Rumus-Rumus Trigonometri
Rumus-Rumus Trigonometri
Rumus-Rumus
Rumus-Rumus
Trigonometri
Trigonometri
Matematika Peminatan XI IPA
Matematika Peminatan XI IPA
2017/2018 2017/2018
SMA Kolese Loyola SMA Kolese Loyola
▸ Baca selengkapnya: rumus pengisian tempat
(2)Rumus-Rumus Trigonometri
Rumus-Rumus Trigonometri
Daftar Isi
Daftar Isi
A. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut ... 3
A. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut ... 3
1. Sinus Jumlah dan Selisih Sudut ... 3
1. Sinus Jumlah dan Selisih Sudut ... 3
2. Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut ... 8
2. Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut ... 8
3. Tangen Jumlah dan Selisih Sudut ... 11
3. Tangen Jumlah dan Selisih Sudut ... 11
B. B. RumRumus-Rumus-Rumus us Sudut Sudut GandGanda .a ... ... 1414 C. Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri... 18
C. Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri... 18
D. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri ... 22
D. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri ... 22 E.
Rumus-Rumus Trigonometri
A. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
1. Sinus Jumlah dan Selisih Sudut
sin
Gambar 1
Perhatikan ACD
pada Gambar 1 b x AC AD
sin sehingga sin b x
. b t AC CD
cos sehingga cos b t
.Perhatikan BCD
pada Gambar 1 a y BC BD
sin sehingga sin a y
. a t BC CD
cos sehingga cos a t
.Rumus-Rumus Trigonometri
Luas ABC
adalah
sin
2 1 b a ABC L .
Luas ACD
adalah sin cos 2 1 2 1 2 1 b a x t AD CD ACD L
. Luas BCD
adalah sin cos 2 1 2 1 2 1 a b a t BD CD BCD L
. Karena L
ABC
L
ACD
L
BCD, maka
cos sin 2 1 sin cos 2 1 sin 2 1 a b b a b a
sehingga diperoleh
cos sin 2 1 cos sin 2 1 sin 2 1
b a b a b a .Jadi,sin
sin
cos
cos
sin .Sementara itu, untuk rumus sin
dapat diperoleh dengan mensubtitusikan bentuk
.
sin
sin
sin cos cos sin
cos cos sin
sin
Rumus-Rumus Trigonometri
Contoh 2.A.1
a. Hitunglah nilai sin75
tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri.b. Diketahui
4 3
sin A
B
dan
2 1
sin A
B
. Hitunglah B A cos sin
. Jawab a. sin75
sin
45
30
sin45 cos30 cos45 sin30
2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1 2 4 1 6 4 1
6 2
4 1
Jadi,
6 2
4 1 75 sin
. b.
4 3 sin cos cos sinsin A
B
A B
A B
2 1 sin cos cos sinsin A
B
A B
A B
4 5 cos sin 2 A B
8 5 cos sin A B
Jadi, sin Acos B
5 .Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.A.1
1. Hitunglah nilai sin83
jika5 4 37
cos
.2. Hitunglah nilai eksak dari sin22
cos23
sin23
cos22
. 3. Tunjukkan bahwa 2 2 1 3 15 sin
. 4. Diketahui
3 1sin x
y
m
dan sin x
cos y
n
1, tentukan nilai yx sin cos
3
.Contoh 2.A.2
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 2 1 6 sin 6 sin
x x dalam selang 0
x
2 . JawabRumus-Rumus Trigonometri
3 2 1 6 sin cos 6 cos sin 6 sin cos 6 cos sin
x x x x 3 2 1 cos 2 1 sin 3 2 1 cos 2 1 sin 3 2 1
x x x x 3 2 1 cos x
Karena 6 cos cos x
, maka 2 6
k x dan 2 6
k x sehinggadiperoleh himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah
6 11 , 6 2 6 , 6 . Latihan 2.A.2Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 4 sin 4 sin
x x dalam selang 0
x
2 .Rumus-Rumus Trigonometri
2. Kosinus Jumlah dan Selisih Sudut
cos
Gambar 2
2 2 ACB BDC Luas ADC Luas ABC Luas
sin sin 2 1 cos cos 2 1 2 sin 2 1 ab ab ab
Jadi, cos
cos
cos
sin
sin .Untuk mendapatkan rumus cos
dapat diperoleh dengan mensubtitusikan bentuk
.
cos
cos
cos cos sin sin
cos sin sin
cos
Rumus-Rumus Trigonometri
Contoh 2.A.3
a. Hitunglah nilai cos75
tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometrib. Jika
2 1
cos A
B
dan5 1 sin
sin A
B
, tentukan nilai B A tan tan
. Jawab a. cos75
cos
45
30
6 2
4 1 2 4 1 6 4 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1 30 sin 45 sin 30 cos 45 cos
b. cos
A
B
cos A
cos B
sin A
sinB
10 7 5 1 2 1 sin sin cos coscos A
B
A
B
A
B
7 2 7 10 5 1 cos cos sin sin tan tan 10 7 5 1
B A B A B A Latihan 2.A.3 1. Tentukan nilai 12cos tanpa menggunakan kalkulator.
2. Jika cos
A
B
m
2 danm B
A sin 1
sin
, tentukan nilaiB A tan
tan
.Rumus-Rumus Trigonometri
4. Gunakan identitas kosinus sudut jumlah atau selisih untuk
membuktikan identitas x sin x
2 cos
. 5. Diketahui 3 4 tan
dengan
2 dan 2 3 1 cos
dengan 20
. Tentukan nilai dari cos
dan
Rumus-Rumus Trigonometri
3. Tangen Jumlah dan Selisih Sudut
tan
Rumus tangen jumlah dan selisih sudut
tan tan 1 tan tan tan
,
tan tan 1 tan tan tan
Latihan 2.A.4Buktikan rumus tangen jumlah dan selisih sudut diatas.
Contoh 2.A.4
a. Jika tan6
p , nyatakan tan234
dalam p . b. Tentukan nilai untuk perbandingan trigonometri
55 tan 80 tan 1 55 tan 80 tan . Jawab. a. tan6
tan
240
6
180 60
tan60 3 tan 240 tan
Rumus-Rumus Trigonometri
6 tan 240 tan 1 6 tan 240 tan 6 240 tan 6 tan p p p p p p
3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 2 2 2 2 3 1 3 4 3 3 1 3 3 3 p p p p p p p
b.
135 tan 55 80 tan 55 tan 80 tan 1 55 tan 80 tan
180 45
tan45 1 tan
Latihan 2.A.51. Jika tan7
p, nyatakan tan142
dalam p . 2. Tentukan nilai untuk perbandingan trigonometri2 340 tan 25 tan 2 25 tan 340 tan
.Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.A.6
1. Diketahui
4 1
cos A
dan 33 1
sin B
dengan A sudut di kuadran III dan B di kuadran II. Tentukan nilai tan
A
B
dan
A
B
tan .
2. Diketahui sebuah segitiga ABC,
17 8 sin A
, 5 4 cos B
, untuk A dan B sudut lancip. Tentukan nilai tanC .3. Buktikan
a b b a b a cos cos tan tan sin
.Rumus-Rumus Trigonometri
B. Rumus-Rumus Sudut Ganda
Untuk setiap sudut berlaku rumus-rumus berikut.
1. sin2
2sin cos 2.
2 2 2 2 sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos 3. 2 tan 1 tan 2 2 tan
Latihan 2.B.1Rumus-Rumus Trigonometri
Contoh 2.B.1
a. Diketahui
5 4
sin A
untuk A sudut tumpul. Tentukan sin2 A, A2
cos , dan tan2 A.
b. Buktikan bahwa 2cosa
cos a sin12a
2 2cosa sin2a2
1
.Jawab.
a. Dengan menggunakan rumus sin2 A
cos2 A
1, diperoleh25 9 25 16 1 5 4 1 sin 1 cos 2 2 2
A A sehingga 5 3 cos 5 3cos A
A
karena A di kuadran II. Dengan demikian, diperoleh: 25 24 5 3 5 4 2 cos sin 2 2 sin
A A A 25 7 25 16 25 9 5 4 5 3 sin cos 2 cos 2 2 2 2
A A A 7 24 2 cos 2 sin 2 tan 25 7 25 24
A A A b. Ruas kiri
21
2 2 1 sin cos cos 2 a a
a
a a a a a a a a a a a a 2 sin cos 2 sin cos 2 cos 2 2 sin 1 cos 2 sin sin cos 2 cos cos 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2
Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.B.2 1. Jika 2 1 2 2 tan m m A
, maka tentukan cos2 Adan sin2 A.2. Diketahui
25 24 sin
cos2 A
2 A
, untuk A sudut lancip. Tentukan nilai dari sin A.3. Jika tan A
2 dan A di kuadran III, hitung nilai sin2 A, cos2 A, dan tan2 A. Terletak di kuadran berapakah sudut 2A?Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.B.3
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan2 x
tanx
0 untuk
3600 x .
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan
0 5 sin 4 2 cos x
x
untuk 0
x
360
. 3. Buktikan bahwa 4 4 4 4 cos tan 1 sin cos
. 4. Buktikan bahwa
2 cos tan 2 sin tan 2 x x x x .Rumus-Rumus Trigonometri
C. Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri
Untuk setiap sudut dan berlaku rumus-rumus berikut.
1. 2sin
cos
sin
sin
2. 2cos
sin
sin
sin
3. 2cos
cos
cos
cos
4. 2sin
sin
cos
cos
Latihan 2.C.1
Rumus-Rumus Trigonometri
Contoh 2.C.1
a. Nyatakan 2sinacos3a dalam bentuk jumlah/selisih. b. Sederhanakan bentuk 2cos75
sin15
.Jawab.
a. 2sina
cos3a
sin
a
3a
sin a
3a
a a a a 2 sin 4 sin 2 sin 4 sin
b. 2cos75
sin15
sin
75
15
sin
75
15
2 1 2 1 0 60 sin 90 sin
Latihan 2.C.2Tentukan hasil dari
1. 8cos82,5
sin37,5
2. 8sin50
cos40
2sin10
cos20
3.
2cos5 Acos7 ARumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.C.3
Tunjukkan bahwa
1. 8sin20
sin40
sin80
3.2. cos
a
b
cos a
b
cos2 a
sin2b.3.
A
B
A B B A
cos 45 sin 45 cos 45 cos 45 sinRumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.C.4
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan berikut untuk
360 0 x . 1. sin
x
45
sin x
45
2 2.
3 2 1 120 sin 120 sin x
x
3. cos
x
45
cos x
45
2 4.
3 2 1 120 cos 120 cos x
x
Rumus-Rumus Trigonometri
D. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri
Untuk setiap sudut dan berlaku rumus-rumus berikut.
1. x
y
x
y
21
x
y2 1 cos sin 2 sin sin
2. x
y
x
y
21 x
y2 1 sin cos 2 sin sin
3. x
y
x
y
21 x
y2 1 cos cos 2 cos cos
4. x
y
x
y
21 x
y2 1 sin sin 2 cos cos Latihan 2.D.1
Rumus-Rumus Trigonometri
Contoh 2.D.1
a. Nyatakan bentuk sin6 x
sin2 x dalam bentuk perkalian. b. Sederhanakan bentuk cos105
cos15
.Jawab.
a. sin6 x sin2 x 2 sin
6 x 2 x
cos
21 6 x 2 x
2 1
x x x x 2 cos 4 sin 2 4 cos 8 sin 2 21 2 1
b. cos105
cos15
2
sin
105
15
sin
21 105
15
2 1
6 2 1 2 2 1 3 2 1 2 45 sin 60 sin 2 90 sin 120 sin 2 21 2 1
Latihan 2.D.2Tentukan nilai dari
1. sin170
sin10
2. sin44
sin22
3. cos125
cos55
Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.D.3
Buktikan identitas berikut.
1. x x x x x tan 5 cos 7 cos 5 sin 7 sin
2. x x x x x 2 1 cot 2 cos cos 2 sin sin
3. x x x x x 2 sin 2 sin 3 sin 5 cos 3 cos
4. x x x x x x x 2 tan 3 cos 2 cos cos 3 sin 2 sin sin
Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.D.4
Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan berikut untuk
360 0 x . 1. sin2 x
sinx
0 2. cos2 x
cosx
0 3. sin4 x
sin2x
0 4. cos4 x
cos2x
0Rumus-Rumus Trigonometri
E. Aplikasi Trigonometri
Contoh 2.E.1
Sebuah balon udara terbang secara vertikal. Pada pukul 10.00, sudut elevasi antara balon udara dan dasar tanah adalah 30°. Satu jam kemudian, sudut elevasi antara balon udara dan dasar tanah berubah menjadi 75°. Jika jarak antara balon udara dan tempat pengukuran sudut sebelum balon udara itu terbang adalah 150m, berapa selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00?
Jawab.
DAB 30 ,
CAB
75
CAD CAB DAB 75 30 45Tinggi balon udara pada pukul 10.00 adalah DB.
tan DAB tan30AB DB m AB DB
3 3 1 150 30 tanTinggi balon udara pada pukul 11.00 adalah BC.
tan DAB CAD tan75AB BC 30° 45°
Rumus-Rumus Trigonometri
45 tan 30 tan 1 45 tan 30 tan AB BC
2 3
m 150 6 3 6 12 150 3 9 3 3 6 9 150 3 3 3 3 3 3 3 3 150 3 3 3 3 150 3 3 3 3 150 3 3 3 3 3 3 150 1 3 3 1 1 3 3 150
Selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00 adalah CD.
DB BC CD
300 100 3
m 3 2 6 50 3 3 2 6 150 3 3 1 3 2 150 3 3 1 150 3 2 150
Jadi, selisih ketinggian balon udara antara pukul 10.00 dan 11.00 adalah
3 100
Rumus-Rumus Trigonometri
Latihan 2.E.1
1. Seorang anak berdiri memandang sebuah bendera yang terpasang di atap sebuah bangunan. Tinggi pengamatan anak tersebut adalah 165 cm dan jarak anatar bangunan dan anak tersebut adalah 5 m. Jika sudut elevasi antara anak tersebut dengan ujung tiang bendera adalah 75°, berapa tinggi tiang bendera tersebut?
2. Sebuah helikopter berada pada ketinggian 2001.5m di atas permukaan tanah dan seorang anak berdiri tepat di bawahnya. Anak tersebut berdiri tepat di hadapan sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dengan tinggi pengamatan 150 cm. Jika sudut elevasi antara anak dan puncak gedung 15° dan sudut depresi antara helikopter dan puncak gedung 60°, tentukan tinggi gedung tersebut.
3. Dua gedung dihubungkan oleh sebuah jembatan. Tinggi gedung A adalah 150 m, sudut depresi antara atap gedung A dengan dan atap gedung B adalah 30°, dan sudut depresi antara atap gedung A dengan dasar gedung B adalah 15°. Tentukan tinggi gedung B. 4. Getaran sebuah kawat ditentukan oleh persamaan
x T t x T t Ay 2 cos 2 cos 2 . Tunjukkan bahwa persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan
x T t A
