MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER deney

(1)

MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER DENEY İÇİNDEKİLER 1. KAPAK SAYFASI……….. 1 2. İÇİNDEKİLER ……….2 3. SEMBOLLER ………..3 4. ÖZET……….3 5. GİRİŞ……… 3 6. DENEYİN AMACI………3

7. TEORİ VE VERİ TOPLAMA………..3

8. CİHAZLAR VE YARDIMCI EKİPMANLAR…..5

9. DENEYİN YAPILIŞI………5

10. ÖLÇÜM SONUÇLARI……….5

11. HESAPLAMALAR..……….5

12. SONUÇ………. 14

(2)

SEMBOLLER i d _{: Sapma} n : Ölçüm sayısı i X _{: Deney verileri} m X : Ortalama m σ : Standart sapma E :Beklenen değer O :Gözlenen değer F :Serbestlik derecesi n :Gözlem sayısı k :Limitlerin sayısı ÖZET

Amaç istatistiksel yöntemlerin düzensiz davranış gösteren oluşumlara uygulamasını göstermektir. İlk aşamada 21 metal silindir numunenin çapı mikrometre ile ölçülüp hatalar, standart sapma, ortalama değer ve diğer hesaplamalar yapılarak yapılan ölçümlerle ilgili bir takım kanılara varılır.

İkinci aşamada belirli bir devirde dönen milden takometre ile 18 farklı ölçüm yapılıp aynı hesaplamalar ve sonuçları üzerine tartışılır.

GİRİŞ

Günümüz teknolojisi hatalara çok az yer verdiği için, mühendislikte istatistiksel hesaplamalar ve yöntemler çok önemli bir hal almıştır. İstatistiksel yöntemler kullanılarak alınan verilerin ne gibi bir davranış gösterdiği saptanır, düzensiz davranış gösteren değerler belirlenir ve bu konu üzerinde çalışmalar yapılır. Böylece büyük hataların giderilmesi ve mali kayıpların önlenmesi için yol açılmış olur.

TEORİ VE VERİ TOPLAMA

Doğruluktan sapma miktarına hata denir. Hatalı verileri ayıklamanın çeşitli yolları vardır. Aşağıda bazı istatistiksel yöntemleri teorik bilgileri verilmiştir.

(3)

•Aritmetik ortalama(ortalama değer):

∑

= = n i i m x n x 1 1 •Sapma: m i i x x d = − •Standart Sapma:

( )

2

(

)

2 1 1 1 n 1 n m i i m i i d x x n n σ = = =

∑

=

∑

− •Median:

Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortada kalan değere median denir. Çift veri sayısında ortada kalan iki değerin aritmetik ortalaması alınır.

•Mode:

En sık tekrar eden veriye mode denir. •Normal Hata Dağılımı:

Yapılan ölçümlerin belirli bir aralıkta bulunma olasılığını

( )

( ) 2 2 2 1 2 m x x P x e σ σ π − − =

ile ifade edebiliriz. Bir diğer ismi Gauss dağılımı dır. •Chi-Kare Testi:

∑

= − = n i E E O X 1 2 2 ( ) O; gözlenen değer E; beklenen değer F; serbestlik derecesi ( F n k= − ) n : Gözlem sayısı k : Limitlerin sayısı. •Chauvenet Kriteri

Chauvenet kriteri, ölçüm sonucunda elde edilen deneysel verilerin şüpheli olanlarının elimine edilmesi amacıyla kullanılır.

Verilerin ortalama ve standart sapmaları hesaplandıktan sonra her verinin sapması hesaplanır. Daha sonra bu sapmalar standart sapmaya bölünerek yukarıdaki tablodaki eşik

(4)

değeri geçip geçmediğine bakılır.Eğer di/σ sı bu değeri geçen veri yada veriler varsa

elimine edilerek baştan standart sapma ve ortalama hesaplanır. Chauvenet kriterini bir kez uygulamak yeterlidir.

Ölçme sayısı n Kabul edilebilir max. Sapmanın standart sapmaya oranı dmax /σ

3 1.38 4 1.54 5 1.65 6 1.73 7 1.80 10 1.96 15 2.13 25 2.33 50 2.57 100 2.81 300 3.14 500 3.29 1000 3.48

Öncelikle standart sapma ( σm ), aritmetik ortalama ( xm ) ve sapma ( di =xi −xm )

değerleri hesaplandıktan sonra her bir değer için di/σ değerleri hesaplanır, daha sonra

tablodan dmax /σ ile karşılaştırılır ve büyük değerler atılır hesaplama tekrarlanır ve sorunlu

değerler atılınca tamamlanmış olur. Ancak her işlemden sonra standart sapma (σm ),

aritmetik ortalama ( xm ) ve sapma (di =xi −xm ) yeni degerler için tekrar hesaplanmalıdır.

CİHAZ VE YARDIMCI EKİPMANLAR

• Mikrometre • Dijital takometre

• Çap ölçümü yapmak için silindirik numuneler • Devir ölçümü yapmak için motor

(5)

DENEYİN YAPILIŞI

Deneyimizin ilk aşaması için 21 adet silindirik metal numunenin çapları mikrometre kullanılarak ölçülür. (Ölçülen numuneler ise birbirine yakın olmasında rağmen farklı çaplara sahiptir.) Ölçümler kaydedilir.

Deneyin ikinci aşamasında dijital takometre ile bir milin devir sayısı ölçülür. 18 adet devir sayısı ölçülmüştür ve milin farklı yarıçaplı bölgelerinden ölçüm alınmıştır. Burada yine bir ölçüm için farklı ama yakın verilerin alındığı bir sistem oluşturmaktır. Ölçümler tekrar kaydedilir ve hesaplamalar için hazırlanır.

ÖLÇÜM SONUÇLARI

ÇAP

ölçüm no: ölçülen değerler

1 19,93 2 19,96 3 20,07 4 20,15 5 20,13 6 20,09 7 19,78 8 20,07 9 20,07 10 20,06 11 20,07 12 20,13 13 20,06 14 19,87 15 19,98 16 20,17 17 20,12 18 20,10 19 20,17 20 20,12 21 20,04

(6)

DÖNME HIZI:

ölçüm

no: değerlerölçülen

1 1410 2 1409 3 1404 4 1413 5 1400 6 1395 7 1398 8 1404 9 1406 10 1405 11 1398 12 1393 13 1414 14 1409 HESAPLAMALAR: • Ortalama Değer: Xmçap=1/21 (420,87) = 20,04 Xmhız=1/14(19658)=1404 • Standart Sapma: σ mçap=(1/21 Σ(xi-xm)2)1/2=(1/21(1,897))1/2=0,300555 σ mhız=(1/14 Σ(xi-xm)2)1/2=(1/14(562))1/2=6,335 • Chauvenet kriteri ÇAP İÇİN: Numune di=xi −xm di/σ 1 -0.110 -0,365989 2 -0.080 -0,266174 3 0.030 0,099815 4 0.110 0,365989 5 0.090 0,299446

(7)

6 0.050 0,166358 7 -0.260 -0,865066 8 0.030 0,099815 9 0.030 0,099815 10 0.020 0,066543 11 0.030 0,099815 12 0,090 0,299446 13 0,020 0,066543 14 -0.170 -0,565620 15 -0.060 -0,199630 16 0.130 0,432533 17 0,080 0,266174 18 0.060 0,199630 19 0,030 0,099815 20 -0,090 -0,299446 21 0,000 0

21 ölçüm için uygulanacak di/σ oranı 2,25 dir. Herhangi bir ölçümün çıkartılmasına gerek

yoktur.

Küçükten büyüğe sıralı hali

19,78 19,87 19,93 19,95 19,96 19,98 20,04 20,06 20,06 20,07 20,07 20,07 20,07 20,07 20,09 20,10 20,12 20,13 20,13 20,15 20,17

(8)

Median: 20,07 MOTOR DEVRİ ÖLÇÜMÜ İÇİN: Numune di=xi −xm di/σ 1 6 0,947 2 5 0,789 3 0 0 4 9 1,420 5 -4 -0,631 6 -9 -1,420 7 -6 -0,947 8 0 0 9 2 0,315 10 1 0,157 11 -6 -0,947 12 -11 -1,736 13 10 1,578 14 5 0,789

14 değer için uygulanacak di/σoranı 2,09 dur. Yukarıdaki hesaplamalarda di/σoranı 2,09

(9)

• Frekans eğrileri ÇAP ÖLÇÜMÜ İÇİN frekans eğrisi 17 18 19 20 21 22 1 4 7 10 13 16 19 22 25 ölçüm no ö lç ü le n d e ğ e rl e r ölçülen değerler MOTOR DEVRİ ÖLÇÜMÜ İÇİN:

motor devir sayısı için frekans eğrisi

1400 1420 1440 1460 1480 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ölçüm no ö lç ü le n d e ğ e rl e r Seri 1 • Chi-kare Testi -çap ölçümü için: mm E=20 olmak üzere; (O-E)2/E 0,000245 0,000080 0,000245 0,001125 0,000845 0,000405 0,002420 0,000245 0,000245 0,000180 0,000245

∑

=      − = n i E E O X 1 2 2 ( )

(10)

0,000180 0,000845 0,000020 0,001445 0,000720 0,000500 0,000245 0,000125 0,000080 011285 , 0 2 ₌ ⇒X =TOPLAM ve F=n-k =14-1=13 -devir ölçümü için: d d E =1400 / olmak üzere 0,071428 0,057857 0,011428 0,120714 0,000000 0,600000 0,002857 0,011428 0,025714 0,017857 0,002857 0,035000 0,140000 0,057857 TOPLAM=1,154997 154997 , 1 2 ₌ ⇒X =TOPLAM ve 17 1 18− = = − =n k F O E O ) / ( ₋ 2

(11)

NormalDağılım(gaussian) -Çap ölçümü için ölçülen P(x) P(x)*(2*pi)**1/ 2 19,93 0,012078634 0,030276666 19,96 0,098191972 0,246130943 20,07 0,772040885 1,935220844 20,15 0,772040885 1,935220844 20,13 0,806719476 2,02214724 20,09 0,829387270 2,078967013 19,78 0,883462435 2,214513443 20,07 0,883462435 2,214513443 20,07 0,885891895 2,220603201 20,06 0,887884603 2,225598182 20,07 0,887884603 2,225598182 20,13 0,887884603 2,225598182 20,06 0,887884603 2,225598182 19,87 0,890548521 2,232275639 19,98 0,891438269 2,234505908 20,17 0,889437585 2,229490934 20,12 0,889437585 2,229490934 20,10 0,885891895 2,220603201 20,07 0,885891895 2,220603201 19,95 0,679234757 1,702590219 20,04 0,609791927 1,528522738

GAUSIEN HATA DAĞILIMI

0 0,5 1 1,5 2 2,5 18,50 19,00 19,50 20,00 20,50 21,00 21,50 X P (x )* (2 *p i) ** 1/ 2 Seri 1

(12)

-Devir ölçümü için: ölçülen devir sayısı p(x)*(2*pi)**1/2 1410 0,009157 1409 0,017343 1404 0,026505 1413 0,057175 1400 0,057175 1395 0,063724 1398 0,065436 1404 0,068009 1406 0,068833 1405 0,069500 1398 0,065436 1393 0,061759 1414 0,057175 1409 0,046249

GAUSIEN HATA DAĞILIMI

0,000000 0,010000 0,020000 0,030000 0,040000 0,050000 0,060000 0,070000 0,080000 1420 1440 1460 1480 x P (x )* (2 *p i) ** 1/ 2 Seri 1 SONUÇ

Ölçme bilgisi dersinde de öğrendiğimiz gibi, her ölçüm belirli miktarda hata içerir. Bu hatalar gerek dış koşulların uygunsuzluğundan, gerek kalibrasyon hatalarından, gerekse deneyi yapan kişinin hatalarından kaynaklanabilir. Bu deneyde amaç hataları belirli yöntemler, hesaplamalar ve grafiklerle belirlemek, sonuçları incelemektir.

(13)

REFERANSLAR:

1. Experimental Methods- Ölçme Bilgisi Ders Kitabı,p71 2. Theories of Engineering Experimentation