(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.

Bab 4 Integral

Bab 4 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut:

(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.

(3) Pertemuan III: Rumus integral Cauchy dan Turunan fungsi analitik. (4) Pertemuan IV: Teorema Modulus Maksimum, Teorema Morera, dan

Teo-rema Liouville.

Salah satu topik yang sangat penting di dalam mempelajari fungsi variabel kompleks adalah integral. Topik ini menjadi sangat penting dan menarik untuk dipelajari, karena tidak hanya berguna bagi matematika itu sendiri, namun juga sangat berguna bagi bidang-bidang lain, seperti bidang teknik, fisika, ekonomi, dan lain sebagainya.

4.1

Fungsi Bernilai Kompleks

Terlebih dahulu akan diperkenalkan derivatif dan integral tertentu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu daerah definisi di dalam sistem bilangan real <.

Diberikan fungsi bernilai kompleks w(t) = u(t) + iv(t) dengan t variabel real. Turunan w, ditulis w0(t) atau dw(t)_dt didefinisikan sebagai

w0(t) = u0(t) + iv0(t)

asalkan u0(t) dan v0(t) ada untuk setiap t.

Dari definisi tersebut, dapat diturunkan sifat-sifat derivatif fungsi bernilai kompleks. Teorema 4.1.1 Jika dw1(t) dt dan dw2(t) dt ada, maka d(w1(t)+w2(t)) dt dan d(w1(t) + w2(t)) dt = dw1(t) dt + dw2(t) dt

Bukti: Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 4.1.2 Diberikan fungsi bernilai kompleks w(t) = u(t) + iv(t). Jika w0(t) ada, maka untuk sebarang z0 ∈ C, d(z0_dtw(t)) ada dan

d(z0w(t))

dt = z0

dw(t) dt . Bukti: Misalkan z0 = x0+ iy0. Karena

z0w(t) = (x0+ iy0)(u(t) + iv(t))

= (x0u(t) − y0v(t)) + i(x0v(t) + y0u(t))

maka d(z0w(t)) dt = d((x0u(t) − y0v(t))) dt + i d((x0v(t) + y0u(t))) dt = (x0u0(t) − y0v0(t) + i(x0v0(t) + y0u0(t)) = (x0+ iy0)(u0(t) + iv0(t)) = z0w0(t). 2

Teorema 4.1.3 Untuk sebarang z0 ∈ C, d(e

z0t)

dt ada dan

d(ez0t₎

dt = z0e

z0t_.

Bukti: Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Perlu diperhatikan, meskipun turunan fungsi bernilai kompleks diturunkan dari definisi fungsi bernilai real, namun ternyata tidak semua sifat yang berlaku untuk turunan fungsi bernilai real bisa dibawa ke fungsi bernilai kompleks. Se-bagai contoh, diperhatikan fungsi

w(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2π (4.1)

Fungsi tersebut kontinu pada [0, 2π], mempunyai turunan w0(t) = ieit pada (0, 2π), dan w(0) = w(2π). Akan tetapi w0(t) 6= 0 untuk semua 0 < t < 2π.

Jadi, di sini tidak berlaku Teorema Nilai Rata-rata, khususnya Teorema Rolle khususnya.

Diberikan w(t) = u(t) + iv(t), t ∈ [a, b]. Integral tak tentu dari w(t) pada [a, b] adalah fungsi W (t) yang terdefinisi pada [a, b] sehingga W0(t) = w(t) untuk setiap t ∈ [a, b]. Mudah ditunjukkan bahwa apabila W (t) dan H(t) keduanya merupakan integral tak tentu dari w(t) pada [a, b], maka W (t) − H(t) merupakan fungsi konstan pada [a, b]. Jadi, sebagaimana berlaku pada fungsi bernilai real, jika U (t) dan V (t) masing-masing adalah suatu antiderivatif (integral tak tentu) dari u(t) dan v(t) pada [a, b], maka inetgral tak tentu dari w(t) pada [a, b] adalah

W (t) =

Z

w(t) = U (t) + iV (t) + K, (4.2)

dengan K sebarang konstanta kompleks.

Untuk sebarang fungsi w(t), t ∈ [ab], integral tertentu w pada [a, b] didefi-nisikan sebagai Z b a w(t)dt = Z b a u(t)dt + i Z b a v(t)dt (4.3)

asalkan integral di ruas kanan keduanya ada. Jadi, Re{ Z b a w(t)dt} = Z b a

Re(w(t))dt dan Im{

Z b a w(t)dt} = Z b a Im(w(t))dt (4.4) Selanjutnya mudah ditunjukkan sifat-sifat integral tertentu sebagaimana diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 4.1.4 Jika Rb

aw(t)dt dan Rb

ah(t)dt keduanya ada dan c ∈ C sebarang

konstanta kompleks, maka (i) Rb a(w(t) + h(t))dt = Rb aw(t)dt + Rb ah(t)dt, (ii) Rb acw(t)dt = c Rb aw(t)dt, dan (iii) Rb aw(t)dt = Rc aw(t)dt + Rb c w(t)dt untuk setiap a < c < b.

Seperti halnya di dalam kalkulus, untuk integral fungsi bernilai kompleks juga berlaku teorema fundamental integral. Adapun buktinya, pembaca dipersilahkan untuk mencobanya sebagai latihan.

Contoh 4.1.5 Tentukan R1 0(2t − 3it2)dt. Penyelesaian: KarenaR (2t − 3it2_{)dt = t}2_{− it}3_{+ K, maka} Z 1 0 (2t − 3it2)dt = [t2− it3_]1 0 = 1 − i. 2

Teorema 4.1.6 Jika w(t) terintegral pada [a, b], maka |w(t)| terintegral pada [a, b] dan | Z b a w(t)dt| ≤ Z b a |w(t)|dt (4.5)

Bukti: Karena w(t) terintegral pada [a, b], maka u(t) dan v(t) keduanya ter-integral pada [a, b]. Menurut sifat ter-integral fungsi bernilai real, u2 _{dan v}2 _juga

terintegral pada [a, b]. Hal ini berakibat |w(t)| terintegral pada [a, b]. Selanjut-nya akan dibuktikan ketaksamaan (4.5).

Apabila Rb

aw(t)dt = 0, maka pernyataan trivial. Sekarang ditinjau untuk

keadaan Rb

aw(t)dt 6= 0.

Karena Rb

aw(t)dt 6= 0, maka ada r > 0 dan θ ∈ R sehingga Z b

a

w(t)dt = reiθ (4.6)

Apabila (4.6) diselesaian untuk r, maka r =

Z b a

e−iθw(t)dt (4.7)

Selanjutnya, karena r ∈ R, maka dari (4.7) diperoleh | Z b a w(t)dt| = r = Re{ Z b a e−iθw(t)dt} = Z b a Re{e−iθw(t)}dt ≤ Z b a |e−iθw(t)|dt = Z b a |w(t)|dt. 2

Integral tak wajar fungsi bernilai kompleks didefinisikan sejalan dengan defi-nisi integral tak wajar fungsi bernilai real sebagaimana telah diberikan pada mata kuliah kalkulus.

4.2

Lintasan atau Kontur

Seperti telah diketahui, integral fungsi bernilai real dengan variabel real didefin-isikan pada suatu interval di mana fungsi tersebut terdefinisi. Hal ini tak bisa dilakukan untuk fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks, mengingat di dalam C tidak dikenal adanya urutan sebagaimana di R. Mengingat hal itu, integral fungsi kompleks dengan variabel kompleks akan didefinisikan pada suatu kurva di dalam bidang datar. Pada bagian ini, akan dibicarakan keluarga kurva-kurva di dalam bidang datar yang nantinya akan digunakan untuk mendefinisikan integral fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks.

Diberikan fungsi-fungsi kontinu g dan h yang terdefinisi pada [a, b]. Himpunan semua titik z = (x, y) di dalam bidang kompleks sehingga

x = g(t) dan y = h(t), t ∈ [a, b]

disebut arc atau kurva. Secara umum, suatu kurva atau arc C dapat pula diru-muskan sebagai

z = z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b dengan x dan y masing-masing fungsi kontinu pada [a, b].

Kurva C disebut kurva sederhana jika C tidak memotong dirinya sendiri, yaitu apabila z(t1) 6= z(t2) untuk setiap t1 6= t2. Jika kurva C sederhana kecuali pada

kedua ujungnya (z(a) = z(b)), maka C dinamakan kurva tertutup sederhana atau kurva Jordan. Contoh 4.2.1 Poligonal z =      t , 0 ≤ t ≤ 1 1 + it , 0 ≤ t ≤ 1 adalah kurva sederhana.

Diberikan kurva z = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b dengan x0(t) dan y0(t) keduanya ada pada [a, b]. Kurva z = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b sehingga x0(t) dan y0(t) keduanya ada pada [a, b] disebut kurva diferensiabel. Turunan dari z(t) adalah

z0(t) = x0(t) + y0(t)

Selanjutnya, karena x0(t) dan y0(t) terintegral pada [a, b], maka demikian pula dengan |z0(t)| dan Z b a |z0_{(t)|dt =}Z b a q (x0_(t))2_{+ (y}0_(t))2_{, (4.8)}

yaitu panjang kurva z sebagaimana diberikan di kalkulus.

Suatu kurva z = z(t), a ≤ t ≤ b, dikatakan mulus (smooth) jika z0(t) ada untuk setiap t ∈ [a, b] dan bernilai tidak nol pada (a, b). Sejumlah berhingga kurva mulus sehingga ujung suatu kurva bertautan dengan ujung kurva berikut-nya disebut kontur (contour). Suatu kontur C disebut kontur tertutup sederhana jika titik awal dan titik akhir C sama atau berimpit.

Gambar 4.1

Latihan

1. Hitunglah integral berikut. a. R1 0(t − i)2dt b. R2 1 √ i − tdt c. Rπ3 0 eiθdθ d. R∞ 0 e −it_dt

2. Hitunglah R

π 2

0 e(1−i)xdx.

3. Jika x0(t) dan y0(t) keduanya ada dan w(t) = x(t) + iy(t), tunjukkan

d2_w(t) dt2 = 2w(t).w 0 (t) 4. Jika Rb aw(t)dt, Rb

ah(t)dt keduanya ada dan z0 ∈ C, tunjukkan

a. Rb a{w(t) + h(t)}dt = Rb aw(t)dt + Rb ah(t)dt. b. Rb az0w(t)dt = z0 Rb aw(t)dt. c. Rb aw(t)dt = Rc aw(t)dt + Rb c w(t)dt.

5. Jika w(−t) = −w(t) untuk setiap t ∈ [−a, a] danRa

−aw(t)dt ada, tunjukkan Ra

−aw(t)dt = 0

4.3

Integral Kontur

Pada bagian ini akan dibicarakan integral fungsi bernilai kompleks yang terdefin-isi untuk variabel kompleks. Integral tersebut didefinterdefin-isikan di sepanjang suatu kontur C, mulai dari z = z1 sampai z = z2 di bidang kompleks. Jadi, integral

yang dimaksud sesungguhnya merupakan integral garis. Nilai integral tergantung tidak hanya pada fungsi f , namun juga pada kontur C.

Diberikan fungsi kompleks f dan kontur C dari z1 ke z2 di dalam bidang

kompleks. Integral lintasan f pada C ditulis dengan notasi R

Cf (z)dz. Secara

umum, nilai integral ini selain bergantung pada f juga bergantung pada lintasan C. Apabila nilai integral tidak bergantung pada C, maka dituliskan

Z z2

z1

f (z)dz Diberikan kontur C dengan representasi

z = z(t), a ≤ t ≤ b

yang memanjang dari z1 = z(a) sampai dengan z2 = z(b). Untuk sebarang fungsi

kecuali di sebanyak berhingga titik pada C, integral kontur f sepanjang kontur C didefinisikan sebagai Z C f (z)dz = Z b a f (z(t))z0(t)dt (4.9)

Untuk sebarang kontur C dengan representasi z = z(t), a ≤ t ≤ b

kontur −C didefinisikan sebagai suatu kontur yang memuat titik sebagaimana titik-titik pada C namun dengan arah yang berlawanan, dari z2 sampai z1.

Se-lanjutnya, dapat ditunjukkan beberapa teorema berikut. Teorema 4.3.1 Diberikan kontur C dengan representasi

z = z(t), a ≤ t ≤ b

yang memanjang dari z1 = z(a) sampai dengan z2 = z(b). Jika f (z) sebarang

fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada C, maka

Z

−Cf (z)dz = − Z

C

f (z)dz Bukti: Kontur −C mempunyai representasi

z = z(−t), − b ≤ t ≤ −a dan Z −Cf (z)dz = Z −a −b f (z(−t))(−z 0 (−t))dt

Selanjutnya, dengan mengambil substitusi −t = s, maka diperoleh

Z −a −b f (z(−t))(−z 0 (−t))dt = Z a b f (z(s))(−z0(s))(−ds) = − Z b a f (z(s))z0(s)ds Jadi, Z −Cf (z)dz = − Z C f (z)dz. 2

Teorema 4.3.2 Diberikan kontur C yang terdiri atas kontur C1 dari z1 sampai

z2 dan kontur C2 dari z2 sampai z3. Kontur C yang demikian biasa ditulis sebagai

C = C1+ C2. Jika f kontinu sepotong-sepotong pada C, maka

Z C f (z)dz = Z C1 f (z)dz + Z C2 f (z)dz Bukti: Misalkan C mempunyai representasi

z = z(t), a ≤ t ≤ b

maka ada c ∈ (a, b) sehingga C1 dan C2 masing-masing mempunyai representasi

z = z(t), a ≤ t ≤ c dan z = z(t), c ≤ t ≤ b Selanjutnya, Z C f (z)dz = Z b a f (z(t))z0(t)dt = Z c a f (z(t))z0(t)dt + Z b c f (z(t))z0(t)dt = Z C1 f (z)dz + Z C2 f (z)dz. 2

Teorema 4.3.3 Jika f dan g keduanya kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C dan z0 sebarang konstanta kompleks, maka

Z C (f (z) + g(z))dz = Z C f (z)dz + Z C g(z)dz dan Z C z0f (z)dz = z0 Z C f (z)dz

Bukti: Pembaca dipersilahkan untuk membuktikan sendiri sebagai latihan.

Contoh 4.3.4 Jika C adalah kontur yang terdiri atas penggal garis C1 dari z = 0

sampai z = 1 dan penggal C2 dari z = 1 sampai z = i, maka hitunglah

Z

C

Penyelesaian: Kontur C1 mempunyai persamaan

z = x,

dari x = 0 sampai x = 1. Sedangkan kontur C2 mempunyai persamaan

z = x + i(1 − x), dari x = 1 sampai x = 0. Oleh karenanya,

Z C1 ((x + 2y) − 3ixy)dz = Z 1 0 xdx = 1 2 dan Z C2 ((x + 2y) − 3ixy)dz = Z 0 1 (x + 2(1 − x) − 3ix(1 − x))(dx − idx) = Z 0 1 (3x2 − 4x + 2)dx + i Z 0 1 (3x2− 2x − 2)dx = − Z 1 0 (3x2 − 4x + 2)dx − i Z 1 0 (3x2− 2x − 2)dx = −1 + 2i Jadi, Z C ((x + 2y) − 3ixy)dz = Z C1 ((x + 2y) − 3ixy)dz + Z C2 ((x + 2y) − 3ixy)dz = 1 2+ (−1 + 2i) = − 1 2 + 2i.2

Teorema 4.3.5 Diberikan fungsi kompleks f yang kontinu sepotong-sepotong pada suatu kontur C. Jika terdapat M > 0 sehingga |f (z)| ≤ M untuk setiap z ∈ C, maka

|

Z

C

f (z)dz| ≤ M L dengan L menyatakan panjang kontur atau lintasan C.

Contoh 4.3.6 Jika C adalah kontur berbentuk setengah lingkaran z = 4eiθ _dari

z = 4 sampai z = −4, maka tunjukkan bahwa | Z C z z + 1dz| ≤ 16π 3

Bukti: Mudah dimengerti bahwa panjang kontur C adalah L = 4π. Selanjutnya, karena untuk semua z ∈ C berlaku

| z z + 1| ≤ |z| |z| − 1 = 4 3, maka | Z C z z + 1dz| ≤ ( 4 3)(4π) = 16π 3 . 2 Latihan 1. Hitunglah R Cf (z)dz jika

a. f (z) = (x + y) + i(x − y) dan C adalah kontur terdiri penggal garis dari z = −1 sampai z = 1 dan busur setengah lingkaran z = eiθ _dari

θ = 0 sampai θ = π.

b. f (z) = 1−z_z dan C kontur berbentuk lingkaran z = 3eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π.

c. f (z) = z + 1 dan C kontur berbentuk lingkaran |z| = 2 arah positif (berlawanan jaraum jam).

2. Diberikan kontur C terdiri atas penggal garis dari z = −1 sampai z = 1, penggal garis dari z = 1 sampai z + i, dan penggal garis dari z = i sampai z = −1. Tunjukkan |R

C z

2

2−z2dz| ≤ 1.

3. Jika C adalah kontur berbentuk lingkaran |z| = 2 dari θ = 0 sampai θ = 2π, tunjukkan |R

C(ez− z)dz| ≤ 44π.

4. Diketahui C dan C0 masing-masing kontur berbentuk lingkaran z = Reiθ

dan z = z0+ Reiθ, arah positif. Tunjukkan

Z C f (z − z0)dz = Z C0 f (z)dz

5. Diberikan kontur C berbentuk lingkaran z = z0 + Reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π. Tunjukkan a. R C z−zdz0 = 2πi b. R C (z−zdz0)2 = 0

4.4

Antiderivatif

Meskipun secara umum nilai R

Cf (z)dz bergantung pada lintasan C, namun ada

fungsi-fungsi tertentu dimana nilai integral fungsi tersebut pada C tidak bergtung pada C. Untuk membuktikan pernyataan tersebut diperlukan konsep an-tiderivatif.

Diberikan suatu domain D. Fungsi F disebut antiderivatif fungsi f pada D jika F0(z) = f (z) pada D. Mengingat derivatif merupakan syarat perlu keanal-itikan suatu fungsi dan derivatif suatu fungsi tunggal adanya, maka diperoleh teorema berikut.

Teorema 4.4.1 Diketahui fungsi f kontinu pada suatu domain D. Jika salah satu pernyataan di bawah ini benar, maka yang lain juga benar.

(i) f mempunyai antiderivatif pada D.

(ii) Jika z1, z2 ∈ D dan C sebarang lintasan di dalam D dari z1 sampai z2, maka

nilai R

Cf (z)dz tidak bergantung pada C.

(iii) Jika C sebarang lintasan tertutup di dalam D, maka R

Cf (z)dz = 0.

Bukti: Misalkan diketahui pernyataan (i) benar. Diambil sebarang lintasan atau kontur C di dalam D, mulai dari z = z1 sampai z = z2. Misalkan C mempunyai

representasi z = z(t), a ≤ t ≤ b maka dF (z(t)) dt = F 0 (z(t))z0(t) = f (z(t))z0(t), a ≤ t ≤ b

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus, diperoleh

Z

C

f (z)dz = F (z(b)) − F (z(a)) Karena z(a) = z1 dan z(b) = z2, maka

Z

C

f (z)dz = F (z2) − F (z1)

Dapat ditunjukkan bahwa hasil yang sama akan diperoleh meskipun C =Pn k=1Ck,

dengan Ck merupakan lintasan atau kontur mulai dari z = zk sampai z = zk+1

untuk setiap k. Dalam hal ini, zn+1 = z2.

Selanjutnya, diasumsikan pernyataan (ii) benar. Diambil sebarang lintasan tertutup C di dalam D. Misal z1 dan z2 sebarang dua titik pada C. Dua titik

tersebut akan membentuk dua lintasan masing-masing berasal dari z1 menuju z2,

namakan C1 dan C2. Jadi, C = C1+ (−C2). Karena (ii), maka

Z C1 f (z)dz = Z C2 f (z)dz atau Z C f (z)dz = Z C1+(−C2) f (z)dz = Z C1 f (z)dz − Z C2 f (z)dz = 0

Bukti pernyataan (iii) berakibat pernyataan (i) diserahkan kepada para pem-baca sebagai latihan. 2

Dengan adanya Teorema 4.4.1, banyak masalah integral yang penyelesaiannya menjadi makin mudah dan sederhana.

Contoh 4.4.2 Karena f (z) = 3z2+1 mempunyai antiderivatif F (z) = z3+z +K pada seluruh bidang datar, maka

Z 1+i 1

f (z)dz = F (1 + i) − F (1) = −4 + 2i apapun lintasan yang menghubungkan 1 dan 1 + i yang dipilih.

4.5

Teorema Cauchy-Goursat

Suatu teorema yang sangat penting dalam integral kompleks adalah Teorema Goursat. Namun perlu diketahui bahwa sesungguhnya Teorema Cauchy-Goursat merupakan hasil penyempurnaan Teorema Cauchy.

Teorema 4.5.1 (Cauchy) Jika f analitik dan f0 kontinu di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka

Z

C

f (z)dz = 0 Bukti: Misalkan C mempunyai representasi

z = z(t), a ≤ t ≤ b

dengan arah positif (berlawanan jarum jam). Karena f analitik di dalam dan pada C, maka menurut (4.9),

Z C f (z)dz = Z b a f (z(t))z0(t)dt (4.10)

Selanjutnya, apabila f (z) = u(x, y) + iv(x, y) dan z(t) = x(t) + iy(t), maka (4.10) dapat ditulis menjadi

Z C f (z)dz = Z b a (ux0− vy0)dt + i Z b a (vx0+ uy0)dt (4.11)

atau dalam bentuk integral garis menjadi

Z C f (z)dz = Z C (udx − vdy) + i Z C (vdx + udy) (4.12)

Karena diketahui f0 kontinu di dalam dan pada C, maka menurut Teorema Green berlaku Z C f (z)dz = Z Z R (−vx− uy)dxdy + i Z Z R (ux− vy)dxdy, (4.13)

dengan R = C ∪ intC. Selanjutnya, karena f analitik di dalam dan pada C, maka pada R berlaku persamaan Cauchy-Riemann. Sehingga, (4.13) menjadi

Z

C

Goursat dapat menunjukkan bahwa syarat kekontinuan f0 pada Teorema Cauchy ternyata dapat dihilangkan. Sehingga, oleh Goursat Teorema Cauchy dapat direvisi menjadi teorema berikut ini.

Teorema 4.5.2 (Cauchy-Goursat) Jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka

Z

C

f (z)dz = 0

Suatu domain D dikatakan terhubung sederhana jika setiap kontur tertutup sederhana di dalam D hanya melingkupi titik-titik di dalam D. Sebagai con-toh, jika C adalah kontur tertutup sederhana, maka D = C ∪ int(C) merupakan domain terhubung sederhana. Sedangkan cincin {z : r ≤ |z| ≤ R} bukan su-atu domain terhubung sederhana. Selanjutnya, Teorema Cauchy-Goursat dapat diperluas menjadi teorema berikut.

Teorema 4.5.3 Jika f analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka

intCf (z)dz = 0

untuk setiap kontur tertutup C di dalam D.

Sebagai akibat langsung dari Teorema 4.5.3 adalah pernyataan berikut. Akibat 4.5.4 Jika f analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka f mempunyai antiderivatif pada D.

Selanjutnya, Teorema Cauchy-Goursat bisa diperluas menjadi sebagai berikut. Teorema 4.5.5 Diketahui:

(i) C lintasan tertutup sederhana, arah positif,

(ii) Ck, k = 1, 2, . . . , n, lintasan tertutup sederhana, arah positif, berada di

Jika f analitik di dalam dan pada C, kecuali di interior masing-masing Ck, maka Z C f (z)dz + n X k=1 Z Ck f (z)dz = 0

Contoh 4.5.6 Jika C adalah kontur berbentuk lingkaran |z| = 1, maka

Z

C

ez

z2_{+ 4}dz = 0

karena f (z) = _z2e₊₄z analitik di dalam dan pada C.

Contoh 4.5.7 Jika C, C1, dan C2 berturut-turut menyatakan lintasan berbentuk

lingkaran |z| = 5, |z − 1| = 1₄, dan |z| = 1₄, maka

Z C z + 1 z2_{(z − 1)}dz = Z C1 z + 1 z2_{(z − 1)}dz + Z C2 z + 1 z2_{(z − 1)}dz

karena f (z) = _z2z+1_(z−1) analitik di dalam dan pada C, kecuali di interior C1∪ C2.

4.6

Rumus Integral Cauchy

Hasil yang sangat mendasar di dalam integral kompleks dinyatakan dalam teo-rema berikut.

Teorema 4.6.1 Diketahui C lintasan tertutup sederhana arah positif. Jika f analitik di dalam dan pada C dan z0 ∈ int(C), maka

f (z0) = 1 2πi Z C f (z) z − z0 dz (4.14)

Bukti: Diberikan sebarang  > 0. Karena f analitik di dalam dan pada C, maka f kontinu di dalam dan pada C. Akibatnya f kontinu di z0. Oleh karena itu, ada

bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ C ∪ Int(C) dengan |z − z0| < δ berlaku

|f (z) − f (z0)| <

 2π

Dipilih bilangan r > 0 sehingga r < δ. Dibentuk lingkaran γ : |z − z0| = r

sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 4.2 di bawah ini.

Gambar 4.2

Untuk sebarang z ∈ γ berlaku

|f (z) − f (z0)| <



2π (4.15)

Selanjutnya, karena _z−zf (z)

0 analitik di dalam dan pada C keculai di dalam γ, maka

menurut perluasan Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh

Z C f (z) z − z0 dz = Z γ f (z) z − z0 dz (4.16)

Dengan menambahkan kedua ruas pada (4.16) dengan −f (z0) R γ dz z−z0, maka diper-oleh Z C f (z) z − z0 dz − f (z0) Z γ dz z − z0 = Z γ f (z) − f (z0) z − z0 dz (4.17) Karena Z γ dz z − z0 = 2πi maka (4.17) menjadi Z C f (z) z − z0 dz − 2πif (z0) = Z γ f (z) − f (z0) z − z0 dz (4.18)

Akibatnya, dengan memperhatikan (4.15), diperoleh | Z C f (z) z − z0 dz − 2πif (z0)| = | Z γ f (z) − f (z0) z − z0 dz| ≤ Z γ |f (z) − f (z0) z − z0 |dz <  2πr2πr = 

Karena berlaku untuk semua  > 0, maka terbuktilah (4.14). 2

Persamaan (4.14) dikenal dengan nama rumus integral Cauchy. Perhatikan bahwa persamaan (4.14) dapat ditulis sebagai

Z

C

f (z) z − z0

dz = 2πif (z0)

Oleh karena itu, rumus integral Cauchy dapat digunakan untuk menghitung in-tegral suatu fungsi sepanjang suatu lintasan tertutup sederhana.

Contoh 4.6.2 Hitunglah R C e

πz

z2₊₁dz jika C adalah lintasan berbentuk lingkaran

|z| = 2 arah positif.

Penyelesaian: Integrand dapat dituliskan sebagai eπz

z2_{+ 1} =

eπz

(z − i)(z + i)

Selanjutnya, berturut-turut dibentuk lingkaran C1 dan C2 dengan persamaan

|z − i| = 1

2 dan |z + i| =

1 2

Jika diambil f (z) = _z+ieπz, maka f (z) analitik di dalam dan pada C1. Karena z = i

berada di dalam C1, maka menurut rumus integral Cauchy, Z C1 eπz z2_{+ 1}dz = Z C1 f (z) z − idz = 2πi eπi i + i = −π

Jika diambil g(z) = e_z−iπz, maka g(z) analitik di dalam dan pada C2. Karena z = −i

berada di dalam C2, maka menurut rumus integral Cauchy, Z C2 eπz z2_{+ 1}dz = Z C2 g(z) z + idz = 2πi e−πi −i − i = π

Selanjutnya, menurut perluasan Teorema Cauchy-Goursat, diperoleh

Z C eπz z2_{+ 1}dz = Z C1 eπz z2_{+ 1}dz + Z C2 eπz z2_{+ 1}dz = 0. 2

Dengan memanfaatkan Teorema 4.6.1, dapat ditunjukkan bahwa apabila f analitik di suatu titik, maka turunannya, yaitu f0, juga analitik di titik terse-but. Akibatnya, untuk setiap bilangan asli n, f(n) juga analitik di titik tersebut. Selanjutnya, diperoleh

Teorema 4.6.3 Jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan tertutup tunggal C dan z0 ∈ int(C), maka

f(n)(z0) = n! 2πi Z C f (z) (z − z0)n+1 dz, n = 0, 1, 2, . . . . (4.19)

Contoh 4.6.4 Jika C adalah lintasan berbentuk lingkaran dengan pusat z0,

berjari-jari r, dan arah positif, tunjukkan R C

1

(z−z0)2dz = 0.

Bukti: Jika diambil f (z) = 1, maka f analitik di dalam dan pada C. Karena f00(z0) = 0, maka menurut (4.19), Z C 1 (z − z0)2 dz = 2πi.0 = 0. 2 Latihan

1. Diketahui C lintasan berbentuk segi empat dengan sudut-sudut ±1 dan ±i arah positif. Hitunglah R

Cf (z)dz jika a. f (z) = _z+1+iz b. f (z) = _2z+1z+1 c. f (z) = _z(z−cos zπ 4) d. f (z) = _z(16z14₋₁₎ 2. Tentukan R

Cg(z)dz jika C lintasan berbentuk lingkaran |z − i| = 2 arah

positif dan

a. g(z) = 1

z2_(z2₋₁₎ b. g(z) = e

z_+z

(z2_{−4)(z−2i)}

3. Jika C lintasan |z| = 3 arah positif dan w 6= 3, hitunglah R C

2z2_−z−2

z−w .

4. Jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan tertutup sederhana C dan z0 ∈ C, tunjukkan/ Z C f0(z) z − z0 dz = Z C f (z) (z − z0)2 dz

5. Jika C lintasan z = eiθ_{, − π ≤ θ ≤ π, arah positif, dan a ∈ R tunjukkan} Z

C

eaz

4.7

Teorema Morera, Teorema Modulus Maksimum dan

Teorema Liouville

Diberikan suatu domain D dan f fungsi kontinu pada D. Jika untuk sebarang lintasan tertutup C di dalam D,

Z

C

f (z)dz = 0

maka menurut Teorema 4.4.1, f mempunyai antiderivatif pada D, katakan F . Selanjutnya, F analitik pada D, karena F0(z) = f (z) untuk setiap z ∈ D. Menu-rut keterangan pada bagian sebelumnya, f analitik pada D. Dengan demikian telah dibuktikan pernyataan berikut ini

Teorema 4.7.1 (Morera) Jika f kontinu pada suatu domain D dan

Z

C

f (z)dz = 0

untuk setiap lintasan tertutup C di dalam D, maka f analitik pada D.

Salah satu hasil yang cukup penting terkait dengan fungsi analitik adalah apa yang disebut Teorema Modulus Maksimum. Teorema berikut ini diperlukan untuk membuktikan Teorema Modulus Maksimum.

Teorema 4.7.2 Diketahui f analitik pada suatu persekitaran |z − z0| < . Jika

|f (z)| ≤ |f (z0)| untuk setiap z di dalam persekitaran tersebut, maka f bernilai

konstan f (z0) pada persekitaran tersebut.

Bukti: Diketahui f analitik pada suatu persekitaran N(z0) = {z : |z −z0| < }.

Diambil sebarang z1 ∈ N(z0) − {z0} dan didefinisikan

r = |z0− z1|

Jika Cr adalah lingkaran |z − z0| = r arah positif, maka menurut rumus integral

Cauchy berlaku f (z0) = 1 2πi Z Cr f (z) z − z0 dz (4.20)

Untuk sebarang z ∈ Cr,

z = z0 + reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π

maka dz = ireiθ_{dθ. Oleh karena itu, (4.20) menjadi}

f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reiθ)dθ (4.21) Gambar 4.3

Selanjutnya, dari (4.21) diperoleh |f (z0)| = | 1 2π Z 2π 0 f (z0+ reiθ)dθ| ≤ 1 2π Z 2π 0 |f (z0+ reiθ)|dθ (4.22) Sebaliknya, karena |f (z0+ reiθ)| ≤ |f (z0)|, (4.23)

untuk setiap θ ∈ [0, 2π], maka

Z 2π 0

|f (z0+ reiθ)|dθ ≤ 2π|f (z0)| (4.24)

Jadi, dari(4.22) dan (4.24) diperoleh |f (z0)| = 1 2π Z 2π 0 |f (z0+ reiθ)|dθ

atau

Z 2π 0

(|f (z0)| − |f (z0+ reiθ)|)dθ = 0

Akibatnya, karena (4.23) maka

|f (z0)| = |f (z0+ reiθ| = |f (z)|

untuk sebarang z ∈ Cr. Karena z1merupakan sebarang anggota N(z0)−{z0} dan

|f (z0)| = |f (z)| untuk sebarang z ∈ Cr dengan 0 < r < , maka |f (z0)| = |f (z)|

untuk sebarang z ∈ N(z0). Akibatnya, f (z) = f (z0) (mengapa?) untuk setiap

z ∈ N(z0). 2

Berdasarkan Teorema 4.7.2 di atas selanjutnya dapat dibuktikan teorema berikut.

Teorema 4.7.3 (Modulus Maksimum) Jika fungsi f analitik dan tidak konstan pada suatu domain D, maka |f (z)| tidak pernah mencapai maksimum pada D, artinya tidak ada z0 ∈ D sehingga |f (z)| ≤ |f (z0)| untuk setiap z ∈ D.

Sebagai akibat langsung dari Teorema Modulus Maksimum adalah pernyataan berikut.

Akibat 4.7.4 Jika fungsi f kontinu pada suatu daerah tertutup dan terbatas R dan f analitik dan tidak konstan pada rmInt(R), maka nilai maksimum |f (z)| pada R terjadi di suatu titik batas R.

Contoh 4.7.5 Diberikan daerah tertutup dan terbatas berbentuk persegi panjang R = {z : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1}. Jika f (z) = sin z, maka

|f (z)| =qsin2x + sinh2y

Karena sin2x dan sinh2y masing-masing maksimum untuk x = π

2 dan y = 1,

maka |f (z)| mencapai maksimum di z = π₂ + i. Perhatikan bahwa z = π₂ + i merupakan salah satu titik batas R.

Dengan cara lain, karena f kontinu pada R, dan analitik dan tidak konstan pada Int(R), maka menurut Akibat 4.7.4 f mencapai nilai maksimum di suatu titik batas R. 2

Pada Teorema 4.6.3 telah diterangkan bahwa jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan tertutup sederhana C:|z − z0| arah positif, maka

f(n)(z0) = n! 2πi Z C f (z) (z − z0)n+1 dz

Selanjutnya, menurut Akibat 4.7.4, |f (z)| mencapai maksimum pada C. Jika nilai maksimum |f (z)| pada C adalah MR, maka diperoleh

|f(n)_(z 0)| ≤

n!MR

Rn , n = 0, 1, 2, . . .

Khususnya untuk n = 1, diperoleh |f0_(z

0)| ≤

MR

R (4.25)

Dengan demikian akan dapat ditunjukkan teorema berikut.

Teorema 4.7.6 (Liouville) Jika f fungsi utuh dan terbatas pada bidang kompleks, maka f konstan.

Bukti: Karena f terbatas pada bidang kompleks, maka terdapat M > 0 sehingga |f (z)| ≤ M,

untuk setiap z ∈ C. Selanjutnya, diambil sebarang w ∈ C. Karena f fungsi utuh, maka menurut (4.25) untuk sebarang R > 0 berlaku

|f0(w)| ≤ M R

Karena berlaku untuk sebarang R > 0, maka f0(w) = 0. Karena f0(w) = 0 untuk sebarang w > 0, maka f konstan pada C. 2

Latihan

1. Tunjukkan bahwa ebarang polinomial berderajat n ≥ 1 P (z) = a0+ a1z + a2z2 + . . . + anzn, an 6= 0

sekurang-kurangnya mempunyai satu zero, yaitu terdapat sekurang-kurangnya satu z0 ∈ C sehingga P (z0) = 0.

2. Diketahui f analitik pada D = {z : |z| < 1} dan f (0) = 2. Jika |f (z)| ≤ 2 untuk semua z ∈ D, tunjukkan bernilai konstan pada D dan f (z) = 2 untuk semua z ∈ D.

3. Diketahui f fungsi utuh dengan sifat terdapat bilangan real u0 sehingga

Re{f (z)} ≤ u0 untuk semua z ∈ C. Tunjukkan f merupakan fungsi

kon-stan.

4. Diketahui f fungsi utuh dan terdapat K > 0sehingga |f (z)| ≤ K|z| untuk setiap z. Tentukan rumus untuk f (z) jika diketahui f (i) = i + 1.