Modul Logaritma Matematika

TIRSA

TIRSANINIANINIALINA,LINA,S.K S.K OMOM.,.,M.CM.CSS

MATERI

MATERI

PERKULIAHAN

PERKULIAHAN

:

:

LOGARITMA

LOGARITMA

MATEMATIKA

MATEMATIKA

NAMA : NAMA : N N I I M M :: KELAS : KELAS : P E M I L I K : P E M I L I K :

ii ii

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas hikmat dan Puji syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas hikmat dan limpahan berkah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar Logaritma limpahan berkah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar Logaritma Matematika ini. Dengan segala kemampuan dan keterbatasan penulis menyusun bahan ajar Matematika ini. Dengan segala kemampuan dan keterbatasan penulis menyusun bahan ajar ini untuk membantu para mahasiswa/i dalam mempelajari dan mengenal mata kuliah ini untuk membantu para mahasiswa/i dalam mempelajari dan mengenal mata kuliah Logaritma Matematika.

Logaritma Matematika.

Mata kuliah Logaritma Matematika ini mengajarkan tentang 3 pokok pembahasan Mata kuliah Logaritma Matematika ini mengajarkan tentang 3 pokok pembahasan yaitu Himpunan, Logika, dan Aljabar Boolean. Masing-masing pokok bahasan memiliki sub yaitu Himpunan, Logika, dan Aljabar Boolean. Masing-masing pokok bahasan memiliki sub  pokok bahasan

 pokok bahasan yang nantinya akyang nantinya akan dijelaskan an dijelaskan lebih lebih lanjut di lanjut di dalam bahan dalam bahan ajar iajar ini. Selain ni. Selain ituitu  juga terdapat contoh soal, tugas, maupun

 juga terdapat contoh soal, tugas, maupun quiz.quiz.

Akhir kata, penulis sangat mengharapkan masukan maupun saran dari pembaca demi Akhir kata, penulis sangat mengharapkan masukan maupun saran dari pembaca demi kesempurnaan bahan ajar ini dikemudian hari karena penulis menyadari banyak kekurangan kesempurnaan bahan ajar ini dikemudian hari karena penulis menyadari banyak kekurangan dalam bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini bermanfaat.

dalam bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini bermanfaat.

Sorong, September 2017 Sorong, September 2017

Tirsa Ninia Lina, S.Kom, M.Cs. Tirsa Ninia Lina, S.Kom, M.Cs.

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas hikmat dan Puji syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas hikmat dan limpahan berkah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar Logaritma limpahan berkah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar Logaritma Matematika ini. Dengan segala kemampuan dan keterbatasan penulis menyusun bahan ajar Matematika ini. Dengan segala kemampuan dan keterbatasan penulis menyusun bahan ajar ini untuk membantu para mahasiswa/i dalam mempelajari dan mengenal mata kuliah ini untuk membantu para mahasiswa/i dalam mempelajari dan mengenal mata kuliah Logaritma Matematika.

Logaritma Matematika.

Mata kuliah Logaritma Matematika ini mengajarkan tentang 3 pokok pembahasan Mata kuliah Logaritma Matematika ini mengajarkan tentang 3 pokok pembahasan yaitu Himpunan, Logika, dan Aljabar Boolean. Masing-masing pokok bahasan memiliki sub yaitu Himpunan, Logika, dan Aljabar Boolean. Masing-masing pokok bahasan memiliki sub  pokok bahasan

 pokok bahasan yang nantinya akyang nantinya akan dijelaskan an dijelaskan lebih lebih lanjut di lanjut di dalam bahan dalam bahan ajar iajar ini. Selain ni. Selain ituitu  juga terdapat contoh soal, tugas, maupun

 juga terdapat contoh soal, tugas, maupun quiz.quiz.

Akhir kata, penulis sangat mengharapkan masukan maupun saran dari pembaca demi Akhir kata, penulis sangat mengharapkan masukan maupun saran dari pembaca demi kesempurnaan bahan ajar ini dikemudian hari karena penulis menyadari banyak kekurangan kesempurnaan bahan ajar ini dikemudian hari karena penulis menyadari banyak kekurangan dalam bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini bermanfaat.

dalam bahan ajar ini. Semoga bahan ajar ini bermanfaat.

Sorong, September 2017 Sorong, September 2017

Tirsa Ninia Lina, S.Kom, M.Cs. Tirsa Ninia Lina, S.Kom, M.Cs.

iii iii DAFTAR ISI DAFTAR ISI COVER COVER ………..………... . ii KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR ………..……….. iiii DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ……….………... iiiiii

BAB I : HIMPUNAN

BAB I : HIMPUNAN ……….………. 11 1.1

1.1 Definisi HimpunanDefinisi Himpunan ………....………....11 1.2

1.2 Penyajian HimpunanPenyajian Himpunan ……….……….11 1.2.1 1.2.1 EnumerasiEnumerasi ………...………... 1 1   Contoh 1.1Contoh 1.1 ………..……….. 1 1   Contoh 1.2Contoh 1.2 ………..……….. 2 2   Contoh 1.3Contoh 1.3 ………..……….. 2 2 1.2.2

1.2.2 Simbol-simbol BakuSimbol-simbol Baku ………..……….. 33 1.2.3

1.2.3 Notasi Pembentuk Himpunan Notasi Pembentuk Himpunan ……… 33



 Contoh 1.4Contoh 1.4 ………..………..…… 3 3

1.2.4

1.2.4 Diagram VennDiagram Venn ………44



 Contoh 1.5Contoh 1.5 ………..……….. 4 4

1.3

1.3 Tugas 1 : Penyajian HimpunanTugas 1 : Penyajian Himpunan ……… 55 1.4

1.4 Quiz 1 : Penyajian HimpunanQuiz 1 : Penyajian Himpunan ………..……….. 55 1.5

1.5 Lembar Jawaban Quiz 1 : Penyajian HimpunanLembar Jawaban Quiz 1 : Penyajian Himpunan ………..……….. 6 6 1.6

1.6 KardinalitasKardinalitas ………..……….. 77



 Contoh 1.6Contoh 1.6 ……….………. 7 7

1.7

1.7 Himpunan KosongHimpunan Kosong ……… 7……… 7



 Contoh 1.7Contoh 1.7 ……….………. 7 7

1.8

1.8 Himpunan BagianHimpunan Bagian ……….………. 8 8



 Contoh 1.8Contoh 1.8 ……….………. 8 8

1.9

1.9 Himpunan yang SamaHimpunan yang Sama ………..……….. 99



1.10

1.10 Himpunan yang EkuivalenHimpunan yang Ekuivalen ……… 9 9



 Contoh 1.10Contoh 1.10 ………..…..………..….. 9 9

1.11

1.11 Himpunan Saling LepasHimpunan Saling Lepas ……… 1010



 Contoh 1.11Contoh 1.11 ……….…..……….….. 1010

1.12

1.12 Himpunan KuasaHimpunan Kuasa ………..……….. 1111

  Contoh 1.12Contoh 1.12 ……….…..……….….. 1111 1.13 1.13 Tugas 2Tugas 2 ……….. 11.. 11 1.14 1.14 Quiz 2Quiz 2 ……… 11 11 1.15

1.15 Lembar Jawaban Quiz 2Lembar Jawaban Quiz 2 ……… 12 12 1.16

1.16 Operasi Terhadap HimpunanOperasi Terhadap Himpunan ……… 1414 1.16.1

1.16.1 Irisan (Irisan ( Intersection Intersection)) ………...………... 14 14



 Contoh 1.13Contoh 1.13 ……… 14 14

1.16.2

1.16.2 Gabungan (Gabungan (UnionUnion)) ……… 1515



 Contoh 1.14Contoh 1.14 ……… 15 15

1.16.3

1.16.3 Komplemen (Komplemen (Complement Complement )) ………...………... 1515



 Contoh 1.15Contoh 1.15 ……… 16 16

1.16.4

1.16.4 Selisih (Selisih ( Difference Difference)) ……… 1616



 Contoh 1.16Contoh 1.16 ……….…...……….…... 17 17

1.16.5

1.16.5 Beda Setangkup (Beda Setangkup (Symmetric DifferenceSymmetric Difference)) ……….. 17.. 17



 Contoh 1.17Contoh 1.17 ……….…..……….….. 1717

1.16.6

1.16.6 Perkalian KartesianPerkalian Kartesian ……… 1818



 Contoh 1.18Contoh 1.18 ………..…..………..….. 18 18

1.17

1.17 Tugas 3 : Operasi HimpunanTugas 3 : Operasi Himpunan ……….………. 18 18 1.18

1.18 Hukum-hukum Aljabar HimpunanHukum-hukum Aljabar Himpunan ……… 1919 1.19

1.19 Prinsip DualitasPrinsip Dualitas ………. 19. 19 1.20

1.20 Pembuktian Proposisi HimpunanPembuktian Proposisi Himpunan ……….. 20.. 20 1.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram VennPembuktian dengan menggunakan diagram Venn ……….. 20.. 20



 Contoh 1.19Contoh 1.19 ………. 20. 20

2.

v

BAB II : LOGIKA ………. 22

2.1 Proposisi ………... 22

 Contoh 2.1 ……… 22

 Contoh 2.2 ……… 22

2.2 Kombinasi Proposisi / Proposisi Majemuk ……….. 23

1. Konjungsi (conjuction) ………... 23 2. Disjungsi (disjunction) ………... 23 3.  Negasi/Ingkaran (negation) ……… 23  Contoh 2.3 ……… 23 2.3 Notasi ………... 24  Contoh 2.4 ……… 24 2.4 Latihan 1 ………... 24 2.5 Tabel Kebenaran ……….. 25

2.6 Tautologi dan Kontradiksi ……… 26

1. Tautologi ……….26 2. Kontradiksi ………. 26 2.7 Ekuivalen ……….. 27  Contoh 2.5 ……… 27 2.8 Disjungsi Eksklusif ……….. 27 2.9 Latihan 2 ……….. 28

2.10 Hukum-Hukum Logika Proposisi ……….… 29

2.11 Tugas Kelompok ………... 29

2.12 Proposisi Bersyarat (Implikasi) ………. 30

2.12.1 Contoh Kasus Implikasi (diskusi kelompok) ……… 30

2.12.2 Tabel Kebenaran Implikasi ………31

2.12.3 Ekspresi Implikasi ………. 31

 Contoh 2.6 ……….. 32

 Contoh 2.7 ……….. 32

BAB III : ALJABAR BOOLEAN ……… 33

3.1 Definisi Aljabar Boolean ……….. 33

3.2 Aljabar Boolean Dua Nilai ………... 34

 Contoh 3.1 ……… 34

3.3 Ekspresi Boolean ……….. 35

 Contoh 3.2 ……… 35

3.4 Prinsip Dualitas ……… 35

 Contoh 3.3 ……… 36

3.5 Hukum-hukum Aljabar Boolean ……….. 36

BAB I HIMPUNAN

Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit adalah himpunan. Himpunan digunakan untuk mengelompokkan objek secara bersama-sama. Himpunan merupakan struktur diskrit fundamental yang mendasari struktur diskrit lainnya seperti relasi, kombinasi, dan graf. Banyak konsep ilmu komputer/informatika yang diacu dalam terminologi himpunan.

1.1 Definisi Himpunan

Himpunan ( set ) adalah kumpulan objek-objek  yang berbeda. Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Kita katakan bahwa himpunan mengandung elemen-elemennya. Kata “berbeda” di dalam definisi di atas adalah penting (sehingga dicetak miring) untuk menekankan maksud bahwa anggota himpunan tidak boleh sama

1.2 Penyajian Himpunan

Terdapat banyak cara untuk menyajikan himpunan. Di sini dikemukakan 4 cara  penyajian, yaitu mengenumerasi elemen-elemennya, menggunakan simbol-simbol baku,

menyatakan syarat keanggotaan, dan menggunakan diagram Venn. 1.2.1 Enumerasi

Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar, kita dapat menyajikan himpunan dengan cara mengenumerasi, artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal “ { }”. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital.

 Contoh 1.1

- Himpunan A yang berisi empat anggota 1, 2, 3, dan 4. Dapat ditulis sebagai

 A

 = {1, 2, 3, 4}

- Himpunan  B  yang terdiri dari lima elemen, yaitu kucing, a, Amir, 10, dan  paku.

- Himpunan C  yang terdiri dari 3 elemen, yaitu a, {a}, dan {{a}}. Dapat ditulis sebagai

C 

 = {a, {a}, {{a}}}

- Himpunan D yang terdiri dari 4 elemen, yaitu a, b, {a, b, c}, dan {a, c}. Dapat ditulis sebagai

D

 = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}

- Himpunan K  hanya berisi 1 elemen, yaitu {}. Dapat ditulis sebagai

K 

 = {{}}

Untuk menuliskan himpunan dengan jumlah anggota yang besar dan telah memiliki  pola tertentu atau menuliskan himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya,

dapat dilakukan dengan menggunakan tanda „…‟ atau disebut dengan ellipsis.

 Contoh 1.2

- {a, b ,c, …, x, y, z} - {1, 2, 3, …, 100} - {1, 2, 3, …}

- {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Selain itu, terdapat suatu himpunan, suatu objek dapat menjadi anggota atau bukan anggota himpunan tersebut. Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi berikut :

x ϵ A untuk menyatakan x  merupakan anggota himpunan A

x ϵ A untuk menyatakan x  bukan merupakan anggota himpunan A

 Contoh 1.3

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, R = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}, dan K = {{}} , maka : - 3 ϵ A - 5 ϵ A - {a, b, c} ϵ R - {a}ϵ R - a ϵ R - {} ϵ K 

1.2.2 Simbol-simbol Baku

Beberapa himpunan yng khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah simbol baku yang berbentuk huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain :

-  P  = himpunan bilangan bulat positif -  N  = himpunan bilangan asli

-  Z  = himpunan bilangan bulat - Q = himpunan bilangan rasional -  R = himpunan bilangan riil

- C  = himpunan bilangan kompleks

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan

U 

. Sebagai contoh, misalnya U  = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U , dengan A = {1, 3, 5}.

1.2.3 Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan ( set builder ). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi : { | syarat yang harus dipenuhi oleh }

Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan : a. Bagian dari kiri „|‟ melambangkan elemen himpunan  b. Tanda „|‟ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

c. Bagian di kanan tanda „|‟ menunjukkan syarat keanggotan himpunan d. Setiap tanda „,‟ (koma) di dalam syarat dibaca sebagai dan

 Contoh 1.4

-  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan :  A = {x |x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau dalam notasi yang lebih ringkas  A = {x |_x ϵ P, x < 5}

-  M   adalah himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Logika Matematika

 M  = {x | x   adalah mahasiswa yang mengambil mata kuliah Logika

Matematika}

1.2.4 Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Adapun dalam penyajian diagram Venn, terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan diantaranya :

- himpunan semesta (U ) digambarkan sebagai suatu segi empat,

- himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut,

- anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran, - anggota himpunan lain di dalam lingkaran yang lain pula, dan

- anggota U  yang tidak termasuk di dalam himpunan manapun digambarkan di luar lingkaran tetapi masih tetap di dalam segi empat.

 Contoh 1.5

Misalkan U  = {1, 2, …, 7, 8} ,  A  = {1, 2, 3, 5} dan  B  = {2, 5, 6, 8}. Ketiga himpunan tersebut digambarkan pada Gambar 1.1. Perhatikan bahwa  A  dan  B mempunyai anggota bersama, yaitu 2 dan 5. Anggota U yang lain, yaitu 7 dan 4 tidak termasuk di dalam himpunan A dan B.

1.3 Tugas 1 : Penyajian Himpunan

Buatlah penyajian himpunan dengan cara enumerasi dari simbol-simbol baku berikut :  P  = himpunan bilangan bulat positif

 N  = himpunan bilangan asli  Z  = himpunan bilangan bulat

Q = himpunan bilangan rasional  R = himpunan bilangan riil

C  = himpunan bilangan kompleks

Catatan : Tugas ditulis tangan, dikumpul pertemuan berikutnya !

1.4 Quiz 1 : Penyajian Himpunan

Kerjakan soal-soal quiz berikut ini !

1. Tuliskan himpunan A yang terdiri dari 5 elemen yaitu 2, 4, 6, 8, dan 10 ! 2. Tuliskan himpunan B yang terdiri dari 3 elemen yaitu a, b, dan c !

3. Tuliskan himpunan alfabet dengan menggunakan ellipsis ! 4. Diketahui :

 A = {3, 4, 5, 6, 7} ,  B = {5, 6, 7, 8, 9},  D = {a, b, c},  E  = {{a}, {b}, {c}} , maka tentukan himpunan untuk menyatakan keanggotaan atau bukan soal ber ikut :

- 3 … A - {a} … D - 3 … B - a … E  - 5 … B

5. Tuliskan notasi pembentuk himpunan dari :  A  adalah bilangan prima yang lebih kecil dari 20.

6. Gambarkan diagram Venn, jika diketahui :

U  = {1, 2, 3, 4, ..., 13} ,  A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {5, 6, 7, 8, 9}

1.6 Kardinalitas

Sebuah himpunan dikatakan berhingga ( finite set ) jika terdapat n  elemen berbeda (distinct ) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set ).

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi :

n

(

 A

) atau |

 A

|

*Catatan : untuk penggunaan notasi kardinal, ki ta menggunakan |A|

 Contoh 1.6

-  A = {x  | x  merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}

 A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka |

 A

| = 8

-  B = {kucing, a, Amir, 10, paku} maka |

B

| = 5

- C  = {a, {a}, {{a}}} maka |

C 

| = 3

Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil ( R) mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |

R

| = ∞

1.7 Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (empty set).

Notasi : Ø atau {}

 Contoh 1.7

-  E  = {x  | x  < x } , maka | E | = 0

Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}, begitu pula himpunan {{ }, {{ }}} dapat ditulis sebagai {Ø, {Ø}}. Perhatikan juga bahwa {Ø} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu Ø.

Istilah seperti kosong , hampa, nihil , ketiganya mengacu pada himpunan yang tidak mengandung elemen, tetapi istilah nol   tidak sama dengan ketiga istilah di atas, sebab nol  menyatakan sebuah bilangan tertentu.

1.8 Himpunan Bagian

Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang dikandung di dalam himpunan tersebut juga terkandung di dalam himpunan yang lain. Himpunan A dikatakan himpunan bagian ( subset ) dari himpunan  B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini, B dikatakan superset  dari A.

Notasi :

 A

Dengan menggunakan diagram Venn,  A   lebih mudah dimengerti yang dapat dilihat pada gambar diagram Venn berikut.

Gambar 1.2 Diagram Venn untun himpunan bagian A

 Contoh 1.8

- {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 3} {1, 2, 3}

-  A = {p, q, r} bukan himpunan bagian dari  B = {m, p, q, t, u} , karena r ϵ

 A

tetapi r ϵ

B

B

 B

1.9 Himpunan yang Sama

Dua buah himpunan mungkin saja sama, yaitu semua anggota di dalam kedua himpunan tersebut sama, meskipun urutannya di dalam himpunan tidak sama.

Himpunan  A  dikatakan sama dengan himpunan  B  jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain,  A  sama dengan  B  jika  A  adalah himpunan bagian dari  B  dan  B  adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi :

 A

 =

B

↔

 A

  dan

B

Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan : 1.) Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting

2.) Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan 3.) Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C  berlaku :

 A = A , B = B , dan C  = C  Jika A = B , maka B = A

Jika A = B dan B = C  , maka A = C 

 Contoh 1.9

- Jika A = {0, 1} dan B = {x  | x  (x  -1) = 0} , maka

 A

 =

B

- Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8} , maka

 A

 =

B

- Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8} , maka

 A

≠

B

1.10 Himpunan yang Ekuivalen

Dua buah himpunan dapat mempunyai kardinal yang sama meskipun anggota kedua himpunan tersebut tidak sama. Kita katakan kedua himpunan tersebut ekuivalen.

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan  B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi :

 A

 ~

B

↔ |

 A

| = |

B

|

 Contoh 1.10

Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d} , maka

 A

 ~

B

 sebab |

 A

| = |

B

| = 4

1.11 Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang sama satu buah pun. Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas (disjoint ).

Dua himpunan  A  dan  B  dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi :

 A

 //

B

Diagram Venn yang menggambarkan dua himpunan yang saling lepas ditunjukkan  pada Gambar 1.3 berikut.

Gambar 1.3 Diagram Venn untuk A // B

 Contoh 1.11

Jika A = {x  | x _ϵ P , x  < 8} dan B = {10, 20, 30, …, 80 } ,

maka A = {1, 2, 3, …, 7} dan B = {10, 20, 30, …, 80} Diagram Venn :

1.12 Himpunan Kuasa

Satu terminologi yang banyak ditemui dalam literatur ilmu komputer adalah himpuan kuasa ( power set ). Himpunan kuasa dari suatu himpunan mengandung semua himpunan  bagian dari himpunan yang dimaksud.

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan  A sendiri.

Notasi : P(

 A

) atau 2 A

 Contoh 1.12

Jika A = {1, 2} , maka P( A) = {Ø , {1}, {2}, {1, 2}} , dimana |P( A)| = 4 atau

 A = {1, 2} , maka P( A) = 22 = 4 , maka P( A) = {Ø , {1}, {2}, { 1, 2 }}

1.13 Tugas 2

Buatlah 2 contoh untuk masing-masing materi berikut : - Kardinalitas

- Himpunan bagian - Himpunan yang sama - Himpunan yang ekuivalen - Himpunan saling lepas - Himpunan kuasa

Catatan : Contoh tiap orang berbeda, tidak boleh sama dengan yang lain ! Tugas ditulis tangan, dikumpul pertemuan berikutnya !

1.14 Quiz 2

1. Jika diketahui himpunan  A = {x | x _ϵ P, x   < 8 } dan  B = { x | x merupakan

 bilangan kelipatan 10 dan kurang dari 60}, gambarkan Diagram Venn dan buktikan apakah termasuk himpunan yang saling lepas atau tidak !

2. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan-himpunan berikut : a.  A = {5}

 b.  B = {5, a}

c.  E  = {merah, kuning, hijau}\ d.  F  = {5, a, 6, b}

3. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan bagian atau  bukan : a. {a, i, u, e, o} ... {a, b, c, d, e}  b. {1, 3, 5, 7} ... {1, 2, 3, …, 9} c. {l, i, n, a} ... {n, a, l, i} d. {s, l, h} ... {b, n, r}

4. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan yang sama atau bukan :

a.  A = {2, 3, 4} dan B = {4, 3, 2}  b.  A = {n, i, n, i, a} dan B = {a, n, i}

c.  A = {5, 7, 7, 9, 10} dan B = {7, 9, 10}

5. Tentukan kardinal jika diketahui himpunan-himpunan berikut : a.  A = {Sorong, 9, Oktober, 2015}

 b.  B = {5, 7, 8, 13, 15, 28}

c.  D = { x  | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

6. Tuliskan lambang/simbol dari : kardinalitas, himpunan bagian, himpunan yang sama, himpunan yang ekuivalen, himpunan saling lepas, dan himpunan kuasa !

1.16 Operasi Terhadap Himpunan

Terhadap dua buah himpunan atau lebih, kita dapat melakukan operasi untuk menghasilkan himpunan lain. Jenis operasi yang lazim digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan (intersection), gabungan (union), komplemen (complement ), selisih (difference), beda setangkup ( symmetric difference), dan perkalian kartesian (cartesian product ).

1.16.1 Irisan (

I ntersection

)

Irisan dari himpunan  A dan  B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi :

 A

B

= { | ϵ

 A

 dan ϵ

B

 }

Diagram Venn untuk A  B ditunjukkan pada Gambar 1.5 berikut.

Gambar 1.5 Diagram Venn untuk A  B (daerah A B diarsir)

Jika dua himpunan saling lepas, maka irisannya adalah himpunan kosong, karena tidak ada elemen yang sama terdapat di dalam kedua himpunan tersebut.

 Contoh 1.13

- Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18} maka,  A  B = {4, 10}

- Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {3, 5, 7, 9, 11} maka, A  B = { 3, 5 }

1.16.2 Gabungan (

Union

)

Gabungan dari himpunan  A  dan  B  adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi :

 A

B

 = { | ϵ

 A

 atau ϵ

B

}

Diagram Venn untuk A  B ditunjukkan pada Gambar 1.6 berikut.

Gambar 1.6 Diagram Venn untuk A  B (daerah A B diarsir)

 Contoh 1.14

- Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22} maka, A  B = {2, 5, 7, 8, 22} - Jika A = {a, b, c} dan B = {c, d, e}

maka, A  B = {a, b, c, d, e}

*Gambarkan Diagram Venn dari hasil gabungan pada contoh di atas !

1.16.3 Komplemen (

Complement 

)

Komplemen dari suatu himpunan  A terhadap suatu himpunan semesta U  adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U  yang bukan elemen A.

Diagram Venn untuk A ditunjukkan pada Gambar 1.7 berikut.

Gambar 1.7 Diagram Venn untuk A (daerah A diarsir)

 Contoh 1.15

- Misalkan U = {1, 2, 3, …, 9}, diketahui A = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A = {2, 4, 6, 8}

- Misalkan U = {a, b, c, …, j}, diketahui A = {a, b, d, e} maka, A = {c, f, g, h, i, j}

*Gambarkan Diagram Venn dari hasil komplemen pada contoh di atas !

1.16.4 Selisih (

Difference

)

Selisih dari dua himpunan  A  dan  B  adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari  A  tetapi bukan elemen dari  B. Selisih antara  A  dan  B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan relatif terhadap himpunan  A.

Notasi : A –  B = { | ϵ  dan ϵ

B

 } =

 A

B

Diagram Venn untuk A –  B ditunjukkan pada Gambar 1.8 berikut.

 Contoh 1.16

- Jika A = {1, 2, 3, …, 10} dan  B = {2, 4, 6, 8, 10} maka,  A –  B = {1, 3, 5, 7, 9}

 B –  A = Ø

- Jika A = {a, b, c, d} dan B = {b, c, d, e} maka,  A –  B = {a}

 B –  A = {e}

*Gambarkan Diagram Venn dari hasil selisih pada contoh di atas !

1.16.5 Beda Setangkup (

 Symmetri c Difference

)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi :

 A B =

(

 A

B

) – ₍

 A

B

₎

=

₍

 A

 – 

B

_{) (}

B

 – 

A

₎

Diagram Venn untuk A  B ditunjukkan pada Gambar 1.9 berikut.

Gambar 1.9 Diagram Venn untuk A B (daerah A B diarsir)

 Contoh 1.17

- Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka, A  B = {3, 4, 5, 6}

- Jika A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o} maka, A  B = {b, c, d, i, o, u}

1.16.6 Perkalian Kartesian

Perkalian kartsesian dari himpunan  A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen  pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan  B.

Notasi :

 A

 x

B

 = { (

a

,

b

) |

a

ϵ

 A

 dan

b

ϵ

B

 }

Catatan bahwa :

 Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka | A x B| = | A| | B|

 Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a) , dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a)

 Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B = B x  A , dengan syarat A atau B tidak kosong

 Jika A = Ø atau B = Ø , maka A x B = B x A = Ø

 Contoh 1.18

- Misalkan A = {5, 7} dan E  = {s, t}

maka, A x B = {(5, s), (5, t), (7, s), (7, t)} - Misalkan D = {1, 2, 3} dan E  = {a, b}

maka, D x E  = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b) , (3, a), (3, b)}

1.17 Tugas 3 : Operasi Himpunan

Buatlah 2 contoh untuk masing-masing operasi himpunan berikut beserta dengan gambar Diagram Venn (kecuali perkalian kartesian tidak memakai dia gram Venn).

- Irisan - Gabungan - Komplemen - Selisih

1.18 Hukum-hukum Aljabar Himpunan

Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada operasi antara dua himpunan atau lebih. Sifat-sifat tersebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan (set identities). Kesamaan tersebut diberi nama “hukum” yang menyatakan bahwa bila dua himpunan atau lebih dioperasikan, maka hukum-hukum yang mengatur operasi tersebut berlaku. Cukup  banyak hukum yang terdapat pada himpunan, namun pada Tabel 2.1 di bawah hanya mendaftarkan 11 buah hukum yang penting saja. Hukum-hukum pada himpunan dinamakan juga hukum-hukum aljabar himpunan.

Tabel 2.1 Hukum-hukum Aljabar Himpunan 1. Hukum Identitas

 A ∪ Ø= A  A ∩ U  = A

2. Hukum Null/dominasi\

 A ∩ Ø= Ø  A∪U = U 

3. HukumKomplemen

 A ∪ A = U   A ∩ A = Ø

4. Hukum Idempoten

 A∪ A = A  A ∩ A = A

5. Hukum Involusi

 ( A) = A

6. Hukum Penyerapan (absorpsi)

 A∪ ( A ∩ B) = A  A ∩ ( A∪ B) = A

7. Hukum Komutatif  A ∪ B = B ∪ A  A ∩ B = B ∩ A 8. Hukum Asosiatif  A∪ ( B∪C ) = ( A ∪ B) ∪C   A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C  9. Hukum Distributif

 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪C )  A ∩ ( B ∪C ) = ( A ∩ B) ∪( A ∩ C )

10. Hukum De Morgan  A ∩ B = A ∪ B  A∪ B = A ∩ B 11. Hukum 0/1  Ø= U   U  = Ø 1.19 Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi. Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang  benar. Misalkan di negara Amerika Serikat kemudi mobil terletak di depan bagian kiri,

sedangkan di negara Indonesia kemudi mobil terletak di depan bagian kanan. Jadi, konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga

 peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Indonesia. Prinsip inilah yang dinamakan dengan prinsip dualitas.

Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan himpunan ( set identity) dan operasi-operasi seperti ∪_{, ∩, dan komplemen. Jika pernyataan S* diperoleh dari S}

dengan cara mengganti :

∪ _{dengan ∩}

∩ dengan ∪

Ø  dengan U  U   dengan Ø

sedangkan membiarkan komplemen ( ) tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga disebut sebagai dual dari S.

1.20 Pembuktian Proposisi Himpunan

Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Terdapat  beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu  proposisi himpunan, kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah i ni dikemukakan 2 metode pembuktian  proposisi perihal himpunan.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Cara pembuktian dengan metode ini yaitu, buatlah diagram Venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram Venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram Venn keduanya sama, berarti kesamaan tersebut benar.

Dengan diagram Venn, pembuktian dapat dilakukan dengan cepat. Namun, kekurangannya, diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

 Contoh 1.19

Misalkan A, B, dan C  adalah himpunan. Dengan menggunakan diagram Venn,  buktikan bahwa A ∩ ( B ∪_{C ) = ( A ∩ B)} ∪ _{( A ∩ C )}

 A ∩ ( B ∪_{C ) ( A ∩ B)} ∪ _{( A ∩ C )}

Gambar 1.10 Diagram Venn untuk pembuktian  A ∩ ( B∪ _{C ) = ( A ∩ B)} ∪ _{( A ∩ C )}

2. Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan/tabel kebenaran

Kesamaan himpunan juga dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan/tabel kebenaran. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan, dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan (nilai ini dapat dianalogikan true dan false).

 Contoh 1.20

Misalkan  A,  B, dan C   adalah himpunan. Dengan menggunakan tabel keanggotaan/kebenaran, buktikan bahwa A ∩ ( B ∪_{C ) = ( A ∩ B)}∪ _{( A ∩ C )}

Penyelesaian :

 A B C (B C )  A ∩ (B C ) ( A ∩B) ( A∩C ) ( A ∩B) ( A ∩C )

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Berdasarkan hasil penyelesaian tabel keanggotaan/kebenaran di atas dapat dilihat pada kolom yang diberi warna memiliki kesamaan sehingga terbukti  bahwa A ∩ ( B∪ _{C ) = ( A ∩ B)}∪ _{( A ∩ C )}

A B

C

A B

BAB II LOGIKA

2.1 Proposisi

Di dalam Matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran.

Proposisi merupakan kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah ( false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.

 Nilai Kebenaran (Truth Value) merupakan kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat.

 Contoh 2.1

 p : 6 adalah bilangan genap

q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama r  : 2 + 2 = 4

…dst…

Kalimat proposisi selalu dinyatakan dalam bentuk kalimat berita, bukan dalam kalimat tanya maupun kalimat perintah. Jika kalimat mengandung variabel peubah maka kalimat tersebut bukan proposisi.

 Contoh 2.2

a. Soekarno adalah presiden Indonesia yang pertama  b. Sorong merupakan ibukota provinsi Papua Barat

c. Ibukota Jawa Barat adalah Semarang d. 6 + 9 > 2

e. Jam berapa pesawat Garuda tiba di bandara Pattimura ? f. Kumpulkan tugasmu sekarang !

g. x + 3 = 8

*Catatan : untuk Contoh 2.2 bagian ( 

a) hingga (d) merupakan proposisi 

  karena mengandung nilai kebenaran (benar atau salah), sedangkan untuk contoh bagian

2.2 Kombinasi Proposisi / Proposisi Majemuk

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih  proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi tersebut disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (

 AND

), atau (

OR

), serta tidak (

NOT 

). Dua operator pertama ( AND, OR) dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga ( NOT ) dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah  proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari kombinasi proposisi-proposisi tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik . Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.

Proposisi majemuk terdiri dari 3 macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. 1. Konjungsi (

conjunction

)

Konjungsi p dan q, dinyatakan dengan notasi p ʌq , adalah proposisi p dan q.

2. Disjungsi (

disjunction

)

Disjungsi p dan q, dinyatakan dengan notasi p v_{q, adalah proposisi p atau q.}

3. Negasi/Ingkaran (

negation

)

 Negasi/ingkaran dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, adalah proposisi tidak p. Kata “tidak ” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak ” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar ” menjadi “tidak benar ”. Kata “tidak ” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung pada rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

 Contoh 2.3

 p : Hari ini hujan badai

q : Mahasiswa diliburkan dari kampus maka,

 p ʌ q : Hari ini hujan badai dan mahasiswa diliburkan dari kampus

 p v _{q : Hari ini hujan badai atau mahasiswa diliburkan dari kampus}

2.3 Notasi

Tabel 2.2 Penghubung operator dan notasi simbol logika Penghubung Simbol  Not ~  And ∧ Or V if-then  if and only if if-then-else if-then-else  Contoh 2.4

Diketahui : if ((p or q) and (if q then r)) then (if (p and q) then not r)

maka dirubah dalam bentuk notasi menjadi : ((p v _q)∧_{(qr)) ((p} ʌq)  ~r)

2.4 Latihan 1

Jawablah soal latihan berikut ! 1. Diketahui :

 p : Hari ini hujan q : Hari ini dingin

maka tentukan proposisi majemuk dari ekspresi logika berikut q v _{~ p :}

~ pʌ ~q :

~(~ p) :

2. Diketahui :

 p : Pemudi itu tinggi q : Pemudi itu cantik

maka tentukan ekspresi logika dari proposisi majemuk berikut : a.) Pemudi itu tinggi dan cantik

Jawab :

d.) Tidak benar bahwa pemudi itu pendek atau tidak cantik Jawab :

e.) Pemudi itu tinggi, atau pendek dan cantik Jawab :

2.5 Tabel Kebenaran

 Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

Misalkan p dan q adalah proposisi, maka :

a.) Konjungsi p ʌ q  bernilai benar jika  p dan q keduanya benar, selain itu nilainya

salah.

 b.) Disjungsi  p v _{q   bernilai salah jika  p  dan q  keduanya salah, selain itu nilainya}

 benar.

c.)  Negasi  p, yaitu ~ p   bernilai benar jika  p  salah, sebaliknya bernilai salah jika  p  benar.

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan Tabel Kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 2.3, Tabel 2.4, dan Tabel 2.5 menunjukkan tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan negasi/ingkaran. Pada tabel-tabel tersebut, T menyatakan True (benar), sedangkan F menyatakan False (salah).

Tabel 2.3 Tabel Kebenaran Konjungsi

 p

q

 p

ʌ

q

T T T

T F F

F T F

F F F

Tabel 2.4 Tabel Kebenaran Disjungsi

 p

q

 p

v

q

T T T

T F T

F T T

Tabel 2.5 Tabel Kebenaran Negasi/ingkaran

 p

~p

T F F T

2.6 Tautologi dan Kontradiksi

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk  berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya.

1. Tautologi

Sebuah proposisi majemuk disebut Tautologi jika ia benar untuk semua kasus, dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat T.

 Contoh : p v ~( pʌ q)

Tabel 2.6 Tabel Kebenaran Tautologi

 p q

 p

ʌ

q

~(p

ʌ

q)

p

v

 ~(p

ʌ

q)

T T T F T T F F T T F T F T T F F F T T 2. Kontradiksi

Sebaliknya, sebuah proposisi majemuk disebut Kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus, dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat F.

 Contoh : ( pʌ q) ʌ ~( p v q)

Tabel 2.7 Tabel Kebenaran Kontradiksi

 p q

 p

ʌ

p

v

q

~(p

v ʌ

T T T T F F

T F F T F

2.7 Ekuivalen

Adakalanya dua buah proposisi majemuk dapat dikombinasikan dalam berbagai cara namun semua kombinasi tersebut selalu menghasilkan tabel kebenaran yang sama. Kita mengatakan bahwa kedua proposisi majemuk tersebut ekuivalen secara logika.

Dua buah proposisi  P ( p, q, ...) dan Q( p, q, …) majemuk disebut  ekuivalen secara logika, dilambangkan dengan  P ( p, q, ...) Q( p, q, …) jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

 Contoh 2.5

Buktikan apakah ~( pʌ q) ~ pv ~q

Tabel 2.8 Tabel Kebenaran Ekuivalen

 p q ~p ~q  p

ʌ

q ~(p

ʌ

q)

~p

v

~q

T T F F T F F

T F F T F T T

F T T F F T T

F F T T F T T

Tabel 2.8 di atas memperlihatkan tabel kebenaran untuk proposisi ~( p ∧ _{q) dan}

 proposisi ~ p v _{~q. Kolom terakhir pada kedua tabel tersebut sama nilainya (yaitu F,}

T, T, T), sehingga kita katakan bahwa kedua proposisi tersebut ekuivalen secara logika, atau ditulis sebagai ~( p ʌq) ~ p v ~q.

2.8 Disjungsi Eksklusif

Kata “atau” (or ) dalam operasi logika digunakan dalam 2 cara, yaitu :

a.) Secara inklusif (inclusive or ) yaitu dalam bentuk “ p atau q atau keduanya”.

Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar jika salah satu dari  proposisi atomiknya benar atau keduanya benar.

Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java.

Contoh di atas dapat diartikan bahwa tenaga IT yang diterima harus mempunyaii kemampuan penguasaan salah satu dari Bahasa Java atau Bahasa C++ atau kedua-duanya.

 b.) Secara eksklusif (exclusive or ) yaitu dalam bentuk “ p  atau q  tetapi bukan keduanya”.

Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar hanya jika salah satu  proposisi atomiknya benar (tetapi bukan keduanya).

Contoh : Pemenang lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang.

Kata “atau” pada contoh di atas  digunakan secara eksklusif, yaitu bahwa hadiah yang dapat dibawa pulang oleh pemenang hanya salah satu dari uang atau TV tetapi tidak dapat keduanya.

Khusus untuk disjungsi eksklusif, kita menggunakan operator logika xor ( ) Tabel 2.9 Tabel Kebenaran

E xclusive Or

 p q p q

T T F T F T F T T F F F 2.9 Latihan 2

Isilah tabel kebenaran untuk menentukan nilai kebenaran dari : (

 p

ʌ

q

)v (~ 

q

ʌ

r 

)

Tabel 2.10 Latihan Tabel Kebenaran

2.10 Hukum-Hukum Logika Proposisi

Proposisi, dalam kerangka hubungan ekuivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada Tabel 2.11 berikut.

Tabel 2.11 Hukum-hukum Logika Proposisi 1. Hukum Identitas •  pv F  p •  pʌ T  p 2. Hukum Null/dominasi •  p ʌ F F •  p v T T 3. Hukum Negasi •  pv ~p T •  pʌ ~p F 4. Hukum Idempoten •  p v p p •  p ʌ p p

5. Hukum Involusi (negasi ganda) • ~(~p)  p

6. Hukum Penyerapan (absorpsi) •  p v ( p ʌ q)  p •  p ʌ ( p v q)  p 7. Hukum Komutatif •  pv q q v p •  pʌ q q ʌ p 8. Hukum Asosiatif •  p v (q v r ) ( pv q) vr  •  p ʌ (q ʌ r ) ( pʌ q) ʌr  9. Hukum Distributif •  pv (q ʌ r ) ( pv q) ʌ ( p vr ) •  pʌ (q v r ) ( pʌ q) v ( p ʌr ) 10. Hukum De Morgan • ~( p ʌ q) ~p v ~q • ~( p v q) ~p ʌ ~q 2.11 Tugas Kelompok

- Bagilah kelompok dalam kelas Anda menjadi 5 kelompok (jumlah anggota disesuaikan dengan jumlah mahasiswa yang ada pada kelas Anda, penentuan anggota  bebas pilih atau ditentukan oleh ketua tingkat)

- Tugas : Carilah pembuktian dari setiap hukum logika proposisi (10) yang ada dengan menggunakan tabel kebenaran !

- Kerjakan pada kertas double folio/HVS (tulis tangan) !

- Setiap anggota dalam kelompok mengerjakan minimal 2 hukum proposisi ! - Kumpul paling lambat pertemuan selanjutnya !

2.12 Proposisi Bersyarat (Implikasi)

Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut :

a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.  b. Jika suhu mencapai 80oC, maka alarm berbunyi.

c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.

Pernyataan berbentuk “jika  p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat  atau kondisional atau implikasi.

Misalkan  p  dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika  p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan  p q

Proposisi  p  disebut hipotesis  (atau antesenden  atau premis  atau kondisi), dan  proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).

2.12.1 Contoh Kasus Implikasi (diskusi kelompok)

Misalkan dosen Anda berkata kepada mahasiswa nya di dalam kelas : “ Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk mata kuliah ini”. Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau kebohongan ? Tinjau dan diskusikan bersama kelompok anda terhadap 4 kasus berikut :

Kasus 1 nilai ujian akhir anda di atas 80 dan anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut

Kasus 2 nilai ujian akhir anda di atas 80 tetapi anda tidak mendapat nilai A Kasus 3 nilai ujian akhir anda di bawah 80 dan anda mendapat nilai A

Kasus 4 nilai ujian akhir anda di bawah 80 dan anda tidak mendapat nilai A

Penyelesaian :

 p  q : Jika nilai ujian akhir anda ≥ 80, maka anda akan mendapat nilai A untuk mata kuliah ini.

 p : nilai ujian akhir anda ≥ 80 q : anda akan mendapat nilai A

Kasus  p (hipotesis) q (konklusi)  p q

1 nilai ujian akhir anda di atas 80 (T) anda mendapat nilai A (T) Dosen benar (T) 2 nilai ujian akhir anda di atas 80 (T) anda tidak mendapat nilai A (F) Dosen bohong (F) 3 nilai ujian akhir anda di bawah 80 (F) anda mendapat nilai A (T) Dosen benar (T) 4 nilai ujian akhir anda di bawah 80 (F) anda tidak mendapat nilai A (F) Dosen benar (T)

2.12.2 Tabel Kebenaran Implikasi

Berdasarkan contoh kasus di atas, maka untuk proposisi bersyarat (implikasi) dapat dibuat tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel 2.12 Tabel kebenaran proposisi bersyarat (implikasi)

 p q p q

T T T T F F F T T F F T

Implikasi

 p

q

hanya salah  jika

 p

 benar tetapi

q

 salah, selain itu implikasi  bernilai benar .

2.12.3 Ekspresi Implikasi

Implikasi  p  q  tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standar “jika  p, maka q” tetapi juga dapat diekspresikan dalam berbagai cara, antara lain :

Tabel 2.13 Ekspresi implikasi Implikasi Jika p, maka q Jika p, q  p mengakibatkan q q jika p  p hanya jika q

 p syarat cukup agar q q syarat perlu bagi p q bilamana p

Contoh-contoh berikut memperlihatkan implikasi dalam berbagai ekspresi serta  bagaimana mengubah berbagai bentuk implikasi menjadi bentuk standar “ jika p,

maka q”.

 Contoh 2.6

Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk : a.) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

 b.) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

c.) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. d.) Lina mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

e.) Toto dapat mengambil mata kuliah Alprog 2 hanya jika ia sudah lulus mata kuliah Alprog 1.

f.) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. g.) Syarat perlu bagi  Indonesia agar ikut piala dunia adalah dengan

mengontrak pemain asing kenamaan.

h.) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

 Contoh 2.7

Ubahlah proposisi c sampai h pada Contoh 2.6 di atas ke dalam bentuk  proposisi “jika p, maka q”.

Penyelesaian :

c.) Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. d.) Jika Lina diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.

e.) Jika mengambil mata kuliah Alprog 2, maka ia sudah lulus mata kuliah Alprog 1.

f.) Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak.

g.) Jika  Indonesia ikut piala dunia, maka  Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan.

h.) Jika hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.

BAB III

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean, sebagai salah satu cabang matematika, pertama kali dikemukakan seorang matematikawan Inggris, George Boole, pada tahun 1854. Boole melihat bahwa himpunan dan logika proposisi mempunyai sifat-sifat yang serupa. Dalam buku The Laws of Thought, Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika. Aturan dasar logika ini membentuk struktur matematika yang disebut aljabar Boolean. Aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi computer digital karena rangkaian elektronik di dalam komputer juga bekerja dengan mode operasi bit, 0 dan 1.

3.7 Definisi Aljabar Boolean

Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner (+ dan .) dan sebuah operator uner ( „ ).

Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B maka < B, +, ., ‟, 0, 1> disebut aljabar boolean jika untuk setiap a, b, c∈ _{B berlaku aksioma berikut :}

a.) Identitas a + 0 = a a . 1 = a  b.) Komutatif a + b = b + a a . b = b . a c.) Distributif a . (b + c) = (a .b) + (a. c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) d.) Komplemen

a + a‟ = 1 a . a‟ = 0

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang di dalam  B. 0 disebut elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya Ø dan U   pada himpunan, F dan T pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah elemen unik yang  berbeda.

Elemen 0 disebut elemen  zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit . Operator + disebut operator penjumlahan, operator . disebut operator perkalian, dan operator ‟ disebut operator komplemen.

Terdapat kemiripan aljabar Boolean dengan aljabar himpunan maupun aljabar  proposisi.

- Himpunan  B, ∪_{, ∩,} ⎺_{, Ø, U} 

- Proposisi  B, ∨_,∧_{, ~, F, T}

- Boolean  B, +, . , ‟ , 0, 1

3.8 Aljabar Boolean Dua Nilai

Aljabar Boolean Dua-Nilai (Two-Valued Boolean Algebra), didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1, yaitu  B = {0, 1}, operator biner (+ dan .) operator uner ( ‟ ). Kaidah untuk operator biner dan operator uner ditunjukkan pada Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3 di bawah ini.

Tabel 3.1 Tabel Operator .

a b a

.

b

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Tabel 3.2 Tabel Operator +

a b a

 +

b

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Tabel 3.3 Tabel Operator ’

a

a’ 

0 1 1 0

 Contoh 3.1

Buktikan bahwa a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dengan menggunakan tabel kebenaran !

a b c b+c a

.

(b + c) a

.

b a

.

c (a

.

 b) + (a

.

c)

0 0 0 0 0 0 0 0

3.9 Ekspresi Boolean

Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah –  peubah yang dapat dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, ., dan ‟.

Secara formal, ekspresi Boolean dapat didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan ( B, +, ., „, 0, 1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam ( B, +, ., „) adalah :

(i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah,

(iii)  jika e1  dan e2  adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 . e2, e1‟ adalah ekspresi

Boolean.

Dalam penulisan ekspresi Boolean selanjutnya, kita menggunakan perjanjian bahwa selain tanda kurung „()‟, operator ‟ mempunyai prioritas lebih tinggi daripada operator + dan.. Sebagai contoh :

a + b .c  berarti a + (b. c), bukan (a + b) . c a . b‟  berarti a . (b‟), bukan (a . b)‟

Untuk menyederhanakan penulisan, notasi .  pada operasi perkalian tidak perlu dituliskan. Penyederhanaan sebagai berikut :

a . (b + c) = a . b + a . c menjadi a(b+c) = ab + ac

 Contoh 3.2

Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b_{dengan menggunakan tabel kebenaran !}

a b

a’  a’b

a

₊a’b

a

₊

b

0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

3.10 Prinsip Dualitas

Di dalam aljabar Boolean banyak ditemukan kesamaan (identity) yang dapat diperoleh dari kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma distributif berikut :

(i) a(b + c) = ab + ac

(ii) a + (bc) = (a + b)(a + c)

Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti . dengan + dan mengganti + dengan . . Prinsip ini dikenal dengan prinsip dualitas.

Misalkan S  adalah kesamaan di dalam aljabar Boolean yang melibatakan operator +, ., dan komplemen ( ‟ ), maka jika pernyataan S* diperoleh dari S  dengan cara mengganti :

.

dengan + + dengan . 0 dengan 1 1 dengan 0

dan membiarkan operator komplemen (‟) tetap apa adanya, maka kesamaan S*  juga disebut sebagai dual dari

 S

.

 Contoh 3.3

Tentukan dual (S*) dari : a.) a + 0 = a  b.) (a.1)(0+a‟) = 0 c.) a(a‟+b) = ab d.) (a+b)(b+c) = ac + b e.) (a+1)(a+0) = a Penyelesaian : a.) a . 1 = a  b.) (a + 0) + (1 . a‟) = 1 c.) a + a‟b = a + b d.) ab + bc = (a+c) .b e.) (a . 0) + (a . 1) = a

3.11 Hukum-hukum Aljabar Boolean

Tabel 3.4 Hukum-hukum Aljabar Boolean 1. Hukum Identitas • a + 0 = a • a . 1 = a 2. Hukum dominasi • a . 0 = 0 • a + 1 = 1 3. Hukum Idempoten • a + a = a • a . a = a 4. Hukum Involusi • (a‟)‟ = a