Transformasi Linear - Repository UNIKOM

Pertemuan : 12&13

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

1. Mengetahui definisi dan contoh-contoh transformasi linear.

2. Menggunakan definisi transformasi linear untuk memeriksa suatu fungsi merupakan suatu transformasi linear atau bukan.

3. Mengkaji sifat-sifat transformasi linear.

4. Menggunakan definisi ruang kernel dan range untuk menentukan basis dari suatu matriks transformasi

5. Menghitung dimensi dari matriks transformasi

6. Mengkaji sifat dari matriks transformasi, matriks standar pada operator linear

7. Menghitung matriks transisi P untuk menentukan matriks transformasi pada suatu basis B’

Materi :

5.1 Transformasi Linear Definisi 5.1

Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W

(dituliskan T V:  W _{) disebut sebagai transformasi linear bila} u v V,  berlaku :

1. T u v(  )T u( )T v( ) 2. T(u)T u( )

Jika V=W maka transformasi T V:  V_{disebut suatu operator linear pada V.} Transformasi T V:  W _dengan T u( ) 0 _{disebut transformasi nol.}

Transformasi T VA:  W _dengan T u( )Au_{disebut transformasi matriks,} sedangkan A disebut matriks transformasi.

Transformasi I:V →V dengan I u( )u disebut operator identitas pada V.

Contoh 5.1

Diketahui T R: 2  R3_dengan

x y x

T x

y

y



 

  _ 

   

   

 _{. Periksalah apakah T adalah}

Ambil y1 y2 _{ } _{ }

    _sembarang

a.

1 2 1 2

1 2 1 2

x x x x

u v

y y y y



     

 _{    }  _ 

      _maka





1 2 1 2 1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

x x y y x y x y

x x

T u v T x x x x T u T v

y y

y y y y

             _{      }   _{  }  _{ } _{ } _      _            b. Ambil 1 2 1 , x u R y    _{ }

  _{suatu skalar sembarang sehingga}

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1

1

1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

x y x y x y

x

T u T x x x T u

y

y y y

                      _{      }  _{  } _{ } _ _{ }              

Jadi dari a) dan b) terbukti bahwa

x y x T x y y      _         

  _{adalah transformasi}

linear.

Contoh 5.2

Diketahui T R: 2  R3_dengan

2 2 2x x T x y y      _        

 _{. Periksalah apakah T adalah}

transformasi linear? Penyelesaian: Untuk sebarang 1 2 1 x u R y   _{ }

  _{dan sebarang}  _diperoleh









1 ₁ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ₂ ( ) . ( ) . x _x

T u x T u x

y y          _{ }   _{ }    _{ }       _{ }   Sehingga 2 2 2x x T x y y      _        

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

 Latihan 5.1

Periksa apakah T R: 3 P2dengan

2

( ) ( ) ( )

a

T b abc a b x a c x c

 

 _{    }

   

 

 

  _merupakan

suatu transformasi linear

Berikut ini adalah sifat-sifat transformasi linear Teorema 5.1

Jika T:V →Wadalah suatu transformasi linear, maka: a. T( ´0)=0

b. T(−´v)=−T( ´v)

c. T( ´v− ´w)=T( ´v)−T( ´w)

5.2 Kernel dan Range Definisi 5.2

Diketahui transformasi linear T V:  W _dengan T u u V( ),  _{. Kernel dari T} (dinotasikan Ker(T)) adalah himpunan usedemikian sehingga T u( ) 0 atau

Ker(T)=



u T u( ) 0



. Ker(T) sering disebut ruang nol dari T. Himpunan semua b_{sedemikian sehingga} T u( )b_{disebut range dari T atau disingkat} R T( )_.R T( )

disebut juga dengan bayangan uoleh T u( ).

Definisi 5.3

Jika T:V →W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T dinyatakan sebagai rank dari T (notasi : rank(T)) dan dimensi dari T dinyatakan nullitas dari T (notasi:nullitas(T)).

Teorema 5.2

b. Rank((T_A¿ = Rank (A)

c. Rank((T_A¿+ Nullitas(T_A¿=n

Contoh 5.3

Tentukan basis dan dimensi dari Ker T( )A dan R T( )A dari transformasi linear

3 2

: A

T R  R _dengan T uA( )Au, dengan u R 3dan

1 1 2 2 2 4 A_{ }  _

 

 

Penyelesaian : a. Kernel

( )_A

Ker T _{adalah ruang nol dari} T u_A( )Au0 _maka

1 1 2 1 1 2 2 2 4 0 0 0

 

   

_{ }   

   



sehingga

2 1 2

1 0

0 1

t s

u t t s

s

 

     

     

_{   } _{ }

     

     

Jadi basis

1 2

( ) 1 , 0

0 1

A Ker T

   

   

 _{   }

   

   

 _{dan Rank((} T_A¿

= dim Ker T( ) 2A  b. Range

( )_A

R T _{merupakan himpunan dari b}´ _{dengan Au=´ b maka R(TA) adalah ruang}

kolom dari A. Sehingga basis dari R(TA) adalah 1

2   _ 

  _{dan Nullitas(}TA¿₌ dim R

(

T_A

)

=1.

 Latihan 5.2

1. Tentukan Nullitas (T) berdasarkan informasi berikut ini a. T:R5→ R7 punya rank (T) =3

b. T:P₄→ P₃ punya rank(T) =1

T

A

T= transformasi V ke W

A matriks transformasi yang memetakan ke

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

2. Diketahui transformasi matriks TA:R4→ R3memiliki matriks transformasi

1 0 1 2

2 2 1 1

0 2 3 3

A



 

 

  

 _ 

  _{. Tentukan basis dan dimensi dari}

Ker(T_A)

dan

R(T_A)

. 3. Anggap T:R2_{→ R}2 _{adalah operator linear yang ditentukan dari}

T(x , y)=(2x−y ,−8x+4y)

a. Tentukan basis dari ruang Kernel dan ruang Rangenya

b. Periksa apakah vektor (5,0) dan vektor (-3,12) berada pada R(T) c. Periksa apakah vektor (3,2) dan vektor (5,10) berada pada Ker(T) 5.3 Matriks Transformasi

Definisi 5.4

Diketahui ruang V,W dengan dimensi ruang vektor berturut-turut n dan m dan transformasi linear T:V →W dengan fungsi T( ´x), ´x∈V. Jika B merupakan

basis V, dan B’_{adalah basis dari W . Jika A adalah matriks standar maka}

∀´x∈V dapat ditentukan dengan

A[ ´x]B=

[

T( ´x)

]

B'

A disebut matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B’

Diasumsikan B=

{

u´₁,u´₂, … ,u´_n

} adalah basis pada ruang V dan

B'=

{

v1´ ,v2´ , … ,v´m

}

adalah basis pada ruang W, maka untuk mengkonstruksi matriks A dapat diperoleh dengan cara mentransformasi basis-basis di B lalu menentukan koordinat vektor dari setiap hasil transformasi matriks terhadap basis-basis B’ _{. Dapat dituliskan}



( )1 _B' ( )2 _B' ... ( )n _B'



A_{ }T u  T u  T u 

      _atau

 

T B B',  



T u( )1  _{ B}'T u( )2 __B' ... _T u( )n _B'



sedangkan subscript kiri adalah suatu basis untuk ruang bayangan dari T. Jadi untuk notasi

[

T

]

_B'

, B basis dari daerah asal adalah B dan basis untuk ruang

bayangan adalah B’_.

Jika V=W maka B=B' persamaan

[

T

]

B'

, B[ ´x]B=

[

T( ´x)

]

B' dapat dituliskan menjadi

[

T

]

B[ ´x]B=

[

T( ´x)

]

B.

Contoh 5.4

Diketahui transformasi linear T:R2→ R3 dengan T

(

(

x_x1 2

)

)

=

(

x₂

−5x₁+13x₂

−7x₁+16x₂

)

.

Jika A ={u´₁,u´₂

}

=¿{(3,1)T,(5,2)T} adalah basis dari _R2dan

B={´v₁,v´₂,v´₃

}={(1,0,-1)

T_,(-1,2,2)T_,(0,1,2)T_{}adalah dari R}3 .

a. Tentukan matriks T terhadap basis A dan B. b. Untuk ´x=(2,1) Tentukan T

(

[

´x

]

A

)

Penyelesaian:

a. Pertama dihitung nilai T

(

u´₁

)

_dan T

(

u´₂

)

_{(dengan kata lain bayangan dari} u´₁

dan u´₂ ) yaitu

T

(

u´₁

)

=T

(

(

3 1

)

)

=

(

1

−2

−5

)

dan T

(

u´₁

)

=T

(

(

5 2

)

)

=

(

2 1

−3

)

Karena T

(

u´₁

)

_dan T

(

u´₂

)

_{berada di R}3 _{dan B={´v}

1,v´2,v´3

} adalah basis dari R

3

maka masing T

(

u´₁

)

dan T

(

u´₂

)

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

´

v₁,v´₂,v´_{3, sehingga}

T

(

u´₁

)

=α₁v´₁+α₂v´₂+α₃v´_{3 dan} T

(

u´₂

)

=β₁v´₁+β₂v´₂+β₃v´₃

Maka dengan OBE diperoleh vektor koordinat u´_{1 dan} u´_{2 terhadap basis B}

yaitu

¿ ¿ dan ¿ ¿.

Jadi matriks transformasi

[

T

]

B , A=

(

1 3

0 1

−2 −1

)

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

b. Mula-mula dicari

[

´x

]

A maka

´

x=α₁u´₁+α₂u´₂

Sehingga diperoleh

[

´x

]

A=

(

−1

1

)

lalu untuk mendapatkan T

(

[

´x

]

A

)

digunakan

matriks transformasi

[

T

]

B , A sehingga T

(

[

´x

]

A

)

=

(

1 3

0 1

−2 −1

)

(

−1

1

)

=

(

2 1 1

)

 Latihan 5.3

Misal {v´₁,v´₂,v´₃

} merupakan basis

_R3. Transformasi linear _T:R3_{→ P}2 memiliki

fungsi T

(

v´_i

)

=w_idengan v´₁=(1,1,−1),v´₂=(0,1,−1),v´₃=(0,0,−1),

p(x)=1−x+x2, q(x)=1+2x2, r(x)=2x−x2.

a. Tentukan matriks transformasi A sedemikian sehingga Av´_i=w_i b. Tentukan bayangan (1,2,1) dari transformasi tersebut

5.4 Matriks baku/standar

Jika T adalah suatu transformasi linear, maka matriks standar untuk T bisa didapatkan dari

bayangan vektor-vektor basis standar. Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan

oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis.

Definisi 5.5

Misalkan T R: n  Rm_dengan T x( )Ax_{memiliki basis standar S =}



e e1, ,...,2 en



_.

Maka matriks standar untuk T adalah A



T e( )1 T e( ) ....2 T e( )n



. Contoh 5.5

Diketahui transformasi matriks T:R3_{→ R}4 _{dengan T}

(

xy z

)

=

(

2x+2y

x−y

x+z

T

(

´e₁

)

=T

(

1 0 0

)

=

(

2.1+2.0

1−0

1+0

0+0

)

=

(

2 1 1 0

)

, T

(

´e₂

)

=T

(

0 1 0

)

=

(

2.0+2.1

0−1

0+0

1+0

)

=

(

2

−1

0

1

)

T

(

´e₃

)

=T

(

0 0 1

)

=

(

2.0+2.0 0−0 0+1 0+1

)

=

(

0 0 1 1)

Jadi matriks standar T = A=

(

2 2 0

1 −1 0

1 0 1

0 1 1

)

dengan A

(

x y z

)

=

(

2x+2y

x−y

x+z

y+z

)

.

 Latihan 5.4

Misalkan T:P₁→ P₂ adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh

T

(

p(x)

)

=xp(x).

a. Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis-basis standar

B={ ´u₁,u´₂} ₌{1, x} dan B'={ ´v1,v´2,v´3}={1, x , x2

}

b. Jika p(x)=2−3x Tentukan T(p(x))

5.5 Keserupaan/Similaritas

Matriks operator linear T:V →V _{tergantung pada basis yang dipilih untuk} V _. Salah satu masalah dasar dari aljabar linear adalah memilih suatu basis untuk V yang membuat matriks T sesederhana mungkin, misalnya matriks diagonal atau matriks segitiga.

Masalah

Jika B dan B’ adalah dua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika T:V →V adalah suatu operator linear apa kaitan antara

[T]_B dengan [T]_B'.

Teorema 5.3

Anggap T:V →V adalah suatu linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhinggaV , dan anggap B dan B’ adalah basis-basis untuk V. Maka

 

1

 

'

B B

T P T P

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

Dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B.

Contoh 5.6

Misalkan T:R2→ R2 didefinisikan oleh

T

(

(

x1 x2

)

)

=

(

x1+x2

−2x1+4x2

)

a. Tentukan matriks T berkenaan dengan basis standar B¿

{

e´₁,e´₂

}

b. Jika B’¿

{

u´₁',u´₂'

}

=

{

(

11),

(

12)

}

_{, tentukan matriks T berkenaan dengan basis} standar B’¿

{

u´₁',u´₂'

}

.

c. Hitunglah det

(

[

T

]

B

)

,det

(

[

T

]

_B'

),tr

(

[

T

]

_B

)

, tr

(

[

T

]

B'

)

Penyelesaian:

a.

 

T _B 

 

T  T e( )1 T e( )2 _

maka

1

1 1 0 1

( )

0 2.1 4.0 2 T e T_ _{ }__   _{ } _

  

     

  _dan 1

0 0 1 1

( )

1 2.0 4.1 4 T e T_ _{ }__    _{  }

 

     

 

Sehingga

 

 

1 1 2 4 B

T  T _{ } _ 

 

b. Untuk mencari

 

T _B'_{maka disusun matriks transisi dari B’ ke B sehingga}

' ' _{11 12}

1 2

21 22

B B

p p

P u u

p p

 

    

_{     } _

   

  _{  }

'

1 _{11 1 21 2}

u p e p e _dan u'2 p e_{12 1}p e_{22 2 sehingga diperoleh matriks}

P=

(

1 1

1 2

)

dan dihitung p

−1

=

(

2 −1

−1 1

)

c. Dapat ditunjukkan bahwa det

(

[

T

]

B

)

=det

(

[

T

]

B'

)

dan tr

(

[

T

]

_B

)

=tr

(

[

T

]

_B'

)

Secara umum

 

T B' P 1

 

T BP



 _dan

 

T _{Bdisebut matriks yang serupa, berikut}

ini diberikan definisi secara umum andaikan

 

T B A dan

 

 

1 '

B B

T P T P B

 

dengan A jika ada suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga B=P−1_AP.

Perhatikan bahwa A juga dapat dituliskan menjadi A=PB P−1 sehingga A dan

B disebut serupa.

Sifat-sifat matriks yang serupa

Sifat Uraian

Determinan A dan P−1_{AP mempunyai determinan}

yang sama

Dapat dibalik atau tidak A dapat dibalik jika dan hanya jika P -1_{AP dapat dibalik.}

Rank A dan P−1_AP mempunyai rank yang

sama

Nullitas A dan P−1

AP mempunyai nullitas yang sama

Trace A dan P−1_{AP mempunyai trace yang}

sama

 Latihan 5.5

T:R2→ R2didefinisikan oleh

1 1 2

2 2

2

x x x

T

x x

     

   _ 

   

  _dengan



1 2



1 0

, ,

0 1 B u u _{ }   _{   }_

   

  _dan





1 2

2 3

, ,

1 4 B v v _{ }  _{  } _

   

 