HASIL KALI TRANSFORMASI

HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi :

Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F : V → V

G : V → V

Maka komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai GoF didefinisikan sebagai: (GoF) (P) = G[F(P)], ∀P∈V

Teorema :

Jika F : V → V dan G : V → V masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V → V adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

Akan dibuktikan H = G_oF suatu transformasi.

Untuk ini harus dibuktikan dua hal yaitu H surjektif dan H injektif. 1) Akan dibuktikan H surjektif.

Karena F transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V, dan daerah asal G juga seluruh V sebab G suatu transformasi.

Ambil y∈ V, apakah ada x sehingga H(x) = y? Akan dibuktikan y = H(x). Karena G transformasi maka ∀y∈V∃z∈V∋ y= G(z).

Karena F suatu transformasi maka pada z∃x∈V∋ z= F(x). Maka y = G[F(x)] atau y = GoF (x).

Jadi y = H(x).

Jadi H surjektif.

2) Akan dibuktikan H injektif.

Artinya, Jika P ≠ Q maka H(P) ≠ H(Q) ∀P,Q

ε

V.

Ambil P,Q

ε

V dan P ≠ Q. Karena F injektif maka F(P)

≠

F(Q). Jelas G(F(P)) ≠ G(F(Q)) karena G injektif.

Diperoleh, Jika P ≠ Q maka G(F(P)) ≠ G(F(Q)) ∀P,Q

ε

V.

Jadi H injektif.

Karena H surjektif dan H injektif maka H suatu transformasi.

Catatan : Dengan jalan yang serupa dapat pula dibuktikan bahwa hasil kali FoG juga suatu transformasi.

Soal-soal

1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K. Lukislah : a). A = Mg[Mh(P)] b). B = Mh[Mg(P)] c). C = Mh[Mh(P)] d). D = Mg[Mh(K)] e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q f). Apakah MgoMh = MhoMg? Jawab: a). b). c). Q P h g A Mh(P) P Mg(P) h g B P = Mh[Mh(P)] Mh(P) h g

Q P h g K = D d). e).

f). Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)]≠Mh[Mg(P)].

2). Diketahui : T dan S isometri Selidiki :

a). TS sebuah isometri b). TS = ST

c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis. d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’ Jawab :

a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi Berdasarkan teorema “Jika F : V → V dan G : V → V masing-masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G_oF : V → V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi.

Adb apakah TS isometri Ambil sebarang titik A, B∈V

Mh(Q) Q P h g R

S(A) = A’, S(B) = B’

Karena S isometri sehingga AB = A’B’ T(A’) = A”, T(B’) = B”

Karena T suatu isometri sehingga A’B’ = A”B” Dengan demikian AB = A’B’ = A”B”

TS(A) = T[S(A)] TS(A) = T[S(A)]

= T(A’) = T(B’)

= A” = B”

Karena AB = A”B” sehingga TS sebuah isometri. Jadi TS adalah suatu isometri.

b). Adb TS = ST

c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri

Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis” Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis

Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar. d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’

Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua garis”

Sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h

Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar.

3). Diketahui : garis-garis g dan h, A∈ g, B∈ h, C ∈ h Lukislah :

a). Mg[Mh(∆ABC)]

b). Mh[Mg(∆ABC)]

c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K

Jawab: a). Mh(A) = A’ Mh(B) = B’ (karena B∈h maka Mh(B) = B’) Mh(C) = C’ Mg(A’) = A” Mg(B’) = B” Mg(C’) = C”

Jadi, Mg[Mh(∆ABC)] = ∆A”B”C”

b). g h A C B A’ C’ C” A” B” g h A = A’ C B A” C” C’ B” B’

Mg(A) = A’ = A (karena A∈g) Mg(B) = B’ Mg(C) = C’ Mh(A’) = A” Mh(B’) = B” Mh(C’) = C”

Jadi, Mh[Mg(∆ABC)] = ∆A”B”C”

c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K

Mg[Mh(K)] = K ⇔ (MgMh)(K) = K

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong

antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Karena D∈h maka D’ = Mh(D) = D

Sehingga diperoleh Mg(R) = D

Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg

4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k Lukislah : a). g’ = Mh[Mg(g)] b). g’ = Mg[Mh(g)] c). k’ = Mg[Mh(k)] g h K g h R D

Jawab:

a). g’ = Mh[Mg(g)]

b). g’ = Mg[Mh(g)]

c). k’ = Mg[Mh(k)]

5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan Lukislah : a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g g h k g' g h k Mh(g) g' g h k Mh(k) k'

c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h

Jawab:

6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut

Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX

Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = BX∩l

Ditanyakan : a). TS(P)

b). Daerah asal dan daerah nilai TS c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q∈ l

d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya Jawab:

a). Ambil P∈g sehingga S(P) pertengahan AP TS(P) = T[S(P)]

TS(P) perpotongan lingkaran l dengan S(P)B

b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g.

Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X) adalah

l

∩

BX , dan untuk TS(X) maka BS(X)∩l =l

Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l. c).

d). Ambil sebarang titik P

Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l.

S[T(P)] tidak ada karena T(P)∈l, sementara daerah asal S di g. B TS(P) A P g S(P) l

Jadi, ST tidak ada.

7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan h=

{

( )

x,y y= x

}

. Ditanyakan :

a). Persamaan garis Mh[Mg(g)]

b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

e). Besarnya ∠ROR” apabila O titik asal Jawab:

a). Mh[Mg(g)] = Mh(g)

= Mh

(

{

( )

x,0, x∈R

}

)

=

{

( )

0,y , y∈R

}

Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal.

Persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0.

b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)]

= Mh[(0,-3)]

= (-3,0) Jadi P” = (-3,0).

c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

Mh(Q) = Mh(3,-1)

= (-1,3)

Jadi, Q” = Mg[Mh(Q)]

= Mg(-1,3)

= (-1,-3)

d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

R” = Mg[Mh(R)]

= Mg[Mh(x, y)]

= Mg(y, x)

e). m(∠ROR”) = ...? Misalkan m(∠ROR”) = α

(

) (

)

( )

(

)

(

( )

)

(

)

(

)

° = ° = ⇔ = ⇔ = + − ⇔ + − + + + = + + + + − ⇔ − + + − − + + + = + + − ⇔ − + = 270 α atau 90 α 0 α cos 0 α cos 2 α cos 2 2 2 α cos 2 α cos OR" OR 2 OR" OR RR" 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x x y y x x xy y y xy x x y y x x y y x x y y x J adi, m(∠ROR”) = 90°

8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P

Bukti :

Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P∈g dan P∈h

(1)

( )

⇒ Diketahui Mg[Mh(A)] = P ...(i)

Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P

Karena P∈g, menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P ...(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh

Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)⇔Mh(A) = P ...(iii)

Karena P∈h,menurut definisi pencerminan, Mh(P) = P ...(iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh Mh(A) = P = Mh(P)⇔A = P

Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)

(2)

( )

⇐ Diketahui A = P

Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P

Karena A = P dan P ∈h, menurut definisi pencerminan, O(0,0)

R(x,y)

α)

Mh(A) = Mh(P) = P

Karena P ∈g, menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P

Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti)

Dari (1) dan (2) diperoleh :

Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti)

9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h =

{

( )

x,y y= x

}

S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika P∈g maka S(P) = P, jika P∉g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g

Ditanyakan :

a). Buktikan S suatu transformasi!

b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]!

c). Selidiki apakah S Mg = Mg S? d). Selidiki apakah S Mh = Mh S? Jawab:

a). S : V → V

Akan dibuktikan S bijektif (i). Akan dibuktikan S surjektif

(1). Untuk P∈g

Ambil sebarang P∈V

Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P (2). Untuk P∉g

Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P dengan P∈PT dimana T∈g dan PT⊥ g

Sehingga PX = XT

Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT

Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X.

Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif. (ii).Akan dibuktikan S injektif

Ambil sebarang P, Q∈V dengan P≠Q (1). Untuk P, Q∈g

Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q Karena P≠Q maka S(P)≠S(Q) (2). Untuk P∈g dan Q∉g

Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X∉g

Karena P∈g dan X∉g maka P≠X atau S(P)≠S(Q) (3). Untuk P, Q∉g

Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g. Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X

Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T∈g.

Maka Y∈PT dan PY = YT

Karena X = Y maka X∈PT dan PX = XT ...(*)

Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X∈UQ dan QX = XU ...(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit.

Karena T∈g dan U∈g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P≠Q. b). P = (x, y) (i). Untuk P∈g Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P (ii).Untuk P∉g Mg(P) = (x,-y) S[Mg(P)] = ) 2 1 , (x− y

c). Ambil sebarang P = (x, y) (i). Untuk P∈g [S(P)] M (P)] [M S P (P) M [S(P)] M maka P S(P) P S(P) (P)] [M S maka P (P) M g g g g g g =     = = = = = = (ii).Untuk P∉g [S(P)] M (P)] [M S ) 2 1 , ( M [S(P)] M maka ) 2 1 , ( S(P) ) 2 1 , ( S(P) (P)] [M S maka ) , ( (P) M g g g g g g =       − = − = − = = − = y x y x y x y x Jadi, S[M_g(P)]=M_g[S(P)] d). Ambil sebarang P = (x, y) (i). Untuk P∈g (P)] [M S [S(P)] M ) , 0 ( [S(P)] M maka ) 0 , ( S(P) ) 2 1 , 0 ( (P)] [M S maka ) , 0 ( (P) M h h h h h ≠     = = = = x x x x (ii).Untuk P∉g (P)] [M S [S(P)] M ) , 2 1 ( [S(P)] M maka ) 2 1 , ( S(P) ) 2 1 , ( (P)] [M S maka ) , ( (P) M h h h h h ≠       = = = = x y y x x y x y Jadi, M_h[S(P)]≠S[M_h(P)] 10). Diketahui : g =

{

( )

x,y y =0

}

dan h =

{

( )

x,y y=x

}

S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9) A = (2,-8) dan P = (x, y)

Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut :

a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(A)

b). Mg S Mh(A) e). S2 Mh(A)

c). S Mh S(A) f). S M2g(A)

Jawab:

a). A = (2, -8) A’ = S(A)

Sesuai definisi S (jika P∈g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan ⊥ g.

A’ = ) (2, 4) 2 ) 8 ( 0 , 2 2 2 ( + + − = − Jadi, S(A) = (2,-4) A” = MgS(A) = Mg(2,-4)

Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal:

A” = (a, b), maka:

4 , 2 ) 2 2 , 2 1 ( ) 0 , 2 ( ) 2 4 , 2 2 ( ) 0 , 2 ( = +a − +b ⇔ = + a b− ⇔a= b=

Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4)

A”’ = Mh(A”) = MhMgS(A) = Mh(2,4)

Sesuai definisi pencerminan, maka garis h adalah garis sumbu titik (2,4) dan A”’. Misal A”’ = (a’, b’), maka:

Untuk mencari titik tengah A” dan A”’

Misal titik tengah A” dan A”’ adalah W, maka W∈h

Karena h adalah garis y = x, maka nilai absis sama dengan ordinat, gradien h = 1

Misal W = (m,m)

Persamaan garis melalui A” dan W: 6 ) 4 ( 1 2=− − ⇔ =− + − x y x y (dengan gradien(m) = 1)

Subtitusikan W(m,m) pada y=−x+6 maka m=−m+6⇔2m=6⇔m=3 Jadi, W(3,3).

11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus

A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C

Ditanyakan : tentukan titik-titik

a). M3g(A) c). MhMgMhMhMg(A)

b). MhMgMh(A) d). M2gM3h(A)

Jawab:

a). M3g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A) = (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2h)[Mg(A)] = (MgMg)(B) = (MhMgM2h)(B) = Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2h(B)] = Mg(A) = (MhMg)(B) = B = Mh[Mg(B)] = Mh(A) = C

b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2gM3h(A) = (M2gMh)[M2h (A)]

= (MhMg)(C) = (M2gMh)(A)

= Mh[Mg(C)] = M2g[Mh(A)]

= Mh(D) = M2g(C)

= B = C

12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P∉g dan P∉h

Ditanyakan :

a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)!

b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”? c). Buktikan pendapat anda!

B(x,y) A(-x,y)

C(-x,-y) _D(x,-y)

g

Jawab: a).

b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q)

Jadi, P"Q"= MgMh( PQ )

Karena pencerminan suatu isometri, maka P"Q"// PQ dan P"Q"= PQ , dengan demikian segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”).

13). Diketahui : g =

{

( )

x,y y =3

}

, h =

{

( )

x,y y=−1

}

, dan k sebuah garis yang melalui A = (1,4) dan B = (-1,-2)

Tentukanlah :

a). Persamaan k’ = MgMh(k)

b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B)

c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y)

d). Nilai α dalam persamaan garis h=

{

( )

x,y y =α

}

apabila g =

{

( )

x,y x=2

}

, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1)

Jawab:

a). k’ = MgMh(k)

Karena A∈k dan B∈k, sehingga A”=MgMh(A)∈kdan B”=MgMh(B)∈k.

A” = (1,12), B” = (-1,6). Misal A” = (x₁,y₁)dan B” = (x₂,y₂).

g _h Q P P’ = Mh(P) Q’ = Mh(Q) MgMh(P) = P” MgMh(Q) = Q”

Persamaan garis k’: 1 1 1 12 6 12 1 2 1 1 2 1 − − − = − − ⇔ − − = − − y x x x x x y y y y 9 3 3 3 12 ) 1 ( 3 12 2 1 6 12 + = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − − = − − ⇔ x y x y x y x y

Jadi, persamaan garis k':y=3x+9

b). AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8. Luas = a x t = 2 x 8 = 16

Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas.

c). P(x,y). Pencerminan titik P terhadap garis h → Mh(P) = P’(x',y')

Karena garis h merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari

y dan y’: 2 ' 2 ' 1 2 ' − − = ⇔ − = − ⇔ − = − y y y y y y dan x'=x

Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2)

Pencerminan titik P’ terhadap garis g → Mg[Mh(P)] = P”(x",y")

Karena garis g merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari

y’ dan y”:

8 " ) 2 ( 6 " ' 6 " 6 " ' 3 2 " ' + = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − y y y y y y y y y y Dan x"= x'= x

Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8)

d). h=

{

( )

x,y y=α

}

, g =

{

( )

x,y x=2

}

, A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1),

berapa α?

Pencerminan titik A terhadap garis g =

{

( )

x,y x=2

}

: Mg(A) = A’(x',y')

Karena garis g merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap).

1 ' 4 ' 5 2 2 ' 5+ _{= ⇔ + = ⇔ =−} x x x

Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1)

Pencerminan titik A’ terhadap garis h=

{

( )

x,y y=α

}

: A” = Mh(A’) = Mh(-1,1)

= (-3,1)

Karena garis h merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x = α merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1.

2 α α 2 ) 3 ( 1 − = ⇔ = − + −

Jadi, persamaan garis h=

{

( )

x,y y=2

}

14). Diketahui : dua garis, g ⊥ h, Q =g∩h, dan sebuah titik P∉g,dan P∉h

Ditanyakan :

e). Lukislah A = MgMh(P)

f). Selidiki apakah Q titik tengah AP?

g). Lukislah B = MhMg(P)

Jawab:

a). A = MgMh(P)

b). Misalkan Mh(P) = P’

Maka PP' memotong h di titik R dan P'A memotong g di titik S Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP'⊥ h Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan P'A⊥ g Karena PP'⊥ h dan g ⊥ h maka PP' // g sehingga RP’ = QS

Karena P'A⊥g dan g ⊥ h maka P'A// h sehingga P’S = RQ Perhatikan ∆PRQ dan ∆QSA

A Mh(P) P Q g h R S

PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS m(∠PRQ) = m(∠QSA) = 90°

RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan Maka ∆PRQ ≅ ∆QSA dengan aturan S Sd S Sehingga PQ = QA

Karena PQ = QA dan PQ∈PA dan QA∈PA maka Q tengah-tengah PA Jadi, titik Q pada pertengahan PA

c). A = MgMh(P)

15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal A = (4,-3) dan P = (x,y)

Tentukanlah :

a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A)

b). Koordinat-koordinat MhMg(P)

c). Apakah MhMg dan MgMh?

Jawab:

a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)]

= Mh[Mg(4,-3)] = Mh(-4,-3) = (-4,3) MgMh(A) = Mg[Mh(A)] = Mg[Mh(4,-3)] = Mh(4,3) = (-4,3) P _Mg(P) B g h

b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)] = Mh(-x, y) = (-x,-y) c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)] = Mg(x,-y) = (-x, -y) Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P) Jadi, MhMg(P) = MgMh(P)