METODE PENARIKAN SAMPEL SYSTEMATIC RANDOM SAMPLING

SYSTEMATIC

RANDOM SAMPLING

Oleh: Adhi Kurniawan

Pengantar

• Pada penarikan sampel acak sederhana (SRS) setiap unit dipilih dengan

menggunakan angka random.

• Dengan demikian kita harus menarik sampel sebanyak n kali.

• Untuk memperingan penarikan sampel ini maka diterapkan penarikan

sampel secara sistematik, dengan hanya mengambil satu angka random saja dan lainnya akan mengikuti dengan menghitung interval-nya.

Jadi, systematic sampling adalah suatu teknik sampling di mana

hanya unit pertama dipilih dengan bantuan angka random dan

untuk mendapatkan sampel sisanya dipilih secara otomatis

menurut interval yang ditentukan sebelumnya.

Prinsip

• N unit dalam populasi diberi nomor urut 1 s/d N

• Ada interval (k) antar unit sampel: 𝑘 = 𝑁

𝑛

• Unit sampel pertama 𝐴𝑅₁ dipilih secara acak/random Cara 1: antara 1-k (Linear Systematic Sampling)

Cara 2: antara 1-N (Circular Systematic Sampling)

• Unit sampel berikutnya ditentukan oleh interval (k), yaitu dengan menambahkan angka random unit terpilih sebelumnya dengan interval.

𝐴𝑅_𝑛 = 𝐴𝑅_𝑛−1 + 𝑘

• Pemilihan unit pertama akan menentukan sampel secara keseluruhan Misal: N=60; n=10; maka 𝑘 = 60₁₀ = 6

Jika 𝐴𝑅₁ yang terpilih adalah 2 maka sampel terpilihnya: no: 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56

No Mhs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 60

Linear Systematic Sampling

a. Hitung interval, yaitu

𝑘 =

𝑁

𝑛

b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan

intervalnya (pilih AR≤ 𝑘) dari tabel angka random

Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅

₁

.

Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel

pertama.

c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval:

𝐴𝑅

₂

= 𝐴𝑅

₁

+ 𝑘

𝐴𝑅

₃

= 𝐴𝑅

₂

+ 𝑘 = 𝐴𝑅

₁

+ 2𝑘

𝐴𝑅

₄

= 𝐴𝑅

₃

+ 𝑘 = 𝐴𝑅

₁

+ 3𝑘

…

𝐴𝑅

_𝑛

= 𝐴𝑅

_𝑛−1

+ 𝑘 = 𝐴𝑅

₁

+ 𝑛 − 1 𝑘

Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai

sampel.

d. Jika N tidak dapat dinyatakan dalam bentuk N=nk, maka k diambil

sebagai bilangan bulat yang paling dekat dengan N/n.

Contoh: Populasi N=10 akan diambil sampel n=3 secara linear systematic

Baris Kolom (1-5) 1 8 8 3 4 7 2 5 7 1 40 3 7 4 6 8 6 4 6 8 0 1 3 5 5 7 4 7 7 1 2 3 4 5 _{6 7 8 9 10}

Langkah 1: Menghitung interval 𝑘 = 𝑁

𝑛 = 10

3 = 3.33 ≈ 3

Langkah 2: Menentukan sampel pertama dengan bantuan angka random

Misal: 𝐴𝑅₁ diambil secara independent choice of digits

dengan permulaan pembacaan TAR baris 1 kolom 4, maka ambil 𝐴𝑅₁ ≤ 𝑘 → 𝐴𝑅₁ = 1

Langkah 3: menentukan sampel kedua sampai ketiga dengan bantuan interval

𝐴𝑅₂ = 𝐴𝑅₁ + 𝑘 = 1 + 3 = 4 𝐴𝑅₃ = 𝐴𝑅₂ + 𝑘 = 4 + 3 = 7

Circular Systematic Sampling

a. Hitung interval, yaitu

𝑘 = 𝑁 𝑛

b. Tentukan satu angka random yang lebih kecil atau sama dengan populasi (pilih AR≤ 𝑁) dari tabel angka random. Angka random ini selanjutnya disebut angka random pertama 𝐴𝑅₁ . Unit yang nomor urutnya sama dengan AR ini terpilih sebagai sampel pertama.

c. Angka random selanjutnya dihitung dengan interval: 𝐴𝑅₂ = 𝐴𝑅₁ + 𝑘

𝐴𝑅₃ = 𝐴𝑅₂ + 𝑘 = 𝐴𝑅₁ + 2𝑘 𝐴𝑅₄ = 𝐴𝑅₃ + 𝑘 = 𝐴𝑅₁ + 3𝑘 …

𝐴𝑅_𝑛 = 𝐴𝑅_𝑛−1 + 𝑘 = 𝐴𝑅₁ + 𝑛 − 1 𝑘

Unit yang nomor urutnya sama dengan AR di atas terpilih sebagai sampel.

e. Jika setelah ditambahkan dengan interval, didapatkan AR yang lebih besar dengan nilai populasi (N) maka kurangkan AR tsb dengan nilai N. Unit yang nomor urutnya sama dengan AR setelah dikurangi N adalah unit yang terpilih sebagai sampel

Contoh: Populasi N=10 akan diambil sampel n=3 secara circular systematic

Baris Kolom (1-5) 1 8 8 3 4 7 2 5 7 1 40 3 7 4 6 8 6 4 6 8 0 1 3 5 5 7 4 7 7 1 2 3 4 5 _{6 7 8 9 10}

Langkah 1: Menghitung interval 𝑘 = 𝑁

𝑛 = 10

4 = 3.33 ≈ 3

Langkah 2: Menentukan sampel pertama dengan bantuan angka random

Misal: 𝐴𝑅₁ diambil secara remainder approach dengan

permulaan pembacaan TAR baris 1 kolom 1, maka 𝑁′ = 90, ambil 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 ≤ 𝑁′ → 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 = 88 →

88

10 𝑠𝑖𝑠𝑎 8 → 𝐴𝑅1 = 8

Langkah 3: menentukan sampel kedua sampai ketiga dengan bantuan interval

𝐴𝑅₂ = 𝐴𝑅₁ + 𝑘 = 8 + 3 = 11 − 10 = 1 𝐴𝑅₃ = 𝐴𝑅₂ + 𝑘 = 1 + 3 = 4

Latihan 1

• Seorang manajer perusahaan ingin mengetahui tingkat loyalitas pegawainya.

Untuk itu, dari 11 pegawai dilakukan penarikan 4 sampel secara sistematik.

No Nama 1 Bima 2 Yudhistira 3 Pandhu 4 Larasati 5 Joseph 6 Rukmini 7 Sinta 8 Haris 9 Indra 10 Wisnu 11 Krisna Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477

TAR Tentukan pegawai yang terpilih sampel jika penarikan sampel dilakukan dengan

1. Sistematik linear

a. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 1 kolom 4, independent choice of digits

b. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 3 kolom 4, remainder approach

c. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 1 kolom 4, quotient approach

2. Sistematik sirkuler

a. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 1 kolom 3, independent choice of digits

b. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 1 kolom 2, remainder approach

c. Penelusuran 𝐴𝑅₁ dari TAR baris 1 kolom 1, quotient approach

Ilustrasi

Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N=nk

Sistematik linear

Jika

diambil

sampel

dengan interval k=2, maka

kemungkinan sampelnya:

1,3

2,4

Sistematik Sirkuler

Jika diambil sampel dengan

interval k=2, maka

kemungkinan sampelnya:

1,3

2,4

1 2 3 4 1 2 3 4

Ilustrasi

Perbandingan Sistematik Linear dan Sirkuler untuk N≠nk

Sistematik linear

Jika k=3, maka kemungkinan

sampelnya:

1,4

2,5

3

Sistematik Sirkuler

Jika k=3, maka kemungkinan

sampelnya:

1,4

4,2

2,5

5,3

3,1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Problem With Intervals (1)

•

If the population size N is not an integral multiple of k, a

problem arises. It can be solved in several ways and the

sampler should choose the most convenient.

1.

Permit the sample size to be either n or (n+1). Choose

k so that N is greater than nk, but less than (n+1)k. Then,

the random start will determine whether the sample size

will be n or n+1.

2.

Eliminate with epsem enough units to reduce the

listings to exactly nk before selection with the interval

k. The probability of selection over the two procedures is

n/N. Instead of elimination, it may be convenient to select

some listings with epsem, then add these duplicates to the

end of the list

Problem With Intervals (2)

3.

Consider the list to be circular, so that the last unit is

followed by the first. Choose a random start from 1 to N.

Now add the intervals k until exactly n elements are

choosen, going to the end of the list and then continuing to

the beginning.

4.

Using fractional intervals is simple with a decimal

fraction. For example, suppose that to select a sample of

n=100 units from a population of N=925 units, the interval

k=N/n=925/100=9,25 is applied.

Implicit Stratification

• Selain untuk mempermudah penarikan sampel, penarikan sampel sistematik

juga dapat meningkatkan efisiensi desain, misal dengan mengadakan pengaturan unit-unit (systematic arrangement).

• Pengaturan unit-unit berdasarkan karakteristik tertentu memungkinkan

sampel yang terpilih akan memiliki berbagai karakteristik sehingga lebih representatif.

• Pengaturan unit-unit berdasarkan karakteristik tertentu, kemudian dilakukan

penarikan sampel sistematik ini disebut implicit stratification.

• Pengurutan biasanya didasarkan pada kriteria geografis seperti urban-rural,

administrative region, ethnics subpopulations, atau socioeconomic groups, dsb.

• Keuntungan implicit stratification:

1. Tidak perlu membangun explicit stratification, sampel otomatis akan

teralokasi secara proporsional.

2. Sederhana, hanya memerlukan pengaturan unit-unit dan penggunaan

interval untuk penarikan secara sistematik sampling.

3. Jika kriteria yang dijadikan dasar pengurutan mempunyai korelasi yang kuat

Dari kerangka sampel di samping (N=12) akan diambil sampel secara sistematik sebanyak n=6. Misalkan 𝐴𝑅₁ = 2 maka sampel yang terpilih:

Tanpa pengurutan

1. Shofyan Firdaus (SMA-Diploma)-2 2. Ahmad Rofi’ih (SMP ke bawah)-4 3. Ainur Rosyadi (SMA-Diploma)-6 4. Moh. Mashudi (Universitas)-8 5. Abd Gani (Universitas)-10 6. Moh Faisol (SMA-Diploma)-12 Populasi diurutkan terlebih dahulu

menurut tingkat pendidikan

1. Ahmad Rofi’ih (SMP ke bawah)-2 2. Subaidi (SMP ke bawah) -4

3. Cholish (SMP ke bawah) -6

4. Shofyan Firdaus (SMA-Diploma) -8 5. Moh. Faisol (SMA-Diploma) -10 6. Abd Gani (Universitas) -12

No urut rumah tangga Kepala Rumah Tangga (KRT) Pendidikan tertinggi KRT SMP ke bawah SMA-Diploma Universi tas (1) (2) (3) (4) (5) 1 JUNAIDI √ 7 2 SHOFYAN FIRDAUS √ 8 3 RAHMAD √ 1 4 AHMAD ROFI'IH √ 2

5 ANDI CAHYADI _ALFARIS √ 3

6 AINUR ROSYADI √ 9 7 SUBAIDI √ 4 8 MOH MASHUDI √ 11 9 QUDZI A SPD I √ 5 10 ABD GANI _{√ 12} 11 CHOLISH √ 6

KOMPOSISI K SAMPEL SISTEMATIK

Nomor sampel

Nomor Gugus Sampel (Class)

1 2 … i … k 1 𝑦₁ 𝑦₂ … 𝑦_𝑖 … 𝑦_𝑘 2 𝑦_𝑘+1 𝑦_𝑘+2 … 𝑦_𝑘+𝑖 … 𝑦_2𝑘 … … … … 𝑛 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+1} 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+2} … 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+𝑖} … 𝑦_𝑛𝑘 Rata-rata 𝑦 ₁ 𝑦 ₂ … 𝑦 _𝑖 … 𝑦 _𝑘

Hubungan dengan Stratified Sampling

• Systematic sampling menstratifikasi populasi menjadi n strata yang

terdiri dari:

k unit pertama, k unit kedua, dst.

• Sampel sistematik sama precisenya dengan stratified random sampling

dengan satu unit per strata yang bersesuaian

Perbedaan:

• Systematic Sample:

Unit-unit terletak pada posisi yang relatif sama dalam strata

• Stratified Random Sample:

Posisi dalam strata ditentukan secara terpisah berdasarkan pengacakan di dalam masing-masing strata.

= systematic sample

= stratified random sample

Ilustrasi Strata dalam Systematic Sampling

Nomor

sampel

Nomor Gugus Sampel (Class)

1 2 … i … k 1 𝑦₁ 𝑦₂ … 𝑦_𝑖 … 𝑦_𝑘 2 𝑦_𝑘+1 𝑦_𝑘+2 … 𝑦_𝑘+𝑖 … 𝑦_2𝑘 … … … … 𝑛 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+1} 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+2} … 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+𝑖} … 𝑦_𝑛𝑘 Strata 1 Strata 2 Strata n

Hubungan dengan Cluster Sampling

• Dengan N=nk, populasi dibagi menjadi k unit sampling yang besar, yang

masing-masing mengandung n unit original.

• Pelaksanaan pemilihan sampel sistematik adalah pelaksanaan pemilihan

satu dari unit-unit sampling yang besar ini secara acak.

• Sebuah sampel sistematik adalah sebuah sampel acak sederhana dari

satu unit cluster dari suatu populasi sebanyak k unit cluster. Nomor

sampel

Nomor Gugus Sampel (Class)

1 2 … i … k 1 𝑦₁ 𝑦₂ … 𝑦_𝑖 … 𝑦_𝑘 2 𝑦_𝑘+1 𝑦_𝑘+2 … 𝑦_𝑘+𝑖 … 𝑦_2𝑘 … … … … 𝑛 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+1} 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+2} … 𝑦 _{𝑛−1 𝑘+𝑖} … 𝑦_𝑛𝑘 Cluster

Penduga Rata-rata Populasi

• Linear Systematic Sampling

 Jika N=nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik

merupakan penduga unbiased dari rata-rata populasi

 Jika N ≠ nkrata-rata sampel dari sebuah sampel sistematik

merupakan penduga biased dari rata-rata populasi

• Circular Systematic Sampling

(N=nk maupun N≠nk)

 Rata-rata sampel akan selalu merupakan penduga unbiased

Sistematik Kondisi

N=nk N≠nk

Linear Unbiased Biased

Penduga Rata-rata Populasi

𝑦

_𝑖

=

1

𝑛

𝑦

𝑖𝑗

rata-rata untuk sampel sistematik ke-i

𝐸 𝑦

_𝑠𝑦

=

1

𝑘

𝑦

𝑖 𝑘 𝑖=1

=

1

𝑘

𝑦

1

+ 𝑦

2

+ ⋯ + 𝑦

𝑘

=

1

𝑘

1

𝑛

𝑦

1

+ 𝑦

1

+ ⋯ + 𝑦

𝑁

… (𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑁 = 𝑛𝑘)

=

1

𝑁

𝑦

1

+ 𝑦

1

+ ⋯ + 𝑦

𝑁

=

1

𝑁

𝑦

𝑖 𝑁 𝑖=1

= 𝑌

Latihan 2

• Diketahui populasi mahasiswa sebanyak N=9 dengan jumlah buku sampling yang dimiliki sebagai berikut:

Buktikan secara empiris bahwa penarikan sampel secara sistematik

linear maupun sirkuler (n=3) akan menghasilkan penduga rata-rata yang

unbiased !

• Diketahui populasi mahasiswa sebanyak N=10 dengan jumlah buku ekonomi yang dimiliki sebagai berikut:

Buktikan secara empiris bahwa penarikan sampel (n=3) secara

sistematik linear akan menghasilkan penduga rata-rata yang biased, tetapi penarikan sampel secara sistematik sirkuler akan menghasilkan penduga yang unbiased !

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jumlah Buku 1 2 2 3 3 4 5 7 9

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

•

Penghitungan 𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) membutuhkan informasi dari seluruh k

sampel sistematik.

•

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

1 𝑘

𝑦

𝑖

− 𝑌

2 𝑘 𝑖=1

… (1)

•

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

𝑁−1 𝑁

𝑆

2

₋

𝑘(𝑛−1) 𝑁

𝑆

𝑤𝑠𝑦 2

_{… (2)}

•

𝑆

2

=

1 𝑁−1

(𝑦

𝑖𝑗

− 𝑌 )

2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1

Varians Penduga Rata-rata

Varians within dari k

sampel sistematik

Varians within sampel

sistematis yang besar

mengindikasikan

bahwa sampel tsb

adalah HETEROGEN

𝑆_𝑤𝑠𝑦2 = 1 𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑛 𝑗 𝑘 𝑖

•

Misal populasi:

1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 | 1,2,3,4,5 periodicity

•

Misal 2 terpilih sampel dan k=5, sehingga sampel

sistematik: 2,2,2 homogen dan tidak representatif

•

Varians within=0 dan 𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) akan besar.

Bagaimana mengukur kehomogenan atau keheterogenan ini ?

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

•

Ukuran yang menyatakan tingkat kehomogenan

dalam sebuah sampel sistematik di antara

pasangan unit dalam sampel sistematik yang sama

adalah intraclass correlation coefficient (𝜌)

•

𝜌 =

𝐸(𝑦𝑖𝑗−𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′−𝑌 ) 𝐸(𝑦_𝑖𝑗−𝑌 )2

•

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

𝑆2 𝑛 𝑁−1 𝑁

1 + (𝑛 − 1)𝜌

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

•

Ketika ada n unit sampling dalam sebuah sampel sistematik,

maka ada

𝑛

_{2 =}

𝑛(𝑛−1)

2

pasangan unit sampling yang

berbeda yang bisa kita pilih

•

Karena keseluruhan ada k sampel sistematis, ada

𝑘𝑛(𝑛−1)

2

pasangan yang berbeda, sehingga:

𝐸 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 = 2 𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 𝐸(𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 )2= 1 𝑁 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑁 − 1 𝑁 1 𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑁 − 1 𝑁 𝑆2

INTRACLASS CORRELATION COEFFICIENT

•

𝜌 =

2 𝑘𝑛(𝑛−1)

𝑦

𝑖𝑗

− 𝑌 𝑦

𝑖𝑗′

− 𝑌 .

𝑁 (𝑁−1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1

𝑉 𝑦

_𝑠𝑦

=

𝑆

2

𝑛

𝑁 − 1

𝑁

1 + (𝑛 − 1)𝜌

•

Jika 𝜌 besar dan positif 𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) besar (unit-unit

homogen dalam sampel sistematik)

•

Jika 𝜌 kecil dan (+/-)  𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) kecil (unit-unit

Pembuktian (1)

Varians cara 1: 𝑽 𝒚 _𝒔𝒚 = 𝐸 𝑦 _𝑖 − 𝐸 𝑦 _𝑖 2 = 𝐸 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 = 𝟏 𝒌 𝒚 𝒊 − 𝒀 𝟐 𝒌 𝒊=𝟏 Varians cara 2: 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 𝑘 𝑖=1 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 2 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 + 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 2 + 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 + 2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 𝑦 _𝑖 − 𝑌 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 2 𝑛 𝑗=1 + 𝑘 𝑖=1 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑗=1 + 𝑘 𝑖=1 2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 𝑦 _𝑖 − 𝑌 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1

Pembuktian (2)

𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑗=1 = 𝑛 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑖=1 2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 𝑦 _𝑖 − 𝑌 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 2 𝑦 _𝑖 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 0 Sehingga: 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 2 = 𝑛 𝑦 _𝑖 − 𝑌 2 𝑘 𝑖=1 + 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑦 _𝑖 2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑘𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 2 − 1 𝑘𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 Karena: 𝑆_𝑤𝑠𝑦2 = 1 𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑛 𝑗 𝑘 𝑖 𝑆2 = 1 𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 Sehingga: 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑁 − 1 𝑁 𝑆2 − 𝑘(𝑛 − 1) 𝑁 𝑆𝑤𝑠𝑦 2

Pembuktian (3):

Koefisien korelasi intraklass:

𝜌 = 𝐸(𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 ) 𝐸(𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 )2

Karena terdapat sebanyak 𝑛 unit sampling untuk setiap gugus sampel, maka akan terdapat 𝑛_{2 =} 𝑛(𝑛−1)₂ pasangan unit sampling yang berbeda yang dapat dipilih. Oleh karena itu, untuk 𝑘 gugus sampel sistematik akan terdapat 𝑘𝑛(𝑛−1)₂ pasangan yang berbeda, sehingga:

𝐸 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 = 2 𝑘𝑛(𝑛 − 1) (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )(𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 ) 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 𝐸(𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 )2= 1 𝑁 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑁 − 1 𝑁 1 𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 𝑁 − 1 𝑁 𝑆2

Pembuktian (4)

Sehingga: 𝜌 = 2 𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁 − 1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 Varians cara 3: 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 = 1 𝑘 1 𝑛 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑛 𝑗=1 2 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑖=1 = 1 𝑘 1 𝑛2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑛 𝑗=1 2 𝑘 𝑖=1 = 1 𝑘 1 𝑛2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 2 + 2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 1 𝑘 1 𝑛2 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 2 + 2 𝑛 − 1 2 ∙ 𝑁 − 1 𝑆2𝜌 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1

Pembuktian (5)

𝑉 𝑦

_𝑠𝑦

=

1

𝑘

∙

1

𝑛

2

∙ 𝑦

𝑖𝑗

− 𝑌

2

+ 𝑛 − 1 ∙ 𝑁 − 1 𝑆

2

𝜌

𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1

=

1

𝑘

∙

1

𝑛

2

∙ 𝑁 − 1 𝑆

2

+ 𝑛 − 1 ∙ 𝑁 − 1 𝑆

2

𝜌

=

1

𝑛𝑁

(𝑁 − 1)𝑆

2

1 + (𝑛 − 1)𝜌

𝑉 𝑦

_𝑠𝑦

=

𝑆

2

𝑛

𝑁 − 1

𝑁

1 + (𝑛 − 1)𝜌

EFISIENSI

•

𝑣 𝑦

_𝑠𝑟𝑠

=

𝑆2 𝑛 𝑁−𝑛 𝑁

•

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦𝑠

=

𝑆2 𝑛 𝑁−1 𝑁

1 + (𝑛 − 1)𝜌

•

𝑣(𝑦 𝑠𝑦𝑠) 𝑣(𝑦 _𝑠𝑟𝑠)

=

(𝑁−1) 1+(𝑛−1)𝜌 𝑛(𝑘−1)

Agar systematic sampling memiliki presisi yang sama

dengan SRS, maka:

(𝑁 − 1) 1 + (𝑛 − 1)𝜌

𝑛(𝑘 − 1)

= 1

𝜌 =

−1

𝑛𝑘 − 1

=

−1

𝑁 − 1

EFISIENSI

•

Karena N biasanya besar, 𝜌 seharusnya kecil agar

systematic sampling memiliki presisi yang sama

dengan SRS.

•

Nilai 𝜌 akan kecil jika unit-unit sampling dalam

populasi didistribusikan secara random, sehingga

𝑣 𝑦

_𝑠𝑟𝑠

bisa digunakan untuk sistematic sampling

Penduga Rata-rata Populasi dan Varians (Ringkasan)

Penduga Rumus Rata-rata 𝑌 = 1 𝑘 𝑦 𝑖. 𝑘 𝑖=1 Varians 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 𝑘 𝑖=1 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑁 − 1 𝑁 𝑆2 − 𝑘(𝑛 − 1) 𝑁 𝑆𝑤𝑠𝑦 2 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑆2 𝑛 𝑁 − 1 𝑁 1 + (𝑛 − 1)𝜌 Keterangan: 𝑆_𝑤𝑠𝑦2 = 1 𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑛 𝑗 𝑘 𝑖 𝑆2 = 1 𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝜌 = _{𝑘𝑛(𝑛−1)}2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1

Contoh:

Misalkan populasi N=9 dengan nilai karakteristik 𝑌_𝑖 sebagai berikut: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 diambil sampel n=3 secara sistematik sampling.

Maka komposisi sampel sistematiknya:

𝑌 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 = 1 3 4 + 5 + 6 = 5 𝑘 𝑖=1 No urut sampel

Gugus Sampel 1 Gugus Sampel 2 Gugus Sampel 3

𝑌_1𝑗 𝑌_1𝑗2 𝑌_2𝑗 𝑌_2𝑗2 𝑌_3𝑗 𝑌_3𝑗2 1 1 1 2 4 3 9 2 4 16 5 25 6 36 3 7 49 8 64 9 81 Total 12 66 15 93 18 126 Rata-rata 4 22 5 31 6 42

Penghitungan varians (cara 1): 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 𝑘 𝑖=1 = 1 3 4 − 5 2 + 5 − 5 2 + 6 − 5 2 = 2 3 Penghitungan varians (cara 2):

𝑆_𝑤𝑠𝑦2 = 1 𝑘(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖 2 𝑛 𝑗 𝑘 𝑖 = 1 3 ∙ 2 18 + 18 + 18 = 54 6 𝑆2 = 1 𝑁 − 1 (𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 )2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 = 60 8 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑁 − 1 𝑁 𝑆2 − 𝑘 𝑛 − 1 𝑁 𝑆𝑤𝑠𝑦2 = 8 9 ∙ 60 8 − 3 ∙ 2 9 ∙ 54 6 = 2 3

Penghitungan varians (cara 3): 𝜌 = 2 𝑘𝑛(𝑛−1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 Untuk 𝑖 = 1: 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 = 𝑛

𝑗<𝑗′ Penghitungan varians (cara 3):

𝜌 = _{𝑘𝑛(𝑛−1)}2 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁−1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 Untuk 𝑖 = 1: 𝑦_𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦_𝑖𝑗′ − 𝑌 = 𝑦₁₁ − 𝑌 𝑦₁₂ − 𝑌 + 𝑦₁₁ − 𝑌 𝑦₁₃ − 𝑌 + 𝑦₁₂ − 𝑌 𝑦₁₃ − 𝑌 𝑛 𝑗<𝑗′ = 1 − 5 4 − 5 + 1 − 5 7 − 5 + 4 − 5 7 − 5 = −6

Dengan cara yang sama, untuk 𝑖 = 2 diperoleh hasil -9 dan untuk 𝑖 = 3 diperoleh hasil -6.

Maka: 𝜌 = 2 𝑘𝑛(𝑛 − 1) 𝑦𝑖𝑗 − 𝑌 𝑦𝑖𝑗′ − 𝑌 . 𝑁 (𝑁 − 1)𝑆2 𝑛 𝑗<𝑗′ 𝑘 𝑖=1 = _3∙3∙22 −6 − 9 − 6 ∙ 9₈ ∙ ₆₀8 = −21₆₀ 𝑉 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑆2 𝑛 𝑁 − 1 𝑁 1 + (𝑛 − 1)𝜌 = 60/8 3 ∙ 8 9 ∙ 1 + 3 − 1 −21 60 = 2 3

Latihan 3

No Ruta Kepala Rumah Tangga (KRT) Pendidikan tertinggi KRT Pengeluaran perbulan (000 rupiah) SMP ke bawah SMA-Diploma Univer -sitas (1) (2) (3) (4) (5) (7) 1 JUNAIDI √ 1825 2 SHOFYAN FIRDAUS √ 2345 3 RAHMAD √ 1167 4 AHMAD ROFI'IH √ 752 5 ANDI CAHYADI √ 1222 6 AINUR ROSYADI √ 1935 7 SUBAIDI √ 1441 8 MOH MASHUDI √ 3402 9 QUDZI A SPD I √ 1458 10 ABD GANI √ 4046 11 CHOLISH √ 1067

12 MOH FAISOL BASRI √ 2505

Dari populasi di samping, dilakukan pengambilan sampel sebanyak 4 rumah tangga secara sistematik. Hitunglah rata-rata, sampling variance populasi untuk rata-rata pengeluaran, koefisien korelasi intraklasnya , dan RE terhadap SRS jika: a. Populasi tidak diurutkan. b. Populasi diurutkan berdasarkan tingkat pendidikan.

Latihan 4

No Jenis pohon Harga jual hasil panen setahun (000 Rp) 1 Pepaya 198 2 Pepaya 197 3 Pepaya 233 4 Pepaya 206 5 Pepaya 276 6 Durian 822 7 Durian 839 8 Durian 707 9 Durian 826 10 Durian 725 11 Jambu 379 12 Jambu 494 13 Jambu 382 14 Jambu 339 15 Jambu 323 16 Jeruk 486 17 Jeruk 515 18 Jeruk 590 19 Jeruk 521 20 Jeruk 417

• Seorang pemilik kebun buah memiliki 4

jenis pohon buah, yaitu pepaya, durian, jambu, dan jeruk yang masing-masing jenis terdiri dari 4 pohon. Berdasarkan populasi di samping, jika dilakukan penarikan sampel sebanyak 4 pohon, maka:

a. Hitunglah rata-rata dan varians populasi

beserta koefisien korelasi intraklass dari harga jual hasil panen setahun jika penarikan sampel secara sistematik.

b. Jika jenis pohon dianggap sebagai strata,

buatlah tabel annovanya kemudian hitunglah rata-rata dan varians populasinya.

c. Hitunglah rata-rata dan varians

populasinya jika dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR.

d. Bandingkan efisiensi antara poin (a),

Latihan 5

• In a directory of 13 houses on a street the persons are listed as follow:

𝑀 = 𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡, 𝐹 = 𝑓𝑒𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡, 𝑚 = 𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑖𝑙𝑑, 𝑓 = 𝑓𝑒𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑖𝑙𝑑.

• Compare the variances given by a systematic sample of one in five

persons and a 20% simple random sample for estimating: (a) the proportion of males, (b) the proportion of children, (c) the proportion of persons living in professional households (households 1,2,3,12, and 13 are described as professional). For the systematic sample, number down each column, then go to the top of the next column.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M M M M M M M M M M M M M F F F F F F F F F F F F F f f m m f f m m m f f m m f m m f f f m f f f m HOUSEHOLD

JENIS-JENIS POPULASI

•

Populasi dengan susunan acak (random population)

•

Populasi terurut (ordered population)

•

Populasi dengan variasi periodik

•

Populasi alami (natural population)

•

Populasi yang berautokorelasi

Populasi dengan Susunan Acak

•

Jika unit-unit sampling di dalam populasi tersusun secara acak,

unit-unit sampling di dalam sampel juga akan tersusun secara

acak.

•

Oleh karena itu, sampel sistematik bisa diperlakukan seolah-olah

adalah sampel acak.

•

Sampel yang tersusun secara acak ini akan menjadi heterogen

dan akan memiliki 𝜌 yang kecil maka 𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) kurang lebih akan

sama dengan 𝑣(𝑦

_𝑠𝑟𝑠

) .

•

Misal, sampling dari sebuah frame yang disusun secara alfabetik

menurut nama. Jika item yang diukur tidak memiliki hubungan

dengan nama individu, kita bisa mengharapkan systematic

sampling benar-benar equivalent dengan SRS dan memiliki

Populasi Terurut

•

Dalam sebuah populasi terurut, pemilihan sampel sistematik

akan memberikan sampel yang heterogen dan 𝑣(𝑦

_𝑠𝑦

) biasanya

akan lebih kecil daripada 𝑣(𝑦

_𝑠𝑟𝑠

).

•

Contoh: menduga produksi jagung dari populasi petani dengan

luas lahan. Petani diurutkan terlebih dahulu menurut luas lahan,

kemudian dipilih sampel secara sistematik. Sampel yang terpilih

akan heterogen dan menghindari kesempatan memilih sampel

yang mengandung terlalu banyak petani besar/kecil sehingga

lebih mewakili populasi daripada ketika masih tersusun secara

acak.

Perbandingan Systematic Sampling, Stratified Sampling, dan

SRS dalam Populasi Trend Linear

• Ilustrasi populasi dengan trend linear:

𝒚

_𝒊

𝒊

𝒚

_𝒊

= 𝒂 + 𝒃𝒊

𝒂

:systematic sample :stratified sample

Perbandingan Systematic Sampling, Stratified Sampling, dan

SRS dalam Populasi Trend Linear

𝑌 = 1 𝑁 𝑦𝑖 = 𝑁 𝑖=1 1 𝑁 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏(𝑁 + 1)/2 𝑁 𝑖=1 𝑆2 = 1 𝑁 − 1 𝑦𝑖 − 𝑌 2 = 𝑏2 (𝑁 − 1) 𝑖 − 𝑁 + 1 2 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 = 𝑁(𝑁 + 1)𝑏2 12 = 𝑛𝑘(𝑛𝑘 + 1)𝑏2 12 𝑉_𝑠𝑟𝑠 = (𝑁 − 𝑛) 𝑁𝑛 ∙ 𝑆2 = 𝑘 − 1 𝑛𝑘 ∙ 𝑛𝑘 𝑛𝑘 + 1 12 ∙ 𝑏2 = 𝑘 − 1 𝑛𝑘 + 1 12 𝑏2 𝑉_𝑠𝑡𝑟 = 𝑁 − 𝑛 𝑁𝑛 ∙ 𝑆𝑤2 = 𝑘 − 1 𝑛𝑘 ∙ 𝑘 𝑘 + 1 12 ∙ 𝑏2 = (𝑘 − 1) (𝑘 + 1) 12𝑛 𝑏2 𝑉_𝑠𝑦𝑠 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 − 𝑌 2 = 1 𝑘 ∙ 𝑘 𝑘 + 1 𝑘 − 1 12 ∙ 𝑏2 = 𝑘 − 1 𝑘 + 1 12 𝑏2 𝑘 𝑖=1 Sehingga: 𝑉_𝑠𝑡𝑟 ∶ 𝑉_𝑠𝑦𝑠 ∶ 𝑉_𝑠𝑟𝑠 = (𝑘 + 1) 𝑛 : 𝑘 + 1 : 𝑛𝑘 + 1 ≅ 1 𝑛 : 1: 𝑛 = 1: 𝑛: 𝑛2

Populasi dengan Variasi Periodik

•

Jika populasi mengandung trend periodik (misalkan kurva sinus),

keefektifan sampel sistematik tergantung pada nilai interval.

•

Contoh populasi hipotetik:

1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5| 1,2,3,4,5

Jika diambil 3 sampel dan dengan random start 2 dan k=5, maka

sampel sistematiknya: (2,2,2)homogen, 𝜌 besar

•

Contoh praktis:

Penjualan tinggihari Jumat dan Sabtu

Penjualan rendahhari Senin dan Selasa

Sampel-sampel bisa dipilih dengan mengubah posisi unit-unit

sampling setiap waktu.

Natural Population dan Autocorrelated Population

• Systematic sampling secara operasional sangat mudah dan efisien

digunakan dalam populasi alami (natural population), misalnya pada populasi di area hutan untuk mengestimasi produksi kayu, karet, dsb

• Pada beberapa populasi alami, unit-unit yang berdekatan akan

mempunyai korelasi yang kuat daripada unit-unit yang saling berjauhan. Populasi semacam ini disebut autocorrelated population.

• Misalnya, 𝑦_𝑖 dan 𝑦_𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑁) adalah nilai observasi dari dari dua

unit yang berkorelasi positif dan serial correlation coefficient 𝜌_𝑑 adalah fungsi dari jarak antara keduanya: 𝑑 = 𝑦_𝑖 − 𝑦_𝑗.

• Misalkan 𝑦_𝑖 diambil dari infinite population (superpopulation) dengan

rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎2 maka:

𝐸 𝑦_𝑖 = 𝜇 dan 𝐸 𝑦_𝑖 − 𝜇 2 = 𝜎2 𝜌_𝑑 = 𝐸 𝑦𝑖 − 𝜇 𝑦𝑗 − 𝜇

𝜎2

Latihan 6

• Grafik di bawah ini menunjukkan nilai output( 𝑦_𝑖 ) untuk setiap

perusahaan(𝑖). Hitunglah nilai koefisien korelsi intraklaster dan varians jika dari populasi sebanyak N=12 perusahaan dilakukan pengambilan 4 sampel secara sistematik, kemudian bandingkan efisiensinya dengan SRS WOR !

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 8 10 12 14 Output Perusahaan

Populasi dengan Trend Linear

Estimasi Varians Sistematik dari Single Sample

• Pada prinsipnya, varians systematic sampling yang unbiased sulit

didapatkan dari sampel sistematik tunggal. Untuk itu, systematic

sampling dapat diasumsikan ke dalam model tertentu sehingga bisa

dilakukan pendekatan dalam penghitungan estimasi sampling varians.

• Ada beberapa pendekatan untuk menghitung estimasi varians

berdasarkan sampel sistematik tunggal yaitu:

1. Simple Random Sampling

2. Stratified Random Sampling 3. Paired Selection Models

4. Succesive Difference Models

Pendekatan SRS dan Stratified Sampling

• Pendekatan SRS:

Jika populasi tersusun secara acak, maka unit-unit yang terpilih dalam pengambilan sampel sistematik juga akan tersusun acak sehingga dalam kasus ini estimasi variansnya bisa dilakukan dengan pendekatan SRS, yaitu:

𝑣 𝑦 _𝑠𝑦 = (1 − 𝑓) ∙ 𝑠 2 𝑛

• Pendekatan Stratified Random Sampling:

Jika populasi tersusun terurut berdasarkan kategori tertentu (misalkan: wilayah geografis seperti urban-rural, desa, kecamatan, dsb, karakteristik demografi seperti jenis kelamin, kelompok umur, dsb, karakteristik sosial ekonomi seperti kategori pengeluaran, tingkat pendidikan, dsb), maka jumlah sampel sistematik yang terpilih untuk setiap kategori akan proporsional terhadap jumlah populasi pada kategori yang bersangkutan. Untuk kasus seperti ini, varians sampling sistematik bisa didekati dengan rumus varians

proportional stratified sampling, yaitu: 𝑣 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑁_𝑁ℎ 2 1 − 𝑓_ℎ 𝑠_𝑛ℎ2 ℎ 𝐿 ℎ=1

Paired Selection Model (PSM)

• Mengelompokkan N unit populasi ke dalam 𝑛

2 kelompok.

• Masing-masing kelompok terdiri dari 2𝑘 unit.

• Melakukan penarikan sampel 2 unit dari tiap kelompok dengan

prosedur:

a. Hitung interval 𝑘′ = 2𝑘 = 2𝑁

𝑛

b. Ambil dua angka random (𝐴𝑅₁dan 𝐴𝑅₂) yang kurang dari atau sama

dengan 𝑘′ untuk menentukan dua unit yang terpilih sebagai sampel pertama

c. Sampel selanjutnya ditentukan dengan interval 𝑘′

𝐴𝑅₃ = 𝐴𝑅₁ + 2𝑘 𝐴𝑅₄ = 𝐴𝑅₂ + 2𝑘 𝐴𝑅₅ = 𝐴𝑅₃ + 2𝑘 𝐴𝑅₆ = 𝐴𝑅₄ + 2𝑘 𝐴𝑅₇ = 𝐴𝑅₅ + 2𝑘 𝐴𝑅₈ = 𝐴𝑅₆ + 2𝑘

Paired Selection Model (PSM)

Penghitungan varians:

1

2

3

4

5

6

…

n-1

n

a. Jika n genap

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

1 − 𝑓

𝑛

2

𝑦

2𝑖

− 𝑦

2𝑖−1 2 𝑛/2 𝑖=1

b. Jika n ganjil

Pilih satu unit secara acak dan menggunakannya dua kali.

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

1 − 𝑓

𝑛(2𝑚)

𝑦

2𝑖

− 𝑦

2𝑖−1 2 𝑛/2 𝑖=1

Keterangan: 𝑚 =

𝑛+1₂ 𝑦₂ − 𝑦₁ 2 𝑦₄ − 𝑦₃ 2 𝑦₆ − 𝑦₅ 2 𝑦_𝑛 − 𝑦_𝑛−1 2

Succesive Difference Model (SDM)

• Metode ini menggunakan semua succesive difference yaitu sebanyak

(n-1) succesive difference, sehingga penghitungan dengan metode ini variansnya cenderung meningkat.

• Penghitungan varians:

1

2

3

4

5

6

…

n-1

n

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦

=

1 − 𝑓

2𝑛(𝑛 − 1)

𝑦

𝑖+1

− 𝑦

𝑖 2 𝑛−1 𝑖=1 𝑦₂ − 𝑦₁ 2 𝑦₄ − 𝑦₃ 2 𝑦₆ − 𝑦₅ 2 𝑦_𝑛 − 𝑦_𝑛−1 2 𝑦₃ − 𝑦₂ 2 𝑦₅ − 𝑦₄ 2

Interpenetrating (Replicated) Systematic Sampling

• Misalnya, suatu sampel sebanyak 𝑛 akan diambil dari populasi sebanyak 𝑁 secara

sistematik. Proses pengambilan sampel yaitu dengan mengambil subsample sistematik sebanyak 𝑚 gugus sampel dengan independent random starts, masing-masing memuat 𝑛/𝑚 unit untuk menjaga total sampel sebanyak 𝑛. Anggap 𝑛′ = _𝑚𝑛 dan 𝑘′ = 𝑚𝑘 maka komposisi sampel sistematiknya:

Nomor sampel

Nomor Gugus Sampel (Class)

1 2 … i … 𝑘′ 1 𝑦₁ 𝑦₂ … 𝑦_𝑖 … 𝑦_𝑘′ 2 𝑦_𝑘′+1 𝑦_𝑘′+2 … 𝑦_𝑘′+𝑖 … 𝑦_2𝑘′ … … … … 𝑛′ 𝑦 _{𝑛′−1 𝑘′+1} 𝑦 _{𝑛′−1 𝑘′+2} … 𝑦 _{𝑛′−1 𝑘′+𝑖} … 𝑦_{𝑛′𝑘′} 𝑦 _𝑠𝑦 = 1 𝑚 𝑦 𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑣 𝑦 _𝑠𝑦 = 𝑘′ − 𝑚 𝑘′_{𝑚(𝑚 − 1)} 𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑠𝑦 2 𝑚 𝑖=1

Stratified Systematic Sampling

• Populasi terlebih dahulu dikelompokkan menjadi beberapa strata,

kemudian dari masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara sistematik.

• Jika 𝑦 _𝑠𝑦ℎ adalah rata-rata dari sampel sistematik di strata ke-h, estimasi

rata-rata populasi beserta variansnya adalah:

𝑦

_{𝑠𝑡𝑠𝑦}

= 𝑊

_ℎ

𝑦

_𝑠𝑦ℎ 𝐿 ℎ=1

𝑉 𝑦

_{𝑠𝑡𝑠𝑦}

= 𝑊

_ℎ2

𝑣 𝑦

_𝑠𝑦ℎ 𝐿 ℎ=1

TERIMA KASIH

Have A Nice Sampling

PROBABILITY PROPORTIONAL TO

SIZE (PPS SAMPLING)

Oleh: Adhi Kurniawan

Pengertian

• Pada acak sederhana penarikan sampel hanya didasarkan pada nomor urut

unit dalam populasi.

• Penarikan acak sederhana ini menjadi kurang baik bila unit dalam populasi

ukurannya bervariasi. Oleh karena itu digunakan variabel pendukung (auxiliary variable) sebagai dasar pertimbangan di dalam penarikan sampel agar diperoleh estimator yang lebih efisien.

• Variabel pendukung yang digunakan sebagai dasar penarikan sampel

adalah variabel yang memiliki korelasi yang erat dengan variabel yang akan diteliti.

• Variabel pendukung yang dipertimbangkan sebagai dasar penarikan sampel

selanjutnya disebut ukuran (size).

Prosedur penarikan sampel dimana peluang terpilihnya suatu unit sampel sebanding dengan ukuran disebut sebagai sampling berpeluang sebanding dengan ukuran unit atau sampling with probability proportional to size atau disingkat pps sampling

Variabel yang diteliti

Variabel pendukung/bantu



Penduduk sekarang



Penduduk tahun sebelumnya



Jumlah kelahiran sekarang



Jumlah WUS tahun sebelumnya



Total panen



Luas lahan yang ditanami



Total output



Total input



Produksi pabrik



Jumlah pekerja

Beberapa contoh variabel yang diteliti dan variabel

pendukung

Keuntungan

1. Memberikan penduga rata-rata populasi yang unbiased.

2. Mempunyai ketepatan yang lebih tinggi daripada metode-metode yang lain.

3. Memberikan penduga rata-rata dan varians populasi yang sangat sederhana.

Prosedur Pemilihan Sampel

PPS PPS WR PPS WOR PPS Pemilihan dari suatu daftar (list) Pemilihan dari peta (map)

Berdasarkan cara pengambilan Berdasarkan kerangka sampel _{yang digunakan}

Cumulative Method Lahiri Method PPS Systematic _Method Random Group _Method

Cumulative Method (1)

Metode Kumulatif

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 1 Danu 3 3 2 Hananto 1 4 3 Wisnu 11 15 4 Pandhu 6 21 5 Krisna 4 25 6 Yudha 2 27 7 Bima 3 30 Jumlah 𝑿 =30 Langkah 1: Buat kumulatif dari size

Cumulative Method (2)

Metode Kumulatif

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 Range 1 Danu 3 3 1-3 2 Hananto 1 4 4 3 Wisnu 11 15 5-15 4 Pandhu 6 21 16-21 5 Krisna 4 25 22-25 6 Yudha 2 27 26-27 7 Bima 3 30 28-30 Jumlah 𝑋 =30 Langkah 1: Buat kumulatif dari size

Langkah 2: Buat range dari kumulatif untuk tiap unit

Cumulative Method (3)

Metode Kumulatif

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 Range 1 Danu 3 3 1-3 2 Hananto 1 4 4 3 Wisnu 11 15 5-15 4 Pandhu 6 21 16-21 5 Krisna 4 25 22-25 6 Yudha 2 27 26-27 7 Bima 3 30 28-30 Jumlah 𝑿 =30 Langkah 3: Ambil angka random (AR) yang tidak

lebih dari 𝑋. Langkah 4: Lakukan sebanyak n kali Langkah 5: Unit yang range-nya memuat AR adalah unit yang

terpilih sampel Misal: n=2,

AR1=10 AR2=25 Langkah 1: Buat

kumulatif dari size

Langkah 2: Buat range dari kumulatif untuk tiap unit

Latihan 1

• Berikut ini adalah daftar nama desa/kelurahan beserta muatan jumlah

penduduk (dalam 00) di Kecamatan Umbulharjo(040) dan Kotagede(050), Kota Yogyakarta

No Desa/Kelurahan _Penduduk Jumlah

Kode Nama 1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89 10 3471050003 Rejowinangun 114 Lakukan penarikan

sampel sebanyak 4 desa secara PPS WR dengan metode kumulatif

Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1,

independent choice of digits

Lahiri Method

Metode Lahiri

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) 1 Danu 3 2 Hananto 1 3 Wisnu 11 4 Pandhu 6 5 Krisna 4 6 Yudha 2 7 Bima 3 Jumlah 𝑿 =30

Langkah 1: Ambil dua angka random

(AR1 dan AR2) sekaligus dengan syarat: 𝐴𝑅1 ≤ 𝑁 dan 𝐴𝑅2 ≤ 𝑋_{𝑖(𝑚𝑎𝑘𝑠)}

Untuk contoh di samping: 𝐴𝑅1 ≤ 7 dan 𝐴𝑅2 ≤ 11

Langkah 2: Jika 𝐴𝑅1 = 𝑖 dan 𝐴𝑅2 ≤ 𝑋_𝑖 maka unit ke-i terpilih sebagai sampel.

Langkah 3: Ulangi langkah 1 dan langkah 2

sehingga didapatkan sampel sebanyak n. Misal:

AR1=6, AR2=3 tolak, karena AR2> 𝑋₂ AR1=4, AR2=5 unit ke-4 terpilih sampel AR1=4, AR2=6tolak jika PPS WOR,

unit ke-4 terpilih kembali sebagai sampel jika PPS WR

Latihan 2

• Berikut ini adalah daftar nama desa/kelurahan beserta muatan jumlah

penduduk (dalam 00) di Kecamatan Umbulharjo(040) dan Kotagede(050), Kota Yogyakarta

Lakukan penarikan

sampel sebanyak 4 desa secara PPS WR dengan metode Lahiri. Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1, remainder

approach.

No Desa/Kelurahan _Penduduk Jumlah

Kode Nama 1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89 10 3471050003 Rejowinangun 114

PPS Systematic(1)

PPS Systematic

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 1 Danu 3 3 2 Hananto 1 4 3 Wisnu 11 15 4 Pandhu 6 21 5 Krisna 4 25 6 Yudha 2 27 7 Bima 3 30 Jumlah 𝑿 =30 Langkah 1: Buat kumulatif dari size

PPS Systematic(2)

PPS Systematic

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 Range 1 Danu 3 3 1-3 2 Hananto 1 4 4 3 Wisnu 11 15 5-15 4 Pandhu 6 21 16-21 5 Krisna 4 25 22-25 6 Yudha 2 27 26-27 7 Bima 3 30 28-30 Jumlah 𝑿 =30 Langkah 1: Buat kumulatif dari size

Langkah 2: Buat range dari kumulatif untuk tiap unit

PPS Systematic(3)

PPS Systematic

No Nama _KRT Size jumlah ART (𝑿_𝒊) Kumulatif 𝑿_𝒊 Range 1 Danu 3 3 1-3 2 Hananto 1 4 4 3 Wisnu 11 15 5-15 4 Pandhu 6 21 16-21 5 Krisna 4 25 22-25 6 Yudha 2 27 26-27 7 Bima 3 30 28-30 Jumlah 𝑿 =30 Langkah 3:Hitung interval 𝑘 = 𝑋 𝑛

Langkah 4: Ambil angka random pertama (AR1) yang tidak lebih dari 𝑘.

Langkah 5: Unit yang

terpilih sampel adalah yang range-nya memuat:

AR1, AR1+k, AR1+2k,…

Misal: n=3, 𝑘 = 30₃ = 10 AR1=7

AR2=7+10=17 AR3=7+2*10=27 Langkah 1: Buat

kumulatif dari size

Langkah 2: Buat range dari kumulatif untuk tiap unit

Latihan 3

• Berikut ini adalah daftar nama desa/kelurahan beserta muatan jumlah

penduduk (dalam 00) di Kecamatan Umbulharjo(040) dan Kotagede(050), Kota Yogyakarta

Lakukan penarikan

sampel sebanyak 4 desa secara PPS WOR dengan metode PPS Systematic. Gunakan TAR halaman 1 baris 1 kolom 1,

quotient approach.

No Desa/Kelurahan _Penduduk Jumlah

Kode Nama 1 3471040001 Giwangan 83 2 3471040002 Sorosutan 160 3 3471040003 Pandeyan 143 4 3471040004 Warungboto 115 5 3471040005 Tahunan 98 6 3471040006 Mujamuju 114 7 3471040007 Semaki 52 8 3471050001 Prenggan 106 9 3471050002 Purbayan 89 10 3471050003 Rejowinangun 114

Pemilihan dari Suatu Peta (MAP)

•

Prosedur ini digunakan jika kerangka sampel berupa peta (map)

•

Peluang unit-unit wilayah geografis dari sebuah peta untuk

terpilih sebagai sampel sebanding dengan luas (area) dari

unit-unit tersebut  Probability Proportional to Area.

•

Prosedur:

1. Ambil dua angka random sekaligus, yaitu:

AR

₁

: antara 1 sampai panjang peta

AR

₂

: antara 1 sampai lebar peta

2. Sepasang angka random terpilih akan menempatkan suatu titik

pada peta, dan wilayah dimana titik itu jatuh adalah wilayah

yang terpilih sebagai sampel

Contoh: Pemilihan sampel dari suatu peta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8

F

_G

H

E

C

A

D

I

J

Ambil 𝐴𝑅₁ ≤ 9 dan 𝐴𝑅₂ ≤ 8. Misalkan angka

random yang terambil: 𝐴𝑅₁ = 4, 𝐴𝑅₂ = 3, maka wilayah B

Random Group Method

•

Random group method merupakan salah satu cara

pengambilan sampel PPS secara wor yang disarankan oleh

Rao, Hartley, dan Cochran (RHC).

•

Populasi sebanyak N dibagi menjadi n kelompok, kemudian

dari masing-masing kelompok diambil satu unit sebagai

sampel.

•

Dengan demikian, akan terdapat jumlah sampel sebanyak n

Contoh: Random Group Methods

•

Berikut adalah daftar 10 kota dilengkapi dengan jumlah

penduduk (dalam ribu jiwa). Akan dipiliih 2 kota sebagai sampel

secara PPS size jumlah penduduk dengan random group method

No Kota Penduduk 1 A 127 2 B 130 3 C 139 4 D 141 5 E 149 6 F 150 7 G 155 8 H 159 9 I 169 10 J 189 No Kota Penduduk 2 B 130 1 A 127 5 E 149 8 H 159 3 C 139 4 D 141 6 F 150 7 G 155 9 I 169 10 J 189 Randomisasi Group 1 Group 2

Contoh: Random Group Methods

No Kota 𝒙 Kumulatif 4 D 141 141 6 F 150 291 7 G 155 446 9 I 169 615 10 J 189 804 No Kota 𝒙 Kumulatif 2 B 130 130 1 A 127 257 5 E 149 406 8 H 159 565 3 C 139 704 Group 1 Group 2

Ambil 1 Angka Random yang tidak lebih dari 704.

Misal; angka random yang

terambil 526, maka kota H terpilih sampel

Ambil 1 Angka Random yang tidak lebih dari 804.

Misal; angka random yang

terambil 259, maka kota F terpilih sampel

Prosedur Estimasi

Estimator untuk PPS Sampling Estimator untuk PPS WR Hansen Hurwitz Estimator (HH) Horvitz Thompson Estimator (HT) Estimator untuk PPS WOR Horvitz Thomson Estimator (HT) Murthy’s Unordered Estimator Des Raj’s Ordered Estimator Rao, Hartley, and Cochran Estimator (RHC) untuk random group method

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

•

Jika pengambilan sampel dilakukan dengan PPS WR, maka

peluang terpilihnya unit ke-i adalah:

𝑝

_𝑖

=

𝑋

𝑖

𝑋

_𝑖 𝑁 𝑖=1

=

𝑋

𝑖

𝑋

Keterangan:

𝑋

_𝑖

: nilai dari variabel pendukung (ukuran/size)

•

Fraksi sampling/inclusion probability merupakan perkalian

antara 𝑝

_𝑖

dengan jumlah sampel (𝑛)

𝑓 = 𝜋

_𝑖

= 𝑝

_𝑖

∙ 𝑛 =

𝑋

𝑖

𝑋

𝑛

•

Sampling weight (penimbang sampling) merupakan kebalikan

(invers) dari fraksi sampling:

𝑤 =

1

𝑓

=

𝑋

𝑛𝑋

_𝑖

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

•

Unbiased estimator untuk total karakteristik Y adalah:

𝑌

_𝑝𝑝𝑠

= 𝑤 ∙ 𝑦

_𝑖

=

𝑋

𝑛𝑋

_𝑖

∙ 𝑦

𝑖

=

1

𝑛

𝑦

_𝑖

𝑝

_𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1

Bukti:

Misal 𝑡

_𝑖

menunjukkan berapa kali unit ke-i akan terpilih dari

pengambilan sampel sebanyak n (i=1,2,…,n)

Maka, joint distribution dari 𝑡

_𝑖

mengikuti sebaran multinomial:

𝑛!

𝑡

₁

! 𝑡

₂

! … 𝑡

_𝑁

!

𝑝

1

𝑡₁

_𝑝

2𝑡2

… 𝑝

𝑁𝑡𝑁

Untuk sebaran multinomial, properties sebaran dari 𝑡

_𝑖

diketahui,

yaitu:

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

•

Sehingga rumus estimasi total tersebut bisa dijabarkan:

𝑌

_𝑝𝑝𝑠

=

1

𝑛

𝑦

_𝑖

𝑝

_𝑖 𝑛 𝑖=1

=

1

𝑛

𝑡

1

𝑦

₁

𝑝

₁

+ 𝑡

2

𝑦

₂

𝑝

₂

+ ⋯ + 𝑡

𝑁

𝑦

_𝑁

𝑝

_𝑁

=

1

𝑛

𝑡

𝑖

𝑦

_𝑖

𝑝

_𝑖 𝑁 𝑖=1

𝐸 𝑌

_𝑝𝑝𝑠

=

1

𝑛

𝑛𝑝

𝑖

𝑦

_𝑖

𝑝

_𝑖

= 𝑦

𝑖

= 𝑌

𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1

(𝑢𝑛𝑏𝑖𝑎𝑠𝑒𝑑)

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

• Varians populasi untuk total karakteristik:

𝑉 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1 𝑛 𝑝𝑖 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 Bukti: 𝑉 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1 𝑛2 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 2 𝑉 𝑡_𝑖 + 2 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 𝑦_𝑗 𝑝_𝑗 𝐶𝑜𝑣(𝑡𝑖𝑡𝑗) 𝑁 𝑗>𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 2 𝑝_𝑖 1 − 𝑝_𝑖 − 2 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 𝑦_𝑗 𝑝_𝑗 𝑝𝑖𝑝𝑗 𝑁 𝑗>𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑦_𝑖2 𝑝_𝑖 − 𝑌2 𝑁 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑝𝑖 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 (𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖)

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

• Unbiased estimator varians untuk total karakteristik:

𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1 𝑛(𝑛 − 1) 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 Bukti: 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1 𝑛(𝑛 − 1) 𝑦_𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 𝑛(𝑛 − 1)𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 − 𝑛 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

• Unbiased estimator varians untuk total karakteristik:

Bukti (lanjutan): 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 − 𝑛 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑡_𝑖 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 − 𝑛 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝐸 𝑡_𝑖 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 − 𝑛 ∙ 𝑉 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝑛 𝑝_𝑖 𝑦𝑖 𝑝_𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1 − 𝑛 ∙ 𝑉 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 𝑛 𝑛 − 1 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝑛(𝑛 − 1) ∙ 𝑉 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 𝐸 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 𝑉 𝑌 (𝑢𝑛𝑏𝑖𝑎𝑠𝑒𝑑)

Latihan 4

• Dari data hipotetik di bawah ini, buktikan secara empirik bahwa

penduga total dan penduga varians dari penarikan sampel PPS WR adalah unbiased ! (ambil n=2).

Unit 𝑿_𝒊 𝒀_𝒊

A 6 3

B 12 4

Estimator untuk PPS WR

(Hansen Hurwitz Estimator)

• Estimasi total:

Estimasi total berdasarkan unit ke-i: 𝑌 _𝑖 = 𝑦𝑖

𝑝_𝑖 Estimasi total berdasarkan 𝑛 sampel:

𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1

𝑛 𝑌 𝑖 𝑛

𝑖=1 Estimasi varians sampling:

𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 = 1 𝑛(𝑛 − 1) 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 • Estimasi rata-rata: 𝑦 _𝑝𝑝𝑠 = 𝑌 𝑝𝑝𝑠 𝑁 Estimasi varians sampling :

𝑣 𝑦 _𝑝𝑝𝑠 = 1

Relative Eficiency PPS WR terhadap SRS WR

• Varians SRS WR: 𝑉 𝑌 _𝑠𝑟𝑠 = 𝑁2 𝑛 𝑆2 = 𝑁 𝑛 𝑦𝑖2 − 𝑁𝑌 2 𝑁 𝑖=1

Unbiased estimator untuk: 𝑦_𝑖2 adalah _𝑛1 𝑦𝑖2 𝑝_𝑖 𝑛

𝑖=1 𝑁

𝑖=1 dan

Unbiased estimator untuk: 𝑁𝑌 2 adalah 𝑌 _𝑝𝑝𝑠2 − 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠

Dengan demikian, unbiased estimator dari varians SRS WR berdasarkan sampel PPS WR dapat dinyatakan dengan rumus:

𝑣_𝑝𝑝𝑠 𝑌 _𝑠𝑟𝑠 = 𝑁 𝑛2 𝑦_𝑖2 𝑝_𝑖 − 1 𝑛 𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 − 𝑣 𝑌 _𝑝𝑝𝑠 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 𝑁 𝑦_𝑖2 𝑝_𝑖 − 𝑛𝑌 𝑝𝑝𝑠 2 𝑛 𝑖=1 + 1 𝑛 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

• Relative Eficiency (RE) PPS WR terhadap SRS WR:

𝑅𝐸 = 𝑣 𝑌 𝑝𝑝𝑠

Latihan 5

• Untuk meneliti total produksi jagung di suatu desa, dilakukan pengambilan sampel

petak ladang secara PPS WR dengan size luas tanam. Jumlah petak ladang yang

ditanami jagung sebanyak 160 petak dengan rata-rata luas tanam per petak adalah 250 𝑚2. Jumlah sampel yang diambil adalah 12 petak dengan data sebagai berikut:

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Luas tanam 𝑚2 214 315 343 165 195 270 406 227 270 255 380 335 Produksi (kg) 321 378 343 264 351 216 609 454 459 408 912 737 a. Perkirakan total produksi jagung di desa tsb dan rata-rata produksi jagung per

petak beserta standar error, RSE, Relative Efficiency terhadap SRS dan confidence

interval-nya. Beri interpretasi.

b. Perkirakan rata-rata produktivitas ladang per 𝒎𝟐 di desa tsb beserta standar

error, RSE, dan confidence interval-nya. Beri interpretasi.

c. Jika petak ladang yang produktivitasnya kurang dari rata-rata produktivitas ladang per 𝑚2 di desa tsb dikategorikan sebagai lahan kurang produktif, perkirakan

jumlah petak dan luas tanam yang kurang produktif. Lengkapi dengan nilai