HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1

HITUNG INTEGRAL

1.Integral tak tentu (tanpa batas)

a. Rumus-rumus 1) 1 1 , 1 1 n n x dx x c n n      



3)



adxaxc 2) 1 . , 1 1 n a n a x dx x c n n      



4) 1 1 ln x dx dx x c x  _{  }





b. Sifat-sifat Integral 1)



k f x dx. ( ) k.



f x dx( ) 2)



( ( )f x g x dx( )) 



f x dx( ) 



g x dx( ) Contoh : 1. _{(7 5)} 7 2 ₅ 2 x dx x  xc



2. 2 2 2 2 ( 2) ( 4 4) x x dx x x  x dx





= 4 3 2 1 5 4 4 3 ( 4 ) 4 5 3 x  x  x dx x x  x c



3. 3 1 2 1 3 5 2 2 1 2 2 . 3 ₅ 1 2 x xdx x x dx x dx x c x c        







A. Pemakaian Integral tak tentu Contoh :

Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 2 ( ) ( ) (4 1) 2 F x 



f x dx



x dx x  x c F(2)=17 2 2(2) 2 c 17     10 c 17 c 7 Jadi F(x)= 2 2x  x 7

b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy

dx dan sebuah titik pada kurva. Contoh :

Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x) melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.

Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti 2 4 atau (2 4) dy x dy x dx dx    didapat bahwa y = f(x) =



dy



(2x4)dx= 2 4 x  xC grafik melalui titik (1,5) maka _{5 1} 2 ₄₍₁₎  _{C C 8} Jadi fungsi tersebut adalah _y_x2_4x₈

c. Penerapan pada Fisika

 Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : v ds s vdt

dt

  

_

 Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : a dv v a dt

dt

  

_

Contoh :

Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.

2 1 (3 ) 3 2 ds v s vdt t dt t t c dt   







    s = 0 untuk t = 4 _{0 3.4} 1_.42 2 c     c = - 4 Jadi , 1 2 3 4 2 s  t  t II. Integral Tertentu

Contoh :

Hitung integral tertentu 4 0 xdx



3 2 4 0 4 2 0 3 xdx x 

_

 3 2 3 2 2 2 1 (4 0 ) (8 0) 5 3 3 3     

Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )

b a b f x dx F x a 



= F(b) – F(a) = - F(a) – F(b) = ( ) a b f x dx 

_

Untuk ( ) ( ) ( ) 0 a a f x dxF a F a 



Sifat-sifat : 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx







2. ( ) ( ) , k=konstanta a a b b kf x dxk f x dx





3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b b c b a a c f x dx f x dx f x dx







y=f(x) 4. b a dx b a



Luas sebagai limit suatu jumlah

Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:

1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X a. Diatas sumbu X

b. Dibawah sumbu X

c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x = b

Contoh :

Luas daerah dibatasi oleh parabola yx2 dan y 4 x2 adalah …

A. 8 2 B. 16 2

3 C. 4 2 D.

8 2

3 E. 2

Jawab :

Titik potong kedua parabola Cara cerdik :

2 2 2 4 2 4 x  x  x  ₂ ; 2 4 6 D D L D b ac a    2 2 2 x    x 2 2 4 2 4 x  x  x  ( ) b a L



f x dx a b a b y=f(x) a b ( ) atau L= ( ) b a L  



f x dx



f x dx a 1 ( ) y  f x 1 ( ) y  f x 2 ( ) y g x b b 1 2 a ( ) atau L= { ( ) ( )} b a L 



y  y dx



f x  g x dx

2 2 2 2 3 3 ₂ 2 (4 2 ) 4 L x dx x x     

_

 _  _ D = 32 32 32₂ 16 2 6.2 3 L    8 16 3 3 8 2 2 2    Untuk bentuk : 4 . . 3 L p q

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y

(i) Diputar mengelilingi sumbu X

(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y 2 d c V 



x dy 2 ( ( )) d a g y dy  

_

3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva y₁ f x( ) dan y₂g x( ) diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y

(i) Diputar mengelilingi sumbu X

y

(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y

a b X c b 1 ( ) y  f x 2 ( ) y g x X 2 2 1 2

(

)

b a

V







y



y

dx

2 2

{( ( ))

( ( ) }

b a

V







f x



g x

dx

2 2 1 2 ( ) d c V 



x x dy 2 ( ) x g y 1 ( ) x  f y = (( ( ))2 ( ( ))2 d c f y g y dy 

_

 2 b a V 



y dx 2 ( ( )) b a f x dx  

_

(p,q)

Contoh :

2

3

y  x diputar 360o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika

sumbu X Cara cerdik : . . ₃ 30. D D V a   .9 . 92 ₃ 81 10 30. 1 V     

III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi Ingat kembali rumus Deferensial fungsi

1. _{f x( )}_axn _{f x'( )}_anxn1 _5. ( ) sin '( ) cos f x  x f x  x 2. f x( )u x v x( ). ( ) f x'( )u x v x'( ) ( )u x V x( ) '( ) 6. f x( )cosx f x'( ) sinx 3. ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ₂( ) '( ) ( ) ( ( )) u x u x v x u x v x f x f x v x v x     7. ( ) tan '( ) 1₂ cos f x x f x x    4. f x( )u x( )v x( )f x'( )u x'( )v x'( )

Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan fungsi.

1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku F'(x)=f'(g(x)).g'(x)

2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…). 3. a. dalam notasi Leibniz:

Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : dy dy dv. dx dv dx b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ' . . ... ... dy dy dv dw y dx dv dw dx   ( Dalil Rantai)

Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).

Jika fungsi f : A  B dan g : B  C maka fungsi F: A  C yang melalui dua fungsi f dan g dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a  (gf)( )a g f a( ( ))

Contoh : 2 ( ) 3 2 dan ( ) cos f x  x  g x  x maka : 2 2 : ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2) Fg f x g f x g f x g x   x  X g(f(a)) a F(a ) A B C

Contoh :

Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 1 3

((2 3) ) 2 3 x x     Jika F(x) = f(g(h(x))) = 1 3 3 ((2 3) ) maka ( ) 2 3 x f x x x     , 1 ( ) g x x x   , dan ( ) 2 3 h x  x Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x) = 2 2 1 1 3((2 3) ) .(1 .(2) 2 3 (2 3) ). x x x      = 2 2 1 1 6((2 3) ) .(1 2 3 (2 3) ) x x x      Catatan :

Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi. Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut: F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0

F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0

F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a)  0 Contoh :

Tentukan nilai stasioner dari _{f x( )} _(2x₁₎3 _{3 (2x}_{1) dan sifatnya.}

 _{f x( )}_(2x₁₎23_3(2x₁₎21 1 1 2 2 3 1 '( ) (2 1) .2 3. (2 1) .2 2 2 f x  x  x  = 1 1 2 2 3(2x1) 3(2x1) = ₁ 2 3(2 1) 3 (2 1) x x    f" (x) = 1 1 2 2 1 1 3. (2 1) .2 3( )(2 1) .2 2 x 2 x       = 12 1 2 3(2x1) 3(2x1) Syarat stasioner f'(x) = 0 Jadi , 3(2 2) 0 2 2 0 (2 1) x x x        x 1 Untuk x =1 maka : F(1) = -2 F"(x) = 6 (positip)

IV. Integral Fungsi Trigonometri Rumus Integral Trigonometri 1.



sinxdx cosxc 1 sin(ax b dx) cos(ax b) c a     



2.



cosxdxsinxc 4. 2

cosec xdx cotanxc



1 cos(ax b dx) sin(ax b) c a    



2 1 cosec ax( b dx) cot(ax b) c a     



3. 2 sec xdxtanxc



5.



tan secx xdxsecxc

2 1

sec (ax b dx) tan(ax b) c a

   



6.



cot cosx ecxdx cosecxc

Contoh : 3 sin x.cosxdx



A. 1 4 4sin x c B. 4 1 2sin x c C. 2 1 4cos x c   D. 1 3sin x c E. 4 1 3sin x c   Jawab : 3 sin x.cosxdx



3 cos (sin )x x dx



Cara cerdik :

Misal : y = sin x



sin3x.cosxdx



sin3xd(sin )x

cos cos dy dy dx xdx x 4 1 4sin x c 3 cos cos ( )x y dy_x 



3 1 4 1 4 4 4sin y dy y c x c 



   

V. Integral Substtitusi dan Integral parsial. a. Integral Substitusi a. 1 1 1 n n x dx x c n    



1 1 dengan u=f(x),n -1 1 n n u du u c n     



1 1 ( ) ( ) , 1 ( 1) n n ax b dx ax b c n a n        



b.



cosxdxsinxc

cosudusinuc dengan u f x( )



c. _{. .} 1 1 ' 1 n v n v u dx u c u n    



, u = f(x) d. sin cos ' v v udx u c u   



cos ( ( )) ( ( )) ' n v v udx f x d f x u 



= 1 1 ( ( )) 1 n f x c n  _  Contoh : Tentukan 2 5 dx x ……misal u = 2x + 5 2 du dx   du = 2 dx  dx = 1 2du 2 5 dx x  12 1 1 1 2 1 2 1_.2. 2 2 2 c du u du u u    





= 1 2 _{2 5} u  c x c

Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.

Contoh : 2 3 3 2x (4x 1) dx



A. 1 3 4 2(4x 1) c B. 3 2 1 8(4x 1) c C. 3 3 1 4(4x 1) c D. 5 1 16(4x1) c E. 3 4 1 24(4x 1) c Jawab : Misal : 3 4 1 y x  Cara cerdik : 2 2 12 12 dy dy x dx dx    x 1 ( ) , 1 '( )( 1) n a n af x dx f syarat n f x n    



2 3 3 2 3 2 2 (4 1) 2 ( ) 12 dy x x dx x y x  





2 3 2 , ( ) 4 1, 3 a x f x  x  n = 1 3 1 4 6



y dy 24y c Hasil = 3 4 1 (4 1) 24 x  c 2 3 4 2 3 4 2 (4 1) 12 (3 1) 1 (4 1) 24 x x c x x c       1 ( ) ln ( ) '( ) a af x f x c f x  _{ }



b. Integral Substitusi Trigonometri.

Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk _a2_x2_{, a}2_x2 _{atau x}2_a2 _diselesaikan dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.

FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI

2 2

a x x = a sin t a 1 sin 2t acost

2 2

a x x = a tan t a 1tg t2 asect

2 2

Contoh : ₁₆_x2 



Misal x = 4 sin t 2 2 16sin x t  

Jadi ₁₆_x2  _{16 16sin} 2_t _{16(1 sin )} 2_t _{4 cos}2_t_4cost

4sin 4cos

x tdx tdt

2 2 1 1

16 4cos .4cos 16 cos 16 ( cos 2 ) 8 8 cos 2 2 2

x t tdt tdt t dt dt tdt

      













= 8 8 cos 2 (2 ) 8 4sin 2 8 8sin cos 2

d t

t



t  t t  c t t tc

c. Integral Parsial

Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.

Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x) Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx

Sehingga didapat rumus integral Parsial :



udv uv

 



vdu

.

Atau :



f x g x d x

( ) '( ) '( )



f x g x

( ) ( )





g x f x dx

( ). '( )

Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :

( ). ( ) ( ) integral I ( ) f x g x dx f x  g x



 turunan I f(x) x integral II g(x)  turunan II f(x) x

integral III g(x)  …… (tanda  selalu berselang-seling) Contoh : cos 2 ... x x dx



u x dudx 1 1 2 2

cos 2 sin 2 sin 2 x x dx x x xdx





= 1 1 2xsin 2x4cos 2xc contoh : Tentukan 2 cos 2 .. x xdx



Turunan integral 2 x cos 2x 2x 1 2sin 2x 2 1cos 2 4 x  1 sin 2 8 x  2 2 1 1 1 2 4 8

cos 2 . sin 2 (2 . cos 2 ) 2( sin 2 ) x xdxx x x  x   x c



1 cos 2 sin 2 2 dv xdx v x

= 1 2 1 1

2x sin 2x2xcos 2x4sin 2xc Soal Latihan : 1. 2 4 (x 2) dx x 



_{adalah …} a. 43 2 3 1 2 x x x c     d. 43 2 3 1 2 x x x c     b. 42 2 3 1 2 x x x c     e. 43 2 3 1 2 x x x c     c. 43 2 3 1 2 x x x c     2. 2 1 2 2 x x x dx x x  _



a. ln x xc d. lnx2 xc b. ln x xc e. ln x xc c. xlnx c

3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan

2

2 6

d y

dx   kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar

8x – y + 10 = 0 adalah … a. f x( ) 3x214x9 d. f x( )x24x3x b. 2 ( ) 3 3 1 f x   x  x e. 3 ( ) 2 4 f x x   c. f x( )x2 x 2x

4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik y 9 x2 dan y = x + 3 adalah …

a. 9 b. 8 c. 3 4 d. 9 2 e. 8 3 5. 4 2 1 1 ... x dx x  _



a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6

6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik yx44x2 dan y5x2 adalah a. 3 4 64 b. 5 4 21 c. 5 6 20 d. 5 6 50 e. 6 5 56

7. Volume daerah yang dibatasi oleh yx2 dan y  x2 2 diputar pada sumbu x adalah a. 1 2 25  b. 3 4 20  c. 2 5 23  d. 3 5 6  e. 1 3 5 

8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 ) memotong sumbu y di :

a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 ) 9.



8cos(2x)dx

a. 8 (2tg x)c d. 4sin(2x)c

c. 8sin(4x)c

10.



tg x3 sec3xcot(2x) cosec(2x)dx.. a. 4cot(3 ) sin(2 ) 3 x x  c     d. 1 (3 ) ( 1) (2 ) 3tg x 2 tg x  c      b. 1cos 3 ( 1) cos (2 ) 3 ec x 2 ec x c e. 2 1 sec(3 ) ( ) cos (2 ) 3 x 2x ec x  c      c. 1sec(3 ) ( 1) cos(2 ) 3 x 2 x  c      11. 2 8sin 7 .sinx xdx...



a. 1sin 8 2sin 6 4 x3 x c d. 1 2 sin 8 sin 6 2 x3 x c b. 1sin 8 2sin 6 2 x 3 x c    e. 1sin 8 2sin 6 2 x3 x c c. 1sin 8 2sin 6 2 x 3 x c   

12.



sin6xcosxdx adalah, a. 1sin 7 8 x c b. 1 sin 7 6 x c c. 1 cos 7 7 xc d. 1 sin 7 7 x c e. 1 sin 7 5 x c 13. 2 / 3 (2x1) dx adalah, ...



a. 3 (2 1)3 2 1 10 x x c d. 3 2 (2 1) 2 1 10 x x c b. 2 (2 1)3 2 1 10 x x c e. 3 2 (2 1) 2 1 10 x x c c. 3 3 (2 1) 2 1 10 x x c 14.



xsinxdx...

a. –x cos x + sin x + c d. –x tg x - sin x + c

b. x sin x - sin x + c e. –x cos x + tg x + c

c. –x cos x + sin x + c 15.



x x1dx... a. 2 ( 1) 1 4 ( 1)2 1 3x x x 15 x x c b. 3 ( 1) 1 4 ( 1)2 1 2x x x 15 x x c c. 2 ( 1) 1 4 ( 1)2 1 3x x x 15 x x c d. 2 4 2 ( 1) 1 ( 1) 1 3x x x 15 x x c e. 2 ( 1) 1 4 ( 1)2 1 3x x x 15 x x c       

Soal – soal Integral Ujian Nasional

Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan 1. Diketahui

_

3 2_{  } . 25 ) 1 2 3 ( a dx x x Nilai a 2 1 =…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2 2. Nilai

_

 _ 0 .... dx cos . 2 sin x x a. 3 4  b. 3 1  c. 3 1 d. 3 2 e. 3 4 3. Hasil dari

_

1 _{ } 0 2 .... dx 1 3 . 3x x a. 2 7 b. 3 8 c. 3 7 d. 3 4 e. 3 2

4. Hasil dari



cos5xdx....

a.  cos _x.sin_x_C 6 1 6 b. cos x.sinxC 6 1 6 c.  _x 3 _x 5_x_C sin 5 1 sin 3 2 sin d. x 3 x 5xC sin 5 1 sin 3 2 sin e. x 3x sin5 xC 5 1 sin 3 2 sin

5. Hasil dari



(x2 1).cosxdx....

a. x2 _{sin x + 2x cos x + C} b. ( x2 _{– 1 )sin x + 2x cos x + C} c. ( x2 _{+ 3 )sin x – 2x cos x + C} d. 2x2 _{cos x + 2x}2 _{sin x + C} e. 2x sin x – ( x2 _{– 1 )cos x + C} 6. Diketahui

_

3 2_{  } . 40 ) 2 2 3 ( p dx x x Nilai p 2 1 =…. a. 2 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 4 7. Hasil dari

_

2 _ 0 .... 5 cos . 3 sin  xdx x a. 16 10  b. 16 8  c. 16 5  d. 16 4  e. 0 8.



  0 .... sin . xdx x a. 4  b. 3  c. 2  d.  e. 2 3 9. Nilai

_

_{ }  2 1 0 .... . sin 2x xdx a. ₁ 4 12_ b. 2 4 1_ c. ₁ 4 12 d. ₁ 2 12 e. ₁ 2 12_ 10. Nilai



x.sin(x2 1)dx.... a. – cos ( x2 _{+ 1 ) + C} b. cos ( x2 _{+ 1 ) + C} c. –½ cos ( x2 _{+ 1 ) + C} d. ½ cos ( x2 _{+ 1 ) + C} e. – 2cos ( x2 _{+ 1 ) + C} 11.



x.sin2xdx.... a. _{x xcos2xC} 2 1 2 sin 4 1 b. _{x xcos2xC} 2 1 2 sin 4 1 c. _{x cos2xC} 2 1 2 sin 4 1 d. _{ x xsin2xC} 2 1 2 cos 4 1 e. _{x xsin2xC} 2 1 2 cos 4 1

12.



2   0 2 2 .... ) cos (sin  dx x x a. –½ b. _ 2 1  c. 0 d. ½ e. _ 2 1 13. Hasil



.... 2 1 cos . 2x xdx a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C 14. Hasil



x 9x2dx.... a. _{ x}2 _x2 _C 9 ) 9 ( 3 1 b. _{ x}2 _x2_C 9 ) 9 ( 3 2 c. _x2 _x2_C 9 ) 9 ( 3 2 d. _x2 _x2 _{ (9x}2_{) 9x}2 _C 9 2 9 ) 9 ( 3 2 e. _x2 _x2 _{ x}2_C 9 9 1 9 ) 9 ( 3 1 15. Nilai

_

1   0 6 _.... ) 1 ( 5x x dx a. 56 75 b. 56 10 c. 56 5 d. 56 7  e. 56 10 

16. Hasil dari



cosx.cos4x.dx....

a. _{ x sin3xC} 3 1 5 sin 5 1 b. _{x sin3xC} 6 1 5 sin 10 1 c. _{x sin3xC} 3 2 5 sin 5 2 d. _{x cos3xC} 2 1 5 cos 2 1 e. _{ x sin3xC} 2 1 5 sin 2 1

Materi pokok : Luas Daerah

17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2

dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32 c. 6 5 20 d. 18 e. 3 2 10

18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas. a. 2_/3 b. 3 c. 3 1 5 d. 3 2 6 e. 9

19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas. a. 2 1 4 b. 6 1 5 c. 6 5 5 d. 6 1 13 e. 6 1 30

20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

b. 3 2 7 c. 8 d. 3 1 9 e. 3 1 10

21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 _{– 4 dan g(x) = –f (x) , maka}

luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas.

a. 3 2 10 b. 3 1 21 c. 3 2 22 d. 3 2 42 e. 3 1 45

22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 _{dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4}

adalah …satuan luas a. 6 1 4 b. 5 c. 6 d. 6 1 6 e. 2 1 7

23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 _{– 1,}

sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 4 3 b. 2 c. 4 3 2 d. 4 1 3 e. 4 3 4

Materi pokok : Volume Benda Putar

24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 _{+ 4 dan y = – 2x + 4 diputar 360}0

mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. a. 8 b. _ 2 13 c. 4 d. _ 3 8 e. _ 4 5

25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 _{+ 1 dan y = x + 3, diputar}

mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum. a. _ 5 67 b. _ 5 107 c. _ 5 117 d. _ 5 133 e. _ 5 183

26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2

1

2x , garis y =

x

2

1 _{dan garis x = 4 diputar 360}0 _terhadap

sumbu x adalah ….satuan volume. a. _ 3 1 23 b. _ 3 2 24 c. _ 3 2 26 d. _ 3 1 27 e. _ 3 2 27

27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{dan x +}

y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600_{. Volume benda putar yang terjadi adalah}

…satuan volum. a. _ 3 2 15 b. _ 5 2 15 c. _ 5 3 14 d. _ 5 2 14 e. _ 5 3 10

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 _{+ 1, x = 1}

, sumbu x, dan sumbu y diputar 3600

mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum. a. _ 15 12 b. 2 c. _ 15 27 d. _ 15 47 e. 4

29. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2

dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 _{adalah ….} a. 4 b. _ 3 16 c. 8 d. 16 e. _ 3 92

30. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{– 1}

dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 _adalah

…. a. _ 15 4 b. _ 15 8 c. _ 15 16 d. _ 15 24 e. _ 15 32

31. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva

4 1

2

x

y  , sumbu x,

sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.

a. _ 15 52 b. _ 12 16 c. _ 15 16 d.  e. _ 15 12

Kunci Jawaban Integral

1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A 13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D 25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C

1. Diketahui





 



 3 2 25 1 2 3 a dx x x , nilai a 2 1 3 2 3 2 2 3 3 a x x x _   _{ } =25

 

 

25 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2      _{ }      _{ } a a a



2793







a3 a2 a



25





25 39 a3 a2 a 



3  2 



14  a a a 0 14 2 3     a a a 2 1 1 1 -14 a2 2 6 14 1 2 1  a 1 3 7 0 ( D ) 2. Nilai



2 0 cos . 2 sin x xdx= =



  0 sin 3 sin 2 1 x x dx  0 cos 2 1 3 cos 6 1    _{ }  x x    _  _{ }     _{ }  cos0 2 1 0 3 cos 6 1 cos 2 1 3 cos 6 1        _{ }       _{ }  0 0 0 _cos00 2 1 0 cos 6 1 180 cos 2 1 540 cos 6 1              _{ }        _       _{ }  1 2 1 1 6 1 1 2 1 1 6 1 2 1 6 1 2 1 6 1_{  }  3 4 6 8 6 3 1 3 1       ( E ) 3. _Hasil



5 _x cos dx =



cos x.cos4 dx =



cosx.



cos2 x



2 dx =



cosx.



1sin2 x



2 dx

=



cosx



12sin2 xsinx



dx

=



cosx2cosxsin2 xcosxsin4 x

= x 3 x sin5 x 5 1 sin 3 2 sin C

= x 3 x sin5 x 5 1 sin 3 2 sin C ( D ) 4.





_x2 _1



_cosx dx ) ( 2 ₁   x x cos   x 2 sin x 2(+) cosx 0 sinx

=x2sinxsinx2xcosx2sinx+C =x2sinxsinx2xcosxC

=



x2 1



sinx2xcosxC ( B ) 5.







3 2    40 2 2 3 p dx x x



3x2 2x2



3_pdx40 40 2 2 2 3 3 3 2 3      _{ } dx x x x p

   

 



33  3 2 23







   

p 3 p 2 2

 

p



40



2796







p3  p2 2p



40 40 2 24 p3  p2  p 0 16 2 2 3      p p p -2 -1 1 -2 -16 p2 2 -6 16 -1 3 -8 0 1 2 1 _ p ( C ) 6. Hasil dari



 2 5 cos . 3 sin  o xdx x …















     2 0 5 3 sin 5 3 sin 2 1 dx







   2 0 2 sin 8 sin 2 1 dx x x



   2 0 2 sin 2 1 8 sin 2 1 xdx x     _{ }  90 0 2 cos 4 1 8 cos 16 1 x x               cos0 4 1 0 cos 16 1 180 cos 4 1 720 cos 16 1

 

 

__

 



 

_  _{  }  1 4 1 1 16 1 1 4 1 1 16 1                 16 4 1 16 4 1         16 5 5

16 10   ( A ) 7. Nilai



   2 1 0 ... sin 2x xdx





    2 1 2 1 0 0 sin 2xdx xdx



x cosx



0 2  ₂1  



0 cos0



90 cos 2 1 2 2                     1 4 1_2 _  ( C ) 8. _{Nilai sin}



2₁



_...



x x dx



 



x x d x x 2 1 1 sin 2 2   

_



 





   sin 1 1 2 1 2 2 x d x



x 



c   cos 1 2 1 2 ( C ) 9.



_{xsin xdx2 ...} x x x x 2 sin 4 1 0 2 cos 2 1 1 2 sin   c x x x jadi  cos2  2 1 2 sin 4 1 ( C ) 10.







   2 0 2 2 ... cos sin x xdx



   2 0 2 cos xdx



   2 0 2 ) 2 ( 2 cos xd x



   2 0 ) 2 ( 2 cos 2 1 x xd 90 0 2 sin 2 1      x    _{ }     _{ }  sin2.0 2 1 90 . 2 sin 2 1 0 0 . 2 1 0 . 2 1            ( C )

11. Hasil



... 2 1 cos 2x xdx   x 2 x 2 1 cos 2_{ } x 2 1 sin 2 0 x 2 1 cos 4  c x x x    2 1 cos 8 2 1 sin 4 ( A ) 12. Hasil



x 9x2dx...







  x x 2dx 1 2 9



 





 _  x x d x x 2 9 9 2 2 2 1



 





    2 2 9 9 2 1 2 1 x d x





2 3 2 9 3 2 . 2 1 x   



x



x c   2 2 9 9 3 1 ( A ) 13. Nilai









 1 0 6 ... 1 5x x dx 5x_{ }





6 1 x 5 _{ }

_

_

7 1 7 1 x   0

_

_

8 1 56 1 x 









1 0 8 7 1 56 5 1 7 5    _{   }  x x x     __       _  _{   }  7 8 7 8 0 1 56 5 0 1 0 7 5 1 1 56 5 1 1 1 7 5





          6 5 0 0 0 56 5  ( C )

14. Hasil dari



cosxcos4xdx...







  cos5x cos3x dx 2 1



  x cos3xdx 2 1 5 cos 2 1 c x x   sin3 6 1 5 sin 10 1 ( B ) 15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

2

x

y dan garis xy 6adalah . . satuan luas.

x y y x 6 6 yx2 2 6x x 6 , 1 , 1 6 0 2        c b a x x 25 6 . 1 . 4 1 4 2 2       D D ac b D 6 5 20 6 125 6 5 . 25 1 . 6 25 25 6 2      L L L L a D D L ( C )

16. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

x=3 Jawab: dx x x x x



       3 1 2 2 3 4 5 6



    3 1 2 8 10 2x x dx 31 8 5 3 2 3 2    _{  }  x x x      _{  }       _{  }  5(1) 8 3 2 24 ) 9 ( 5 ) 27 .( 3 2





     _{  }      5 8 3 2 24 45 18         3 2 3 3 3 2 6  ( D ) 5 6 2_{ } x x y 3 4 2_{ } x x y

17. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas.

Jawab: x y x y x y      2 2 2







1 2 1 2 0 2 0 2         ataux x x x x x 6 1 4 6 25 6 11 6 6 ) 2 16 3 ( 6 2 1 4 3 8 8 2 1 2 3 1 4 3 8 8 0 2 1 2 3 1 4 2 1 2 4 ) 2 ( 4 1 0 2 1 0 2 1 2                                                  _      





L L L L L L x x L dx x dx x L ( A )

18. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu y adalah….satuan volume. Jawab: y = -x2 + 4 y = -2x + 4 x2 = 4 – y 2x = 4 – y x = 2 – ½y





y y        4 2 4 2 y -4 2 ) y 8y -(16  2 _ y y y 16 4 8 16  2   4 0 0 ) 4 ( 0 4 2       atauy y y y y y













            _                  _{ }               









3 8 3 16 8 12 64 8 12 1 2 1 4 1 4 1 2 4 4 4 1 2 4 4 2 1 2 4 4 0 3 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 V V V y y V dy y y V dy y y y V dy y y y V dy y y V ( D )

19. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2

1 2x y , garis y x 2 1

 dan garis x = 4 diputar 360o terhadap sumbu x adalah …satuan volume. Jawab: x y2 y x 2 1  x x x x x x 4 4 1 0 4 1 4 2 1 2 2     16 0 4 4 1 0         _  ataux x x x

 

     3 2 26 12 16 32 12 1 2 4 1 4 2 1 2 4 0 3 2 4 0 2 4 0 2 2            _           





V V x x V dx x x V dx x x V

( C )

20. Volume benda putar yang terjadi bila darah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah… Jawab:





     15 16 1 3 2 5 1 1 3 2 5 1 1 3 2 5 1 1 3 2 5 1 3 2 5 1 1 2 1 1 1 3 5 1 1 2 4 1 1 2 2        _{    }             _{  }        _{ }      _{ }         





V V V x x x V dx x x V dx x V ( C )