AK5161 AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes. Pengantar.

(1)

MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula

AK5161

MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi,

model Binomial, formula Black-Scholes

(2)

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes

Sejauh ini kita telah mempelajari suku bunga dan perhitungan untuk mendapatkan keuntungan; termasuk menghitung nilai uang saat ini jika kita membayangkan keuntungan pada masa yang akan datang.

(3)

Imbal hasil dan proses stokastik

Suku bunga memiliki “prinsip” yang sama dengan imbal hasil (return). Imbal hasil dapat dimodelkan melalui proses stokastik yang bermanfaat untuk prediksi (forecasting). Salah satu proses stokastik yang relevan adalah gerak Brown; proses

heteroskedastik yang relevan (untuk imbal hasil) adalah kelas model ARCH/GARCH.

(4)

ekspektasi

Misalkan Rtpeubah acak keuangan yang menyatakan imbal hasil;

distribusi peluangnya ditentukan oleh vektor parameter θ. Ekpektasi, E(Rt) dapat diformulasi dengan memanfaatkan fungsi

peluang, fungsi distribusi, atau fungsi kesintasan (dengan syarat tertentu) sebagai berikut:

E(Rt) = · · ·

atau

E(Rt) = · · ·

(5)

Pandang proses stokastik {Rt} untuk imbal hasil

Rt = α Rt−1+ εt,

dengan 0 < α < 1, εtberdistribusi normal dengan mean nol dan

variansi σ2. Ekpektasi pada Rt dapat berupa ekspektasi bersyarat

(6)

Pandang proses stokastik {Rt} yang memenuhi sifat

heteroskedastik Rt = q α R2_t−1· εt, atau Rt= q α R2 t−1+ β σ2t−1· εt,

dengan sifat kestasioneran (lemah) yang berlaku pada keduanya; εt diasumsikan memiliki distribusi dengan mean nol dan variansi

satu. Ekspektasi bersyarat untuk imbal hasil pada waktu t, diberikan informasi hingga waktu t − 1 adalah...

(7)

Bagaiaman jika proses stokastik GB dikenakan pada imbal hasil? Dapatkah kita menentukan ekspektasi bersyarat dan tidak

(8)

ekspektasi

Pandang peubah acak imbal hasil Rt ∼ N(µ, σ2). Kita dapat

menentukan

E(Rt) = · · ·

Pandang peubah acak imbal hasil positif Rt ∼ exp(θ). Ekspekatasi

dan ekspektasi bersyarat-nya adalah

E(Rt) = · · ·

dan

E(Rt|Rt > a) = · · · ,

(9)

Apakah yang anda ketahui tentang

(10)

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan:

Untuk peubah acak risiko X yang mengikuti suatu distribusi, nilai ayang merupakan realisasi dari risiko acak tersebut, dengan FX(a) = P(X ≤ a) = p, disebut dengan Value-at-Risk (VaR).

(11)

Opsi

Opsi call adalah kontrak keuangan yang memberikan hak pada pemiliknya (call owner) untuk membeli aset pada nilai, harga dan periode tertentu (yang ditentukan oleh seseorang; call writer). Pemilik opsi membeli aset jika memberikan keuntungan; harga eksekusi (call price, strike price) lebih rendah daripada harga pasar.

(12)

Misalkan K harga eksekusi untuk suatu opsi call. Diketahui ST

harga aset pada waktu maturitas. Pemilik opsi akan mendapatkan keuntungan (payoff) sebesar

0, jika ST < K,

atau

ST− K, jika ST ≥ K,

atau dapat dinotasikan sebagai maks(0, ST− K).

Catatan:

Keuntungan yang dimiliki call writer berkebalikan dengan keuntungan call holder atau −maks(0, ST− K).

(13)

Contoh: Seorang investor membeli opsi call berisi 100 lembar saham KSy; harga eksekusi 76. Jika harga saham 70(80), apa yang dilakukan oleh investor tersebut? Berapa keuntungan yang diperoleh investor?

(14)

(15)

Hitung total keuntungan pada opsi call dengan berbagai harga eksekusi. Contoh: pembelian opsi call dengan harga eksekusi 45 dan waktu maturitas 6 bulan. Keuntungan minimum (maksimum) yang diperoleh, jika harga aset adalah 35, 40, 45, 55, 60, adalah...

(16)

Notasi: Call(K, T) (> 0) untuk premi per unit yang dibayarkan oleh pembeli opsi call; harga opsi call. Diketahui suku bunga efektif, r.

1 Keuntungan (profit) pemilik opsi:

maks(ST− K, 0) − Call(K, T)(1 + r)T

2 Keuntungan penjual opsi:

(17)

(18)

Contoh: Opsi call sebanyak 4337 (2000) lembar, dengan K= 35, T = 18, r = 0.055. Hitung keuntungan pembeli opsi.

(19)

Model GB

(20)

Misalkan harga aset pada waktu t adalah St. Pada waktu t + 1,

(21)

MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes

Hubungan peubah acak pada GB

dan MB

Definisikan: Li= Sti Sti−1 , 1 ≤ i ≤ n, 0 = t0< t1< · · · < tn= t,

barisan peubah acak lognormal yang saling bebas. Sebagai contoh, L1= St1 St0 = eXt1_{, L}₂ ₌ St1 St0 = eXt2−Xt1_,

saling bebas karena sifat “kenaikan saling bebas” dari Xt1 dan

Xt2− Xt1. Kita dapat menuliskan

St = Ln× Ln−1× · · · × L2× L1× S0

(22)

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Perhatikan: Sn= Yn× Yn−1× · · · × Y2× Y1× S0,

dengan Yipeubah acak bersifat saling bebas dan berdistribusi

identik (i.i.d):

P(Y = u) = p dan P(Y = d) = 1 − p,

(23)

• Bagaimana kita dapat mengaitkan ln Li dengan Yi?

• Dapatkah kita menentukan u, d, p sehingga E(Y) = E(L) dan E(Y2_{) = E(L}2_{) ?}

(24)

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Perhatikan bahwa: E(Y) = up + d(1 − p); E(Y2) = u2p+ d2(1 − p), dan E(L) = · · · (∗); E(L2) = · · · (∗∗)

(25)

Kita ingin menyelesaikan kedua persamaan

up+ d(1 − p) = ∗; u2p+ d2(1 − p) = ∗∗

yang solusinya tidak tunggal. Misalkan ud = 1, maka kita peroleh

p= · · ·

u= · · · d= · · ·

(26)

Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes Catatan: Untuk n besar, ln(Yn× · · · × Y2× Y1) = n X i=1 ln(Yi) ≈ Xt ∼ N(µt, σ2t),

karena Teorema Limit Pusat (TLP). Jadi,

(27)

Pandang bentuk rekursif untuk harga saham

Sn+1= SnYn+1, n ≥ 0

dengan Yisaling bebas dan memiliki distribusi peluang

P(Y = u) = p, P(Y = d) = 1 − p.

Asumsikan 0 < d < 1 + r < u konstan, r suku bunga bebas risiko (risk-free interest rate).

Catatan: (1 + r)x adalah payoff yang kita terima satu waktu mendatang jika kita memiliki aset seharga x pada waktu sekarang.

(28)

Untuk nilai Snyang diberikan,

Sn+1=

uSn, dengan peluang p;

dSn, dengan peluang 1 − p.

untuk n ≥ 0, bebas dengan sebelumnya. Jadi, harga saham akan naik (“u”) atau turun (“d”) setiap waktu. Sifat “acak” disebabkan nilai peluang naik atau turun tersebut.

(29)

MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial

Bentuk rekursif diatas dapat ditulis

Sn= Yn× · · · × Y1× S0, n ≥ 1

dengan S0harga awal, Snharga saat n. Untuk n yang diberikan,

Sn= uidn−iS0

untuk suatu i ∈ {0, . . . , n}; artinya “harga saham naik sebanyak i kali dan turun n − i kali selama periode n”. Peluang yang bersesuaian adalah

(30)

(31)

-MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula

Opsi pada MB

Misalkan harga aset sekarang S0. Pada periode berikutnya, harga

aset mungkin bernilai Suatau Sd. Nilai keuntungan (pay off) yang

diperoleh adalah

Cu = maks(Su− K, 0) ; Cd= maks(Sd− K, 0),

dengan K harga eksekusi. Ekpektasi nilai keuntungan adalah

(32)

Perhatikan bahwa peluang harga aset naik merupakan fungsi dari (u, d, r), dengan u rasio harga aset naik, d rasio harga aset turun, dan r suku bunga (catatan: d < 1 + r < u). Nilai sekarang (Present Value - PV) dari nilai keuntungan adalah

C0 =

E(C1)

1 + r, yang dikenal dengan harga opsi (call).

(33)

Kita dapat mendefinisikan suatu peubah acak nilai keuntungan pada suatu periode t:

(St− K)+=

St− K, St< K

0, St≥ K

Perhatikan bahwa dalam model risiko, K dikenal sebagai suatu batas kerugian (deductible) atas nilai kerugian.

(34)

Ilustrasi numerik untuk peubah acak diatas adalah sebagai berikut (Arcones, 2009). Lihat gambar ilustrasi sebelumnya.

(35)

Beberapa hal yang dapat diperhatikan adalah sebagai berikut. Pertama, kita dapat membentuk portofolio (kombinasi aset dan opsi) untuk melakukan strategi penjualan bebas risiko (risk-free hedge) yaitu

Su+ m · Cu= Sd+ m · Cd,

(36)

Kedua, perhitungan harga opsi dapat dilakukan untuk t > 1. Misalkan harga aset sekarang hingga dua periode kedepan adalah S0, Suatau Sd, Suuatau Sudatau Sduatau Sdd. Nilai keuntungan

yang mungkin pada periode kedua adalah Cuuatau Cudatau Cdu

atau Cdd. Ekspektasi nilai keuntungan pada periode kedua adalah

(37)

Nilai keuntungan pada periode kesatu adalah nilai sekarang (PV) dari ekspektasi diatas, yaitu

Cu= PV(E(C2,u)) ; Cd = PV(E(C2,d))

Selanjutnya, ekspektasi nilai keuntungan pada periode kesatu adalah

E(C1) = p · Cu+ q · Cd

(38)

Ketiga, model harga aset dapat bervariasi. Salah satu model untuk menentukan harga opsi yang dikenal adalah model gerak Brown. Keempat, waktu eksekusi bergantung pada jenis opsi: pada waktu T(opsi Eropa) atau sebelum waktu T (opsi Amerika).

(39)

Cara lain bermain opsi adalah “opsi atas opsi”. Kita membeli opsi dengan harga C0(yang memiliki waktu maturitas 6 bulan). Enam

bulan dari sekarang, kita dapat membeli opsi atau tidak dengan harga eksekusi K dan biaya B.

(40)

Diketahui harga aset sekarang 9000. Harga akan naik besok (6 bulan kedepan) sebesar 25% atau turun 20%. Suku bunga tahunan 20% (kontinu); harga eksekusi K = 9000. Kita peroleh:

Su= 11250, Sd= 7200, p = 0.678, Cu= 2250, Cd= 0

Dengan demikian, ekspekasi nilai keuntungannya adalah

E(C1) = (0.678)(2250) + (0.322)(0) = 1525.5

(41)

Jika kita memodelkan lagi 6 bulan kemudian maka kita peroleh nilai-nilai

Suu= 14062.5, Sud = 9000, Sdd = 5760, Cuu= 5062.5, Cu = 3105.7

sehingga harga opsi C0= 0.905 · 3105.7 = 2810.1. Dengan biaya

B= 1500, nilai Cusebenarnya adalah 3105.7 − 1500 = 1605.7.

Sehingga nilai opsinya C0 = 985.1. Jika biaya B dikenakan juga

(42)

Misalkan pada opsi call Eropa, t = T ada waktu habis berlaku (expiration date), K harga eksekusi (strike price),

CT = (ST− K)+payoff. Kita ingin menentukan harga opsi jika

(43)

Perhatikan harga opsi dengan model binomial, dengan waktu habis berlaku t = n, yang diberikan sebagai nilai harapan

C₀= 1 (1 + r)nE

∗_(S

n− K)+,

dengan E∗adalah nilai harapan dibawah peluang tidak berisiko (risk-neutral probability) p∗untuk gerakan harga saham naik dan turun.

(44)

Dibawah p , rate of return yang diharapkan dari saham sama dengan suku bunga tidak berisiko r, untuk n = 1:

E(S1) = (1 + r)S0

atau up + d(1 − p) = (1 + r). Kita peroleh

p= p∗= 1 + r − d u− d . Faktanya, dibawah p∗, harga saham discounted

{(1 + r)−nSn, n ≥ 0} adalah “fair” (membentuk martingale). Jika

harga saham mengikuti GB geometrik maka kita mengharapkan

(45)

Misalkan St = S0eXt dengan Xtadalah GB dengan parameter drift

dan variansi. Kita tentukan nilai µ dan σ yang baru, sebut µ∗dan σ∗, yang mana harga “fair” yaitu discounted price {ertSt: t ≥ 0}

membentuk martingale atau

E(St) = ertS0, t ≥ 0

Jadi, kita ingin

(46)

Ketika menghargai opsi, kita harus menggantikan St dengan

S∗_t = S0eX ∗ t _{, dengan} X_t∗ = µ∗t+ σBt= (r − σ2/2)t + σBt Jadi, C₀= e−rTE∗(ST− K)+= e−rTE(S∗T− K)+= · · ·

Catatan: Perhatikan bahwa C0tidak bergantung pada µ, namun

(47)

MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Bagian III : Peubah acak berbatas, opsi, model Binomial, formula Black-Scholes Pengantar Peubah acak berbatas Opsi dan peubah acak berbatas Opsi pada model GB dan Binomial Formula Black-Scholes

Formula Black-Scholes

Misalkan harga saham mengikuti GB geometrik:

St = S0eµt+σBt, t ≥ 0, maka harga opsi call Eropa dengan waktu

habis berlaku (expiration date) t = T dan harga eksekusi (strike price) K adalah C0 = S0Φ(c + σ √ T) − e−rTKΦ(c), dengan c= ln(S0/K) + (r − σ 2_/2)T σ√T