119
Fungsional Aditif Ortogonal pada W0(E) di dalam R n
Riyadi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret
Abstract
This paper discusses about a representation theorem of an orthogonally additive functional
on W0(E) M(E), that is a collection of all McShane integrable functions on a cell E=
a
,
b
in Euclidean space Rn, which satisfies some certain properties. This result is a generalization of Chew result.Key words : orthogonally additive functional, McShane integrable, Euclidean space Rn.
PENDAHULUAN
Penelitian yang membahas tentang fungsional linear dan fungsional aditif ortogonal
telah banyak dilakukan oleh para peneliti terdahulu, diantaranya telah dilakukan oleh
Hildebrandt (1966), Chew (1985), Paredes (1993) dan Aye dan Lee (2002a, 2002b,
2003). Chew (1985) dan Lee (1989) membahas tentang representasi fungsional linear
dan fungsional aditif orthogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang terintegral
Henstock, yang didefinisikan pada interval [a,b]
R
. garis lurus. Sedangkan Paredes
(1993) berhasil menggeneralisasikan hasil-hasil yang diperoleh Chew dengan cara
mengembangkan ruang fungsi baru yang merupakan abstraksi dari ruang fungsi yang
telah didefinisikan Chew, namun ruang fungsi tersebut juga masih didefinisikan pada
interval [a,b]
R
.
Hildebrandt (1966) membahas tentang representasi fungsional linear kontinu pada ruang
BV[a,b], ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkan, Aye dan
Lee (2002a, 2002b, dan 2003) membahas tentang fungsional aditif ortogonal yang bekerja pada
ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].
Makalah ini merupakan generalisasi dari hasil Chew (1985), khususnya generalisasi tentang
120
Wo =
f xx m
f
x
untuk 0 1
: , 1
1
yang semula didefinisikan pada ruang fungsi yang terintegral Lebesgue yang didefinisikan pada
interval [a,b] R digeneralisasikan untuk ruang fungsi yang terintegral McShane yang
didefinisikan pada sel
a
,
b
di dalam ruang Euclide Rn.TEORI-TEORI DASAR
Fungsional T pada ruang fungsi X dikatakan aditif ortogonal jika T (f + g) = T (f) + T (g)
asalkan f, g X, f dan g mempunyai support yang saling asing. Support fungsi f X, ditulis supp(f)
didefinisikan supp(f)=xdom(f) :f(x) 0.
Berdasarkan pengertian ini diperoleh bahwa dua fungsi f dan g dikatakan mempunyai support
yang saling asing jika f(x)g(x)=0 untuk setiap x.
Dalam makalah ini, R menyatakan koleksi semua bilangan real, P(E) menyatakan koleksi
semua partisi Lebesgue pada E dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral
McShane pada sel E=
a
,
b
. Telah diketahui bahwa M(E) merupakan ruang linear dan ruangintegral mutlak.
Teorema 2.1.
Diketahui E=
a
,
b
sel dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShanepada sel E. Jika f M(E) maka terdapat barisan fungsi sederhana
s
n pada E sehingga
x
f
x
s
n
hampir di mana-mana pada E untuk n dans
n
f
untuk semua n.Teorema 2.2.
121
(i)
f
n
f
hampir di mana-mana untuk n danf
n M(E) untuk setiap n.(ii)
f
n
M
hampir di mana-mana pada E untuk setiap n dan suatu bilangan M0.maka f M(E) dan
E E
n n
f
f
lim
.HASIL DAN PEMBAHASAN
Karakteristik Ruang Fungsi Wo(E)
Di dalam makalah ini, Rn menunjukkan ruang Euclide dimensi n, R menunjukan sistem
bilangan real dan
R
menunjukan sistem bilangan real yang diperluas. Diketahui
b
b
b
n
b
1,
2,
,
Rn
, b dikatakan menuju tak hingga, ditulis b , jika min
b
i
.Definisi 3.2.
Diketahui E =
1
,
b
Rn denganb
>1
dan f :
1
,
b
R
fungsi terukur dan terintegralMcShane pada
1
,
b
. Didefinisikan ruang W0(E) sebagai berikut :W0(E) =
b b
f b 1
M f
1 0 ]
, 1 [
1 lim : ,
.Teorema 3.3.
W0(E) merupakan ruang Banach terhadap norma
b
1
1 b f b 1
1 sup
f :
] , [
.Bukti : Dalam hal in hanya akan ditunjukkan bahwa W0(E) lengkap. Ambil sebarang barisan
Cauchy
f
n W0(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n,m N1 berlaku
f
m
f
n < 2
.
Ambil sembarang
x
E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I
,
sehinggax
122
untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane
P =
I
,
pada E berlaku :
E
n m
m
m
x
f
x
d
P
f
f
I
f
<
2 E
E m
m
P
f
m
f
n
I
E
1
d
x
f
x
f
E
1
< 2
E 1
P
fm
fn
I <
f
x
f
x
d
E
1
E
n m
+2
< 2
+ 2
=
Akibatnya berlaku
E 1
fm
fn
I < untuk setiap
,
I
P(E), khususnya untuk
x,I P(E) berlaku:
E I
x
f
x
f
m
n < atauf
m
x
f
n
x
<
I E
untuk setiap > 0.
Hal ini berarti barisan
f
n
x
merupakan barisan Cauchy di dalam R, oleh karena itu terdapatfungsi f yang terintegral McShane pada
1
,
b
dengan b >1
sehinggaf
n
f
hampir dimana-mana pada
1
,
b
, yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika n > N2berlaku :
f
n
f
, hal ini berakibat :
b
1
n
f
f
<
b
1
=
1
,
b
, untuk setiap b >1
b1
n f b 1
f b 1
1
sup :
] , [
<
f
n
f
< 123
b b
f
b
lim
1
]
,
1
[
1
b
n b
f
f
b
lim
1
]
,
1
[
1
+
b n b
f
b
lim
1
]
,
1
[
1
< untuk setiap bilangan >0. Jadi
b b
f
b
lim
1
]
,
1
[
1
= 0, hal ini berarti f Wo. Jadi Wo lengkap, oleh karena itu Womerupakan ruang Banach.
Teorema 3.4.
Diketahui E =
1
,
b
Rn sel denganb
>1
. Norma || . || pada ruang Wo(E) sepertidimaksud pada Teorema 3.3.memenuhi sifat : Jika barisan
f
n Wo(E) konvergen norma kesuatu fungsi f Wo(E) maka terdapat barisan bagian
f
n i
f
n dan h Wo(E) sehingga
f
f
ni
hampir di mana-mana pada
1
,
b
dan fn i h untuk setiap n
i .Bukti : Ambil sembarang barisan
f
n Wo(E) sehingga
f
n konvergen norma ke suatufungsi f Wo(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n N1
berlaku :
f
n
f
< …..………..…... *Ambil sembarang
x
E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I
,
sehinggax
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fn, fM(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka fn
- f M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fn - f | M(E). Oleh karena itu untuk
setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P
=
I
,
pada E berlaku:
E
n
n
x
f
x
d
P
f
f
I
f
<
2 E
E n
P
f
n
f
I
E
1
d
x
f
x
f
E
1
<2
E 1
P
fn
f
I <
f
x
f
x
d
E
1
E n
+2
< 2
+ 2
124
Akibatnya berlaku
E 1
fn
f
I < untuk setiap
,
I
P(E), khususnya untuk
x,I berlaku :
E I
x
f
x
f
n
< atauf
n
x
f
x
<
I E
untuk setiap > 0. Hal ini
berarti barisan
f
n konvergen titik demi titik ke fungsi f hampir di mana-mana pada E ..………..………. **Berdasarkan (*),untuk setiap bilangan asli i terdapat bilangan asli N
i sehingga jika n(i)N
i berlaku : f fni <
i
2
untuk setiapi
Akibatnya diperoleh :
1 i
1 i n i n
f
f
1 i
i n
f
f
+
1 i
1 i n
f
f
<
1 i
i
2
+
1 i
1 i
2
<
Hal ini berarti untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika
i
N2 berlaku
2 N i
1 i n i n
f
f
< .Selanjutnya dibentuk barisan-barisan
g
m dan
h
m dengan
m1 i
1 i n i n
m
f
f
g
dan
m1 i
1 i n i n
m
f
f
h
. Jelas bahwag
m,h
m Wo(E) untuk setiap m. Selanjutnya ambilsembarang m, n dan tanpa mengurangi arti dapat dianggap m > n, diperoleh :
n m
g
g
=
m 1 i
n 1 i
1 i n i n 1
i n i
n
f
f
f
f
=
m 1 n i
1 i n i n
f
f
m
1 n i
1 i n i n
f
f
125
n m
g
g
m 1 n i 1 i n i nf
f
2 N i 1 i n i nf
f
< .Hal ini berarti bahwa barisan
g
m merupakan barisan Cauchy di dalam Wo(E) yang lengkap. Jadi
1 i 1 i n i nf
f
konvergen. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa
1 i 1 n n i nf
f
juga konvergen. Oleh karena itu untuk setiap m dan setiapi
m berlaku :
m i j j n j n ff 1
m i j j n j nf
f
1
i j 1 j n j nf
f
1 j 1 j n j nf
f
< .Ambil No = maks {N1, N2} maka berdasarkan (**) untuk setiap bilangan > 0 dan m No berlaku :
m i j j n 1 j n jn f f f
f = fn i fn i1 fn i1 fn m fn i f
= fnm1 f < .
Hal ini berarti bahwa untuk setiap
i
barisan
m i j 1 j n j n ff konvergen titik demi titik ke
fungsi
f
n i
f
hampir di mana-mana pada
1
,
b
. Akibatnya :
f
f
ni
fn i f =
m 1 j 1 j n j n
mlim f f mlim
m 1 j 1 j n j nf
f
=
i j 1 j n j nf
f
untuk setiapi
, sehingga fn i
i j 1 j n j nf
f
+ | f | untuk setiapi
.Ambil h =
i j 1 j n j nf
f
+ | f | maka h Wo(E). Jadi terdapat barisan bagian
f
n i
f
ndan hWo(E) sehingga
f
n i
f
hampir di mana-mana pada
1
,
b
dan fn i h untuk setiap
i n . Representasi Fungsional Aditif Ortogonal pada W0 di dalam Rn
126
Diketahui E =
1
,
b
Rn sel dengan b >1
. Jika F fungsional aditif ortogonal dan kontinuterbatas pada ruang W0(E), maka terdapat fungsi k
x,t :E
R
R
sehingga k
x,tterintegral McShane terhadap
x
pada E untuk setiap t R dengan k
x,0 = 0 untuk hampirsemua
x
E dan berlaku :
sF =
k
x
s
x
d
x
E
,
untuk setiap fungsi sederhana s pada E.Bukti : Karena F kontinu terbatas, untuk setiap bilangan >0 dan t terdapat bilangan
,t> 0 sehingga jika
E <
,t makaF
t
E < . Dengan kata lain F sebagai fungsi himpunankontinu mutlak terhadap ………
Selanjutnya, jika
1 i
i
E
E
denganE
io
E
oj = untuki
j
, maka berlaku :
t EF
=
ni i E n
F
t
1
lim
=
n
i
E n
F
t
i1
lim
=
1 i
Ei
t
F
. Hal ini berarti F merupakan fungsihimpunan yang aditif dan terhitung ….………….……....….
Dari (1) dan (2), maka menurut Teorema Radon-Nikodym terdapat fungsi
k
t*
x
pada E sehingga
t k
x dxF
E t E
*
untuk setiap E. Selanjutnya, didefinisikan fungsi k
x,t =k
t*
x
untuk
setiap
x
E dan tR. Jika t = 0 maka F
t
E F
= 0, oleh karena itu
E 0 x
k*
= 0 untuk
setiap E. Jadi k
x,0 = untuk hampir semuax
E. Selanjutnya, ambil sembarang himpunansederhana s pada E dengan s
x =
n
1 i
E i
x
t
i
dengan Ei himpunan terukur yangsepasang-sepasang saling asing dan
n
1 i
i
E
E
, maka diperoleh :
sF =
n
1 i
E i i
t
F
= k
x t dxn
1 i E
i i
, = k
x s
x
dxn
1 i Ei
, = k
x s
x
dxE
127
Lemma 4.2.
Diketahui E =
1
,
b
Rn sel dengan b >1
, F fungsional aditif ortognoal dan kontinuterbatas pada ruang Wo(E), dan k
x,t :E
R
R
fungsi yang diperoleh pada Lemma 4.1. Jikauntuk setiap bilangan > 0 dan setiap interval tertutup terbatas P = [-d,d] dengan d > 0 dibentuk
bilangan-bilangan :
P E
W
; ; =
E
t t dan P t t d t x k t x
k , 1 , 2
: 1, 2 1 2
sup dan
P
W
; =
n
i
n
i
j i i
i
E
E
E
untuk
i
j
E
P
W
1 1
,
:
;
;
sup
maka lim
;
00
W
P untuk setiap interval P.
Bukti : Jika 0 < 1 2 dan t1, t2 P dengan
t
1
t
2
1 makat
1
t
2
2. Hal iniberakibat jika 0<1 2 maka W
1;P
W
2;P
. Jadi net
W
;
P
:
0
turun monotondan terbatas ke bawah dan salah satu batas bawahnya adalah 0. Oleh karena limW
;P
0
ada.
Andaikan
lim0W ;P untuk suatu bilangan >0. Berdasarkan definisinya, terdapat
himpunan saling asing
E
1,
E
2,
,
E
n denganE
E
n
i i
1dan bilangan-bilangan
n
i
t
t
1i,
2i,
1
,
2
,
,
sehingga t1i t2i
, t1i d, t2i d dan
n i E
i i
i
t x k t x k
1
2
1 ,
, > .
Selanjutnya untuk setiap i1,2,,n didefinisikan himpunan-himpunan :
:
,
1
,
2
0
i i
i
i
x
E
k
x
t
k
x
t
E
danE
i
E
i
E
idan juga didefinisikan fungsi-fungsi :
ni E
i E i
i i
t
t
f
1
2
1
dan
ni E
i E i
i i
t
t
g
1
1 2
128
f
=
b b fb]1 : 1 , 1 [ 1 sup
=
E n i E i E i b b E t tE i i
1 , , 1 : 1 sup 1 2 1
E n i E i E i b b E t tE i i : 1, , 1
1 sup
1
2 1
1
:
1
,
,
1
1
sup
1 1b
b
E
d
E
d
E
i i i i E n i E E n i E
=
n ii
E
b
b
E
d
E
1:
1
,
,
1
1
sup
= dDengan cara yang sama diperoleh :
g
d
. Lebih lanjut diperoleh :g
f
=
n i E i E i i it
t
1 21
-
n i E i E i i it
t
1 1 2
=
n i E i i E i i i it
t
t
t
1 1 2 21
Analog dengan cara di atas juga diperoleh :
f
g
d. Karena F kontinu dan terbatas maka
f
F
g
F
< . Dari pihak lain diperoleh :
f
F
g
F
=
E E n i E i E i n i E i E i i i ii t k x t t
t x k 1 1 2 1 2 1 , ,
=
n i E n i E n i E E i E i E ii i i
i i i t x k t x k t x k
1 1 1
2 2
1 , ,
,
-
n i E E i i i t x k 1 1 ,
=
n i E E i E i n i E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 2 1 11 , , ,
129 =
n i E E i E i n i E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 21 , , ,
,
=
n i E i i n i E i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 21 , , ,
, =
n i E i i i t x k t x k 1 2 1 ,, >
Kontradiksi, jadi pengandaian salah, oleh karena itu yang benar adalah lim
;
00
W
P .
Lemma 4.3.
Diketahui E =
1
,
b
Rn sel dengan b >1
. Jika F fungsional aditif ortogoal dan kontinuterbatas pada ruang Wo(E), maka fungsi k
x,t :E
R
R
fungsi yang diperoleh pada Lemma1 kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P R dan untuk setiap
x
E.Bukti : Ambil sembarang
x
E dan sembarang interval tertutup terbatas P R. MenurutLemma 4.2. diperoleh limW
;P
0
= 0, yaitu :
0 = 0 lim
sup
n i n i j i ii
E
E
E
i
j
E
P
W
1 1,
,
:
;
;
0 lim
E t t dan P t t d t x k t xk , 1 , 2
: 1, 2 1 2
sup 0 lim
E t t dan P t t d t x k t xk , 1 , 2
: 1, 2 1 2
Hal ini berarti, jika t1, t2 P dengan
t
1
t
2
berlaku : 0 lim
Ed
t
x
k
t
x
k
,
1,
2
= 0, yaituuntuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehinga jika t1, t2 P dengan
t
1
t
2
berlaku :
Ed
t
x
k
t
x
k
,
1,
2
<
2E
130
Ambil sembarang
x
E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I
,
sehinggax
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi k
,t1 , k
,t2 M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka k
,t1 - k
,t2 M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka |k
,t1 -
,t2k | M(E). Oleh karena itu untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E
sehinga untuk setiap partisi McShane P =
I
,
-fine pada E berlaku:
E
I t k t k P d t x k t x
k , 1 , 2
, 1
, 2
<
2E
E
I t k t k P E d
t x k t x k
E
1 2 , 1 , 21 ,
, 1
< 2
P
k
t k t
IE
, 1 , 21
<
E
Ek
x
,
t
1
k
x
,
t
2d
1
+
2
Didefinisikan bilangan 1 = inf
x :xE
, jelas bahwa 1 > 0 dan selanjutnya dipilih bilangano = min {, 1}, maka diperoleh :
E P
k
t k
t
I
, 1 , 21
<
2
+
2
=
Akibatnya berlaku
E 1
k
,t1 k
,t2
I < untuk setiap
,
I
P(E), khususnya untuk
x,I P(E) berlaku:
E I
2
1
,
,
t
k
x
t
x
k
< atauk
x
,
t
1
k
x
,
t
2
<
I E
untuk setiap
> 0.
Jadi, untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan o>0 sehinga jika t1, t2 P dengan
0 2 1
t
t
berlakuk
x
,
t
1
k
x
,
t
2
<
I E
. Dengan kata lain fungsi k
x, kontinuseragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap
x
E. Teorema 4.4.
Diketahui E =
1
,
b
Rn dengan b > 1. Fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas131
x0k , = 0 untuk hampir semua
x
E sehingga k
x,t terintegral McShane terhadapx
pada Euntuk setiap t R dan berlaku :F
f =k
x
f
x
d
x
E
,
untuk setiap fungsi f Wo(E).Bukti : Syarat cukup. Jika f Wo(E), maka terdapat barisan fungsi sederhana
s
n pada E,sehingga
s
n
x
f
x
hampir dimana-mana pada E untuk n dans
n
x
f
x
untuksemua n. Menurut Lemma 4.3., fungsi k
x, kontinu seragam pada setiap interval tertutupterbatas PR dan untuk setiap
x
E, akibatnya:k
x
,
s
n
x
k
x
,
f
x
hampir di mana-manapada E dan terdapat bilangan M0 sehinga
k
x
,
s
n
x
M
hampir di mana-mana pada E. Olehkarena itu menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi k
x sn
x
n ,
lim
terintegral McShane
dan berlaku :
n
lim
k
x
s
x
d
x
E n
,
=k
x
f
x
d
x
E
,
nn s
F
lim =
k
x
f
x
d
x
E
,
F
f =k
x
f
x
d
x
E
,
Syarat perlu. Ambil sembarang f, g Wo(E) sehingga f g, yaitu f
x g x = 0 hampir dimana-mana pada E. Selanjutnya, dibentuk himpunan-himpunan :
: 0
x E g x
A ,B
xE: f
x 0
dan C
xE: f
x 0dang
x 0
,diperoleh :
f g
F =
k
x
f
g
x
d
x
E
,
=
k
x
f
x
g
x
d
x
E
,
=
k
x
f
x
d
x
E
,
+k
x
g
x
d
x
E
,
= F
f + F
g132
Selanjutnya, ambil sembarang f Wo(E) dan sembarang barisan
f
n Wo(E) sehinga
f
n konvergen terbatas ke fungsi f hampir dimana-mana pada E, yaitu terdapat bilangan M 0sehingga
f
n
x
M untuk setip n danf
n
x
f
x
hampir di mana-mana pada E. Karenafungsi k
x, kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiapx
E,maka terdapat bilangan N0 sehingga
k
x
,
f
n
x
N
untuk semua n dan
x
f
x
k
x
f
x
k
,
n
,
hampir di mana-mana pada E. Oleh karena itu, menurut TeoremaKekonvergenan Terdominasi berlaku :
n
lim
k
x
f
x
d
x
E n
,
=k
x
f
x
d
x
E
,
n
lim
F
f
n = F
f . Dengan kata lain F kontinuterbatas paada Wo(E).
PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup agar
fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E) adalah adanya fungsi
Caratheodory k
x,t :E
R
R
yang mempunyai sifat k
x,0 = 0 untuk hampir semuax
Edan k
x,t terintegral McShane terhadapx
pada E untuk setiap tR.DAFTAR PUSTAKA
Aye, K.K. dan Lee, P.Y., 2002a, Orthogonally additive Functional on BV, Singapura: Nanyang
Technological University.
Chew, T.S., 1985, Orthogonally additive Functional, Singapura: Universitas Nasional Singapura.
133
Hildebrandt, T.H., 1966, Linear Continuous Functionals on The Space (BV) with Weak Topologies,
Proc. Amer. Math. Soc 17, 658-664.
Indrati, C.R., 2002, Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi n, Yogyakarta:
Universitas Gadjah Mada.
Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Singapura: Wold Scientific.
Paredes, L.I., 1993, Orthogonally additive Functionals and Superposition Operators on wo( ),Ph.D.
Thesis, University of The Philippines.