Contoh 3.1 Contoh 3.1
Fungsi gelombang suatu partikel
Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbuyang bergerak sepanjang sumbu X X diberikan oleh diberikan oleh ψ
ψ (( x x)) = =CeCe -│-│ x x││sinsin αxαx a.
a. TeTentukantukan konsn konstanta tanta C jika fuC jika fungsi gngsi gelomelombang tbang ternormernormalisaalisasisi b.
b. JikaJika α α ==π π , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan titik x =
sebelah kanan titik x = !enyelesaia
!enyelesaian n "" a.
a. #ua#uatu gelotu gelombmbang teang ternornomalmalisaisasi jika mesi jika memenmenuhiuhi
∫
∫
− −∞∞ ∞ ∞ ||ψ ψ (( x x))||22dxdx==11 #e$ara eksplisit#e$ara eksplisit ψ ψ (( x x)) diberikan oleh diberikan oleh
Tampak bah%a fungsi terakhir adalah fungsi genap, dan rekaan grafiknya Tampak bah%a fungsi terakhir adalah fungsi genap, dan rekaan grafiknya diberikan oleh gambar berikut
diberikan oleh gambar berikut
&arena itu &arena itu
∫
∫
− −∞∞ ∞ ∞ ||ψ ψ (( x x))||22dxdx==∫
∫
− −∞∞ 0 0 C C 22ee22 x xsinsin22αxdxαxdx++∫
∫
0 0 ∞ ∞ C C 22ee−−22 x xsinsin22αxdxαxdx ¿ ¿22C C 22∫
∫
0 0 ∞ ∞ ee−−22 x xsinsin22αxdxαxdx'ntuk menghitung integral terakhir ini, fungsi sinus ditulis dalam bentuk 'ntuk menghitung integral terakhir ini, fungsi sinus ditulis dalam bentuk eksponensial
eksponensial (ngat
sin sin x x== 11 2 2ii((ee ix ix − −ee−−ixix)) )aka )aka sin sin22αxαx==−−11 4 4 ((ee iax iax−− ee−−iaxiax))22 ¿ ¿−−11 4 4
((
ee 2 2iaxiax −−22eeiaxiax−−iaxiax++ee−−22iaxiax
))
¿ ¿−−11 4 4
((
ee 2 2iaxiax + +ee−−22iaxiax−−22))
sehingga sehingga 1 1==−−11 2 2 C C 2 2∫
∫
0 0 ∞ ∞ee−−22 x x
((
ee22iaxiax++ee−−22iaxiax−−22))
dxdx¿ ¿−−11 2 2C C 2 2
∫
∫
0 0 ∞ ∞((
ee((22aiai−−22)) x x++ee−−((22aiai++22)) x x−−22ee−−22 x x))
dxdx ¿ ¿−−11 2 2C C 2 2||
ee((22aiai−−22)) x x 2 2aiai−−22−− ee−−((22aiai++22)) x x 2 2aiai++22 ++ee − −22 x x||
00 ∞ ∞ ¿ ¿−−11 2 2C C 2 2[[
00−−((
11 2 2aiai−−22−− 1 1 2 2aiai++22++11))
]]
¿ ¿11 2 2 C C 2 2((
22aiai++22−−((22aiai−−22))+(+(22aiai−−22)()(22aiai++22)) ((22aa ii−−22)()(22aiai++22))))
¿ ¿11 2 2 C C 2 2((
44+(−+(−44aa22−−44)) − −44aa22−−44))
¿ ¿11 2 2 C C 2 2((
−−44aa22 − −44aa22−−44))
¿ ¿11 2 2 C C 2 2((
aa22 a a22++11))
C C ==√√
22((aa 2 2 + +11)) a a22 Jadi Jadi ψ ψ (( x x))==√√
22((aa 2 2 + +11)) a a22 ee − −|| x x|| sin sinαxαx b.b. *esar kemungk*esar kemungkinan partikel berada inan partikel berada didi x x ≥≥11
P P(( x x ≥≥11))==
∫
∫
1 1 ∞ ∞ ||ψ ψ (( x x))||22dd xx ¿ ¿22((aa 2 2 + +11)) a a22∫
∫
11 ∞ ∞ ee−−22 x xsinsin22αxdxαxdx+ari hasil perhitungan di bagian a +ari hasil perhitungan di bagian a
∫
∫
ee−−22 x xsinsin22αxdxαxdx==−−11 4 4( (
ee((22aiai−−22)) x x 2 2aiai−−22−− ee−−((22aiai++22)) x x 2 2aiai++22 ++ee − −22 x x))
)aka )akaP( x ≥1)=−2(a 2 +1) a2 1 4
|
e(2ai−2) x 2ai−2− e−(2ai+2) x 2ai+2 +e −2 x|
1 ∞ ¿−a 2 +1 2a2[
0−(
e (2ai−2) 2ai−2− e−(2ai+2) 2ai+2 +e −2)
]
¿ a 2 +1 2a2(
e(2ai−2) 2ai−2− e−(2ai+2) 2ai+2+e −2)
'ntuk α =π P( x ≥1)=π 2 +1 2π 2(
e(2π i−2) 2π i−2− e−(2 π i+2) 2π i+2+e −2)
(ngat " eiθ=cosθ+isinθ P( x ≥1)=π 2 +1 2π 2
(
e−2(cos2π +isin 2π ) 2π i−2 − e−2(cos2π −isin 2π ) 2π i+2 +e −2)
¿ e −2 (π 2+1) 2π 2(
1 2π i−2− 1 2π i+2+1)
¿ e −2 (π 2+1) 2π 2(
2π i+2−(2π i−2)−4π 2−4 −4π 2−4)
¿ e −2 (π 2+1) 2π 2(
−4π 2 −4π 2−4)
¿ e −2 (π 2+1) 2(
1 π 2+1)
¿ e −2 2 ¿ 1 2e2 ¿0,068 Contoh 3.2 :&eadaan pertikel setiap saat di dalam kotak satu dimensi L diberikan oleh
+engan ψ 1( x ,t )danψ 2( x ,t ) adalah keadaan dasar dan keadaan tereksitasi
tingkat pertama setiap saat partikel di dalam kotak. a. tuliskan se$ara eksplisit bentuk dari ψ ( x , t )
dengan ! dan ! masing masing adalah rapat probabilitas keadaan
dasar dan keadaan eksitasi pertama. &emudian hitung ⟨ E⟩ tersebut. $. Tentukan posisi rata rata ⟨ x⟩ partikel
Penyelesaian
a. +ari ungkapan /./01 didapatkan
$. !osisi rata rata partikel, menggunakan notasi /.1
Jadi ⟨ x⟩ berosilasi di sekitar titik tengah kotak dengan amplitudo
sebesar 2 L34 π 2 dan frekuensi v = 2ω
π =3 E1/h .
Contoh 3.3
#uatu ele$tron terperangkap di dalam kotak satu dimensi dengan panjang 5. 6itung "
a. 7nergy tingkat dasar ele$tron tersebut.
b. *esar peluang untuk menemukan ele$tron di daerah.
1 2 0 A< x< 3 4 0 A Penyelesaian
a. 7nergy partikel di dalam kotak 8 diberikan oleh
b. +ari 9ambar /.:, daerah ; 5 < x < 5 identik dengan daerah 83 < x < /83: 5 &arena itu,
Contoh 3.4
)isalkan, ada seribu ele$tron yang masing-masing berenergi 0 e> ditembakkan kea rah daerah bertangga potensial dengan ketinggian : e>. 6itung jumlah ele$tron yang berbalik ketika ele$tron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial.
Penyelesaian :
7nergy ele$tron, 7 = 0 e> Tangga potensial >? = : e>
&oefisien refleksi untuk 7 @ >? diberikan oleh pers. /.A:1
R=
(
k −k ' k +k ')
2
+engan k dan kB seperti ungkapan /.:Ab1 dan /.Ab1. dalam ungkapan 7 dan >?,
#ubstitusi harga-harga 7 dan >?, didapatkan = ?,A
D = ??? x = A? elektron Eang dipantulkan.
#ekali lagi, inilah yang membedakan dari perumusan klasik. )enurut mekanika klasik semua ele$tron ??? elektron1 tersebut akan lolos mele%ati tangga potensial karena 7 @ >?, tanpa ada satupun ele$tron yang dipantulkan.
Contoh 3.5
#uatu elektron bergerak di dalam sumur potensial yang mempunyai kedalaman ? e>. 7nergi tingkat dasar ele$tron ternyata adalah -Ae>.
Tentukan3 hitung "
a. 8ebar sumur dalam 51
b. Jumlah tingkat energi diskrit yang mungkin
$. *esar peluang mendapatkan ele$tron keadaan dasar berada di luar sumur
Penyelesaian :
a. &arena energi tingkat dasar merupakan jenis solusi dengan paritas genap, maka lebar sumur a dapat ditentukan menggunakan pers. /.22b1, /.2A1 dan /.2?1,
#ubtitusi harga-harga >? = ? e> dan 7 = A e>, didapatkan lebar sumur"
a = ,/5
b. +ari harga a di atas, di dapat harga parameter G
hal ini berarti, menggunakan pers. /.A:1-harga D = . &arena itu tingkat energi diskrit yang mungkin adalah D H =
$. )emperhatikan kesimetrisan fungsi gelombang keadaan dasar gambar /.A1, maka besar peluang untuk mendapatkan elektron di luar sumur $ukup dihitung untuk daerah positif.
)enggunakan ungkapan /.AA1 untuk fungsi φ , didapatkan,
+an
&arena itu,
Contoh 3.6
)enurut teori 9amo%, 9urney dan Condon, partikel α di dalam sumur
potensial yang dibentuk oleh inti dan gaya Coulomb mempunyai peluang untuk menerobos potensial penghalang. &eluarnya partikel α .
(lustrasinya diberikan oleh gambar berikut.
7nergi partikel α di dalam inti berjejari adalah Εα . 6itung
probabilitas partikel α meluruh atau keluar sumur potensial berjejari
tersebut.
Penyelesaian :
!otensial berbentuk
+an energy partikel
!robabilitas partikel meluruh T, dengan
(ntegral dapat diperoleh menggunakan table integral. Tetapi di sini akan dihitung langsung dengan penggantian Kariabel.
dengan penggantian Kariabel ini diperoleh
dr = -b sinθcosθ d θ
untuk batas integrasi
maka
Jika Εα sangat ke$il, maka seperti tampak pada gambar di depan, b ¿ R.
untuk x ke$il sekali
ar$$os x ≈ ar$$os ? x = π /2 x
maka didapatkan
+engan demikian
#ebagai ilustrasi kongret, ambil peluruh 6arga T diperoleh, dengan harga-harga
#ubtitusi nilai nilai di atas, didapatkan koefisien transmisi T partikel α Τ =e−90≈10−39
#uatu harga yang tidak nol %alaupun sangat ke$il.
Contoh 3.7 :
#uatu ele$tron berenergi E ditembakkan dari kiri mele%ati penghalang
potensial seperti 9ambar /./, dengan penghalang >? = ? eV dan lebar 5. hitung "
a. &oefisien transmisi jika energi partikel E =>?.
b. 7nergi resonasi pertama dan kedua dari ele$tron. !enyelesaian "
a. &arena penghalang potensial konstan dan q →0 maka penghitungan
koefisien transmisi dapat diperoleh menggunakan ungkapan /.4A1, dengan
ε= ℏ
2
2ma2 = /, e>
+engan demikian, koefisien transmisinya "
Τ = 1
1+
(
02/ε Ε)
= ?.2Jadi, ada sekitar 2 elektron dari ?? elektron datang, yang diteruskan mele%ati penghalang.
b. &eadaan resonansi merupakan keadaan yang mana semua partikel yang ditembakkan1 dari kiri tidak ada yang dipantulkan atau dengan kata lain semua partikel diteruskan, T =. 6al ini hanya mungkin terjadi jika E
¿ 0 , tepatnya menggunakan koefisien transmisi T /.?:1 dengan
Jadi energi keadaan resonansi pertama dan kedua
Contoh 4.1
'ntuk bilangan kuantum n = :, tuliskan fungsi eigen dengan semua nilai dan m
yang mungkin.
Penyelesaian :
+ari uraian di depan didapatkan bah%a untuk n tertentu terdapat n harga .
'ntukn = : maka / , -, , ? =
#edangkan untuk tertentu ada ( -+) harga m. 8engkapnya, diberikan dalam
fungsi gelombang ψ nmseperti tabel berikut "
n = : m. ψ nm( r ,θ ,ϕ ) ? ? ψ :??( r ,θ ,ϕ ) - ψ :−( r ,θ ,ϕ ) ? ψ :?( r ,θ ,ϕ ) ψ :( r ,θ ,ϕ ) - ψ :-−-( r ,θ ,ϕ ) - ψ :-−( r ,θ ,ϕ ) ? ψ :-?( r ,θ ,ϕ ) ψ :-( r ,θ ,ϕ ) ψ :--( r ,θ ,ϕ ) / -/ ψ :/−/( r ,θ ,ϕ ) - ψ :/−( r ,θ ,ϕ ) - ψ :/−( r ,θ ,ϕ ) ? ψ :/?( r ,θ ,ϕ ) ψ :/( r ,θ ,ϕ )
ψ :/-( r ,θ ,ϕ )
/ ψ ://( r ,θ ,ϕ )
Contoh 4.2. :
6itung kemungkinan mendapatkan ele$tron berada pada jarak kurang dari jari-jari *ohr untuk atom hydrogen dalam keadaan dasar.
Penyelesaian :
Fungsi radial keadaan dasar atom hidrogen
? 3 -3 / ? ? 1 - 1 a r e a r R = − −
)aka probabilitas per satuan panjang untuk mendapatkan elektron pada jarak r
dari inti, ? 3 L -/ ? -: 1 e r a a r r P = −
&aren itu, probabilitas elektron berada pada jarak kurang dari a?,
∫
? =∫
? − ? ? ? -3 -/ ? : 1 a a a r dr r e a dr r P + − = −∫
? − ? ? ? ? 3 -? ? -3 -? / ? -: a a r a a r r a e rdr e a a = A3e2 = ?,// Contoh 4.3 : 6itung "a. 7nergi kinetik rata-rata
b. 7nergi potensial rata-rata, elektron dalam keadaan dasar dari atom hidrogen.
Penyelesaian :
a. Fungsi gelombang keadaan dasar ψ ?? hanya bergantung pada jari-jari r,
( ) 3 ? -3 / ? ?? , , e r a a r = − π ϕ θ ψ
&arena itu, energi kinetik rata-ratanya " dv m p E e k ?? -?? - ψ ψ =
∫
= ( i ) dv me ?? -?? - ψ ψ − ∇∫
=∫
− − − dr r e dr d r dr d r e a m a r a r - 3 -3 / ? -: -? ? π π =(
r dr)
e dr d r dr d e ma a r a r 3 -? 3 / ? -? ? -- ∞ − − + − ∫
=∫
∫
∞ ∞ − − + − ? ? 3 -: ? -3 -A ? -? ? : -dr r e a m dr r e a m a r e a r e = ? -? -a m a me e + − = ? -a me = /,2 e>b. 7nergi total elektron keadaan dasar
E E E k + p = )aka p k p
k E E E
E + = +
= E = E
Contoh 4.5
a. Tunjukkan bah%a fungsi
θ
ψ = cre−r 3-δ $os , dengan
-mke
=
δ
b. Tentukan energi keadaan tersebut.
$. 6itung nilai momentum sudut i1 L dan ii1 LM
d. 6itung komponen momentum sudut L z dari L+ψ
Penyelesaian :
a. Nperasikan operator energi kinetik pada ψ ,
∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ − - - - -sin sin sin -- ϕ ψ θ θ ψ θ θ θ ψ ψ r r r r mr m
Jelas suku ketiga ruas kanan sama dengan nol, karena ψ tidak bergantung ϕ
se$ara eksplisit. #ementara dua suku lainnya,
i1 ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − θ θ θ θ θ θ ψ θ θ θ δ $os sin sin sin sin cre r 3 -= θ θ
(
θ)
δ -3 sin sin ∂ ∂ − cre−r = θ ( θ θ ) δ $os sin -sin -3 r cre− − = - r 3-δ $osθ cre− − = −-ψ ii1{
}
∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − δ θ ψ - 3 -$os re r r r r c r r r = − ∂ ∂ − δ − δ δ θ - 3- 3 -$os r e r r e r r c = ( ) − − − − − − − δ δ δ δ δ δ δ θ - 3 -/ -3 -3 -3 -/ -$os re r r e r r e r r e r c = ( ) θ δ θ δ θ δ δ δ $os -$os -$os - - 3 -3 -3 r r r rcre r cre cre− − − + − s = ( ) ψ δ ψ δ ψ -- − r + r( )δ δ ψ ψ − − = ∇ − r r r m m - -- -- = ( ) ψ δ ψ δ --m r m − =
( )
ψ ψ -F ke m r ke − 5tau( )
ψ ψ ψ -F - m ke r ke m∇ − = −!ersamaan ini tidak lain adalah persamaan #$hrodinger untuk atom hidrogen
dengan energi potensial ( ) r
ke r V -− =
sehingga dalam ungkapan 6amiltonian
, ( ) ψ ψ
( )
- ψ -F - m ke r V ! = = − − ∇ −b. +ari persamaan eigen
ψ
ψ E
=
+idapatkan bah%a energi keadaan tersebut adalah
( )
-F ke m E = −$. Dilai momentum sudut ∠dapat diperoleh dengan menerapkan
i1 Nperasikan L -seperti :.//1 pada ψ , ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = - - - -sin sin sin ϕ θ θ ψ θ θ θ ψ L = ? sin sin -+ ∂ ∂ ∂ ∂ − θ ψ θ θ θ = −-( −-ψ )
&arena itu, nilai momentum sudut ∠adalah -.
ii1 Terapkan operator L z :./$1 untuk mendapatkan nilai
komponen-komponen dari momentum sudut
(
3- $os)
= ? ∂ ∂ − = − θ ϕ ψ r δ z i cre L &arenaψ tidak bergantung pada ϕ se$ara eksplisit.
d. )enggunakan uangkapan :.01 dan :.A41 didapatkan
ψ ψ L x iL y L+ = + = ( ) ( ) ϕ ψ θ ϕ ϕ θ ψ ϕ ϕ ∂ ∂ + + ∂ ∂
− $os $os sin $ot
sin i i i
i
= i(sinϕ −i$osϕ )cre−r (3-δ −sin )θ i = −icre−r 3-δ sinθ ( sinϕ −i$osϕ ) #elanjutnya operasikan L z pada L+ψ
( )
{
θ ( ϕ ϕ )}
ϕ
ψ i i cre 3-δ sin sin i$os
L L z − r − ∂ ∂ − = − + =
(
)
( ) ϕ ϕ ϕ θ δ $os sin sin -3 i cre i i r − ∂ ∂ − − −= −i
(
−i"cre−r 3-δ sinθ)
( $osϕ +isinϕ ) = (
−icre−r 3-δ sinθ)(
−i$osϕ +sinϕ ) = {
−cre−r 3-δ sinθ ( sinϕ −i$osϕ )}
= L+ψJadi 8HΨ adalah fungsi eigen dari 8 dengan nilai eigen . 5tau dengan kata lain,
komponen-M momentum sudut keadaan elektron 8HΨ adalah .
#ehingga E p = E − E k =
k e E e e m − − - -? -: /-π = /,2 /,2 e> = -0, e>
Contoh 4.4
#atu elektron di dalam medan Coulomb dari suatu pohon mempunyai keadaan yang dinyatakan oleh fungsi gelombang.
( )
r {: ??( )
r / -( ) ( )
r -? r ? - ( )
r } 2 − + − + = ψ ψ ψ ψ ψ6itung harga ekspektasi dari a. 7nergi
b. 8
c. 8M,dari elektron
Penyelesaian
a. 6amilton :./1 dan persamaan eigen :.:1 memberikan
(
r E(
r nlm nlm
nψ
ψ =
+engan energi eigen hanya bergantung pada bilangan kuantum utama n -? : /- n e m E e n πε − =
&emudian menginat ortonormalitas fungsi eigen ψ nlm
(
r( ψ nLl Lm,Lψ nlm)=δ nLnδ l Ll δ mLm &ita dapatkan dv E =
∫
ψ O ψ = {
( ) r ( ) r ( ) r ( )r}
dv - -? - ?? O ? / : 2 − + − +∫
ψ ψ ψ ψ ψ=
{
E ( ) r E ( ) r E ( ) r E ( )r}
dv - --? -- -?? O ? / : 2 − + − +
∫
ψ ψ ψ ψ ψ =∫
{
−}
∗ − ∗ ∗∗ E + E + E + E dv
- - - -? --? - - ?? ?? 4 ? 2 /2 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = /2{ 2 4 - - ? - } E E E E + + + = /2{ 2 -? - } E E +
= + : -? 2 /2 E E =- 0 E b. )enggunakan pers.:.2:1 ( ) lm lm # # $ .- = +
-Eang hanya bergantung pada bilangan kuantum orbital, maka i1 ??( ) ? - = r Lψ ii1 L ( ) r -( )r -- -- ψ ψ = iii1 L ( ) r -?( )r --? -- ψ ψ = iK1 L ( ) r - ( )r - - - -− − = ψ ψ sehingga
∫
∗ = L dv L- ψ -ψ = ( r ){
( r ) ( r ) ( r )}
dv - -? - -? -. / ? 2 − ∗ + − +∫
ψ ψ ψ ψ =∫
{
− ( )r}
dv ∗ − ∗ ∗ + + + - - -? -? - - -? -. 4 ? /2 ψ ψ ψ ψ ψ ψ = 4 ? -$. )enggunakan pers.:.21 ( ) θ ,ϕ lm( )θ ,ϕ lm z # m # L = Eang hanya bergantung bilangan kuantum magnetik, diperoleh i1 L z ψ ??( )r =?
ii1 L z ψ -( ) r =ψ -( )r
iii1 L z ψ ?( )r =?
iK1 L z ψ -−( ) r =−ψ -−( )r
dv L L z =
