Isnaini Nurisusilawati

 Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui

akibat/pengaruh dari perubahan yang terjadi pada parameter-parameter LP terhadap solusi optimal yang telah dicapai.

 Bagaimana pengaruh perubahan data terhadap solusi optimum?  Memberikan jawaban atas pertanyaan,

“Sampai seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa mengubah solusi optimum, atau tanpa menghitung solusi optimum dari awal”

 Perubahan yang mungkin dihadapi pada analisis sensitivitas adalah:

1. Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

2. Perubahan Konstanta Ruas Kanan (RHS) 3. Perubahan Fungsi Pembatas

 Tiga pertanyaan utama:

1. Seberapa besar koefisien fungsi tujuan dapat dibenarkan untuk berubah tanpa

mengubah solusi

2. Kendala mana yang dapat dilonggarkan (dinaikkan) dan seberapa besar

kelonggaran (kenaikan) dapat dibenarkan, sehingga menaikkan nilai Z tapi tanpa melakukan perhitungan dari awal. Sebaliknya, kendala mana dapat dikurangi tanpa menurunkan nilai Z dan tanpa melakukan perhitungan dari awal

3. Kendala mana yang mendapatkan prioritas untuk dilonggarkan (dinaikkan)

 Pada kasus dengan dimensi mx2 dapat diselesaikan dengan metode grafis, sedang

1.

Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

Max Z = 2X1 + 3X2

S.T

X1 + 3X2 ≤ 6

2X1 + 2X2 ≤ 8

X1, X2

≥ 0

1. Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

Diketahui persoalan yang telah diformulasikan dalam bentuk matematis

sebagai berikut:

Maksimumkan Z = 200X1 + 160X2

30X1

≤ 1500

40X1 + 20X2

≤ 2500

20X1 + 25X2

≤ 2000

X1, X2

≥ 0

X1 = jumlah produk A yang dibuat

X2 = jumlah produk B yang dibuat

 Solusi optimal untuk gambar diatas adalah pada titik B (perpotongan antara

batasan 2 dan batasan 3)

40X1 + 20X2 = 2500 |X1| 40X1 + 20X2 = 2500 20X1 + 25X2 = 2000 |X2| 40X1 + 50X2 = 4000

-30X2 = -1500 X2 = 50 40X1 + 20 (50) = 2500  X1 = 1500/40 = 37,5 Jadi, solusi optimal (maximized objective) = 200 (37,5) + 160 (50) = 15.500

Range C1

 Batas atas dan batas bawah C1 (dengan asumsi C2 tetap) dimana keputusan

optimal tidak berubah dapar ditentukan dengan menyamakan slope Z dengan slope batasan 2 dan 3. Dipilihnya slope batasan 2 dan 3 karena titik optimal (titik B) merupakan titik perpotongan persamaan 2 dan persamaan 3.

 Fungsi tujuan semula adalah  Maks Z = 200X1 + 160X2  Karena akan ditentukan range C1, maka

 Koefisien fungsi tujuan dapat ditulis sebagai Z = C1X1 + 160X2

 Slope Z = C1/160

 Slope batasan 2=40/20  Slope batasan 3=20/25

Range C1

 Batas atas C1 adalah: C1/160 = 40/20 atau C1 = 320  Batas bawah C1 adalah: C1/160 = 20/25 atau C1 = 128

 Artinya, selama C1 masih di dalam range tersebut, maka titik B tetap sebagai titik

optimal. Pada batas atas dan batas bawah akan terjadi Multiple Optimal Solution. Jika C1 = 128, solusi optimal berada pada titik A dan titik B.

Jika C1 = 320, solusi optimal berada pada titik B dan C.

Jadi, Range C1 adalah:

128 ≤ C1 ≤ 320

Range C2

 Karena akan ditentukan range C2, maka

 Koefisien fungsi tujuan dapat ditulis sebagai Z = 200X1 + C2X2  Slope Z = 200/C2

 Slope batasan 2=40/20  Slope batasan 3=20/25

 Batas bawah C2 adalah: 200/C2 = 40/20 atau C2 = 100  Batas atas C2 adalah: 200/C2 = 20/25 atau C2 = 250

Jadi, Range C2 adalah :

100 ≤ C1 ≤ 250

Artinya, selama C2, masih di dalam range tersebut,

maka titik B tetap sebagai titik optimal. Pada batas atas dan batas bawah akan terjadi Multiple Optimal Solution. Jika C2=100 solusi optimal berada pada titik B dan titik C. Jika C2=250 solusi optimal berada pada titik A dan titik B.

2. Perubahan Konstanta Ruas Kanan (Kapasitas Sumber Daya)

o Perubahan konstanta ruas kanan dapat terjadi karena adanya perubahan pada

kapasitas sumber daya yang dapat digunakan. Perbahan kapasitas sumber daya dapat terjadi pada sumber daya yang longgar (loose) maupun sumber daya yang ketat (tight). Apabila suatu sumber daya merupakan sumber daya yang longgar, maka penambahan kapasitas sumber daya tersebut tidak akan mempengaruhi status sumber daya. Sebaliknya, pada sumber daya yang ketat, perubahan kapasitas (baik penambahan maupun pengurangan) dapat mempengaruhi status sumber daya.

o Oleh karena itu, diperlukan suatu strategi untuk menentukan seberapa besar

batas atas dan bawah kapasitas masing-masing sumber daya dan bagaimana menentukan prioritas sumber daya yang sebaiknya ditambah atau dikurangi perubahan konstanta ruas kanan pada contoh diatas dapat dijelaskan sebagai berikut:



Dari contoh diatas diperoleh



Batasan 1: 30X1 = 30 (37,5) = 1125

Surplus 1500 - 1125 = 375 (longgar)



Batasan 2: 40X1 + 20X2 = 40 (37,5) + 20 (50) = 2500

Surplus: 2500 – 2500 = 0 (ketat)



Batasan 3: 20X1 + 25X2 = 20 (37,5) + 25 (50) = 2000

Surplus: 2000 – 2000 = 0 (ketat)

Range b1

Sumber daya 1 merupakan sumber daya yang longgar, oleh karena itu apabila sumber daya 2 dan sumber daya 3 tetap. Maka penambahan sumber daya 1 sebesar apapun tidak mempengaruhi status sumber daya 2 dan 3 atau dapat dikatakan bahwa batas atas b1 = ∞

Pengurangan sumber daya 1 yang diijinkan supaya status sumber daya 2 dan 3 tidak berubah adalah maksimal sampai titik B (X1 = 37,5 dan X2 = 0) atau batas bawah b1 = 30X1 = 30 (37,5) = 1125

Artinya, selama 1125 ≤ b1 ≤ ∞, maka status sumber daya 2 dan 3 tetap ketat.

Jadi, Range b1 adalah :

1125 ≤ b1 ≤

∞

Range b2 dan b3

Sum ber daya 2 dan sumber daya 3 merupakan sumber daya yang ketat, supaya perpotongan sumber daya 2 dan sumber daya 3 tetap sebagai sumber daya yang ketat, maka sumber daya 2 dapat diturunkan sampai titik A (X1 = 0, X2 = 80) dan dapat dinaikkan sampai titik F (X1 = 50, X2 = 40) dengan asumsi sumber daya yang lain tetap.

o Pada titik A, b2 = 40X1 + 20X2  40(0) + 20(80) = 1600 o Pada titik F, b2 = 40X1 + 20X2  40(50) + 20(40) = 2800

Artinya, selama 1600 ≤ b2 ≤ 2800, maka status sumber daya 2 dan 3 tetap ketat.

Jadi, Range b2 adalah :

 Sumber daya 3 dapat diturunkan sampai titik C (X1 = 50, X2 = 25) dan dapat

dinaikan sampai titik E (X1 = 0, X2 = 125) dengan asumsi sumber daya yang lain tetap.

o Pada titik C, b3 = 20X1 + 25X2  20(50) + 25(25) = 1625 o Pada titik E, b2 = 20X1 + 25X2  20(0) + 25(125) = 3125

 Artinya, selama 1625 ≤ b3 ≤ 3125, maka status sumber daya 2 dan 3 tetap ketat.

Jadi, Range b3 adalah :

1625 ≤ b3 ≤ 3125

 Untuk menentukan sumber daya mana yang diprioritaskan untuk ditambah atau

dikurangi, digunakan konsep shadow price.

 Shadow price mencerminkan perubahan netto nilai optimum karena perubahan

satu unit sumber daya.

 Sumber daya 1 merupakan sumber daya yang longgar sehingga nilai Z tidak akan

berubah sepanjang range b1 (1125 ≤ b1 ≤ ∞). Atau setiap penambahan / pengurangan 1 unit sumber daya sampai batas yang diizinkan (1125 ≤ b1 ≤ ∞) tidak akan berpengaruh terhadap Z.

Shadow Price Sumber Daya 1

Shadow Price sumber daya 2

Sumber daya 2 dan sumber daya 3 merupakan sumber daya yang ketat. Jika sumber daya 2 dan sumber daya 3 diubah sepanjang range-nya (1600 ≤ b2 ≤ 2800 dan 1625 ≤ b3 ≤ 3125) maka besarnya shadow price dapat dihitung sebagai berikut:

Pada titik A (X1 = 0, X2 = 80), b2 turun sebesar (2500 - 1600) = 900 unit

Z = 200(0) + 160(80) = 12.800, turun sebesar (15.500 – 12.800) = 2700

Atau, setiap pengurangan 1 unit sumber daya 2 sampai batas yang diizinkan akan mengurangi nilai Z sebesar 2700/900 = 3

Pada titik F (X1 = 50, X2= 40), b2 naik sebesar (2800 - 2500) = 300 unit

Z = 200(50) + 160(40) = 16.400, naik sebesar (16.400 – 15.500) = 900

Atau, setiap penambahan 1 unit sumber daya 2 sampai batas yang diizinkan akan menaikkan nilai Z sebesar 900/300 = 3

Shadow Price sumber daya 3

Sumber daya 2 dan sumber daya 3 merupakan sumber daya yang ketat. Jika sumber daya 2 dan sumber daya 3 diubah sepanjang range-nya (1600 ≤ b2 ≤ 2800 dan 1625 ≤ b3 ≤ 3125) maka besarnya shadow price dapat dihitung sebagai berikut:

Pada titik C (X1 = 50, X2 = 25), b3 turun sebesar (2000 - 1625) = 375 unit

Z = 200(50) + 160(25) = 14.000, turun sebesar (15.500 – 14.000) = 1500

Atau, setiap pengurangan 1 unit sumber daya 3 sampai batas yang diizinkan akan mengurangi nilai Z sebesar 1500/375 = 4

Pada titik E (X1 = 0, X2= 125), b3 naik sebesar (3125 - 2000) = 1125 unit

Z = 200(0) + 160(125) = 25.000, naik sebesar (20.000 – 15.500) = 4500

Atau, setiap penambahan 1 unit sumber daya 3 sampai batas yang diizinkan akan menaikkan nilai Z sebesar 4500/1125 = 4

 Berdasarkan shadow price tersebut, dapat ditentukan prioritas

penambahan/pengurangan sumber daya.

 Prioritas sumber daya yang akan ditambah adalah sumber daya yang memiliki

pengaruh terhadap Z yang besar.

 Prioritas sumber daya yang akan dikurangi adalah sumber daya yang memiliki

o Kondisi optimal tercapai jika perusahaan memproduksi produk A sebanyak 37,5

unit dan produk B sebanyak 50 unit yang akan menghasilkan keuntungan sebesar 15.500. pada kondisi ini sumber daya 2 dan 3 statusnya ketat, artinya kapasitas yang tersedia sesuai dengan yang dibutuhkan.

o Status sumber daya 2 dan 3 tetap ketat, selama perubahan kapasitas salah satu

sumber daya masih dalam range sbb:

Range b1 adalah : 1125 ≤ b1 ≤ ∞ Range b2 adalah : 1600 ≤ b2 ≤ 2800 Range b3 adalah : 1625 ≤ b3 ≤ 3125

o Jika perusahaan akan menambah salah satu kapasitas sumber daya, sebaiknya

diprioritaskan untuk menambah kapasitas sumber daya 3 karena memberikan tambahan keuntungan per unit (shadow price) yang paling besar. Sumber daya 1 sebaiknya cukup disediakan sebanyak 1125 unit.

1.

Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

max z = 20x1+ 10x2

subject to

5x1+ 4x2

≤

24

2x1+ 5x2

≤

13

x1 , x2

≥

0

Case 1: Non-Basic Variable

 Jika C2 = 10 + δ, apa yang akan terjadi pada baris koefisien tujuan?

Solusi basis akan tetap optimal sepanjang 6-δ ≥ 0  δ ≤ 6

Dengan kata lain, solusi akan tetap optimal sepanjang C2 ≤ 16

Jika C2 > 16, maka koefisien X2 akan menjadi negative dan X2 akan masuk menjadi variabel basis serta S2 akan menjadi non-basis.

Case 2: Basic Variable

Sehingga, agar solusi tetap optimal,

6+(4/5)

δ ≥

0

4+

δ

/5

≥

0

Menjadi,

δ ≥

-7.5

δ ≥

-20

Rangenya

δ ≥

-7.5 or

c

1

≥

12.5

2.

Perubahan Nilai RHS

Bagaimana jika b1 berubah nilai menjadi

b

1 = 24+

δ

Agar solusi tetap optimal, maka

24/5 +

δ

/5

≥

0

17/5 – (2/5)

δ ≥

0



Jika

_b

_{2 = 13+}

δ maka tabel simplek optimal terakhir adalah



Secara umum, untuk bi ≥ 0, kolom RHS baru di tabel simplek akhir

menjadi

o

For the ≤ type constraint: RHS +

δ

×

col of si

o

For the ≥ type constraint: RHS -

δ

×

col of si

o

For the = type constraint: RHS +

δ

×

col of ri

Range

dari

δ

dapat

ditentukan

dengan

menyelesaikan

pertidaksamaan yang berhubungan dengan nilai RHS baru di baris

1 sampai m.

Maksimumkan Z = 60X1 + 30X2 + 20X3

Subject to 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20 2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8 Tentukan range jike terjadi:

1. Perubahan koefisien tujuan variabel non-basis 2. Perubahan koefisien tujuan variabel basis