PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik

PAM 252 Metode Numerik

Bab 6 Pengintegralan Numerik

Mahdhivan Syafwan

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Motivasi

Bagaimana memperoleh nilai hampiran untuk integral tentu

yang tidak dapat diselesaikan secara analitik?

Contoh:

φ(x) =

Z

x 0

t

3

e

t

_{− 1}

dt

=?

Integral numerik juga digunakan dalam menyelesaikan

persamaan diferensial.

Contoh:

Selesaikan

d

dt

y(t) = f (t).

Bagaimana menghitung luas daerah (atau volume) pada

berbagai masalah teknik, fisika, dll?

· · ·

Definisi kuadratur

Definisi

Misalkan a = x0< x1< · · · < xM = b. Rumus berbentuk Q[f ] = M X j=0 wjf(xj) = w0f(x0) + w1f(x1) + · · · + wMf(xM), dengan sifat bahwa

Z b a

f(x)dx = Q[f ] + E [f ],

disebutpengintegralan numerikataurumus kuadratur. Suku E [f ] disebut galat pemotonganuntuk integral. Nilai {xj}Mj=0 disebuttitik kuadratur dan {wj}Mj=0 disebutbobot.

Definisi derajat keakuratan

Definisi

Derajat keakuratan

suatu rumus kuadratur adalah bilangan bulat

positif n sedemikian sehingga E [p

i

] = 0 untuk semua polinom

p

i

(x) berderajat i ≤ n, tetapi E [p

n+1

] 6= 0 untuk beberapa

polinom p

n+1

(x) berderajat n + 1.

Pandang polinom sebarang p

i

(x) berderajat i . Jika i ≤ n,

maka p

_i(n+1)

(x) = 0 dan p

_n+1(n+1)

= a

n+1

(n + 1)! untuk setiap x.

Jadi bentuk umum dari suku galat pemotongan adalah

E

[f ] = Kf

(n+1)

(c),

dimana K adalah konstanta yang dipilih secara sesuai dan n

adalah derajat keakuratan.

Penurunan rumus kuadratur

Rumus kuadratur biasanya diturunkan berdasarkan interpolasi

polinom.

Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa terdapat

polinom tunggal p

M

(x) berderajat ≤ M yang melalui M + 1

titik {(x

i

, y

i

)}

M_i=0

.

Jika polinom ini digunakan untuk mengaproksimasi f (x)

dalam selang [a, b], maka

Z

b a

f

_{(x)dx ≈}

Z

b a

p

M

(x)dx.

Rumus terakhir disebut

rumus Newton-Cotes. Jika titik

x

0

= a dan x

M

= b digunakan, maka rumus tersebut

dinamakan

rumus Newton-Cotes tertutup.

Teorema rumus Newton-Cotes tertutup

Teorema

Misalkan xi = x0+ ih adalah titik-titik partisi yang berjarak sama dan fi = f (xi). Empat rumus Newton-Cotes tertutup pertama adalah

Z x1 x0 f(x)dx ≈ h₂(f0+ f1), [trapesium] (1) Z x2 x0 f(x)dx ≈ h₃(f0+ 4f1+ f2), [Simpson] (2) Z x3 x0 f(x)dx ≈ 3h₈ (f0+ 3f1+ 3f2+ f3), [Simpson 3/8] (3) Z x4 x0 f(x)dx ≈ 2h₄₅(7f0+ 32f1+ 12f2+ 32f3+ 7f4). [Boole] (4)

Teorema rumus Newton-Cotes tertutup - bukti

Perhatikan bahwa fungsi f (x) dapat diaproksimasi oleh polinom Lagrange pM(x) dengan titik-titik interpolasi x0, x1, ..., xM, yaitu

f_{(x) ≈ p}M(x) = M X i=0 fiLi(x), dimana fi = f (xi) dan Li(x) = · · · . Jadi Z xM x0 f_{(x)dx ≈} Z xM x0 pM(x)dx = · · · = M X i=0 Z xM x0 Li(x)dx  fi = M X i=0 wifi.

Pada slide berikut akan dibuktikan aturan trapesium (untuk kasus M = 1) dan aturan Simpson (untuk M = 2).

Aturan trapesium - bukti

Perhatikan bahwa interpolasi Lagrange untuk polinom derajat 1

diberikan oleh

p

1

(x) = f

0

x

_{− x}

₁

x

0

− x

1

+ f

1

x

_{− x}

₀

x

1

− x

0

,

yang merupakan persamaan garis.

Karena f (x) ≈ p

1

(x), maka

Z

x1 x0

f

_{(x)dx ≈}

Z

x1 x0

p

1

(x)dx

=

Z

x1 x0



f

0

x

_{− x}

1

x

₀

_{− x}

₁

+ f

1

x

_{− x}

0

x

₁

_{− x}

₀



dx

= · · ·

=

h

2

(f

0

+ f

1

). 

Aturan trapesium - ilustrasi

Z

x₁

x0

f

_{(x)dx ≈}

h

2

(f

0

+ f

1

).

Aturan Simpson - bukti

Perkenalkan peubah baru x = x

0

+ ht sehingga dx = hdt.

Titik-titik partisi yang berjarak sama, yaitu x

i

= x

0

+ ih,

mengakibatkan

x

i

− x

j

= (i − j)h dan x − x

i

= (t − i)h.

Karena f (x) ≈ p

2

(x), maka

Z

x₂ x0

f

(x)dx

_≈

Z

x₂ x0

p

2

(x)dx

=

Z

x2 x0



f

0

· · ·

· · ·

+ f

1

· · ·

· · ·

+ f

2

· · ·

· · ·



dx

= · · ·

=

h

3

(f

0

+ 4f

1

+ f

2

). 

Aturan Simpson - ilustrasi

Z

x2

x0

f

_{(x)dx ≈}

h

3

(f

0

+ 4f

1

+ f

2

).

Keakuratan dan galat

Teorema

Aturan trapesium mempunyai derajat keakuratan n = 1 dan

galat −

h123

f

′′

(c).

Aturan Simpson mempunyai derajat keakuratan n = 2 dan

galat −

h905

f

(4)

(c).

Contoh

Gunakan aturan trapesium dan aturan Simpson untuk mengaproksimasi integral dari f (x) = 1 + e−xsin(4x) pada selang [a, b] = [0, 1].

Jawab:

Untuk aturan trapesium, h = 1 danR1

0 f(x)dx ≈ · · · = 0, 86079. Untuk aturan Simpson, h = 1/2 danR1

0 f(x)dx ≈ · · · = 1, 32128. Perhatikan bahwa nilai eksak dari integral tersebut adalah

Z 1 0

f_{(x)dx = · · · = 1, 30825...} Jadi dapat disimpulkan bahwa ...

Untuk membuat perbandingan yang ’adil’, kita mesti menggunakan titik-titik fungsi yang sama banyak pada setiap metode. Hal ini akan dijelaskan pada pembahasan berikutnya tentang aturan komposit.

Aturan komposit?

menggunakan serangkaian polinom untuk menghampiri kurva y = f (x) sepanjang [a, b].

Aturan trapesium komposit

Teorema (Trapesium Komposit)

Andaikan selang [a, b] dibagi menjadi M selang bagian [xi, xi+1] selebar h_{= (b − a)/M, menggunakan titik partisi yang berjarak sama, yaitu} xi = a + ih, i = 0, 1, ..., M. Maka Z b a f_{(x)dx ≈} h 2 f(a) + 2 M−1 X i=1 fi+ f (b) ! .

Bukti. Perhatikan bahwa Z b a f(x)dx = Z x1 a f(x)dx + Z x2 x1 f_{(x)dx + · · · +} Z b x_M−1 f(x)dx ≈ · · · = h 2(f0+ 2f1+ 2f2+ · · · + 2fM−1+ fM) = h 2 f(a) + 2 M−1 X i=1 fi+ f (b) ! . 

Aturan trapesium komposit - contoh

Aproksimasi

R

6

1

2 + sin(2

√

x)dx dengan menggunakan aturan

trapesium komposit dengan (i) 6 titik partisi dan (ii) 11 titik

partisi.

Aturan Simpson komposit

Teorema (Simpson Komposit)

Andaikan selang [a, b] dibagi menjadi 2M selang bagian [xi, xi+1] berlebar sama, yaitu h = (b − a)/2M, dan menggunakan titik-titik partisi

xi = a + ih, i = 0, 1, ..., 2M. Maka Z b a f_{(x)dx ≈} h 3 f(a) + 4 M X i=1 f_{2i −1}+ 2 M−1 X i=1 f2i + f (b) ! .

Bukti. Perhatikan bahwa Z b a f(x)dx = Z x2 a f(x)dx + Z x4 x2 f_{(x)dx + · · · +} Zb x_2M−2 f(x)dx ≈ · · · = h 3(f0+ 4f1+ 2f2+ 4f3+ 2f4+ · · · + 2f2M−2+ 4f2M−1+ f2M) = h 3 f(a) + 4 M X i=1 f2i −1+ 2 M−1 X i=1 f2i+ f (b) ! . 

Aturan Simpson komposit - contoh

Aproksimasi

R

6

1

2 + sin(2

√

x)dx dengan menggunakan aturan

Simpson komposit dengan (i) 5 titik partisi dan (ii) 11 titik partisi.

Jawab:

Analisis galat aturan trapesium

Akibat (Galat Aturan Trapesium)

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi M selang bagian [xi, xi+1] berlebar sama h_{= (b − a)/M. Aturan trapesium komposit}

T(f , h) = h 2 f(a) + 2 M−1 X i=1 fi+ f (b) !

merupakan aproksimasi terhadap integral Z b

a

f(x)dx = T (f , h) + ET(f , h).

Lebih lanjut, jika f ∈ C2_{[a, b], maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga} galat ET(f , h) diberikan oleh

ET(f , h) = −(b − a)f ′′

(c)h2

12 = O(h

2_).

Bukti. [tugas baca!]

Analisis galat aturan Simpson

Akibat (Galat Aturan Simpson)

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi 2M selang bagian [xi, xi+1] berlebar sama h_{= (b − a)/2M. Aturan Simpson komposit}

S(f , h) = h 3 f(a) + 4 M X i=1 f2i −1+ 2 M−1 X i=1 f2i+ f (b) !

merupakan aproksimasi terhadap integral Z b

a

f(x)dx = S(f , h) + ES(f , h).

Lebih lanjut, jika f ∈ C4_{[a, b], maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga} galat ES(f , h) diberikan oleh

ES(f , h) = −(b − a)f (4)_(c)h4

180 = O(h

4_).

Analisis galat - contoh

Tentukan nilai M dan lebar selang h sedemikian sehingga galat

E

T

(f , h) dari aturan trapesium dalam mengaproksimasi integral

R

7

2

dx

/x adalah kurang dari 5 × 10

−9

.

Jawab:

Aturan trapesium rekursif - definisi

Untuk meningkatkan ketelitian hasil perhitungan aturan

trapesium, perbanyak jumlah partisi atau perhalus lebar

selang.

Agar efisien, hasil perhitungan yang telah dilakukan untuk

suatu lebar selang perlu tetap dimanfaatkan untuk

perhitungan dengan lebar selang yang lebih halus.

Cara perhitungan seperti ini disebut

aturan trapesium

rekursif/berturutan.

Aturan trapesium rekursif - konstruksi (1)

Misalkan ingin dihitung

Z b a

f(x)dx.

Buat lebar selang h0= b − a dan titik partisi x0= a dan x1= b, sehingga aturan trapesium memberikan

T(f , h0) = h0

2(f0+ f1), dimana f0= f (x0) dan f1= f (x1).

Perhalus selang menjadi h1= h0/2 = (b − a)/2, sehingga titik-titik partisi menjadi x0= a, x1, dan x2= b [x1adalah ...]. Aturan trapesium untuk tahap ini diberikan oleh

T(f , h1) = h1 2(f0+ 2f1+ f2) = · · · = T(f , h0) 2 + h1f1, dimana f0= f (x0), f1= f (x1), dan f2= f (x2).

Aturan trapesium rekursif - konstruksi (2)

Perhalus selang menjadi h2= h1/2 = · · · = (b − a)/22, sehingga titik-titik partisi menjadi x0= a, x1, x2, x3, dan x4= b [x1, x2, x3

adalah ...]. Aturan trapesium untuk tahap ini diberikan oleh T(f , h2) = h2 2 (f0+2f1+2f2+2f3+f4) = · · · = T(f , h1) 2 +h2(f1+f3). dimana fi = f (xi), i = 0, 1, ..., 4.

Proses di atas dilanjutkan sehingga pada penghalusan ke-j, lebar selang menjadi hj = hj−1/2 = · · · = (b − a)/2j dan titik-titik partisi menjadi x0= a, x1, x2, . . . , x2M = b dengan 2M = 2j. Aturan trapesium untuk tahap ini adalah

T(f , hj) = hj 2(f0+ 2f1+ 2f2+ · · · + 2f2M−1+ f2M) = · · · = T(f , hj−1) 2 + hj M X k=1 f_2k−1.

Kaitan antara aturan Simpson dan trapesium rekursif

Untuk lebar selang hj dan hj−1, integral

Rb

a f(x)dx dapat diaproksimasi berturut-turut oleh aturan trapesium

Z b a f(x)dx ≈ T (f , hj) = hj 2 (f0+ 2f1+ 2f2+ · · · + 2f2M−1+ f2M) , Z b a f(x)dx ≈ T (f , hj−1) = h_j−1 2 (f0+ 2f2+ 2f4+ · · · + 2f2M−2+ f2M) . Dari kedua persamaan di atas diperoleh [tunjukkan!]

3 Z b

a

f(x)dx ≈ 4T (f , hj) − T (f , hj−1)

= hj(f0+ 4f1+ 2f2+ · · · + 2f2M−2+ 4f2M−1+ f2M) . Dengan membagi 3, bentuk rumusan pada baris di bawah adalah bentuk Simpson dengan lebar selang hj, sehingga secara umum diperoleh

S(f , hj) =

4T (f , hj) − T (f , hj−1)

3 .

Kaitan antara aturan Boole dan Simpson rekursif, dst...

Rumusan aturan Boole dan Simpson rekursif memenuhi hubungan berikut [tunjukkan!]:

B(f , hj) =

16S(f , hj) − S(f , hj−1)

15 .

Rangkaian perhitungan integral dengan menggunakan aturan trapesium, Simpson, dan Boole rekursif, yaitu T (f , hj), S(f , hj) dan B(f , hj), dapat diteruskan dalam bentuk rumusan yang lebih umum. Hal ini dikenal sebagaiintegral Romberg.

Integral Romberg - pendahuluan

Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa Z b a f(x)dx = T(f , hj) + O(h2), Z b a f(x)dx = S(f , hj) + O(h4), Z b a f(x)dx = B(f , hj) + O(h6).

Misalkan suatu hampiran integral menggunakan lebar selang h dan 2h. Kemudian dengan manipulasi aljabar dapat diperoleh perbaikan hampiran dengan galat yang lebih kecil.

Secara umum, setiap perbaikan hampiran memperkecil galat dari O(h2N_{) ke O(h}2N+2_{). Proses ini dinamakanintegral Romberg.} Bagaimana perhitungan yang efisien untuk integral Romberg ini?

Integral Romberg - perbaikan Richardson

Diberikan dua hampiran R(2h, k − 1) dan R(h, k − 1) untuk suatu besaran Q yang memenuhi

Q = R(h, k − 1) + c1h2k+ c2h2k+2+ · · · ,

Q = R_{(2h, k − 1) + c}14kh2k+ c24k+1h2k+2+ · · · . Perbaikan hampiran untuk Q diberikan oleh [tunjukkan!]

Q= 4

k_{R(h, k − 1) − R(2h, k − 1)}

4k_{− 1} + O(h

2k+2_).

Jika h = hj dan 2h = 2hj= hj−1, maka bentuk di atas dapat ditulis dalam notasi indeks sebagai berikut:

Q= 4

k_{R(j, k − 1) − R(j − 1, k − 1)}

4k_{− 1} + O(h

Integral Romberg - barisan R(j

,

k

)

Definisi

Definisikan barisan {R(j, k)|j ≥ k}∞

j=0 dari rumus kuadratur untuk f (x) pada [a, b] sebagai berikut:

R(j, 0) = T (f , hj), untuk j ≥ 0, adalah aturan trapesium, R(j, 1) = S(f , hj), untuk j ≥ 1, adalah aturan Simpson, R(j, 2) = B(f , hj), untuk j ≥ 2, adalah aturan Boole. Barisan berikutnya adalah

R(j, 1) = 4R(j, 0) − R(j − 1, 0) 4 − 1 , j ≥ 1, R(j, 2) = 4 2_R (j, 1) − R(j − 1, 1) 42_{− 1} , j ≥ 2, .. . R(j, k) = 4 k_R (j, k − 1) − R(j − 1, k − 1) 4k_{− 1} , j ≥ k. 30 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pengintegralan Numerik

Integral Romberg - tabel

j R(j, 0) R(j, 1) R(j, 2) R(j, 3) R(j, 4) · · ·

aturan trapesium aturan Simpson aturan Boole perbaikan ke-3 perbaikan ke-4

0 R(0, 0) 1 R(1, 0) R(1, 1) 2 R(2, 0) R(2, 1) R(2, 2) 3 R(3, 0) R(3, 1) R(3, 2) R(3, 3) 4 R(4, 0) R(4, 1) R(4, 2) R(4, 3) R(4, 4) .. . ... ... ... ... ... . ..

Integral Romberg - contoh

Gunakan integral Romberg untuk menentukan hampiran dari

Z

π/2 0

(x

2

+ x + 1) cos(x)dx.

[nilai eksaknya: −2 +

π2

+

π 2 4

= 2, 038197427067...]

Jawab:

Metode Gauss-Legendre - permasalahan

Misalkan ingin dihitung luas daerah di bawah kurva y = f (x) pada −1 ≤ x ≤ 1.

Q: Metode apa yang memberikan jawab terbaik jika hanya menggunakan dua perhitungan fungsi?

Bagaimana menentukan nilai x1 dan x2 sehingga luas daerah di bawah garis yang melaluinya mendekati luas daerah di bawah kurva?

Metode Gauss-Legendre - penyelesaian (1)

Persamaan garis pada gambar kanan:

p(x) = f (x1) +

f(x2) − f (x1) x2− x1 (x − x

1). Luas trapesium di bawah kurva:

A = 1 − (−1) 2 (p(−1) + p(1)) = · · · = 2x2 x2− x1 f(x1) − 2x1 x2− x1 f(x2).

Metode koefisien tak-tentu: Z 1

−1

f(x)dx ≈ w1f(x1) + w2f(x2).

Akan dicari w1, x1, w2, x2 supaya hampiran di atas menjadi eksak jika f (x) = a0+ a1x+ a2x2+ a3x3 (polinom berderajat ≤ 3).

Metode Gauss-Legendre - penyelesaian (2)

Karena integral bersifat aditif, maka cukup disyaratkan bahwa hampiran di atas eksak untuk empat fungsi f (x) = 1, x, x2, x3. Empat syarat integral:

f(x) = 1 : Z 1 −1 1dx = 2 = w1+ w2, f(x) = x : Z 1 −1 xdx = 0 = w1x1+ w2x2, f(x) = x2: Z 1 −1 x2dx= 2 3 = w1x 2 1 + w2x22, f(x) = x3: Z 1 −1 x3dx= 0 = w1x13+ w2x23. Solusi dari sistem persamaan tak-linier di atas adalah w1= w2= 1, x1= −1/

√

3, x2= 1/ √

3 [buktikan!].

Aturan Gauss-Legendre dua titik

Teorema

Jika f (x) kontinu pada [−1, 1], maka Z 1 −₁ f_{(x)dx ≈ G}2(f ) = f  −√1 3  + f  ₁ √ 3  . Derajat keakuratan dari G2(f ) adalah n = 3. Jika f ∈ C2[−1, 1], maka

Z 1 −₁ f(x)dx = f  −√1 3  + f  ₁ √ 3  + E2(f ), dimana E2(f ) =f (4)_(c) 135 . Contoh:

Gunakan aturan Gauss-Legendre dua titik untuk mengaproksimasi R1 −₁

1 x+2dx [hasil eksaknya: ln 3 ≈ 1, 09861]. Bandingkan hasilnya dengan aturan trapesium T (f , h) dengan h = 2 dan aturan Simpson S(f , h) dengan h = 1.

Aturan Gauss-Legendre N titik

Secara umum, bentuk hampiran Gauss-Legendre memakai N titik adalah Z 1

−1

f_{(x)dx ≈ G}N(f ) = wN,1f(xN,1) + wN,2f(xN,2) + · · · + wN,Nf(xN,N).

Translasi metode Gauss-Legendre

Bagaimana penerapan metode Gauss-Legendre untukRb a f(t)dt? Gunakan translasi t ∈ [a, b] → x ∈ [−1, 1] dengan menggunakan hubungan t = α + βx.

Dengan memperhatikan t(−1) = a dan t(1) = b, maka diperoleh t =a+b₂ +b−a

2 x [tunjukkan!]. Akibatnya dt = b−a2 dx. Dengan demikian diperoleh

Z b a f(t)dt = Z 1 −1 f a + b 2 + b− a 2 x  b − a 2 dx. Jadi rumus hampiran Gauss-Legendre menjadi

Z b a f(t)dt ≈ b− a₂ N X k=1 wN,kf  a + b 2 + b_{− a} 2 xN,k  . Contoh: Gunakan aturan Gauss-Legendre 3 titik untuk menghampiriR5

1 1