BAB 2 URAIAN TEORITIS

BAB 2

URAIAN TEORITIS

Pada bab ini akan dibahas tentang masalah optimisasi berpembatas persamaan. Sebelum membahas masalah optimisasi berpembatas persamaan maka terlebih dahulu diberikan pengertian dan sifat-sifat ekstrim dari suatu fungsi.

2.1Titik Ekstrim dari Suatu Fungsi

Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum dari fungsi tersebut. Masalah penentuan titik ekstrim dari suatu fungsi mempunyai peranan penting dalam optimisasi. Berikut ini diberikan defenisi titik maksimum dan titik minimum dari suatu fungsi.

Defenisi 2.1.1

Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain D⊂Rn .

a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang buka

(

x₁,x₂

)

yang memuat x*sehingga memenuhi f(x)≤ f(x*),∀x

pada selang buka tersebut.

b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik x* jika

D x x f x f( )≤ ( *),∀ ∈ .

c. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang buka

(

x₁,x₂

)

yang memuat x*sehingga memenuhi f(x)≥ f(x*),∀x

pada selang buka tersebut.

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik *

x jika D x x f x f( )≤ ( *),∀ ∈ .

Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di _x∈_D⊂ _Rn_{. Jika turunan parsial dari f}

kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial kedua dari f kontinu di x maka f disebut mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di x.

Gradien dari f pada x dinotasikan dengan ∇f(x)dan didefenisikan dengan:

      = ∇ n x x f x x f x x f x f δ δ δ δ δ δ ( ) ,..., ) ( , ) ( ) ( 2 1 ………...(2.1)

dan matriks Hessian(H) dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan parsial kedua yang dinotasikan dengan ∇2f(x).

Teorema 2.1.2 (Rao, 1984)

Jika f terdefenisi pada selang buka yang memuat x*dan mempunyai minimum lokal di x*dan jika f terdiferensial di x , * maka:

0 ) ( * = ∇f x ………(2.2) Bukti: Andaikan *

x adalah titik minimum lokal maka

( )

*

' x

f ada, ini berarti bahwa limit kiri dan limit kanan ada dan sama dengan f'

( )

x* .

(

)

h x f h x f h ) ( lim * * 0 − + − → =

(

)

h x f h x f h ) ( lim * * 0 − + + → =

( )

* ' x f Jika h>0maka

(

( )

)

0 * * ≥ − + h x f h x f

karena f

( )

x* ≤ f(x* +h)untuk semua bilangan-bilangan kecil positif dari h.

Untuk h→0, maka diperoleh:

( )

lim

(

( )

)

lim0 0 0 * * 0 * ' ₌ + − _{≥ =} + + _→ → h h _h x f h x f x f

Dan jika h>0 maka

(

( )

)

0 * * ≤ − + h x f h x f

Untuk h→0, maka diperoleh:

( )

lim

(

( )

)

lim0 0 0 * * 0 * ' = + − ≤ = − − _→ → h h h x f h x f x f

Limit kiri = limit kanan = 0, maka f '

( )

x* ada. Karena f '

( )

x* ≥0dan f '

( )

x* ≤0, maka dapt disimpulkan bahwa f'

( )

x* =0 atau ∇f

( )

x* =0. ■

2.2Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan Pada masalah optimisasi berikut:

Minimumkan f

( )

x Terhadap pembatas:

( )

( )

( )

_     = = = 0 0 0 2 1 x h x h x h m  ………(2.3) dimana x∈D⊂Rn

Pada masalah (2.3) diasumsikan bahwa m ≤ n dan fungsi-fungsi f dan hi,

(i=1,2,…,m) adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu. Dengan mengambil h = (h1,h2,…,hm) maka masalah optimisasi yang terdapat pada persamaan (2.3) tersebut dapat ditulis menjadi:

Minimumkan f

( )

x Dengan pembatas:

( )

   ⊂ ∈ = n R D x x h 0 ……….(2.4)

( )

x =0

h pada persamaan (2.4) tersebut adalah pembatas fungsi f

( )

x dan

D

x∈ disebut pembatas himpunan. Suatu titik x∈D yang memenuhi seluruh pembatas fungsi f

( )

x disebut titik fisibel.

2.3Bidang Singgung

Untuk menyelidiki apa syarat agar M menjadi bidang singgung di x*, maka diperlukan konsep titik tetap. Berikut ini diberikan defenisi bidang singgung pada suatu permukaan S.

Defenisi 2.3.1 (Leithold, 1991)

Jika persamaan suatu permukaan S adalah h

(

x*,y*,z*

)

= 0, maka bidang singgung dari S pada titik h

(

x*,y*,z*

)

adalah sebuah bidang melalui titik h dan mempunyai vektor normal ∇h

(

x*,y*,z*

)

.

Defenisi 2.3.2 (Luenberger, 1984)

Suatu kurva pada permukaan S adalah keluarga titik-titik x

( )

t ∈Sdengan parameterisasi kontinu t untuk a ≤ t ≤ b. Suatu kurva terdiferensial jika

( )

dt

t dx

x'= ada dan terdiferensial dua kali jika

( )

₂

( )

2 " dt t x d t

x = ada. Suatu kurva x(t) disebut melalui titik x

( )

t disebut melalui titik *

x jika x* =

( )

t untuk suatu . , * * b t a t ≤ ≤ Defenisi 2.3.3 (Leon, 1999)

Jika X =

{

x₁,x₂,...,x_n

}

adalah himpunan vektor, maka X disebut bebas linear jika k1 = k2 = ……= kn = 0 sehingga persamaan vektor k1x1 +k2x2 +...+knxn =0

Defenisi 2.3.4 (Luenberger, 1984)

Suatu titik x*yang memenuhi pembatas h

( )

x* =0 disebut titik regular dari pembatas jika vektor gradien

( ) ( )

2 *

( )

*

*

1 x , h x ,..., h x

h ∇ ∇ m

∇ adalah bebas linier.

Defenisi 2.3.5 (Anton, 1997)

Misalkan matriks A = Anxn maka A dikatakan non singular jika ada matriks A-1 disebut invers matriks sedemikian sehingga AA-1 = A-1 A = I.

Defenisi 2.3.6 (Luenberger, 1984)

Misalkan A adalah suatu matriks nxn, maka Rank matriks A didefenisikan sebagai banyaknya baris-baris atau kolom-kolom yang bebas linier pada matriks A. misalkan A adalah suatu matriks mxn, jika rank A adalah minimum dari (m,n), maka A dikatakan mempunyai rank penuh.

Teorema 2.3.7 (Luenberger, 1984)

Misalkan S adalah permukaan yang didefenisikan oleh h(x) = 0. Persamaan bidang singgung pada titik regular x*dari permukaan S tersebut adalah:

( )

{

:∇ * =0

}

= y h x y

M I ………..(2.5)

Bukti:

Misalkan T adalah bidang singgung x*maka T ⊂M , apakah x*titik reguler atau tidak. Untuk suatu kurva x

( )

t yang melalui _x*_{pada t} =_t* _{yang mempunyai turunan}

( )

*

' t

x sehingga ∇h

( ) ( )

x* xt* ≠0tidak akan terletak pada S. Untuk membuktikan

T

yang melalui _x*_{dengan turunan y. Untuk membangun kurva yang demikian}

ditinjau persamaan berikut:

( )

( )

(

x* +ty+∇h x* u t

)

=0

h T ………...(2.6)

Pada persamaan (2.6) untuk t tetap, dianggap u

( )

t ∈Rmtidak diketahui dengan parameterisasi kontinu dari t. Pada t = 0 terdapat solusi u(0) = 0. Matriks Jacobian dari sistem tersebut terhadap u pada t = 0 adalah matriks m x m, yaitu:

( ) ( )

T x h x h * ∇ * ∇ ……….(2.7)

Matriks pada (2.7) adalah non singuler karena ∇h

( )

x* adalah rank penuh jika

*

x adalah suatu titik tetap, maka untuk suatu solusi terdiferensial secara kontinu

u(t) di daerah −a≤t≤akurva x

( )

t =x* +ty+∇h

( )

x* Tu

( )

t ada pada S. Dengan pendiferensialan (2.12) pada t = 0 diperoleh:

)) ( ) ( ( )) ( ( 0 * * 0 t u x h ty x h dt d t x h dt d t ∇ + + =   = = ) 0 ( ' ) ( ) ( ) ( 0=∇h x* y+∇h x* ∇h x* Tu

Karena y terdefenisi maka diperoleh ∇h(x*)y=0dan karena ∇h(x*)∇h(x*)T adalah non singular maka dapat disimpulkan bahwa u'(0)=0, sehingga diperoleh:

y u x h y x'(0)= +∇ ( *)T '(0)=

Hal ini menunjukkan bahwa kurva yang dibangun mempunyai turunan x* pada yaitu y. ■

2.4 Syarat Orde Satu dan Dua

Penurunan syarat perlu agar suatu titik menjadi titik minimum terhadap pembatas persamaan dapat dinyatakan dalam bidang singgung. Untuk itu akan dijelaskan dengan lemma berikut.

Lemma 2.4.1 (Luenberger,1984) Misalkan *

x adalah titik regular dari pembatas h

( )

x =0 dan titik ekstrim lokal terhadap pembatas tersebut, maka ∀y∈Rn memenuhi:

( )

* =0

∇h x y ……….(2.8)

( )

* =0

∇f x y ………..…..……….(2.9)

Bukti:

Misalkan y adalah suatu vektor dalam bidang singgung di x* dan x

( )

t adalah kurva pada permukaan terbatas yang melalui _x* _{dengan turunan y pada x}* _yaitu

( )

*

0 x

x = , x

( )

0 = ydan h

( )

x

( )

t =0 untuk ˗ ɑ ≤ t≤ɑ untuk suatu ɑ > 0.

Karena x* adalah titik regular, bidang singgung identik dengan himpunan y

yang memenuhi ∇h

( )

x* y =0 dan karena x* adalah titik ekstrim lokal berpembatas dari ƒ maka diperoleh:

dt d f

( )

x

( )

t

]

_t=0= 0 dx df

_]

dt dx 0 = t = 0

atau ekivalen dengan ∇f

( )

x* y=0.■

Lemma di atas mengatakan bahwa ∇f

( )

x* adalah ortogonal terhadap bidang singgung.

Defenisi 2.4.2 (Anton, 1997)

Bentuk kuadrat x AxT disebut definit positif jika x AxT > 0 untuk semua x≠ 0 dan

Teorema berikut menjelaskan syarat perlu orde dua. Untuk selanjutnya diasumsi ƒ dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua jelas.

Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984)

Misalkan bahwa x’adalah titik minimum lokal dari ƒ terhadap pembatas

( )

x =0

h dan x* adalah titik reguler dari pembatas tersebut, maka terdapat λ∈Rm sehingga:

( )

T x f +λ ∇ *

( )

0 * = ∇h x ……….………(2.10)

Jika M =

{

y:∇h

( )

x* y=0

}

maka matriks:

( )

x h

( )

x f

x

L( *)=∇2 * +λT∇2 ……….………...(2.11) adalah semidefinit positif pada M, yaitu : y LT

( )

x* y≥0,∀y∈M

Bukti :

Karena

( )

*

0 x

x = adalah minimum lokal dari ƒ, maka berlaku:

]

0 2 2 )) ( (x t _t= f dt d ≥ 0………(2.12) dt d f

( )

( )

( )

( )

dt dx t x f dx d t x = =∇f

( ) ( )

x

( )

t x' t

( )

( )

[

f

( ) ( )

x

( )

t x t

]

dt d t x f dt d ' 2 2 ∇ = =

[

( )

( )

]

( )

( )

( )

x

( )

t dt d t x f t x t x f dt d ' ' +∇ ∇ =

( )

( )

x

( ) ( )

t x t f

( ) ( )

x

( )

t x t dt d t x f dx d " ' +∇     _∇

=

[

∇2f

( ) ( )

x

( )

t x' t

]

x'

( )

t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t =x'

( )

t T∇2f

( ) ( )

x

( )

t x t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t sehingga:

( )

( )

0 2 2 =    t t x f dt d ≥ x'

( )

0 T∇2f

(

x

( )

0

) ( )

x' 0 +∇f

(

x

( )

0

) ( )

x" 0 ≥ x'

( )

0 T∇2f

( )

x* x'

( )

0 +∇f

(

x

( )

0

) ( )

x" 0 ………(2.13)

[

( )

( )

]

0 0 2 2 ≥    = t T t x h dt d _λ

,akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:

[

( )

( )

]

_ ≥   =0 2 2 t T t x h dt d _λ

_{( )}

_{( ) ( )}

_{( )}

_{( ) ( )}

_{( )}

t x t x h t x t x h t x' TλT∇2 ' +λT∇ maka diperoleh:

[

( )

( )

]

_ ≥   =0 2 2 t T t x h dt d _λ

_{( )}

₍

_{( )}

_{) ( )}

₍

_{( )}

_{) ( )}

0 0 0 ' 0 0 ' 2h x x h x x x TλT∇ +λT∇ ≥ x'

( )

0TλT∇2h

( )

x* x'

( )

0 +λT∇h

( )

x* x

( )

0 ………..(2.14) '

( )

0 2

( )

* '

( )

0

( )

* '

( )

0 x x h x x h x T T T ∇ + ∇ λ λ ≥0

Dengan menambahkan persamaan (2.14) ke persamaan (2.13) maka diperoleh:

( )

0

[

( )

'

( )

0

( )

]

'

( )

0 ' 2 * * x x h x x h x T T ∇ + ∇ λ +

[

∇f

( )

x* +λT∇h

( )

x*

]

x'

( )

0 ≥ 0

( )

0 ( ) '

( )

0 0 0 ' L x* x + ≥ x T atau 0 ) (x* y≥ L yT . ■

Teorema berikut menjelaskan syarat cukup. Untuk selanjutnya diasumsi f dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua.

Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984) Misalkan terdapat suatu titik *

x yang memenuhi h

( )

x =0dan m

R

∈

λ sehingga:

( )

* + ∇

( )

* =0

∇f x λT h x ………..(2.15)

Misalkan juga bahwa matriks L

( )

x* =∇2f

( )

x* +λT∇2h

( )

x* adalah definit positif pada M =

{

y:∇h

( )

x* y=0

}

∀y∈M;y ≠0sehingga memenuhi yTL

( )

x* y>0, dan

*

x adalah minimum lokal dari y terhadap pembatas h

( )

x =0.

Bukti:

Karena

( )

*

0 x

x = adalah minimum lokal dari f dan x’

( )

0 = ydengan y ≠ 0 maka berlaku:

( )

( )

]

₀ 0 2 2 > = t t x f dt d ………..(2.16)

( )

( )

( )

( )

f

( ) ( )

x

( )

t x t dt dx t x f dx d t x f dt d ' 2 2 ∇ = =

( )

( )

[

f

( ) ( )

x

( )

t x t

]

dt d t x f dt d ' 2 2 ∇ = =

[

( )

( )

]

( )

( )

( )

x

( )

t dt d t x f t x t x f dt d ' ∇ + ∇ =

( )

( )

x

( ) ( )

t x t f

( ) ( )

x

( )

t x t dt d t x f dx d " ' +∇     _∇ =

[

∇2 f

( ) ( )

x

( )

t x' t

]

x'

( )

t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t = x'

( )

t T∇2f

( ) ( )

x

( )

t x' t +∇f

( ) ( )

x

( )

t x" t

sehingga diperoleh:

( )

( )

'

( )

0 2

(

( )

0

) ( )

' 0

(

( )

0

) ( )

" 0 0 2 2 x x f x x f x t x f dt d T t ∇ + ∇ >    = '

( )

0 2

( ) ( )

" ' 0

(

( )

0

) ( )

" 0 x x f x x f x T∇ +∇ > Untuk 2

[

( )

( )

]

0 0 2 > = t T t x h dt d _λ

, akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:

( )

( )

[

h xt

]

x

( )

t h

( ) ( )

x

( )

t x t h

( ) ( )

x

( )

t x t dt d T T T t T ' ' ' 2 0 2 2 ∇ + ∇ >    = λ λ λ Maka diperoleh: > x'

( )

0 TλT∇2h

( )

x* x'

( )

0 +λT∇h

( )

x* x'

( )

0

( )

0

( )

'

( )

0

( )

'

( )

0 0 ' ∇2h x* x + ∇h x* x > x TλT λT

Dengan menambahkan persamaan (2.18) ke persamaan (2.17) maka diperoleh:

( )

0

[

( )

"

( )

]

'

( )

0

[

( )

( )

]

( )

0 0 ' ∇2f x + ∇2h x* x + ∇f x* + ∇h x* x ≥

x T λT λT

Karena L

( )

x* =∇2f

( )

x* +λT∇2h

( )

x* dan dari (2.15) yaitu ∇f

( )

x* +λT∇h

( )

x* =0 Maka diperoleh:

( )

0

( )

'

( )

0 0 0 ' L x* x + > x T Atau

( )

x* y>0 L yT .■

2.5 Metode Pengali Lagrange

Salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi berpembatas persamaan adalah metode pengali Lagrange. Untuk menyelesaikan masalah optimisasi pada persamaan (2.4) didefenisikan suatu

fungsi Lagrange sebagai berikut:

...(2.19) dan vektor riil tak nol pada persamaan (2.19) disebut pengali Lagrange.

Jika adalah titik ekstrim dari , maka menurut teorema 2.1.2

diperoleh:

...(2.20) dan

...(2.21) Dengan memperhatikan persamaan (2.10) dan (2.21) maka dapat disimpulkan bahwa masalah optimisasi pada persamaan (2.4) dapat diselesaikan melalui titik ekstrim dari fungsi Lagrange pada persamaan (2.19).

Dari persamaan (2.3) dimana , , dan karena

adalah suatu vektor maka i = 1 maka persamaan (2.19) dapat