ESTIMASI REGRESI PADA STRATIFIED SAMPLING

Oleh: Adhi Kurniawan

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

ESTIMASI REGRESI PADA

STRATIFIED SAMPLING

Estimasi

regresi

pada

stratified

sampling

Separate

Regression

Estimator

Tepat digunakan jika true regression coefficient 𝜷_𝒉 nilainya bervariasi antarstrata.

Koefisien regresi diestimasi pada masing-masing strata

Tepat digunakan jika jumlah sampel tiap strata besar

Biasnya cenderung besar, varians cenderung kecil

Informasi nilai 𝑿_𝒉 harus diketahui

Combined

Regression

Estimator

Tepat digunakan jika true regression coefficient 𝜷_𝒉 diasumsikan sama untuk semua strata.

Estimasi koefisien regresi untuk semua strata sama --> menggunakan combined regression coefficient

Variansnya cenderung besar, biasnya cenderung kecil

SEPARATE REGRESSION ESTIMATOR

𝑥_1𝑖 𝑦_1𝑖 𝑥₁₁ 𝑦₁₁ 𝑥₁₂ 𝑦₁₂

… …

𝑥_1𝑛1 𝑦_1𝑛1

Strata 1 Strata 2 Strata 3

𝑥_2𝑖 𝑦_2𝑖 𝑥₂₁ 𝑦₂₁ 𝑥₂₂ 𝑦₂₂

… …

𝑥_2𝑛2 𝑦_2𝑛2

𝑥_3𝑖 𝑦_3𝑖 𝑥₃₁ 𝑦₃₁ 𝑥₃₂ 𝑦₃₂

… …

𝑥_3𝑛3 𝑦_3𝑛3

𝒃_𝟏,𝑿 _𝟏

𝑥 ₁, 𝑦 ₁ 𝒃𝑥 𝟐₂,, 𝑦 𝑿 ₂𝟐 𝒃𝑥 𝟑₃,, 𝑦 𝑿 ₃𝟑

𝑦 _𝑙𝑟1 = 𝑦 ₁ + 𝑏₁(𝑋 ₁ − 𝑥 ₁)

𝑦 _𝑙𝑟2 = 𝑦 ₂ + 𝑏₂(𝑋 ₂ − 𝑥 ₂)

𝑦 _𝑙𝑟3 = 𝑦 ₃ + 𝑏₃(𝑋 ₃ − 𝑥 ₃)

𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊₁𝑦 _𝑙𝑟1+𝑊₂𝑦 _𝑙𝑟2+𝑊₃𝑦 _𝑙𝑟3

Ilustrasi Rumus umum (SRS)

Koefisien regresi 𝑏_ℎ = 𝑠𝑦𝑥ℎ

𝑠_𝑥2_ℎ = 𝜌ℎ 𝑠_𝑦ℎ 𝑠_𝑥ℎ

Estimasi rata-rata strata 𝑦 _𝑙𝑟ℎ = 𝑦 _ℎ + 𝑏_ℎ 𝑋 _ℎ − 𝑥 _ℎ 𝑣 𝑦 _𝑙𝑟ℎ = 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝑠𝑦ℎ

2 _{− 2𝑏}

ℎ𝑠𝑦𝑥_ℎ + 𝑏ℎ2𝑠𝑥2_ℎ = 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝑠𝑦ℎ

2 _{1 − 𝜌} ℎ2 Estimasi rata-rata populasi

𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ𝑦 _𝑙𝑟ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ2 𝑣 𝑦 _𝑙𝑟ℎ 𝐿

ℎ=1

Estimasi total populasi 𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑁𝑦 _𝑙𝑟𝑠

SEPARATE REGRESSION ESTIMATOR

› Contoh:

Suatu populasi N=10 pekerja di suatu industri batik dikelompokkan menjadi 2 strata

menurut jenis kelamin lalu dilakukan pengambilan sampel secara SRS WOR

1. laki-laki: 𝑁₁ = 6 --> 𝑛₁ = 4

2. Perempuan: 𝑁₂ = 4 --> 𝑛₂ = 3

Diketahui rata-rata masa kerja pegawai laki-laki adalah 3,7 tahun dan perempuan 5,8 tahun. Data yang diperoleh:

Laki-laki Perempuan

No Masa kerja

Batik yang dihasilkan per

bulan

No Masa kerja

Batik yang dihasilkan per

bulan

1 3 3 1 6 9

2 5 6 2 5 6

3 4 4 3 7 9

SEPARATE REGRESSION ESTIMATOR

Strata 𝑵_𝒉 𝒏_{𝒉 𝑾}

𝒉 = 𝑵𝒉 _𝑵 𝒇𝒉 = 𝒏𝒉 𝑵_𝒉 𝑿 𝒉 𝒙 𝒉 𝒔𝒙𝒉 𝒚 𝒉 𝒔𝒚𝒉 𝝆𝒉 𝒃𝒉 1

2

Strata 𝒚 _𝒍𝒓𝒉 = 𝒚 _𝒉 + 𝒃_𝒉 𝑿 _𝒉 − 𝒙 _𝒉

𝒗 𝒚 _𝒍𝒓𝒉 = 𝟏 − 𝒇_𝒏 𝒉

𝒉 𝒔𝒚𝒉

𝟐 _{𝟏 − 𝝆} 𝒉

𝟐 𝑾𝒉𝒚 𝒍𝒓𝒉 𝑾_𝒉𝟐𝒗 𝒚 𝒍𝒓𝒉

1

2

Jumlah

Estimasi rata-rata batik yang diproduksi satu orang pekerja sebulan:

𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ𝑦 _𝑙𝑟ℎ = 𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟ℎ = 𝐿

ℎ=1 𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 =

𝑟𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 =

Estimasi total produksi batik perusahaan sebulan:

𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑁𝑦 _𝑙𝑟𝑠 =

𝑣 𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑁2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 =

SEPARATE REGRESSION ESTIMATOR

Strata 𝑵_𝒉 𝒏_{𝒉 𝑾}

𝒉 = 𝑵𝒉 _𝑵 𝒇𝒉 = 𝒏𝒉 𝑵_𝒉 𝑿 𝒉 𝒙 𝒉 𝒔𝒙𝒉 𝒚 𝒉 𝒔𝒚𝒉 𝝆𝒉 𝒃𝒉

1 6 4 0,6 4/6 3,7 3,5 1,29 4 1,41 0,91 1

2 4 3 0,4 3/4 5,8 6 1 8 1,73 0,86 1,5

Strata 𝒚 _𝒍𝒓𝒉 = 𝒚 _𝒉 + 𝒃_𝒉 𝑿 _𝒉 − 𝒙 _𝒉

𝒗 𝒚 _𝒍𝒓𝒉 = 𝟏 − 𝒇_𝒏 𝒉

𝒉 𝒔𝒚𝒉

𝟐 _{𝟏 − 𝝆} 𝒉

𝟐 𝑾𝒉𝒚 𝒍𝒓𝒉 𝑾_𝒉𝟐𝒗 𝒚 𝒍𝒓𝒉

1 4,2 0,0278 2,52 0,01

2 7,7 0,0625 3,08 0,01

Jumlah 5,6 0,02

Estimasi rata-rata batik yang diproduksi satu orang pekerja sebulan:

𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ𝑦 _ℎ = 2,52 + 3,08 = 5,6 𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑊_ℎ2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟ℎ = 0,01 + 0,01 = 0,02 𝐿

ℎ=1

𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 0,1414

𝑟𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 0,1414_5,6 × 100% = 2,52%

Estimasi total produksi batik perusahaan sebulan:

𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑁𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 10 × 5,6 = 56 𝑣 𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 𝑁2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑠

= 102 × 0,02 = 2 𝑠𝑒 𝑌 _𝑙𝑟𝑠 = 1,414

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

𝑥_1𝑖 𝑦_1𝑖 𝑥₁₁ 𝑦₁₁ 𝑥₁₂ 𝑦₁₂

… …

𝑥_1𝑛1 𝑦_1𝑛1

Strata 1 Strata 2 Strata 3

𝑥_2𝑖 𝑦_2𝑖 𝑥₂₁ 𝑦₂₁ 𝑥₂₂ 𝑦₂₂

… …

𝑥_2𝑛2 𝑦_2𝑛2

𝑥_3𝑖 𝑦_3𝑖 𝑥₃₁ 𝑦₃₁ 𝑥₃₂ 𝑦₃₂

… …

𝑥_3𝑛3 𝑦_3𝑛3

𝑥 ₁, 𝑦 ₁ 𝑥 ₂, 𝑦 ₂ 𝑥 ₃, 𝑦 ₃

𝑦 _𝑠𝑡 , 𝑣 𝑦 _𝑠𝑡 𝑥 _𝑠𝑡 , 𝑣 𝑥 _𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑣(𝑦 _𝑠𝑡, 𝑥 _𝑠𝑡) 𝒃_𝒄 = 𝑐𝑜𝑣(𝑦 _{𝑣 𝑥} 𝑠𝑡, 𝑥 𝑠𝑡) 𝑠𝑡 𝑦 𝑙𝑟𝑐 = 𝑦 𝑠𝑡 +𝑏_𝑐 𝑿 − 𝑥 _𝑠𝑡 Ilustrasi

Estimasi rata-rata untuk stratified sampling

𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑦 _ℎ 𝐿 ℎ=1 , 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑥 _ℎ 𝐿 ℎ=1

Sampling variance dan sampling covariance:

𝑣 𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑦ℎ2

𝑣 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑥ℎ2

𝑐𝑜𝑣 𝑦 _𝑠𝑡, 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 𝐿

ℎ=1

1 − 𝑓_ℎ

𝑛_ℎ 𝑠𝑦ℎ𝑥ℎ Koefisien regresi gabungan

𝑏_𝑐 = 𝑐𝑜𝑣 𝑦 _{𝑣 𝑥} 𝑠𝑡, 𝑥 𝑠𝑡 𝑠𝑡

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

𝑥_1𝑖 𝑦_1𝑖 𝑥₁₁ 𝑦₁₁ 𝑥₁₂ 𝑦₁₂

… …

𝑥_1𝑛1 𝑦_1𝑛1

Strata 1 Strata 2 Strata 3

𝑥_2𝑖 𝑦_2𝑖 𝑥₂₁ 𝑦₂₁ 𝑥₂₂ 𝑦₂₂

… …

𝑥_2𝑛2 𝑦_2𝑛2

𝑥_3𝑖 𝑦_3𝑖 𝑥₃₁ 𝑦₃₁ 𝑥₃₂ 𝑦₃₂

… …

𝑥_3𝑛3 𝑦_3𝑛3

𝑥 ₁, 𝑦 ₁ 𝑥 ₂, 𝑦 ₂ 𝑥 ₃, 𝑦 ₃

𝑦 _𝑠𝑡 , 𝑣 𝑦 _𝑠𝑡 𝑥 _𝑠𝑡 , 𝑣 𝑥 _𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑣(𝑦 _𝑠𝑡, 𝑥 _𝑠𝑡) 𝒃_𝒄 = 𝑐𝑜𝑣(𝑦 _{𝑣 𝑥} 𝑠𝑡, 𝑥 𝑠𝑡) 𝑠𝑡 𝑦 𝑙𝑟𝑐 = 𝑦 𝑠𝑡 +𝑏_𝑐 𝑿 − 𝑥 _𝑠𝑡 Ilustrasi

Estimasi rata-rata karakteristik: 𝑦 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑦 _𝑠𝑡 + 𝑏_𝑐 𝑋 − 𝑥 _𝑠𝑡

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑊ℎ2(1 − 𝑓_𝑛 ℎ)

ℎ 𝑠𝑦ℎ

2 _{− 2𝑏}

𝑐𝑠𝑦ℎ𝑥_ℎ + 𝑏𝑐2𝑠𝑥2_ℎ 𝐿

ℎ=1

Estimasi total karakteristik: 𝑌 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑁𝑦 _𝑙𝑟𝑐

Unbiased sampling variance: 𝑣 𝑌 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑁2 𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑐

Keterangan: 𝑠_{𝑦ℎ𝑥ℎ} = 𝜌_ℎ𝑠_𝑦ℎ𝑠_𝑥ℎ

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

› Contoh:

Suatu populasi N=10 pekerja di suatu industri batik dikelompokkan menjadi 2 strata

menurut jenis kelamin lalu dilakukan pengambilan sampel secara SRS WOR

1. laki-laki: 𝑁₁ = 6 --> 𝑛₁ = 4

2. Perempuan: 𝑁₂ = 4 --> 𝑛₂ = 3

Diketahui rata-rata masa kerja pegawai laki-laki adalah 3,7 tahun dan perempuan 5,8 tahun. Data yang diperoleh:

Laki-laki Perempuan

No Masa kerja

Batik yang dihasilkan per

bulan

No Masa kerja

Batik yang dihasilkan per

bulan

1 3 3 1 6 9

2 5 6 2 5 6

3 4 4 3 7 9

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

Strata 𝑵_𝒉 𝒏_{𝒉 𝑾}

𝒉 = 𝑵𝒉 _𝑵 𝒇𝒉 = 𝒏𝒉 𝑵_𝒉 𝑿 𝒉 𝒙 𝒉 𝒚 𝒉 𝑾𝒉𝒙 𝒉 𝑾𝒉𝒚 𝒉

1

2

Jumlah

Strata 𝒔_𝒙𝒉 𝒔_𝒚𝒉 𝝆_𝒉 𝒔_{𝒚𝒉𝒙𝒉}

𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝒔𝒙𝒉

𝟐 _𝑊

ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ ℎ 𝒔𝒚𝒉

𝟐 _𝑊

ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝒔𝒚𝒉𝒙𝒉 1 2 Jumlah 𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑦 _ℎ = 𝐿 ℎ=1 , 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑥 _ℎ 𝐿 ℎ=1 =

𝑣 𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑦ℎ2 = ; 𝑣 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑥ℎ2 =

𝑐𝑜𝑣 𝑦 _𝑠𝑡, 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 𝐿 ℎ=1

1 − 𝑓_ℎ

𝑛_ℎ 𝑠𝑦𝑥ℎ = ; 𝑏𝑐= 𝑐𝑜𝑣 𝑦𝑠𝑡

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

Strata 𝑵_𝒉 𝒏_{𝒉 𝑾}

𝒉 = 𝑵𝒉 _𝑵 𝒇𝒉 = 𝒏𝒉 𝑵_𝒉 𝑿 𝒉 𝒙 𝒉 𝒚 𝒉 𝑾𝒉𝒙 𝒉 𝑾𝒉𝒚 𝒉

1 6 4 0,6 4/6 3,7 3,5 4 2,1 2,4

2 4 3 0,4 3/4 5,8 6 8 2,4 3,2

Jumlah 4,5 5,6

Strata 𝒔_𝒙𝒉 𝒔_𝒚𝒉 𝝆_𝒉 𝒔_{𝒚𝒉𝒙𝒉}

𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝒔𝒙𝒉

𝟐 _𝑊

ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ ℎ 𝒔𝒚𝒉

𝟐 _𝑊

ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝒔𝒚𝒉𝒙𝒉

1 1,29 1,41 0,91 1,67 0,0500 0,06 0,05

2 1 1,73 0,86 1,50 0,0133 0,04 0,02

Jumlah 0,0633 0,10 0,07

𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑦 _ℎ = 5,6

𝐿 ℎ=1 , 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ𝑥 _ℎ 𝐿 ℎ=1 = 4,5

𝑣 𝑦 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑦ℎ2 = 0,1 ; 𝑣 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 1 − 𝑓_𝑛 ℎ

ℎ 𝐿

ℎ=1

𝑠_𝑥ℎ2 = 0,0633

𝑐𝑜𝑣 𝑦 _𝑠𝑡, 𝑥 _𝑠𝑡 = 𝑊_ℎ2 𝐿 ℎ=1

1 − 𝑓_ℎ

𝑛_ℎ 𝑠𝑦𝑥ℎ = 0,07 ; 𝑏𝑐= 𝑐𝑜𝑣 𝑦𝑠𝑡

, 𝑥 _𝑠𝑡

COMBINED REGRESSION ESTIMATOR

Rata-rata jam kerja populasi

𝑋 = 𝑊ℎ𝑋 ℎ 𝐿

ℎ=1

= 0,6 × 3,7 + 0,4 × 5,8 = 4,54

Estimasi rata-rata produksi batik untuk tiap pekerja selama sebulan: 𝑦 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑦 _𝑠𝑡 + 𝑏_𝑐 𝑋 − 𝑥 _𝑠𝑡 = 5,6 + 1,106 4,54 − 4,5 = 5,64

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑊ℎ2(1 − 𝑓_𝑛 ℎ)

ℎ 𝑠𝑦ℎ

2 _{− 2𝑏}

𝑐𝑠𝑦ℎ𝑥_ℎ + 𝑏𝑐2𝑠𝑥2_ℎ 𝐿

ℎ=1

= 0,0226

𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 0,0226 = 0,1503

𝑟𝑠𝑒 𝑦 _𝑙𝑟𝑠 = 0,1503_{5,64 × 100% = 2,66%}

Estimasi total produksi batik perusahaan selama sebulan: 𝑌 𝑙𝑟𝑐 = 𝑁𝑦 𝑙𝑟𝑐 = 10 × 5,64 = 56,4

𝑣 𝑌 _𝑙𝑟𝑐 = 𝑁2 𝑣 𝑦 _𝑙𝑟𝑐 = 100 × 0,0226 = 2,26 𝑠𝑒 𝑌 _𝑙𝑟𝑐 = 2,26 = 1,503

LATIHAN 1

Suatu survei stratified random sampling dilakukan di suatu desa untuk mengetahui pengeluaran untuk bidang pendidikan di desa tersebut. RW dianggap sebagai strata dan setiap RW diambil sampel sebanyak 8 rumah tangga. Data yang diperoleh:

Strata

Populasi Sampel

Ruta Penduduk Variabel Ruta 1

Ruta 2

Ruta 3

Ruta 4

Ruta 5

Ruta 6

Ruta 7

Ruta 8

RW 1 62 210

Pengeluaran

(000 rupiah) 1000 1250 1900 1325 1174 1100 1450 1849

ART usia sekolah _{2 2 3 2 1 3 4 2}

RW 2 90 288

Pengeluaran

(000 rupiah) 2250 1546 2094 2400 2350 1975 2000 2125

LATIHAN 1

Jika diketahui proporsi penduduk usia sekolah di desa tersebut sebesar 30%, maka:

a. Jika penduduk usia sekolah ingin digunakan sebagai auxiliarry variable, metode estimasi regresi manakah yang anda digunakan, separate atau combined ?. Berikan alasan !

b. Perkirakan pengeluaran rata-rata untuk bidang pendidikan per rumah tangga di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI-nya dengan estimasi regresi yang anda sebutkan pada point (a). Interpretasikan hasil yang diperoleh !

c. Hitung relative efficiency metode estimasi regresi tersebut terhadap penduga SRS !. Kesimpulan apa yang bisa diperoleh ?

d. Jika rumah tangga yang rata pengeluaran pendidikannya lebih rendah dari rata-rata pengeluaran pendidikan pada point (b) akan mendapatkan bantuan beasiswa sebanyak Rp. 500.000,00 untuk tiap rumah tangga, berapa dana yang harus disiapkan oleh pemerintah ?. Gunakan rumus estimasi pada stratified sampling.

Catatan:

Untuk point (c) Ingat MPC 1:

𝑣(𝑦 𝑠𝑡)𝑠𝑟𝑠 = 1_{𝑛 − 𝑁 𝑊}1 ℎ ∙ 𝑠𝑦ℎ2 + 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡 2 𝑛_ℎ

ℎ=1 𝑛_ℎ

LATIHAN 2

Untuk mengetahui dampak krisis Eropa 2012 terhadap industri tekstil,

diadakan Survei Deteksi Dini Dampak Krisis terhadap Industri Tekstil dan

Pengolahan Tekstil (TPT) di salah satu provinsi di Indonesia. Populasi

industri TPT di provinsi tersebut dikelompokkan menjadi 2 strata:

›

Strata 1: Industri TPT yang berorientasi pasar ekspor

›

Strata 2: Industri TPT yang berorientasi pasar domestik.

LATIHAN 2

Data yang diperoleh sebagai berikut:

a. Dengan menggunakan metode separate regression estimator, perkirakan nilai

rata-rata dan total output tahun 2012 beserta standar error, RSE dan 95% Confidence Interval-nya.

b. Dengan menggunakan metode combined regression estimator, perkirakan nilai rata-rata dan total output tahun 2012 beserta standar error, RSE dan 95% Confidence Interval-nya.

c. Hitung relative efficiency metode separate regression estimator terhadap combined regression estimator !

Strata

Populasi Sampel

Jumlah Industri Nilai Output 2011 Tahun

Nilai Output (juta Rp)

Sampel 1 Sampel 2 Sampel 3 Sampel 4 Sampel 5 Sampel 6 Sampel 7 Sampel 8 Sampel 9

1 4 352 2011 96 64 120 72 2012 84 72 114 60

2 20 348 2011 16 24 8 12 4 32 28 12 26

BIVARIATE REGRESSION ESTIMATOR

›

Bivariate Regression Estimator

adalah penduga regresi yang

memanfaatkan dua variabel pendukung untuk memaksimalkan

ketelitian dari estimasi nilai karakteristik yang diteliti.

›

Misalkan

𝑦

adalah estimasi rata-rata dari variabel

𝑦

yang diteliti,

𝑥

_𝑘

adalah penduga yang tidak bias dari rata-rata populasi

𝑋

_𝑘

, dan

𝑏

_𝑘

BIVARIATE REGRESSION ESTIMATOR

›

Formulasi untuk estimasi adalah

𝑦

𝐵𝑅

= 𝑤

1

𝑦

𝑙𝑟1

+ 𝑤

2

𝑦

𝑙𝑟2

= 𝑦 + 𝑤

₁

𝑏

₁

𝑋

₁

− 𝑥

₁

+ 𝑤

₂

𝑏

₂

𝑋

₂

− 𝑥

₂

Unbiased sampling varians:

𝑣 𝑦 _𝐵𝑅 = 𝑤₁2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟1 + 𝑤₂2𝑣 𝑦 _𝑙𝑟2 + 2𝑤₁𝑤₂𝑐𝑜𝑣 𝑦 _𝑙𝑟1, 𝑦 _𝑙𝑟2

= 𝑣 𝑦 + 𝑤₁2𝑏₁2𝑣 𝑥 ₁ + 𝑤₂2𝑏₂2𝑣 𝑥 ₂ − 2𝑤₁𝑏₁𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 ₁ − 2𝑤₂𝑏₂𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 ₂

BIVARIATE REGRESSION ESTIMATOR

› Dengan substitusi 𝑤₂ = 1 − 𝑤₁ dalam rumus varians di atas, kemudian melakukan

diferensiasi terhadap 𝑤₁ dan mempersamakan hasilnya dengan nol, didapatkan

penimbang yang akan meminimumkan varians, yaitu:

𝑤₁ = _{𝑣 𝑦} 𝑣 𝑦 𝑙𝑟2 − 𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑙𝑟1, 𝑦 𝑙𝑟2

𝑙𝑟1 + 𝑣 𝑦 𝑙𝑟2 − 2𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑙𝑟1, 𝑦 𝑙𝑟2

𝑤₂ = _{𝑣 𝑦} 𝑣 𝑦 𝑙𝑟1 − 𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑙𝑟1, 𝑦 𝑙𝑟2

𝑙𝑟1 + 𝑣 𝑦 𝑙𝑟2 − 2𝑐𝑜𝑣 𝑦 𝑙𝑟1, 𝑦 𝑙𝑟2

› Keterangan:

𝑣 𝑦 _𝑙𝑟1 = 𝑣 𝑦 − 2𝑏₁𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 ₁ + 𝑏₁2𝑣 𝑥 ₁ 𝑣 𝑦 _𝑙𝑟2 = 𝑣 𝑦 − 2𝑏₂𝑐𝑜𝑣 𝑦 , 𝑥 ₂ + 𝑏₂2𝑣 𝑥 ₂

BIVARIATE REGRESSION ESTIMATOR

Berikut ini adalah data yang diperoleh dari penarikan sampel industri kerajinan rumah tangga di suatu

kecamatan. Jika sampel di atas diambil secara SRS WOR dari populasi N=64 industri dan diketahui jumlah

tenaga kerja industri kerajinan rumah tangga di kecamatan tersebut sebanyak 264 orang, serta jumlah input

industri kerajinan rumah tangga sebanyak 1200, maka:

a. Perkirakan rata-rata output dengan metode regression estimator

berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja, beserta rse-nya !

b. Perkirakan rata-rata output dengan metode regression estimator

berdasarkan variabel pendukung jumlah input, beserta rse-nya !

c. Perkirakan rata-rata output dengan metode bivariate regression

estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja dan

jumlah input, beserta rse-nya !

d. Bandingkan efisiensi dari ketiga metode di atas. No Tenaga

kerja Input Output

1 2 12 14

2 3 14 14

3 5 15 24

4 4 15 16

5 2 10 10

6 3 12 15

7 4 10 11

TERIMA KASIH