, (i∈ {1,2, . . . n}) xij >0 (i∈ {1,2, . . . n}, j ∈Si) X j∈Si xij =ti, (j ∈ {1,2, . . . m}) (1.2)
Bilangan ti dan himpunan Si diberikan, variabelxij dan T akan dicari.
Untuk setiap pekerjaan i dan untuk pekerja j adalah verteks, dan jika pekerja j
mendapat pekerjaan i diwakili oleh edge {i, j}.
Pada pemakaiannya, masalah optimisasi kombinatorial yang telah diuraikan sebelumnya, diperoleh bahwa optimisasi kombinatorial dapat direpresentasikan dalam bentuk program matematika, dan mempunyai beberapa kemungkinan yang terjadi pada fungsi tujuan dan fungsi kendala, yakni:
1. Fungsi tujuan adalah linear dan kendala juga fungsi linear.
2. Fungsi tujuan adalah linear dan kendala polinomial.
3. Fungsi tujuan adalah polinomial dan kendala fungsi linear.
4. Fungsi tujuan adalah polinomial dan kendala juga polinomial,
dengan variabel keputusan yang diperbolehkan adalah diskrit, yakni bilangan bu-lat atau biner.
6
Pada penelitian ini, yang akan dikaji adalah masalah optimisasi kombinato-rial yang program matematikanya khusus mempunyai fungsi tujuan dan kendala berbentuk polinomial, dan untuk selanjutnya disebut polinomial kombinato-rik. Bentuk umum dari polinomial kombinatorik adalah:
Maksimumkan f(X)
gi(X) = 0, i= 1,2,· · · , m
gi(X)60, i=m+ 1, m+ 2,· · · , n
l 6X 6u
(1.3)
dengan f, gi ∈ Z[x] dan X ∈ Zd dan Zd ={(a1,· · ·, ad)|a1,· · · , ad ∈ Z}
Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan koefisien integer.
Lorea et. al., (2008) memperlihatkan penyelesaian masalah optimisasi binatorial suatu graph berdasarkan keberadaan penyelesaian dari polinomial kom-binatoriknya. Telah dibuktikan bahwa masalah kombinatorial mempunyai penye-lesaian jika dan hanya jika polinomial kombinatoriknya mempunyai penyepenye-lesaian.
Dari uraian diatas, diperoleh bahwa betapa pentingnya perlu diketahui su-atu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian, tetapi sampai dengan saat ini belum ada yang menjamin bahwa suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian. Tetapi untuk menentukan bahwa polinomial kombinatorik tidak mempunyai penyelesaian sudah ada jaminannya yang disebut jaminan Nullste-lensatz (Alon,1999). Oleh karena ini perlu dikaji apa yang menjamin agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian.
7
Sebelum dilakukan penelitian pencarian syarat keoptimalan (syarat yang harus diberikan agar suatu polinomial kombinatorik (3) mempunyai penyelesaian (terselesaikan). Perlu dikaji beberapa kasus yang sudah diteliti oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Suatu model (3) mempunyai penyelesaian (terselesaikan) adalah diperolehnya himpunan variabel keputusan (titik bilangan bulat) yang memenuhi semua kendala yang disebut himpunnan layak atau polihedra (P := {x ∈ Zn|gi(x) ≤ 0}) bukan merupakan himpunan kosong, sedemikian hingga
fungsi tujuan f mencapai nilai optimum.
Ada dua kemungkinan yang terjadi ketika masalah polinomial kombinatorik tidak mempunyai penyelesaian, yaitu misalnya ketika masalahnya infeasible atau polihedranya merupakan himpunan kosong P :={x∈ Zn|g
i(x)60}=∅) dan f
tak terbatas (untuk semua α∈ Z ada x∈P dengan f(x)< α).
Polinomial kombinatorik melibatkan sistem pertidaksamaan polinomial dan sekumpulan bilangan bulat, maka perlu analisa lebih lanjut untuk mengidenti-fikasikan keberadaan titik optimum (penyelesaian). Dalam kasus ini diperlukan penelitian terdahulu tentang asumsi dan metode yang sudah digunakan, pertama pada program matematika dengan fungsi tujuan dan kendala berbentuk polino-mial tetapi variable keputusan bilangan real.
Untuk fungsi tujuan dan kendala berbentuk polinomial dengan variabel ke-putusan bilangan real sudah ditemukan syarat agar masalah optimisasi nya mem-punyai penyelesaian (Bazarraet al 1993), berdasarkan pernyataan berikut:
8
Misalkan (X,kk) adalah ruang norm riil
S ⊆X tak kosong, fungsi f :S → Z.
JikaS adalah himpunan kompak barisan lemah dan fungsif semi kontinu bawah lemah, maka ada paling sedikit satu x∗ ∈ S dengan f(x∗) ≤ f(x), untuk semua
x ∈ S, sehingga masalah optimisasi min
x∈S f(x) mempunyai paling sedikit satu x
penyelesaian. Setelah ada jaminan bahwa masalah optimisasi mempunyai penye-lesaian, maka penelitian selanjutnya mencari syarat perlu dan syarat cukup untuk mendapatkan nilai optimum.
Syarat perlu bahwa f(x) mempunyai relative minimum di x = x∗, adalah
f(x) harus terdefinisi pada suatu interval [a, b] untuk a < x∗ < bdan jika turunan f(x) atau 5f (f multivariabel) ada padax =x∗, maka f(x∗) = 0 atau5f(x∗) =
0. Syarat cukup untuk nilai minimum (lokal atau global) dari f(x) jika f0(x) = 0, f00(x) = 0, sampai dengan f(n−1)(x) = 0. dan f(n)(x)>0, untuk n genap, atau matriks Hess pada x=x∗ adalah definit positif.
Karena f adalah polinomial maka nilai maksimum f(x) (jika ada) pada polihedranya adalah tidak tunggal, yaitu ada yang merupakan maksimum lokal dan ada yang merupakan maksimum global (nilai optimal), sehingga harus ada yang menjamin bahwa nilai maksimum lokal merupakan nilai maksimum global, yaitu jika fungsi f :S → R pada S ⊆X dengan asumsi S subset konveks dan f
9
Untuk masalah optimisasi dengan fungsi tujuan f :Zn→ Zlinear dan ken-dala linear maka nilai minimum nya dijamin ada, jika polihedranya aken-dalah kom-pak dan konveks, selanjutnya untuk pencarian penyelesaian bilangan bulat, masa-lah pencarian nilai optimalnya menggunakan metode branch and bound, metode cutting plane dan relaksasi Lagrangian. Pada prosedur relaksasi membutuhkan pengulangan lebih darin kali (n adalah banyaknya variable), sebelum penyelesai-annya diperoleh.( Lovasz dan Schrijver, 1991).
Untuk fungsi tujuan berbentuk polinomial dan kendala berbentuk linear, Lorea, et al (2006) menyajikan kompleksitas dari beberapa masalah untuk pen-carian penyelesaian bilangan bulat dari masalah polinomial kombinatorik multi variable dengan program matematikanya,
Fungsi tujuan, memaksimumkan f ∈Z[x1, ..., xd]
Kendala Ax6b
dengan polihedra P = {x|Ax 6 b}, adalah matriks berukuran n × d dengan
n, d∈Z+ dan x vektor berukuran d×1 sehingga bvektor berukuran n×d.
Algoritma yang disajikan adalah membangun batas atas dan batas bawah untuk mendapatkan nilai optimum global bilangan bulat dari masalah.
Memaksimumkan f ∈Z[x1, ..., xd] pada (x1, ..., xd)∈P ∩Zd
Awalnya dilakukan untuk f polinomial berderajat empat dan semua ken-dala linear(polinomial berderajat satu dengan sepuluh variabel, ternyata tidak
10
diperoleh penyelesaiannya. Tetapi dengan dua variable diperoleh penyelesaian-nya. Adapun hasil penelitiannya disajikan pada tabel kompleksitas dari masalah polinomial kombinatorik dengan beberapa kasus optimisasi pada table 1 berikut:
Tabel 1.1 Kompleksitas komputasi dengan dimensi fix
Tipe fungsi tujuan
Tipe kendala Linear Polinomial konveks Polinomial
Linear Polytime Polytime NP-hard
Konveks semi aljabar Polytime Polytime NP-hard
Polinomial Undecidable Undecidable Undecidable
Sumber : Jurnal Mathematics of Operations Research (2006)
Michael dan Weismantel, R (2010) telah membahas masalah daerah layak atau polihedra suatu polinomial kombinatorik, khusus dengan fungsi tujuan linear dan kendala sebarang polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Beliau juga mendefinisikan masalah kekonvekan suatu fungsi pada bilangan bulat, sebagai perluasan dari definisi kekonvekan pada fungsi kontinu di R, juga mengkaji sifat-sifat dari polihedra yang diperoleh.
Dari uraian hasil penelitian para peneliti terdahulu, diperoleh suatu masalah yaitu setelah masalah optimisasi kombinatorial direpresentasikan sebagai program matematika yang berbentuk polinomial kombinatorik, dengan bentuk umum poli-nomial kombinatorik ( 3). Permasalahannya adalah : Syarat apakah yang harus diberikan agar polinomial kombinatorik (3) mempunyai penyelesaian ? .
1. Apakah dengan memberi batasan pada variabel keputusan dan syarat pada fungsi kendala agar diperoeh himpunan layak (polihedra)? .
2. Apakah syarat agar terdapat unsur bilangan bulat di polihedra yang meng-hasilkan nilai optimum fungsi objektif ?.
11
1.2 Tujuan penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menentukan syarat agar polinomial kombina-torik (·) mempunyai penyelesaian.
1.3 Manfaat Penelitian
Karena ada masalah kombinatorial dalam kehidupan nyata yang model matematikanya berbentuk polinomial kombinatorik, maka manfaat dari peneli-tian ini adalah :
1. Dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah torial yang diperoleh berdasarkan pada penyelesaian polinomial kombina-toriknya.
2. Penelitian ini dapat memberikan teori dan teorema baru tentang kondisi keoptimalan dari suatu pemrograman matematika yang disebut Polinomial Kombinatorik.
3. Dengan ditemukan syarat agar polinomial kombinatorik mempunyai penye-lesaian (terselesaikan) maka dapat dilanjutkan untuk menentukan metode apa yang sesuai untuk pencarian penyelesaian nya.
4. Dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah hampiran (aproksimasi) atau menemukan algoritma yang efisien dalam mencari nilai optimal dari beberapa masalah kombinatorial yang modelnya berbentuk polinomial kom-binatorik
12
1.4 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan syarat agar polinomial kombinatorik mempunyai penyelesaian adalah sebagai berikut,
1. Mengkaji masalah polinomial kombinatorik yang mempunyai satu atau dua variabel, karena masalah ini masih dapat direpresentasikan dengan grafik. Mengkaji karakteristik atau situasi apa saja yang terjadi tentang kenda-la yang berbentuk polinomial, karena dengan kendakenda-la berbentuk polinomial akan mempengaruhi keberadaan nilai optimum dari fungsi tujuan yang juga polinomial. Karena fungsi tujuan polinomial mempunyai beberapa lintasan yang mungkin dilalui, yang disebut kountur, atau dapat mempunyai lebih dari satu titik ekstrim, sehingga keberadaan penyelesaiannya yang bergan-tung pada pengaruh kendala terhadap fungsi objektif perlu dianalisa. Dalam masalah ini diselidiki kemungkinan-kemungkinan yang terjadi tentang koun-tur dan titik ekstrim dari fungsi objektif himpunan layaknya (polihedra).
2. Melakukan pengkajian tentang polihedra masalah polinomial kombinatorik (·) dengan satu variabel dan dua variabel dan hubungan nya dengan fungsi tujuannya, yakni dengan mengkaji model,
Fungsi Objektif Memaksimumkanf(X)
kendala gi(X)60 i = 1,2, ..., m
l 6x6u, l, u dan x∈Z
l, u >0
13
dengan f, g ∈Z[x], selanjutnya membandingkan dengan jikaf, g ∈R[x].
3. Mengkaji secara umum sifat-sifat polihedra masalah (1) diZn
4. Pembuktian secara aljabar untuk memperlihatkan bahwa dengan pemberian beberapa syarat maka Polinomial Kombinatorik mempunyai penyelesaian (terselesaikan).
