Pengaruh Medan Magnet terhadap Struktur Elektronik Elektron Tunggal Quantum Ring Dua Dimensi

35

Pengaruh Medan Magnet terhadap Struktur Elektronik Elektron

Tunggal

Quantum Ring

Dua Dimensi

SLAMET PRIYONO

Pusat Penelitian Fisika – LIPI, Komplek PUSPITEK Tangerang, Indonesia

E-MAIL : priyono8690@yahoo.com

KAMSUL ABRAHA

Departemen Fisika-FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia

INTISARI:Telah dilakukan studi teoritis struktur elektronik quantum ring electron tunggal dalam system 2D dalam pengaruh medan magnet secara analitik. Penentuan struktur elektronik dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Shrodinger kemudian dilakukan pendekatan. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa swanilai elektron tunggal sistem quantum ring dalam pengaruh medan magnet adalah



1



2

1

'





n

E

_n





_c yang berarti bahwa seluruh keadaan termasuk dalam pita Landau terendah (lowest Landau band).

KATA KUNCI : Kuantum ring, medan magnet, struktur elektron, pita landau

ABSTRACT : Theoretical study on the electronic structures of a single electron quantum ring in two dimension with external magnetic field was discussed by using analytical method. Electronic structures was determined by solving the Shrodinger equation throught variable separation. The results of calculations showed that eigen state of a single electron in quantum ring system with external magnetic field is



1



2

1

'





n

E

_n





_c , it’s means that all energy spectrum enters lowest Landau band if cylotron frequency is much larger than the frequancy associated with the potential confinement and for narrow ring.

KEYWORDS : Quantum ring, magnetic field, electronic structures, Landau band

1. PENDAHULUAN

Perkembangan teknologi nano begitu pesat yang salah satu diantaranya dengan ditemukannya suatu teknik pengungkungan elektron melalui fabrikasi. Teknik pengungkungan elektron terbaru yang berhasil dikembangkan oleh ilmuwan saat ini adalah pengungkungan sistem quantum ring yang merupakan generasi dari quantum dot[1]. Pengungkungan elektron merupakan usaha untuk menjebak elektron dalam sumur quantum dengan suatu potensial tertentu sehingga arah gerak electron terbatas. Pada sistem quantum ring elektron hanya dapat bergerak melingkar dan kearah radial tetapi tidak dapat bergerak secara vertical. Elektron yang terkungkung di dalam suatu potensial tertentu akan menyebabkan terjadinya kuantisasi energi yang memberikan struktur elektronik dan sifat-sifat material.

Tujuan penelitian ini adalah mempelajari pengaruh medan magnet terhadap struktur elektronik elektron tunggal quantum ring dua dimensi. Dengan mengetahui struktur elektronik dalam medan magnet akan diketahui perilaku spin, sifat magnetik, dan pecahnya energi dari atom buatan sistem quantum ring. Dalam medan magnetik, spin dapat menyimpang ke kanan atau kiri tergantung arah dari medan magnet yang diberikan sehingga spin dapat berupa spin-up atau spin down. Perilaku spin ini yang dipakai dalam pembuatan memori komputer dan ATM. Dengan mengetahui sifat magnetik suatu atom, maka akan diketahui atom atau material buatan tersebut akan masuk dalam golongan ferromagnetik, paramagnetik, atau diamagnetik. Dan dalam medan magnetik struktur elektronik dapat terpecah, hal ini yang disebut dengan efek Zeeman.

Model potensial ring dapat diperoleh dengan meninjau eksperimen yang dilakukan oleh Lorke et al (2000), mengenai penumbuhan mandiri quantum ring

In

_x

Ga

_1-x

As

yang hanya melibatkan sebuah elektron2. Bentuk geometri potensial ring yang digunakan Lorke dkk ketika eksperimen dan kemudian dilakukan analisis matematis dapat dirumuskan oleh Pers (1).

 





2 0 2 0

2

1

r

r

m

r

V



_e





(1) dengan

r

₀ adalah jari-jari ring. Secara dua dimensi potensial ring merupakan potensial sumur ganda (double well potential), untuk lebih jelasnya lihat Gambar (1). Untuk kasus khusus

r

₀



0

maka potensialnya

36

merupakan potensial quantum dot. Perbedaan antara sistem quantum ring dan quantum dot adalah ada tidaknya potensial penghalang (barrier) di dalam potensial pengungkung

Gambar 1. Potensial ring yang menyerupai potensial sumur ganda

Perhitungan struktur elektronik quantum dots dua dimensi baik tanpa medan magnet maupun dengan medan magnet telah dilakukan oleh Cahyanto dkk [2] yang salah satunya menggunakan pendekatan analitik telah berhasil menentukan swanilai dan swafungsinya. Swanilai inilah yang memberikan struktur elektronik sistem quantum dot dengan elektron tunggal menurut

E

_nm







₀



2

n



m



1



yang menunjukkan bahwa struktur kulit atom buatan sistem quantum dot dapat digambarkan dengan set aras energi merosot yang terisi penuh oleh 2, 6, 12, 18, dan seterusnya yang dikenal sebagai ”bilangan magis” untuk atom buatan sistem quantum ring. Sedangkan dalam pengaruh medan magnet, seluruh keadaan struktur elektronik

















2

1

'

n

E

nm





c masuk dalam kawasan Landau[3].

Sedangkan perhitungan struktur elektronik quantum ring dua dimensi tanpa adanya medan magnet telah dilakukan oleh Priyono dkk [4] yang memberikan

E

_nm







₀



n



m



1



. Pengisian secara penuh kulit atom ini membentuk pola N = 2, 8, 18, 32...pola inilah yang disebut ”bilangan magis” untuk atom buatan sistem quantum ring. Pengungkungan elektron dalam sistem quantum dot dan ring menunjukkan perilaku seperti atom real. Hasil perhitungan struktur elektronik quantum dot dan ring tanpa medan magnet memberikan hasil yang tidak terlalu jauh, hanya berbeda pada bilangan kuantum radial1, sehingga hasil perhitungan struktur elektronik elektron tuggal quantum ring dalam pengaruh medan magnet diprediksikan tidak akan jauh berbeda dari quantum dot.

2. METODE PENELITIAN

Penelitian ini dilaksanakan dengan menggunakan metode analitik dan penyelesaian persamaan Schrodinger dilakukan dengan menggunakan pemisahan variabel. Langkah-langkah penyelesaian persamaan Schrodinger adalah dibentuk Hamiltonian

(

H

ˆ

)

dari operator energi kinetik dan potensial ring dan dimasukkan operator potensial vektor (

A

ˆ

) sebagai wakil dari medan magnet, kemudian disubtitusikan operator potensial vektor

A



B





r



2

1

ˆ

_{pada Hamiltonian}

₍

_H

ˆ

₎

_{selanjutnya dijabarkan. Digunakan tripel}

product

A







B





C



 



A





B







C



dan subtitusi

mc

eB

c





. Dipilih sistem koordinat polar (karena simetris agar memudahkan perhitungan). Kemudian subtitusi operator momentum dengan

p

ˆ





i





dengan ₂ 2 2 2 2

1

1























r

r

r

r

, subtitusi pula

4

2 2 0 2

_

_

_



c



dan dibentuk persamaan Shrodinger





E

H

ˆ



. Selanjutnya dilakukan pemisahan variabel

r

dan



dengan subtitusi







'

   

r



'



kedalam persamaan Shrodinger. Persamaan Shrodinger bagian azimut diselesaikan (persamaan yang

37 mengandung variabel



). Persamaan Shrodinger bagian radial diselesaikan untuk daerah asimtotik terlebih dahulu, yaitu daerah

r



0

dan

r



~

. Kedua hasil penyelesaiaan daerah asimtotik dikombinasikan dan ditambah tetapan kombinasi

L

 

r

kemudian di subtitusi kembali ke persamaan Shrodinger bagian radial dan subtitusi

z





a

r

maka akan terbentuk fungsi khas tertentu. Kemudian ditarik penyelesaian khusus fungsi khas tersebut. Seluruh hasil penyelesaian baik di bagian azimut maupun radial dikombinasikan untuk mendapatkan fungsi gelombang. Digunakan syarat khusus suatu fungsi agar menjadi polinomial untuk mendapatkan eigen state/energi. Terakhir, dilakukan pendekatan untuk medan magnet yang besar dan jari-jari potensial ring yang kecil.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Bagian ini memberikan analisis pengaruh medan magnet luar yang diberikan tegak lurus pada ring. Sama seperti pada kasus quantum dot, efek Zeeman dan interaksi spin orbit sebagai akibat adanya medan magnet luar ini diabaikan karena pengaruhnya cukup kecil dibandingkan dengan efeknya terhadap pengubahan orbital3. Pada kasus ini Hamiltonian sistem

H

ˆ

'

dalam medan magnetik akan berbentuk





2 0 2 0 2

2

1

)

(

ˆ

2

1

'

ˆ

_A

_r

_m

_r

_r

c

e

p

m

H

e e



























(2)

dengan

B





B

z

ˆ

dan potensial vektor

A



 

r



dipilih bersimetri tera, sehingga dapat diambil

A





B





r



2

1

. Seperti pada kasus quantum ring 1D, Hamiltonian setelah dikenai medan magnet eksternal mengandung suku potensial vektor

A



dan bukan medan magnet

B



. Selanjutnya, Pers (2) di atas dapat diuraikan menjadi

 









2 0 2 0 2 2 2 2 2 2

2

1

ˆ

8

ˆ

ˆ

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

r

r

m

r

c

m

B

e

B

r

p

c

m

e

m

p

r

A

c

e

p

m

e e e e



































(3)

dengan memanfaatkan aturan perkalian tiga

A





B





C





A





B





C



dan definisi frekuensi siklotron

c

m

B

e

_e

c



/



, Hamiltonian sistem akhirnya menjadi



0



2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1

ˆ

2

ˆ

8

ˆ

2

1

1

2

ˆ

_L

m

_r

m

_r

_m

_r

_rr

r

r

r

r

m

H

e c e _e z c e























































(4)

dengan

L

ˆ

z adalah komponen-z operator momentum sudut. Dengan mengambil

4

2 2 0 c











dan

mengingat swanilai

L

ˆ

_z





m



, maka hamiltonian akan menjadi



0



2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1

ˆ

2

1

1

1

2

'

ˆ

_m

_r

_m

_r

_rr

r

r

r

r

m

H

e e e















































(5)

Hamiltonian Pers (5) dimasukkan ke dalam persamaan Schrödinger memberikan



2



'

0

2

1

ˆ

2

1

1

1

2

0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2























































m

r

m

r

rr

E

r

r

r

r

m

_e e e



(6)

dengan

E

'

dan



'

adalah nilai eigen dan fungsi eigen setelah diberi medan magnet eksternal. Selanjutnya untuk mendapatkan solusi bagi Pers (6) diatas, maka dilakukan pemisahan variabel

   







'





'

r

'

(7)

38

 

 

 

_

_

0

2

'

'

1

'

'

'

'

2 2 2 0 2 0 2 4 2 2 2 2 2 2























d

a

r

r

rr

r

k

r

d

dr

r

d

r

dr

r

d

r











(8) dengan

2

₂

'



E

m

k

e



yang berkaitan dengan nilai eigen ,



0





m

e



, dan







e

m

a

. Penyelesaian

persamaan untuk variable azimuth

 



adalah

 

0

'

'

2 2 2













m

d

d

(9)

dengan

m

adalah bilangan kuantum azimuth yang berupa bilangan bulat. Solusi persamaan diatas adalah

 

_





im

Ae



'

(10)

dengan

A

adalah faktor normalisasi. Persamaan Schrödinger bagian radial adalah

 

 

_{ }

_{ }

_

_

_{ }

_{ }

0

'

'

2

'

'

'

1

'

2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2



























r

k

r

rr

r

r

r

a

r

r

m

dr

r

d

r

dr

r

d



(11)

Dengan cara yang sama seperti pada kasus tanpa medan magnet luar1, syarat fisis yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang radial



'

 

r

adalah bahwa saat

r



0

maka



'

 

r





(finit), dan saat

r





maka



'

 

r



0

. Selanjutnya persamaan differensial ini di sekitar

r



0

(yang berkaitan dengan antisipasi titik singular reguler untuk keperluan penyelesaian ekspansi di titik tersebut) dapat dinyatakan sebagai ungkapan

 

 

 

0

'

'

1

'

2 2 2 2













r

r

m

dr

r

d

r

dr

r

d

(12)

Penyelesaian persamaan differensial ini dapat dikerjakan dengan metode Frobenius yang menghasilkan solusi berbentuk



'

 

r



r

m . Dengan alasan sama untuk asimptot

r





, maka persamaan Schrödinger bagian radial menjadi berbentuk

 

_

_

 

0

'

2

'

2 0 2 2 2 2











r

rr

r

a

dr

r

d



(13)

Solusi Pers (13) adalah

 





a rr r a

e

r

2 2 2 0 2 2

'

  





. Selanjutnya, kombinasi dua hasil di atas menghasilkan bentuk fungsi gelombang bagian radial

 





 

r

L

e

r

r

a rr r a m ₂ 2 2 0 2 2

'

  





(14)

Substitusi Pers (14) ke dalam Pers (11) akan menghasilkan

 

_

_

 

_{ }

0 2 2 2 2 1 2 ₂ 0 2 2 0 2 2 2 0 4 0 2 2 0 2 2 2                                  k r Lr ar r a r ar m r a m a dr r dL r a r a r m dr r L d      (15)

dengan memperkenalkan variabel baru

z





a

r

,

L

 

r

menjadi berbentuk persamaan differensial Heun Biconfluent (Biconfluent Heun(BCH) differential equation) yang memiliki bentuk umum[4].

39

 

 





 

0 2 4 2 4 4 2 2 2 2 1 2 3/2 0 2 2 / 3 0 2 3 2 0 4 2 2 0 2 2 2 / 3 0 2 2 2 2                               Lz z a r m a r z m a r a r k dz z dL z a r m z dz z L d      (16)

dan memiliki penyelesaian berupa fungsi HeunB yaitu

 

z



z



L



HeunB



,



,



,



,

(17) dengan





2

m

, 3 0

2

_



















e

m

r







,





3 2 0 4 2 0 2 2



























e e

m

r

m

r

k











,





0

, dan

r

m

z

e









. Dengan syarat fungsi HeunB akan menjadi polinomial jika dan hanya jika





2







2

n

dengan

n



0

,

1

,

2

,...

adalah bilangan kuantum radial4. Setelah kondisi ini terpenuhi, fungsi gelombang baru dapat dinormalisasi. Dengan demikian penyelesaian lengkap Pers (6) adalah dengan mengkombinasikan hasil yang telah diperoleh pada Pers (10), (14), dan (17) yaitu





 





     e im e a rr r a m nm nm r e m m n m r m e r C r            _                , 0 , 1 2 , 2 , 2 HeunB , ' 3 0 2 22 0 2 2 (18)

dan diperoleh swanilai sebuah elektron dalam medan magnet yaitu









2

1

2

1

4

2

1

4

'

_{2 2} 2 2 2 4 2 2 c o o e c o o o e c o nm

m

r

m

r

m

m

n

E



































(19)

Jika medan magnet

B



yang diterapkan pada sistem cukup besar maka akan mengakibatkan



_c





₀, sehingga spektrum energi Pers (19) akan menjadi





2

1

1

2

1

'

_{nm c}

n

m

_{e o}2

r

_o2

E













(20)

Pada Pers (20) menunjukkan bahwa swanilai mengandung suku potensial penghalang ₀2 ₀2

2

1

r

m

V

_barrier



_e



, hal ini berarti bahwa potensial penghalang ini sangat berperan dalam proses pemecahan energi meskipun medan magnet sangat besar



_c





₀. Sedangkan untuk kasus ring yang kecil (narrow ring) maka suku kedua Pers (20) dapat diabaikan sehingga, swanilai elektron tunggal dalam medan magnet menjadi



1



2

1

'





n

E

_n





_c (21)

dalam kasus ini seluruh keadaan termasuk dalam pita Landau terendah (lowest Landau band), aras Landau merupakan kuantisasi orbil elektron dalam medan magnetik. Dan pada keadaan ini elektron dalam ring berlaku seperti partikel bebas (tidak dapat dikopling dengan interaksi Coulomb karena kekekalan momentum sudut) dalam pengaruh medan magnet yang sangat besar.

Ukuran atom buatan quantum ring dapat bervariasi secara kontinu (dengan mengatur tegangan gerbang), saat ukuran ring diperbesar maka energi Coulomb yang timbul sebagai tolakan antar elektron menurun karena rerata jarak antar elektron bertambah jika jumlah elektron dibuat tetap. Karena ukuran atom quantum ring lebih besar dari atom dots maupun atom real, efek medan magnetik juga akan lebih mudah diamati dengan kuat medan yang jauh lebih kecil. Hal ini dikarenakan atom buatan akan lebih banyak menampung fluks kuantum magnetik dengan luasan atom yang dimilikinya.

40

4. KESIMPULAN

Telah berhasil ditentukan struktur elektronik elektron tunggal sistem quantum ring dua dimensi dalam pengaruh medan magnet luar melalui pendekatan analitik. Hasil akhir perhitungan adalah



1



2

1

'





n

E

_n





_c , hal ini menunjukkan bahwa pengaruh medan magnet yang besar dan jari-jari ring yang kecil menyebabkan seluruh keadaan/struktur elektroniknya berada dalam pita Landau terendah yang pada akhirnya akan mempengaruhi sifat-sifat magnetik.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Priyono, S., Absor, M.A.U., Umar, M.D., dan Abraha,K., 2009,”Struktur Elektronik Elektron Tunggal dalam Sistem Quantum Ring”,Prosiding Seminar Nasinal Penelitian, pendidikan, dan Penerapan MIPA, FMIPA UNY, Yogyakarta

[2]. Lorke, J. Luyken, A.O. Govorov, dan J.P. Kotthaus, 2000, “Spectroscopy of Nanoscopic, Semiconductor Ring”,Physical. Review. Letters. 84, 2223

[3]. Cahyanto, W. T., Abraha, K., dan Nurwantoro, P., 2006, “Theoretical exposition of a single electron quantum dot”, Proceeding of 1stInternational Conference on Advanced Material and Practical Nanotechnology, Serpong

[4]. Arriola, E.R. Zarzo, A. dan Dehesa, J.S,1991,“Spectral Properties of the Biconfluent Heun Differential Equation”, Journal. Computation. Applied. Mathematic.37 161-169