Fungsional Aditif Ortogonal pada W 0 (E) di dalam R n. Riyadi. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret

119

Fungsional Aditif Ortogonal pada W0(E) di dalam Rn

Riyadi

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret

Abstract

This paper discusses about a representation theorem of an orthogonally additive functional on W0(E) M(E), that is a collection of all McShane integrable functions on a cell E=

 

a,

b

in Euclidean space Rn, which satisfies some certain properties. This result is a generalization of Chew result.

Key words : orthogonally additive functional, McShane integrable, Euclidean space Rn.

PENDAHULUAN

Penelitian yang membahas tentang fungsional linear dan fungsional aditif ortogonal

telah banyak dilakukan oleh para peneliti terdahulu, diantaranya telah dilakukan oleh

Hildebrandt (1966), Chew (1985), Paredes (1993) dan Aye dan Lee (2002a, 2002b,

2003). Chew (1985) dan Lee (1989) membahas tentang representasi fungsional linear

dan fungsional aditif orthogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang terintegral

Henstock, yang didefinisikan pada interval [a,b] R. garis lurus. Sedangkan Paredes

(1993) berhasil menggeneralisasikan hasil-hasil yang diperoleh Chew dengan cara

mengembangkan ruang fungsi baru yang merupakan abstraksi dari ruang fungsi yang

telah didefinisikan Chew, namun ruang fungsi tersebut juga masih didefinisikan pada

interval [a,b] R.

Hildebrandt (1966) membahas tentang representasi fungsional linear kontinu pada ruang BV[a,b], ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkan, Aye dan Lee (2002a, 2002b, dan 2003) membahas tentang fungsional aditif ortogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].

Makalah ini merupakan generalisasi dari hasil Chew (1985), khususnya generalisasi tentang representasi fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi W0 dengan :

120 Wo =





          

_

f x x m f x untuk 0 1 : , 1 1

yang semula didefinisikan pada ruang fungsi yang terintegral Lebesgue yang didefinisikan pada interval [a,b]  R digeneralisasikan untuk ruang fungsi yang terintegral McShane yang

didefinisikan pada sel

 

a,

b

di dalam ruang Euclide Rn.

TEORI-TEORI DASAR

Fungsional T pada ruang fungsi X dikatakan aditif ortogonal jika T (f + g) = T (f) + T (g) asalkan f, g  X, f dan g mempunyai support yang saling asing. Support fungsi f  X, ditulis supp(f) didefinisikan supp(f)=x dom(f) :f(x)  0.

Berdasarkan pengertian ini diperoleh bahwa dua fungsi f dan g dikatakan mempunyai support yang saling asing jika f(x)g(x)=0 untuk setiap x.

Dalam makalah ini, R menyatakan koleksi semua bilangan real, P(E) menyatakan koleksi semua partisi Lebesgue pada E dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShane pada sel E=

 

a,

b

. Telah diketahui bahwa M(E) merupakan ruang linear dan ruang integral mutlak.

Teorema 2.1.

Diketahui E=

 

a,

b

sel dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShane pada sel E. Jika f  M(E) maka terdapat barisan fungsi sederhana

 

s

_n pada E sehingga

 

x

f

 

x

s

_n



hampir di mana-mana pada E untuk n dan

s

_n



f

untuk semua n. Teorema 2.2.

121 (i)

f

n



f

hampir di mana-mana untuk n  dan

f

n M(E) untuk setiap n.

(ii)

f

_n



M

hampir di mana-mana pada E untuk setiap n dan suatu bilangan M0. maka f  M(E) dan







  E E n n

f

f

lim

.

HASIL DAN PEMBAHASAN Karakteristik Ruang Fungsi Wo(E)

Di dalam makalah ini, Rn menunjukkan ruang Euclide dimensi n, R menunjukan sistem bilangan real dan

R

menunjukan sistem bilangan real yang diperluas. Diketahui



b

b

b

n



b



₁

,

₂

,



,

 Rn, b dikatakan menuju tak hingga, ditulis b , jika min

b

i





.

Definisi 3.2.

Diketahui E =

 

1,

b

 Rn dengan

b

>

1

dan f :

 

1,

b



R

fungsi terukur dan terintegral McShane pada

 

1,

b

. Didefinisikan ruang W0(E) sebagai berikut :

W0(E) =





          

_

  b b f b 1 M f 1 0 ] , 1 [ 1 lim : ,



.

Teorema 3.3.

W0(E) merupakan ruang Banach terhadap norma

         



b 1 1 b f b 1 1 sup f : ] , [



.

Bukti : Dalam hal in hanya akan ditunjukkan bahwa W0(E) lengkap. Ambil sebarang barisan Cauchy

 

f

n  W0(E), yaitu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n,m  N1 berlaku

f

_m



f

_n <

2



.

Ambil sembarang

x

E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =

 

 

I

,



sehingga

x

merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fm, fn M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka

122 untuk setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi positip  pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P =

 

 

I

,



pada E berlaku :

 

 

   

 











E n m m m

x

f

x

d

P

f

f

I

f









<

 

2 E





 



E

 



 



 



   



 

n m m m

P

f

f

I

E

1

d

x

f

x

f

E

1

_

_

_







< 2





 

E 1



P



fm

   



 fn





 

I <



 

f

 

x

f

 

x

d



E

1

E n m





+ 2



< 2



+ 2



=  Akibatnya berlaku

_{ }

E 1



fm

   



 fn





 

I <  untuk setiap

 



,

I

P(E), khususnya untuk

 

x,I P(E) berlaku:

_{ }

 

E I





_{ }

_{ }

x

f

x

f

_m



_n <  atau

f

_m

 

x



f

_n

 

x

<

 

_{ }

I E





_ untuk setiap  > 0.

Hal ini berarti barisan



f

_n

 

x



merupakan barisan Cauchy di dalam R, oleh karena itu terdapat fungsi f yang terintegral McShane pada

 

1,

b

dengan b >

1

sehingga

f

_n



f

hampir di mana-mana pada

 

1,

b

, yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika n > N2 berlaku :

f

_n



f





, hal ini berakibat :





b 1 n

f

f

<



b 1



= 



 

1,

b

, untuk setiap b >

1

          



b 1 n f b 1 f b 1 1 sup : ] , [



<  

f

_n



f

< 

123



  b b

f

b

lim

1

]

,

1

[

1



 





b n b

f

f

b

lim

1

]

,

1

[

1



+ 



b n b

f

b

lim

1

]

,

1

[

1



<  untuk setiap bilangan  >

0. Jadi



  b b

f

b

lim

1

]

,

1

[

1



= 0, hal ini berarti f  Wo. Jadi Wo lengkap, oleh karena itu Wo merupakan ruang Banach. 

Teorema 3.4.

Diketahui E =

 

1,

b

 Rn sel dengan

b

>

1

. Norma || . || pada ruang Wo(E) seperti dimaksud pada Teorema 3.3.memenuhi sifat : Jika barisan

 

f

n  Wo(E) konvergen norma ke suatu fungsi f Wo(E) maka terdapat barisan bagian

 

f

_n _i 

 

f

_n dan h Wo(E) sehingga

 

f

f

_ni



hampir di mana-mana pada

 

1,

b

dan fn i  h untuk setiap n

 

i .

Bukti : Ambil sembarang barisan

 

f

_n  Wo(E) sehingga

 

f

_n konvergen norma ke suatu fungsi f Wo(E), yaitu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n  N1

berlaku :

f

_n



f

<  …..………..…... (*)

Ambil sembarang

x

E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =

 

 

I

,



sehingga

x

merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fn, f  M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka fn

- f  M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fn - f |  M(E). Oleh karena itu untuk

setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi positip  pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P =

 

 

I

,



pada E berlaku:

   

   

 











E n n

x

f

x

d

P

f

f

I

f









<

 

2 E





 



E

 



 



 



   



 

n n

P

f

f

I

E

1

d

x

f

x

f

E

1

_

_

_







<

2





 

E 1



P



fn

   



 f





 

I <



 

f

   

x

f

x

d



E

1

E n





+ 2



< 2



+ 2



= 

124 Akibatnya berlaku

_{ }

E 1



fn

   



 f





 

I <  untuk setiap

 



,

I

P(E), khususnya untuk

 

x,I berlaku :

_{ }

 

E I





_{   }

x

f

x

f

_n



<  atau

f

_n

   

x



f

x

<

 

_{ }

I E





_

untuk setiap  > 0. Hal ini berarti barisan

 

f

n konvergen titik demi titik ke fungsi f hampir di mana-mana pada E

..………..………. (**)

Berdasarkan (*),untuk setiap bilangan asli i terdapat bilangan asli N

 

i sehingga jika n(i) N

 

i berlaku :   f fni  < i

2

 untuk setiap

i

Akibatnya diperoleh :    



  



1 i 1 i n i n

f

f





_{ }  



1 i i n

f

f

+



_{ }   



1 i 1 i n

f

f

<



   1 i i

2

+



      1 i 1 i

2

<



Hal ini berarti untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika

i

 N2 berlaku

   



  



2 N i 1 i n i n

f

f

< .

Selanjutnya dibentuk barisan-barisan

 

g

m dan

 

h

m dengan





   



 





m 1 i 1 i n i n m

f

f

g

dan    



 





m 1 i 1 i n i n m

f

f

h

. Jelas bahwa

g

_m,

h

_m Wo(E) untuk setiap m. Selanjutnya ambil sembarang m, n dan tanpa mengurangi arti dapat dianggap m > n, diperoleh :

n m

g

g



=





_{   }







_{   }



   







m 1 i n 1 i 1 i n i n 1 i n i n

f

f

f

f

=





_{   }



  



m 1 n i 1 i n i n

f

f





_{   }   



m 1 n i 1 i n i n

f

f

125 n m

g

g







_{   }   



m 1 n i 1 i n i n

f

f





_{   }   



2 N i 1 i n i n

f

f

< .

Hal ini berarti bahwa barisan

 

g

_m merupakan barisan Cauchy di dalam Wo(E) yang lengkap. Jadi

   







  



1 i 1 i n i n

f

f

konvergen. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa

   



  



1 i 1 n n i n

f

f

juga konvergen. Oleh karena itu untuk setiap m dan setiap

i

 m berlaku :

   







   m i j j n j n f f 1 



     



m i j j n j n

f

f

₁ 



_{   }   



i j 1 j n j n

f

f





_{   }   



1 j 1 j n j n

f

f

< .

Ambil No = maks {N1, N2} maka berdasarkan (**) untuk setiap bilangan  > 0 dan m  No berlaku :

   







 









     m i j j n 1 j n j n f f f f = fn_{ }i  fn_{ }i1  fn_{ }i1  fn_{ }m  fn_{ }i  f = f_nm1 f < .

Hal ini berarti bahwa untuk setiap

i

barisan



_{   }



      



  m i j 1 j n j n f

f konvergen titik demi titik ke

fungsi



f

_{n i}



f



hampir di mana-mana pada

 

1,

b

. Akibatnya :

 

f

f

_ni



 fn_{ }i  f =





   



     m 1 j 1 j n j n mlim f f  mlim



     



m 1 j 1 j n j n

f

f

=



_{   }   



i j 1 j n j n

f

f

untuk setiap

i

, sehingga fn i 



   

  



i j 1 j n j n

f

f

+ | f | untuk setiap

i

. Ambil h =



_{   }   



i j 1 j n j n

f

f

+ | f | maka h  Wo(E). Jadi terdapat barisan bagian

 

f

n i 

 

f

n

dan h Wo(E) sehingga

f

n i



f

hampir di mana-mana pada

 

1,

b

dan fn i  h untuk setiap

 

i n . 

Representasi Fungsional Aditif Ortogonal pada W0 di dalam Rn

126 Diketahui E =

 

1,

b

 Rn sel dengan b >

1

. Jika F fungsional aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang W0(E), maka terdapat fungsi k

 

x,t :

E



R



R

sehingga k

 

x,t terintegral McShane terhadap

x

pada E untuk setiap t  R dengan k

 

x,0 = 0 untuk hampir semua

x

 E dan berlaku :

 

s

F =

k



x

s

 

x



d

x

E



,

untuk setiap fungsi sederhana s pada E.

Bukti : Karena F kontinu terbatas, untuk setiap bilangan >0 dan t terdapat bilangan



 



,t

> 0 sehingga jika



 

E <



 



,t maka

F

 

t



_E < . Dengan kata lain F sebagai fungsi himpunan kontinu mutlak terhadap  ……… (1)

Selanjutnya, jika



 



1 i i

E

E

dengan

E 

_io

E

o_j =  untuk

i



j

, maka berlaku :

 

t E F



=

















  

_

n i i E n

F

t

1

lim



=



 

   n i E n

F

t

i 1

lim



=



 

 1 i Ei

t

F



. Hal ini berarti F merupakan fungsi

himpunan yang aditif dan terhitung ….………….……....…. (2)

Dari (1) dan (2), maka menurut Teorema Radon-Nikodym terdapat fungsi

k

_t*

 

x

pada E sehingga

 

t k

 

x dx F E t E 



*



untuk setiap E. Selanjutnya, didefinisikan fungsi k

 

x,t =

k

_t*

 

x

untuk setiap

x

E dan t  R. Jika t = 0 maka F

 

t



E  F

 



= 0, oleh karena itu



 

E 0 x

k* = 0 untuk

setiap E. Jadi k

 

x,0 =  untuk hampir semua

x

E. Selanjutnya, ambil sembarang himpunan

sederhana s pada E dengan s

 

x =



 

 n 1 i E i

x

t

i



dengan Ei himpunan terukur yang sepasang-sepasang saling asing dan



n 1 i i

E

E





, maka diperoleh :

 

s F =















 n 1 i E i _i

t

F



= k

 

x t dx n 1 i E i i

 

_ , = k



x s

 

x



dx n 1 i E_i

 

_ , = k



x s

 

x



dx E



, . 

127

Lemma 4.2.

Diketahui E =

 

1,

b

 Rn sel dengan b >

1

, F fungsional aditif ortognoal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E), dan k

 

x,t :

E



R



R

fungsi yang diperoleh pada Lemma 4.1. Jika untuk setiap bilangan  > 0 dan setiap interval tertutup terbatas P = [-d,d] dengan d > 0 dibentuk bilangan-bilangan :



P E



W



; ; =

  



         



E t t dan P t t d t x k t x k , ₁ , ₂



: ₁, _{2 1 2}



sup dan



P



W



; =





















  n i n i j i i i

E

E

E

untuk

i

j

E

P

W

1 1

,

:

;

;

sup







maka lim



;



0 0   W



P

 untuk setiap interval P.

Bukti : Jika 0 < 1 2 dan t1, t2  P dengan

t

₁



t

₂





₁ maka

t

₁



t

₂





₂. Hal ini berakibat jika 0<1 2 maka W





1;P



 W





2;P



. Jadi net



W





;

P



:





0



turun monoton dan terbatas ke bawah dan salah satu batas bawahnya adalah 0. Oleh karena limW



;P



0



_  ada.

Andaikan









lim_0W ;P  untuk suatu bilangan >0. Berdasarkan definisinya, terdapat

himpunan saling asing

E

1

,

E

2

,



,

E

n dengan

E

E

n i i







1 dan bilangan-bilangan

n

i

t

t

₁i

,

₂i

,



1

,

2

,



,

sehingga t₁i t₂i 



, t₁i  d, t₂i  d dan

 

   

  n i _E i i i t x k t x k 1 2 1 , , > . Selanjutnya untuk setiap i1,2,,n didefinisikan himpunan-himpunan :

   





:

,

₁



,

₂



0





 i i i i

x

E

k

x

t

k

x

t

E

dan

E

_i



E

_i



E

_i

dan juga didefinisikan fungsi-fungsi :







  





n i E i E i i i

t

t

f

1 2 1





dan







  





n i E i E i i i

t

t

g

1 1 2





128

f

=         



b b f b]₁ : 1 , 1 [ 1 sup



=

_{ }





 

        

 

_   E n i E i E i b b E t t E i i 1 , , 1 : 1 sup 1 2 1









 





 

_      



_   E n i E i E i b b E t t E i i : 1, , 1 1 sup 1 2 1









_{ }

_{ }

 























   

 

 

_

1

_

:

1

,

,

1

1

sup

1 1

b

b

E

d

E

d

E

i i i i E n i _E E n i _E









=

_{ }

 

 



















 n i i

E

b

b

E

d

E

1

1

,

,

1

:

1

sup





= d

Dengan cara yang sama diperoleh :

g



d

. Lebih lanjut diperoleh :

g

f



=







  



n i E i E i i i

t

t

1 2 1





-







  



n i E i E i i i

t

t

1 1 2





=















  







n i E i i E i i i i

t

t

t

t

1 1 2 2 1





Analog dengan cara di atas juga diperoleh :

f



g



d. Karena F kontinu dan terbatas maka

   

f

F

g

F



< . Dari pihak lain diperoleh :

   

f

F

g

F



=

















      _        _       E E n i E i E i n i E i E i i i i i t k x t t t x k 1 1 2 1 2 1 , ,









=

 





 





 





        n i E n i E n i E E i E i E i i i i i i i k x t k x t t x k 1 1 1 2 2 1 , , ,







-

 





  n i E E i i i t x k 1 1 ,



=

 





 





 





 





         n i _E E i E i n i _E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 2 1 1 1 , , , ,









129 =

 



 



 



 



           n i _E E i E i n i _E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 2 1 , , , ,









=

 

   

 

   

       n i _E i i n i _E i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 2 1 , , , , =

 

   

  n i E i i i t x k t x k 1 2 1 , , > 

Kontradiksi, jadi pengandaian salah, oleh karena itu yang benar adalah lim



;



0

0 

 W



P

 . 

Lemma 4.3.

Diketahui E =

 

1,

b

 Rn sel dengan b >

1

. Jika F fungsional aditif ortogoal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E), maka fungsi k

 

x,t :

E



R



R

fungsi yang diperoleh pada Lemma 1 kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P  R dan untuk setiap

x

E.

Bukti : Ambil sembarang

x

E dan sembarang interval tertutup terbatas P  R. Menurut Lemma 4.2. diperoleh limW



;P



0



_  = 0, yaitu : 0 = _ 0 lim  sup





_

















  n i n i j i i i

E

E

E

i

j

E

P

W

1 1

,

,

:

;

;









 _ 0 lim 

  



_        



E t t dan P t t d t x k t x k , ₁ , ₂



: ₁, _{2 1 2}



sup  _ 0 lim 

  



_        



E t t dan P t t d t x k t x k , 1 , 2



: 1, 2 1 2



Hal ini berarti, jika t1, t2 P dengan

t

1



t

2





berlaku :_lim_0



  





E

d

t

x

k

t

x

k

,

₁

,

₂



= 0, yaitu untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehinga jika t1, t2  P dengan

t

₁



t

₂





berlaku :

  







E

d

t

x

k

t

x

k

,

₁

,

₂



<

 

2 E



130 Ambil sembarang

x

E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =

 

 

I

,



sehingga

x

merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi k

 

,t1 , k

 

,t2  M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka k

 

,t1 - k

 

,t2  M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka |k

 

,t1 -

 

,t2

k  |  M(E). Oleh karena itu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi positip  pada E sehinga untuk setiap partisi McShane P =

 

 

I

,



-fine pada E berlaku:

  



   

 



 



 E I t k t k P d t x k t x k , ₁ , ₂





, ₁



, ₂



<

 

2 E





    



E 





 



   



 

I t k t k P E d t x k t x k E













1 2 , 1 , 2 1 , , 1 < 2





 

P



k

   

t k t

 

I E









, 1 , 2 1 <

_{    }







E



_E

k

x

,

t

1



k

x

,

t

2

d

1

+

2



Didefinisikan bilangan 1 = inf





 

x :xE



, jelas bahwa 1 > 0 dan selanjutnya dipilih bilangan o = min {, 1}, maka diperoleh :

 

E P



k

   



t k



t



 

I



, 1 , 2 1 <

2



+

2



=  Akibatnya berlaku

_{ }

E 1



k

   



,t1 k



,t2



 

I < untuk setiap

 



,

I

P(E), khususnya untuk

 

x,I P(E) berlaku:

_{ }

 

E I





_{  }

_

2 1

,

,

t

k

x

t

x

k



< atau

k

  

x

,

t

₁



k

x

,

t

₂



<

 

_{ }

I E





_ untuk setiap  > 0.

Jadi, untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan o>0 sehinga jika t1, t2  P dengan 0 2 1



t





t

berlaku

k

  

x

,

t

₁



k

x

,

t

₂



<

 

_{ }

I E





_

. Dengan kata lain fungsi k

 

x, kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap

x

E. 

Teorema 4.4.

Diketahui E =

 

1,

b

 Rn dengan b > 1. Fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E) jika dan hanya jika terdapat fungsi Caratheodory k

 

x,t :

E



R



R

dengan

131

 

x0

k , = 0 untuk hampir semua

x

 E sehingga k

 

x,t terintegral McShane terhadap

x

pada E untuk setiap t  R dan berlaku :F

 

f =

k



x

f

 

x



d

x

E



,

untuk setiap fungsi f  Wo(E).

Bukti : Syarat cukup. Jika f  Wo(E), maka terdapat barisan fungsi sederhana

 

s

_n pada E, sehingga

s

n

 

x



f

 

x

hampir dimana-mana pada E untuk n dan

s

n

 

x



f

 

x

untuk

semua n. Menurut Lemma 4.3., fungsi k

 

x, kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap

x

E, akibatnya:

k



x

,

s

_n

 

x





k



x

,

f

 

x



hampir di mana-mana pada E dan terdapat bilangan M0 sehinga

k



x

,

s

_n

 

x





M

hampir di mana-mana pada E. Oleh karena itu menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi k



x s_n

 

x



n , lim   terintegral McShane dan berlaku :   n lim

k



x

s

 

x



d

x

E n



,

=

k



x

f

 

x



d

x

E



,



 

_n n s F   lim =

k



x

f

 

x



d

x

E



,

 F

 

f =

k



x

f

 

x



d

x

E



,

Syarat perlu. Ambil sembarang f, g Wo(E) sehingga f  g, yaitu f

   

x g x = 0 hampir di mana-mana pada E. Selanjutnya, dibentuk himpunan-himpunan :

 



 : 0



 x E g x A ,B



xE: f

 

x 0



dan C



xE: f

 

x 0dang

 

x 0



, diperoleh :



f g



F  =

k



x



f

g

 

x



d

x

E



,



=

k



x

f

   

x

g

x



d

x

E



,



=

k



x

f

 

x



d

x

E



,

+

k



x

g

 

x



d

x

E



,

= F

 

f + F

 

g

132 Selanjutnya, ambil sembarang f Wo(E) dan sembarang barisan

 

f

n  Wo(E) sehinga

 

f

n

konvergen terbatas ke fungsi f hampir dimana-mana pada E, yaitu terdapat bilangan M  0 sehingga

f

_n

 

x

 M untuk setip n dan

f

_n

 

x



f

 

x

hampir di mana-mana pada E. Karena fungsi k

 

x, kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap

x

E, maka terdapat bilangan N0 sehingga

k



x

,

f

_n

 

x





N

untuk semua n dan

 



x

f

x



k



x

f

 

x



k

,

_n



,

hampir di mana-mana pada E. Oleh karena itu, menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi berlaku :

  n lim

k



x

f

 

x



d

x

E n



,

=

k



x

f

 

x



d

x

E



,

   n

lim

F

 

f

_n = F

 

f . Dengan kata lain F kontinu terbatas paada Wo(E). 

PENUTUP

Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup agar fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E) adalah adanya fungsi

Caratheodory k

 

x,t :

E



R



R

yang mempunyai sifat k

 

x,0 = 0 untuk hampir semua

x

 E dan k

 

x,t terintegral McShane terhadap

x

pada E untuk setiap t  R.

DAFTAR PUSTAKA

Aye, K.K. dan Lee, P.Y., 2002a, Orthogonally additive Functional on BV, Singapura: Nanyang Technological University.

Chew, T.S., 1985, Orthogonally additive Functional, Singapura: Universitas Nasional Singapura. Darmawijaya, S, 2003, On Bounded Interval Functions, Yogyakarta : SEAM GMU.

133 Hildebrandt, T.H., 1966, Linear Continuous Functionals on The Space (BV) with Weak Topologies,

Proc. Amer. Math. Soc 17, 658-664.

Indrati, C.R., 2002, Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi n, Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Singapura: Wold Scientific.

Paredes, L.I., 1993, Orthogonally additive Functionals and Superposition Operators on wo( ),Ph.D.

Thesis, University of The Philippines.