Struktur Data & Algoritme (Data Structures & Algorithms) Ide Algoritma Ford-Fulkerson. Motivation. 1-Source, 1-Target Problem.

(1)

Struktur Data & Algoritme

(

Data Structures & Algorithms

)

Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Semester Genap - 2000/2001

Version 1.0 - Internal Use Only

Suryana Setiawansetiawan@cs.ui.ac.id

Maximum Flow

Motivation

Banyak masalah graph dalam dunia nyata berkaitan

dengan aliran material

Cairan: dalam suatu jaringan pipa yang mengalirkan minyak, berapa kapasitas debit (volume yang mengalir per satuan waktu) minyak melalui jaringan tersebut ?

Lalu lintas: dalam suatu jaringan jalan, berapa daya dukung jaringan jalan tersebut?

Proses: di bagian mana terjadinya bottleneck proses tersebut?

SDA/Max Flow/Sur/V1.0/3

1-Source, 1-Target Problem

Flow network Graph

Verteks pada symmetrical directed graph dihubungkan dengan sisi-sisi yang berupa saluran dengan

• c[u,v] kapasitas debit tertentu antara verteks u dan v •c[u,v] ≥ 0

•Jika c[u,v] berarti tidak ada sisi yang menghubungkan u dan v

• f[u,v] aliran yang terjadi antara verteks u dan v •f[v,u] = -f[u,v]

•f[u,v] ≤ c[u,v]

• cr[u,v] kapasitas debit sisa/residual yang tidak digunakan antar verteks u dan v

•cr[u,v] = c[u,v] – f[u,v]

Dua verteks disebut sebagai source s dan target/sink t

Ide Algoritma Ford-Fulkerson

Mendapatkan path residual antara s dan t, jika ada

maka

“aliri” melalui path tersebut dengan debit sesuai dengan residu terkecil di dalam path tersebut

Update setiap f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path sesuai dengan debit tersebut

Hitung residual cr[u,v] = c[u,f] – f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path sebagai residual terbaru

Ulangi hingga tidak ada path residual antara s dan t

(2)

Algoritma Ford-Fulkerson

Membuat graph c simetris, jika ada c[u,v] sementara c[v,u] tidak ada dengan membuat c[v,u] = 0

Inisialisasi f[u,v] = f[v,u] = 0 untuk setiap (u,v) dalam graph Inisialisasi cr[u,v] = c[u,v] untuk setiap (u,v) dalam graph While (path=findPathDalamcr(s,t)) {

Tambahdebit = minimum {cr[u,v] | untuk setiap (u,v) dalam path}

For setiap sisi (u,v) dalam path { • f[u,v] += cr[u,v];

• f[v,u] = -f[u,v];

}

Update cr[u,v] = c[u,v] – f[u,v] untuk setiap (u,v) dalam path

Besarnya Aliran Maximum

Graph MaxFlow tidak bersifat unik (bisa beberapa

solusi) tetapi besarnya debit aliran unik (maksimum)

Aliran maximum dalam graph diperoleh dengan

menjumlahkan total flow yang keluar dari s atau total flow yang masuk ke t

Contoh

s t v4 v3 v2 v1 16 13 10 4 12 9 14 20 4 7 -0 0 0 0 0 t 4 -0 7 0 0 v4 0 14 -0 4 0 v3 20 0 9 -0 0 v2 0 0 10 12 -0 V1 0 0 13 0 16 -S t v4 v3 v2 v1 s c Kapasitas

Contoh: Inisialisasi

-0 0 0 0 0 T 0 -0 0 0 0 V4 0 0 -0 0 0 V3 0 0 0 -0 0 v2 0 0 0 0 -0 V1 0 0 0 0 0 -S t v4 v3 v2 v1 s f -0 0 0 0 0 t 4 -0 7 0 0 v4 0 14 -0 4 0 v3 20 0 9 -0 0 v2 0 0 10 12 -0 V1 0 0 13 0 16 -S t v4 v3 v2 v1 s cr

(3)

SDA/Max Flow/Sur/V1.0/9 s t v4 v3 v2 v1 16 13 10 4 12 9 14 20 4 7

Misalnya diperoleh path s-v1-v2-v3-v4-t Debit: min{16,12,9,14,4} = 4

Update setiap f[u,v] += 4 dan

f[v,u] = -f[u,v], untuk setiap (u,v) dalam path

Contoh: pencarian path 1

Contoh: iterasi 1

--4 0 0 0 0 T 4 --4 0 0 0 V4 0 4 --4 0 0 V3 0 0 4 --4 0 v2 0 0 0 4 --4 V1 0 0 0 0 4 -S t v4 v3 v2 v1 s w -4 0 0 0 0 t 0 -4 7 0 0 v4 0 10 -4 4 0 v3 20 0 5 -4 0 v2 0 0 10 8 -4 V1 0 0 13 0 12 -S t v4 v3 v2 v1 s cr

Aliran Kapasitas Tersisa

SDA/Max Flow/Sur/V1.0/11 s t v4 v3 v2 v1 12 13 10 4 8 5 10 20 7 4 4 4 4 4

Misalnya diperoleh path s-v1-v3-v4-v2-t Debit: min{12,10,10,7,20}=7

Contoh: Pencarian path 2

--4 0 -7 0 0 T 4 --11 7 0 0 V4 0 11 --4 -7 0 V3 7 -7 4 --4 0 v2 0 0 7 4 --11 V1 0 0 0 0 11 -S t v4 v3 v2 v1 s f -4 0 7 0 0 t 0 -11 0 0 0 v4 0 3 -4 11 0 v3 13 7 5 -4 0 v2 0 0 3 8 -11 V1 0 0 13 0 5 -S t v4 v3 v2 v1 s cr

(4)

Misalnya diperoleh path s-v3-v1-v2-t Debit: min{13,11,8,13}=8

s t v4 v3 v2 v1 5 13 3 11 8 5 3 13 7 11 4 4 11 4 7

Contoh: Pencarian path 3

--4 0 -15 0 0 T 4 --11 7 0 0 V4 0 11 --4 1 -8 V3 15 -7 4 --12 0 v2 0 0 -1 12 --11 V1 0 0 8 0 11 -S t v4 v3 v2 v1 s f -4 0 15 0 0 t 0 -11 0 0 0 v4 0 3 -4 3 8 v3 5 7 5 -12 0 v2 0 0 11 0 -11 V1 0 0 5 0 5 -S t v4 v3 v2 v1 s cr

Contoh: iterasi 3

Tersisa path s-v3-v2-t Debit: min{5,4,5}=4

s t v4 v3 v2 v1 5 5 11 3 ₅ 3 5 7 11 12 4 11 4 15 8

Contoh: Pencarian path 4

Contoh: iterasi 4

--4 0 -19 0 0 T 4 --11 7 0 0 V4 0 11 -0 1 -12 V3 19 -7 0 --12 0 v2 0 0 -1 12 --11 V1 0 0 12 0 11 -S t v4 v3 v2 v1 S w -4 0 19 0 0 t 0 -11 0 0 0 v4 0 3 -0 3 12 v3 1 7 9 -12 0 v2 0 0 11 0 -11 V1 0 0 1 0 5 -S T v4 v3 v2 v1 s cr

(5)

Tidak adalagi path dari s ke maka selesai dengan graph aliran maksimum dinyatakan dalam f[u,v] dengan mengambil harga yang positif

s t v4 v3 v2 v1 5 1 11 3 ₉ 3 1 7 11 12 11 4 19 12

Contoh: Pencarian path 5

s t v2 v1 11 12 1 12 19 4 7

COntoh: maximum flow hasil

Aliran maksimum dari s ke t adalah 23

Masalah Algoritma

Pencarian path

merupakan hal yang paling kritikal dalam algoritma ini.

Kasus terburuk jika

terjadi situasi sbb.

Bila path yang

ditemukan selalu melalui v2-v3 atau v3-v2 maka iterasi akan terjadi dalam jumlah yang besar

Setiap iterasi debit dalam path yang ditemukan hanya 1 s t v3 v1 1 1000000 1000000 1000000 1000000

Pencarian path

Varian Algoritma Edmonds-Karp

Dengan BFS: “Shortest path” dengan arti jumlah sisi dalam path yang paling sedikit

(6)

Analisis Algoritma

Pencarian flow path dilakukan pada maksimum E

buah sisi, jadi O(E).

Banyak iterasi adalah sama dengan jumlah flow path

yang ditemukan. Jika jumlah tsb adalah |f*| maka kompleksitas waktu adalah O(E |f*|)

Multi-source, Multi-target Problem

Dalam masalah yang lebih nyata source bisa berasal

dari sejumlah verteks menuju ke sejumlah verteks lainnya.

Apakah algoritma Ford-Fulkerson bisa digunakan? Contoh: s1 t2 t1 s2 16 13 10 4 12 9 20 4 7 SDA/Max Flow/Sur/V1.0/23 Penambahan dummy vertex u/ verteks source dengan sisi

mengarah ke setiap verteks source semula

Penambahan dummy vertex u/ vertex target dengan sisi

mengarah dari setiap verteks target semula

Setiap sisi yang ditambahkan berkapasitas sangat besar (tak

terhingga!) s1 t2 v2 v1 t1 s2 16 13 10 4 12 9 14 20 4 7 s0 ∞ ∞ t0 ∞ _∞

Maximum Bipartite Matching (MBM)

Bipartite Graph: dalam suatu undirected graph

G={V,E}, V terpartisi atas dua subset V1 dan V2 dan E’⊆ E dan setiap (u,v) ∈ E’ terpenuhi u ∈ V1 dan v ∈

V2.

Bipartite Matching: adalah E’’ dengan E’’⊆ E’, dimana

setiap (u,v) ∈ E’’ serta untuk v’ ≠ v dan u’ ≠ u, tidak

ada (u,v’) atau (u’,v) ∈ E’’.

Cardinality dari Bipartite Matching adalah |E’’|

Maximum Bipartite Matching adalah matching dengan

(7)

v1 _v2 v1 _v2 v1 _v2

Bipartite Graph, verteks terpartisi atas v1 dan v2

Bipartite Mathing, tidak

maksimal (cardinality 2) Maximal Bipartite Graph (cardinality 3)

Pencarian MBM sebagai Problem MaxFlow

Tambahkan verteks source dan sisi-sisi berarah yang

mengarah ke setiap verteks dalam V1 dengan kapasitas 1

Tambahkan verteks target dan sisi-sisi berarah yang

mengarah dari setiap verteks dalam V2 dengan kapasitas 1

Setiap sisi dalam G adalah sisi dengan kapasitas 1

dan berarah dengan arah dari verteks di V1 ke verteks di V2 SDA/Max Flow/Sur/V1.0/27 v1 _v2

Contoh

Contoh Kasus

a b c d 0 0 0 1 1 s t d c b a s c a b c d s t

Sebagai Capacity Network Flow Graph (bobot tidak digambarkan karena berharga 1 atau 0)

Kapasitas dalam representasi matriks

(8)

SDA/Max Flow/Sur/V1.0/29 0 -1 0 0 0 t 0 0 0 0 0 d 1 0 0 -1 0 c 0 0 0 0 0 b 0 0 1 0 -1 a 0 0 0 0 1 s t d c b a s f

Jika path pertama s-a-c-t

a b c d s t 0 1 0 0 0 t 1 0 0 0 0 d 0 0 0 1 0 c 0 0 1 0 0 b 0 1 0 0 1 a 0 0 0 1 0 s t d c b a s cr -1 -1 0 0 0 t 1 0 0 -1 0 d 1 0 -1 0 0 c 0 0 1 0 -1 b 0 1 0 0 -1 a 0 0 0 1 1 s t d c b a s f

Jika path kedua s-b-c-a-d-t

1 1 0 0 0 t 0 0 0 1 0 d 0 0 1 0 0 c 0 0 0 0 1 b 0 0 1 0 1 a 0 0 0 0 0 s t d c b a s cr a c s t SDA/Max Flow/Sur/V1.0/31

Tidak ada lagi path dalam cr dari s ke t, maka

maxflow graph

Maka maximum matching adalah a-d dan b-c

a b c d s t a b c d