Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh
Sudaryatno Sudirham
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Bandung fdg-1110
e-mail: darpublic@yahoo.com Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117 Kata Pengantar Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika bagi pembaca untuk memperoleh pengertian dengan lebih mudah tentang kalkulus. Walaupun materi yang dibahas adalah materi matematika, namun uraian dengan bahasa matematika telah dicoba untuk sangat dibatasi. Pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami. Penulis berharap bahwa pengertian dasar yang bisa diperoleh dari buku ini akan mendorong minat untuk mendalami materi lebih lanjut. Buku ini dutujukan untuk umum. Bahan utama isi buku adalah catatan penulis sewaktu mengikuti kuliah di Institut Teknologi Bandung, sedangkan contoh-contoh hubungan diferensial dan soal-soal persamaan diferensial penulis ambil dari buku “Analisis Rangkaian Elektrik”. Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal berupa bilangan nyata. Karakterisasi fungsi-fungsi-fungsi-fungsi serta perhitungan diferensial dan integral sangat dipermudah dengan bantuan komputer. Hal demikian banyak dilakukan dalam meghadapi persoalan yang kompleks. Namun buku ini tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang fungsi serta hitungan diferensial dan integral. Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini ada manfaatnya. Saran-saran pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan lebih lanjut.
Bandung, Nopember 2010 Wassalam, Penulis <> A. Schopenhauer, 1788 – 1860
dari Mini-Encyclopédie, France Loisirs ISBN 2-7242-1551-6
Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi Bab 1: Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak. Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan. Bab 2: Fungsi Linier Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis Lurus. Pergeseran Kurva.
Perkalian Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp. Bab 4: Mononom dan Polinom Mononom: Mononom Pangkat Dua; Mononom Pangkat Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom Pangkat Tiga. Bab 5: Bangun Geometris Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.
Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua. Perputaran Sumbu. Bab 6: Fungsi Trigonometri Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi. Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus. Spetrum Dan Lebar Pita. Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi Hiperbolik. Bab 9: Turunan Fungsi-Fungsi (1) Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung.
iii v 1 15 27 37 55 69 85 95 105 iii
Bab 10: Turunan Fungsi-Fungsi (2) Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy.
121
Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi (3) Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial. Bab 12: Integral (1) Integral Tak Tentu. Penggunaan Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Penggunaan Dalam Praktek. Bab 13: Integral (2) Luas Sebagai Suatu Integral - Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Bab 14: Integral (3) Volume Sebagai Suatu Integral. Panjang Kurva. Nilai Rata-Rata Suatu Fungsi. Pendekatan Numerik. Bab 15: Persamaan Diferensial Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa. Bab 16: Persamaan Diferensial (2) Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi. Bab 17: Koordinat Polar Relasi koordinat Polar dan
Koordinat Sudut-siku. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan Oval Cassini. Luas Bidang. Indeks Referensi Biodata penulis 133
169 179 193 201
213 215 216
iv Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan
y = f (x) (1.1)
Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai. y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-takbebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai yang dimiliki x. Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis
LT = L0 (1 + λT ) dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi. Jika logam tersebut
mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah
temperaturnya. Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 1
1.2. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar. Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh peristiwa fisis. 1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai v(t ) = at (lihat
contoh fungsi linier sub-bab-2.7). Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah s(t ) =
1 2 at 2
2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah
vk = at 41 anoda ] katoda l
(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7). Waktu tempuh dapat dihitung dari formula s(t ) = 1 2 at , di mana s(t) 2
= l. 3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan sentral adalah ψ = e jkr dengan k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan gelombang.
k =
2π , λ : panjang λ
gelombang Energi kinetik elektron gelombang, Ek , adalah sebagai Ek 2 2 Ek = me massa electron, h k 2me h suatu konstanta. k
Ek dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua (Dari Bab-8, ref. [4])
Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y = kx . Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.
di dalam rentang −1 ≤ x ≤ 1 . 3 2 y = 2x5 y = 2x3 y = 2x 1 0 -1.5 -1 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 -2 -3
Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil. Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis y = kx bisa terjadi pada nilai x < 1. 4.2. Polinom Pangkat Dua Fungsi polinom pangkat dua berbentuk
y = ax 2 + bx + c (4.4)
Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6. 150
y y1=2x2 y2=15x y3=13 0 -10 0 x -150
Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat. 43
Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a. 150 y1=2x2 y y4=2x2+15x 0 -10 0 x x = −15/2 y2=15x -150 150 (a) y sumbu simetri y4=2x2+15x −15/4 0 -10 x 0 −15/2 -150 (b) 150 sumbu simetri y y5 = 2x2+15x+13 y4 = 2x2+15x 0 -10 (c) 0 x
Diferensial dan Integral
Karena y2 = 15 x melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2 juga melalui titik [0,0] maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva
y4 = y1 + y2 = 2 x 2 + 15 x (4.5)
yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga memotong sumbu-x di x = −15 / 2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan
x = −15 / 2 ) memenuhi persamaan y3 = 2 x 2 + 15 x = 0 . Kurva ini memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = −15 / 4 seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13
ditambahkan pada y4 tebentuklah y5 = 2 x 2 + 15 x + 13 (4.6)
yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c. Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)
y = ax 2 + bx + c yang dapat kita tuliskan sebagai 2
b b b2 +c y = a x 2 + x + c = a x + − a 2a 4a 2 b b 2 − 4ac = a x + − 2a 4a
(4.7)
Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y b adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh − 2a kemudian
tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh b 2 − 4ac . − 4a Perhatikan Gb.4.8. 45
y = ax2 +bx +c y 0 } − y = ax2 x2 x1 x 0 b 2a -50 b 2 − 4 ac − 4a
Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri sejauh –b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah sejauh –(b2−4ac)/4a.
b dan kurva memotong sumbu-x di 2a sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari persamaan (4.7) kita dapatkan Sumbu simetri terletak pada x = −
2 2
b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac y = a x + = 0 → a x + = − 2a 4a 2a 4a 2 b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac → →x + x = ± + = 2a 2a 4a 2 4a 2 x1, x2 = −
b b 2 − 4ac ± 2a 2a (4.8)
yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol
(4.9)
Jika (b 2 − 4ac) < 0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas. Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut: 1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax 2 + bx yang memotong
sumbu-b sumbu-b dan memiliki sumsumbu-bu simetri di x = − 2a a menjadi sumsumbu-bu simetri kurva fungsi kuadrat x di x = 0 dan x = − yang juga 2 y = ax + bx + c . 2. Nilai puncak fungsi y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx ditambah c yaitu y = − adalah 2 nilai puncak 2 b b − 4ac + c atau − . 4a 4a
3. Fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c memotong sumbu-x di x1,2 = −
b b 2 − 4ac ± 2a 2a 47
4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan y = kx3 . Jika k positif, fungsi ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9. 500 y
y =−3x3 400 300 200 y = 2x3 100 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 -100 1 2 3 4 x 5 -200 y = 2x 3 -300 -400 y =−3x 3 -500
Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx3. Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan (x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang tergeser akan menjadi
y = k ( x − a )3 + b (4.10)
dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.
48 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral y
200 0 -5 -3 -1 1 3 x 5 -200 y = 10(x−2)3 -400 y = 10(x−2)3 + 100 -600
Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser. Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang berbentuk
y = ax3 + bx 2 + cx + d (4.11)
Karena y = kx3 naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0]. Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y1 = ax 3 dan b =19, c = −80, d = −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y2 = bx 2 + cx + d seperti terlihat pada Gb.4.11.a.
49 2000 y y1= 4x3 y 2 = 19 x 2 − 80 x − 200 0 10 0
x 0 x 10 (a) -2000 2000 y y3 = y1 + y 2 y2 = 4 x 3 + 19 x 2 − 80 x − 200 0 -10 10 y1 (b) -2000
Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2. Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1 ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada
Gb.4.9.b. Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa persamaan pangkat tiga ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (dengan nilai koefisien yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.
50 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan yang ke-tiga ini. 2000
y2 y 3 = y1 + y 2 -10 10
y1 -2000
-10 15
y3 = y1+y2 y1 -2000
(b) a terlalu positif Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2. Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita 51
peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita bahas di sub-bab sebelumnya. Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4.13.a.
y 3 = y1 + y 2 2000 y2 y1 0 -10 0 15 -2000 (a) y 3 = y1 + y 2 y2 y1 0 -10 (b) 0 15 -2000
Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif. Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a 52 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4.13.b.
CATATA4: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong. 4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞ sampai +∞. Nilai peubah y akan
mengikuti nilai x. Fungsi polinom kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom, y = y1 × y 2 . Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua y = kx 2 simetris terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi-fungsi cosinus yang akan kita pelajari di bab lain. Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga y = kx 3 simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6. Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil. Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan 53
dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu-y.
Soal-Soal 1. 2.
Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
y1 = 4 x 2 ; y2 = 5x 2 − 7 ; y3 = 3x 2 − 12 ; y 4 = −4 x 2 + 8
Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan antara kurva-kurva fungsi berikut ini y1 dan y 2 ; 3.
y 3 dan y 4
Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
y3 = −4 x 2 + 2 x
Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut. y1 dan y 2 ; y 2 dan y3 ; y1 dan y3 5.
Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
y1 = 5 x 2 − 10 x − 7 ; y 2 = 3 x 2 − 12 x + 2 ; y3 = −4 x 2 + 2 x + 8 6.
Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan kurva-kurva fungsi berikut. y1 dan y 2 ;
y 2 dan y 3 ; y1 dan y3
54 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F ( x, y ) = 0
(5.1)
Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak pada kurva. Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di antaranya telah kita pelajari di bab pertama.
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. a)
c)
jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut. Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum
pembatasan pembahasan. Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Jika kita cari nilai y kita dapatkan y = ± 1− x2 55
Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1 . Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang −1 ≤ y ≤ 1 .
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]. Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y. Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan asimptot dari kurva. Contoh: y 2 ( x 2 − x) = x 2 + 10 . 2 Persamaan ini memberikan y = ± x + 10 x( x − 1)
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif. Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.
56 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral 4 y 0 -4 0 4 -4
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah). Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai y2 =
x 2 + 10 x2 − x =
1 + 10 / x 2 1 − 1/ x
Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y = −1 juga merupakan asimptot dari kurva.
5.2. Jarak Antara Dua Titik Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka jarak antara keduanya adalah
PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq ) 2 (5.2)
Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini. 57
Soal-Soal: 1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap P dan Q. 2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat
kedudukan R yang sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ. 5.3. Parabola Kita telah melihat bentuk kurva
y = kx 2 (5.3)
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola. Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu, seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola, dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya. y y=kx
2
P[x,y] Q[0,p] [0,0] x R[x,−p]
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks. Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut. PQ = (PR − p) 2 + x 2 = ( y − p) 2 + x 2 = y 2 − 2 py + p 2 + x 2 PR = ( y + p)
58 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Karena PQ = PR, maka
y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y + p y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y 2 + 2 py + p 2 + x 2 = +4 py atau y= x2 1 1 yang berarti k = atau p = 4p 4p 4k
Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan y=
1 2 x 4p (5.4)
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].
Contoh: Persamaan parabola y = 0,5 x 2 dapat kita tuliskan y=
1 2 1 x = x2 2 4 × 0,5
dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0,5 dan titik fokus di Q[0,(0,5)]. Soal-Soal: Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:
y2 + 4x = 8 ; x2 − 8 y = 4 ;
x2 + 2x − 4 y − 3 = 0 ; y2 + x + y = 0
5.4. Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran. Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y] ke titik-asal adalah
XO = x 2 + y 2 59
Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka
x2 + y2 = r Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah x2 + y2 = r 2
(5.5)
dengan r adalah jari-jari lingkaran. Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di P[a,b] mempunyai persamaan
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 (5.6)
1 [0,0] x 0,5
-1 Gb.5.3. Lingkaran Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2 = 0,4 berpusat di [(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5 skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan
( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = 0,4
60 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Soal-Soal: Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat lingkaran berikut 1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4. 2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5. 3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3. 4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.
5.5. Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan. Kedua titik tertentu tersebut merupakan X[x,y] dua titik fokus dari elips. Perhatikan Gb.5.4. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−a,0] dan Q(a,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-masing adalah
P[-c, 0] Q[c, 0] x Gb.5.4. Elips 2 XP = ( x + c) + y 2 dan
XQ = ( x − c) 2 + y 2 Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka
( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, akan kita peroleh
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 yang dapat disederhanakan menjadi a−
c x = ( x − c) 2 + y 2 a 61
Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan c2 2 x = x 2 − 2cx + c 2 + y 2 2 a
a 2 − 2cx +
yang dapat disederhanakan menjadi x2 a2
+
y2 a2 − c2 =1
Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c, sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar nyata; misalkan persamaan elips
a 2 − c 2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan x2 a2 +
y2 b2 =1 (5.7)
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita mendapatkan persamaan lingkaran). Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah
( x − p) 2 a2 + ( y − q)2 b2 =1
adalah elips dengan persamaan ( x − 0,5) 2 ( y − 0,25) 2 + =1 1 0,5 2
62 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral 1 y 0 -1 0 x 1 2 -1 Gb.5.5. Elips tergeser.
Soal-Soal: Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut: 1) 9 x 2 + 4 x 2 = 36 ; 2) 4 x 2 + 9 y 2 = 144 ; 3) 4 x 2 + y 2 = 1 ; 4) 16( x − 2) 2 + 9( y + 3) 2 = 144
5.6. Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di atas. Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan Q(c,0]. Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasing adalah XP = ( x + c) 2 + y 2 dan XQ = ( x − c) 2 + y 2 63 y X(x,y) Q[c,0] P[-c,0] x
2a, maka
( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan
(c / a ) x − a = ( x − c ) 2 + y 2 Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh x2 a2
−
y2 c2 − a2 =1
Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua ruas kiri selalu positif, misalkan dapatkan persamaan x2 a2
− y2 b2
c 2 − a 2 = b 2 . Dengan demikian kita =1 (5.9)
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7. 64 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral y
+∞ X(x,y) a c -c -a
x
−∞ Gb.5.7. Kurva hiperbola Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola
dengan sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a. Soal-Soal: Gambarkan (skets) hiperbola berikut: 1)
x2 y 2 − =1 ; 9 16 2)
4)
x2 y 2 − = −1 9 16
5.4. Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(5.10)
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan B = C = D = F = 0; A = 1; E = −4 p 65
1 2 x . 4p Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan sehingga diperoleh persamaan (5.4) y =
B = D = E = 0; A = 1; C = 1; F = −1
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari (5.10), di mana A = B = C = 0; D = −a; E = 1; F = −b yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi persamaan berderajat satu. Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada
persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.
5.5. Perputaran Sumbu Koordinat Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0] dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8. y Q[a,a] P[-a,-a]
x
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a] Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a
( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 = 2a 66 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh
x + y − a = ( x − a) 2 + ( y − a ) 2 Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan 2 xy = a 2
(5.11)
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II dan III seperti terlihat pada Gb.5.9. 5
0 -5 0 -5
Gb.5.9. Kurva 2xy = a2. Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki sumbu simetri yang terputar 45o
berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x. Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10. y P[x,y] P[x’,y’] y’ x’ Q’ β α O x Q Gb.5.10. Perputaran sumbu. 67
Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan x = OQ = OP cos(α + β) (5.12) y = PQ = OP sin(α + β) Sementara itu
x' = OQ' = OP cos β y ' = PQ' = OP sin β Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6) cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi x = x' cos α − y ' sin α
(5.14) (5.15)
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu. Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga
cos α = sin α = 1 / 2 . Oleh karena itu kita peroleh x'− y ' x'+ y ' dan y = x= 2 2 Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan x '− y ' x'+ y ' 2 × = ( x' ) 2 − ( y ' ) 2 = a 2 2 2 Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9) sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o. Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
68 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 6 Fungsi Trigonometri 6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas.
y1 = sin θ; y2 = cos θ
sin θ ; cos θ 1 y5 = sec θ = ; cos θ cos θ sin θ 1 y6 = csc θ = . sin θ y3 = tan θ =
y 4 = cot θ = (6.1)
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
y 1 P r -1 O [0,0]
θ -θ Q 1 x P’ -1 Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1. 69
Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka
PQ = PQ (6.2) r PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh sin θ =
sin 0o = 0; sin 90o = 1; sin 180o = 0; sin 270o = −1; sin 360o = 0 Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka
cos θ = OQ = OQ r (6.3)
OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian
seterusnya. Secara singkat
cos 0o = 1; cos 90o = 0; cos180o = −1; cos 270o = 0; cos 360o = 1 Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ2 + OQ2 = OP2 =1, maka
sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 (6.4.a)
Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga 70 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
OQ = cos θ r (6.4.c) cos(−θ) =
Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1.
Fungsi Tangent. tan θ = tan(−θ) = PQ OQ P′Q −PQ = = − tan θ OQ OQ (6.4.d) (6.4.e)
Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞. Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.
Fungsi Cotangent. cot θ = cot(−θ) = OQ PQ OQ OQ = = − cot θ ′ P Q − PQ (6.4.f) (6.4.g)
Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0. Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.
71
Fungsi Secan dan Cosecan sec θ =
1 r = cos θ OQ (6.4.h)
csc θ =
1 r = sin θ PQ (6.4.i)
Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7.
Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.2., yaitu y sinα cosβ sinα
1 sinα sinβ cosα β α -1 cosα sinβ β 1 [0,0] x cosα cosβ -1 Gb.6.2. Relasi-relasi
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (6.5)
Karena sin(−β) = − sin β dan cos(−β) = cos β maka kita peroleh pula sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β (6.6)
terbatas, π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan r s satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ θ didefinisikan dengan persamaan s θ= , s = rθ (6.7) r o Jika θ = 360 maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka ukuran sudut
θ1 = 180o adalah π rad. θ2 = 90o adalah 0,5π rad. θ3 = 1o adalah (π / 180) rad. dst. Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem
koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus
y = sin(x) (6.8)
terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360o; inilah satu perioda. y
1,5 1 0,5 −2π −π 0 -0,5 0 π 2π x -1 -1,5
Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 73 Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus y = cos(x) (6.9)
terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π. 1,5
1 perioda 0,5 −π 0 -0,5 0 π 2π x -1 -1,5
Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu
sin( x) = − sin(− x) sedangkan
cos( x) = cos(− x) (6.10)
Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus y = sin( x) = cos( x − π / 2)
(6.11)
Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi y = tan( x) =
sin( x) cos( x) (6.12)
3 2 1 -1,5π -π 0 -0,5π 0 -1 0,5π π 1,5π -2 -3 Gb.6.5. Kurva y = tan(x)
Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. y = cot( x) =
cos( x) 1 = sin( x) tan( x ) (6.13)
Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6. 3 2 1 -1,5π -π 0 -0,5π 0 -1 0,5π π 1,5π -2 -3 Gb.6.6. Kurva y = cot (x) 75
Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. y = sec( x) =
1 cos( x) (6.14.a)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.
Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. y = csc( x) =
1 sin( x) (6.14.b)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0. 3 2 1 -1,5π -π 0 -0,5π 0 -1 0,5π π 1,5π 0,5π π 1,5π -2 -3 (a) y = sec(x) 3 2 1 -1,5π -π 0 -0,5π 0 -1 -2 -3
(b) y = csc(x) Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x) 76 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: y = 2 sin x ;
y = 3 sin 2 x ;
y = 3 cos(2 x + π / 4) ; y = 2 cos 3x ;
y = 2 tan( x / 3)
y = sin( x ) , maka fungsi y = sin −1 x
(6.15)
Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca
sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x. Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi
y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus inversi pada − π ≤ y ≤ π . Dengan pembatasan ini 2 2 maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai utama y = sin −1 x terletak pada − π ≤ sin −1 x ≤ π . Kurva fungsi 2 2 y = sin −1 x yang
dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.
Contoh:
y = sin −1(1) = 0,5π ; y = sin −1 (−1) = −0,5π y = sin −1 (0,5) = π ; 6 y = sin −1 (−0,5) = − π 6 77 y 2π π 0,5π -1 0 0 1 y x 0,25π 0 −π -1
-0,5 0 0,5 x 1 -0,25π −2π -0,5π a) Gb.6.8. Kurva y = sin−1x b)
Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang π π − ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi 2 2 sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.
Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan y = cos −1 x =
π − sin −1 x 2 (6.16)
Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan sin α = cos β . Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga cos −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − sin −1 x
78 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Karena dengan pembatasan − π ≤ y ≤ π pada fungsi sinus inversi 2 2 π π − 1 memberikan − ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos −1 x akan 2 2 − 1 terletak pada 0 ≤ cos x ≤ π . Gb.6.9.b.
memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang 0 ≤ x ≤ π . y
π y
0 0 1 x 0,5π 0,25π −π 0 -1 -0,5 0 a) 0,5 x 1 b) Gb.6.9. Kurva y = cos −1 x
Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah y = tan −1 x dengan nilai utama −
(6.17)
π π < tan −1 x < 2 2
Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai
tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva y = tan −1 x lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai − 0,5π < y < 0.5π . 79
1,5π y π 0,5π
0,5π y 0,25π -3 -2 -1 0 -0,5π 0 1 2 3 x 0 -10 -5 0 -π -0,25π -1,5π -0,5π a) Gb.6.10. Kurva y = tan b) −1 5 x 10 x
Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π − < tan −1 x < 2 2 Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.
(6.18)
0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.
Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan tan α = cot β . Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga cot −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − tan −1 x Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11. 80 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
1π y 0,5π 0 -10 -5 0 5 x 10
Gb.6.11. Kurva y = cot −1 x Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.
Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi y = sec−1 x = cos −1
1 x (6.19)
dengan nilai utama 0 ≤ sec−1 x ≤ π . π 0,75π 0,5π 0,25π 0 -4
-3 -2 -1
0 1 2 Gb.6.12. Kurva y = sec 3 −1 4 x
Fungsi Cosecan Inversi.
1 x dengan nilai utama − π ≤ csc−1 x ≤ π 2 2 csc −1 x = sin −1 (6.20)
81
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya. 0,5π y 0,25π
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 -0,25π -0,5π Gb.6.12. Kurva y = csc−1 x
Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. 1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini. 1
1 − x2 Dari gambar ini selain fungsi y = sin −1 x dan sin y = x , kita dapat peroleh x cos y = 1 − x 2 , tan y = , dst. 1 − x2
82 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos −1 x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini. 1
1 − x2
y x Selain cos y = x dari gambar ini kita dapatkan sin y = 1 − x 2 ,
tan y = 1 − x2 , x dst.
3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. 1+ x2 x y 1 Selain tan y = x , kita peroleh
sin y = x 1 + x2 cos y = , 1 1 + x2 , dst
4). Dari fungsi y = sec −1 x kita gambarkan x
x2 −1
tan y = 1 − x 2 , sin y = x2 − 1 , dst. x
Soal-Soal: 1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y 2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y
84 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka 1 f0 = (7.1) T0 Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah 2π ω = 2πf 0 = (7.2) T0 Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai 2πt y = A cos ωt = A cos (7.3) T0
Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi sinus y = sin(x) atau fungsi cosinus y = cos(x) dengan x sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan fungsi cosinus y = cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 85
Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.2.
2πt π y = A cos ωt − = A sin ωt = A sin 2 T0 (7.4) y A 0 T0 t 0 -A
2πt Gb.7.1. Fungsi cosinus y = A cos ωt = A cos T0 y A T0
-A
2πt π = A cos ωt − Gb.7.2. Fungsi sinus y = A sin ωt = A sin 2 T 0 Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah 2πt 2πTs − y = A cos ω(t − Ts ) = A cos T0 T0
86 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral y A T0 0 0 Ts t -A
Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah
menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama. Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)
y = A cos ω(t − Ts ) yang dapat pula kita tuliskan
y = A cos(ωt − ωTs ) Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutnya 2πTs ϕ = ωTs = (7.5) T0 disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan
menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan
y = cos(ωt − ϕ) (7.6) 87
Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.
dimaksudkan adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 . Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4.
memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang menyusunnya. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang
merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 . Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf0 .
7.3. Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya. Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut.
88 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral y 4 y 4 0 -5 t 15 -4 y = 3 cos 2f0t 0 -5 15 -4 4 y = 1 + 3 cos 2f0t y 0 -5 t
-4
y = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t ) 1 -5
15 -4
y = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t + π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan dengan persamaan y = 10 + 30 cos(2πf 0t ) + 15 sin (2π(2 f 0 )t ) − 7,5 cos(2π(4 f 0 )t )
Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 89
di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = A cos(2πft + ϕ) . Dengan menggunakan kesamaan
sin(2πft ) = cos(2πft − π / 2) dan − cos(2πft ) = cos(2πft + π)
persamaan fungsi di atas dapat kita tulis y = 10 + 30 cos( 2πf 0t ) + 15 cos( 2π2 f 0t − π / 2) + 7,5 cos( 2π4 f 0t + π)
Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi
Amplitudo Sudut fasa 0 10 −
f0 30 0 2 f0 15 −π/2 4 f0 7,5 π
Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan suatu sinyal (dalam
rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara
berturut-turut adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan 4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik
amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa
(Gb.7.5.b).
90 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Amplitudo 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 Frekuensi [×f0]
Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo Sudut Fasa 2π π/2 0 0 1 2 3 4 5 −π/2 −2π Frekuensi [×f0]
Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu. Fungsi persegi
misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :
Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 91 Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0 Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n Sudut Fasa: --π/2
--π/2 --π/2 .. -π/2
Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisanya. a) c) b) d) e)
Gb.7.10. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.
Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk yang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 92 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2% dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi
terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width). 93
pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10 rad/skala. d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut 10 rad/skala.
2.
Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini y = 4 + 5 sin 2π2000t − 2 cos 2π4000t + 0,2 sin 2π8000t
Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini. 3.
Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 3 cos(2π1000t − 60o ) - 2sin2π2000t + cos2π8000t 4.
Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 10 cos 100t + 2 cos 300t + cos 500t + 0.2 cos1500t + 0,02 cos 5000t
5.
Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 10 + 10 cos 2π500t + 3 cos 2π1000t + 2 cos 2π1500t + 0,2 cos 2π2000t
94 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 8 Fungsi Logaritma 4atural, Eksponensial, Hiperbolik 8.1. Fungsi Logarithma 4atural. Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangannyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,7182818284 Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting dalam matematika: (8.1) ln e = 1
ln e a = a ln e = a (8.2)
Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari x dituliskan sebagai (8.3) y = ln x Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita pelajari pada Bab-12), yaitu
ln x = x1 ∫1 t dt (8.4)
Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral dengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x .
Perhatikan Gb.8.1. Nilai fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x. 6 y
5 4 1/t 3 ln x 2 1
t x 3 4 Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis. 0 0
1 2 95
Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2. Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e. 2 y 1,5 y = ln x 1 0,5 0 -0,5 0 1 2 e 3 x 4 -1 -1,5 -2 Gb.8.2. Kurva y = ln x.
Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:
(1/t) pada Gb.8.1 dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmen sebagai luas trapesium, hitunglah 1). ln 1,5
2). ln 2 ; 3). ln 0,5
96 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
8.2. Fungsi Eksponensial Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi dari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsi x = ln y
(8.6)
Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini ekivalen dengan y = ex
(8.7)
yang disebut fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul pada x = 0
walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak dituliskan. y = ae −bx ; x ≥ 0
(8.8)
Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan tersebut. Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi
eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b, makin cepat fungsi menurun. y 1
e− x 0,8 e−2x 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5
2 2,5 Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e −x 3 3,5 x 4 dan y = e−2x. 97
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x = 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa
dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b. Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah
y = Ae − at u (t ) (8.9)
Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat jika a makin besar. Didefinisikanlah τ= 1 a (8.10) sehingga (8.9) dituliskan y = Ae −t / τu (t ) (8.11)
τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun.
Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah
( )
Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4. Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja (surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih lambat. Surja tegangan yang
dibangkitkan untuk keperluan laboratorium berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.
98 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral A5 y1 = Ae − t / τ1 y 2 = Ae − t / τ2 4 ( y = A e − t / τ1 − e − t / τ2 3 ) 2 1 00 0 1 2 3 4 t/ τ 5
Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial. Soal-Soal 1.
Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini : a). ya = amplitudo 5, τ = 2. b). yb = amplitudo 10, τ = 2. c). yc = amplitudo −5, τ = 4.
Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. a). y d = y a + yb b). y e = y a + y c c). y f = y a + yb + y c 3.
Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut. { } }u( x) a). y1 = 10 1 − e −0,5 x u ( x) { b). y 2 = 10 − 5e −0, 2 x 99
8.3. Fungsi Hiperbolik Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
cosh v =
e v + e −v e v − e −v ; sinh v = 2 2 (8.13)
Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan “lingkaran
satuan” (berjari-jari 1), yaitu
x 2 + y 2 = 1 = sin 2 θ + cos 2 θ . Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsifungsi ini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”:
x2 − y2 = 1 Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v untuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan” akan terpenuhi. Kita coba:
e 2 v + 2 + e −2 v e 2 v − 2 + e −2 v 4 − = =1 x 2 − y 2 = cosh 2 v − sinh 2 v = 4 4 4 Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan
x = cosh v =
e v + e −v e v − e −v ; y = sinh v = 2 2 4 v=∞ y 3 2 v = 0 P[x,y] 1 x 0 1 2 3 4 -1 0 -2 -3 -4 Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan.
100 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral Jika kita masukkan
maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena ev selalu bernilai positif dan e−v = 1/ev juga selalu positif untuk semua nilai nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah kanan sumbu-y) kurva hiperbolik. Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai
tanh v = sinh v e v − e −v ; = cosh v e v + e − v coth v = cosh v e v + e −v = sinh v e v − e − v (8.14) sech v = 1 2 = ; cosh v ev + e − v csch v = 1 2 = sinh v ev − e − v (8.15)
Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini. 1). cosh 2 v − sinh 2 v = 1 . Identitas ini telah kita buktikan di atas. Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa. 2). 1 − tanh 2 v = sech 2v . Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan cosh2v. 3). coth 2 v − 1 = csch 2 v . Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan sinh2v. 4). cosh v + sinh v = eu . Ini merupakan konsekuensi definisinya. 5).
cosh v − sinh v = e −u . definisinya. Ini
juga
merupakan konsekuensi 101
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan kurva fungsi-fungsi hiperbolik. y
4 3 2 1 1 x e 2 -2 y = sinh x 0 -1 0 -1 1 2 − -2 x 1 −x e 2 -3 -4 (a) 4 y y = cosh x 3 2 1 y = sech x 0 -2 -1 0 1 x 2 -1 b) 4 y = cosh x y
y = sinh x 0 -1 -1 0 1 2 x -2 -3 -4
c) 102 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral y 4 3 y = coth x 2 1 y = tanh x 0 -2 -1 -1 y = coth x 0 1 x 2 -2 -3 -4 d)
y 4 y = cschx 3 y = sinh x 2 1 0 -2 -1 -1 0 1 x 2 -2 y = cschx -3 -4
e) Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik. 103
Soal-Soal 1). Turunkan relasi sinh(u + v) dan cosh(u + v) . 2). Diketahui sinh v = −3 / 4 . Hitung cosh v, coth v, dan csch v. 3). Diketahui sinh v = −3 / 4 . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.
104 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bab 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1) (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom) 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalnya [x1,y1] dan [x2,y2], maka kemiringan garis tersebut dinyatakan oleh persamaan m=
∆y ( y2 − y1) = ∆x ( x2 − x1) (9.1)
Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x1,y1] dan [x2,y2] berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan garis lengkung? Perhatikan Gb.9.1. y = f(x) P2
(a) y = f(x) y
P′2 ∆y′ P1 ∆x′
x (b) Gb.9.1. Tentang kemiringan garis. Pada Gb.9.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P1P2 dan bukan kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat pada Gb.9.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan garis lurus P1P′2. Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan 105
kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P1, dan jika ∆x mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva y di titik P1. Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x) dan melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x mendekati nol, persamaan (9.1) dapat kita tuliskan
lim ∆x → 0
∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = lim = f ′( x) ∆x ∆x →0 ∆x (9.2)
f ′(x) merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita tinjau f ′(x) memiliki nilai berbeda; f ′(x) disebut fungsi turunan dari f (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x) bernilai konstan dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (9.1) tidak hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia dapat diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang
menyinggung kurva lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 9.2. y (x2,y2) (x1,y1)
x Gb.9.2. Garis singgung pada garis lengkung. Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x) maka f ′(x) pada titik [x1,y1] adalah kemiringan garis singgung di titik [x1,y1], dan f ′(x) di titik (x2,y2) adalah kemiringan garis singgung di [x2,y2]. Bagaimana mencari f ′(x) akan kita pelajari lebih lanjut.
∆y seperti yang dinyatakan oleh ∆x (9.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dan dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilai Jika pada suatu titik x1 di mana lim
∆x → 0
106 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
∆y merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan ∆x → 0 ∆x kemiringan garis singgung di titik tersebut). lim
